各类型二叉树例题说明
二叉树相关的面试题
二叉树相关的面试题一、二叉树面试题常见类型1. 二叉树的概念二叉树就是每个节点最多有两个子树的树结构，这两个子树被分别称为左子树和右子树。
比如说，我们可以想象成一棵家族树，一个爸爸最多有两个孩子，左孩子和右孩子，这就是二叉树的基本概念啦。
2. 二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历哦。
前序遍历就是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
就像我们去旅游先到一个景点的大门（根节点），然后去左边的小景点（左子树），最后去右边的小景点（右子树）。
中序遍历是先左子树，再根节点，最后右子树，这就好比先看左边的小景色，再看大门，最后看右边的小景色。
后序遍历是先左子树，再右子树，最后根节点，就像把两边小景色都看完了，最后再看大门整体的感觉。
3. 二叉树的高度计算二叉树的高度就是从根节点到叶节点最长路径上的节点数。
计算的时候要一层一层地去数，从根开始，一直到最深的叶子那里。
4. 二叉树的平衡判断一棵二叉树是平衡二叉树的话，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右子树都是平衡二叉树。
这就像两边的孩子不能长得太不均衡啦，一边特别高，一边特别矮可不行。
5. 二叉树的构建可以根据给定的遍历序列来构建二叉树。
比如说给了前序遍历和中序遍历的序列，我们就可以通过分析先确定根节点，再根据中序遍历确定左右子树，然后逐步构建出二叉树。
这就像是根据一些线索去拼凑出一个完整的图形一样有趣。
二、二叉树面试题实例1. 题目：给定一个二叉树的前序遍历序列为[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7]，中序遍历序列为[4, 2, 5, 1, 6, 3, 7]，构建出这个二叉树。
解答：首先从前序遍历知道根节点是1，然后在中序遍历中找到1，1左边的[4, 2, 5]就是左子树的中序遍历，右边的[6, 3, 7]就是右子树的中序遍历。
再根据前序遍历中左子树节点的顺序[2, 4, 5]，可以确定2是左子树的根节点，然后继续这样分析下去就可以构建出二叉树啦。
二叉树算法题
二叉树算法题
题目一：二叉树的深度
给定一个二叉树，找出其最大深度。
示例：
输入：
# 定义二叉树节点
class TreeNode:
def __init__(self, x):
self.val = x
self.left = None
self.right = None
# 创建二叉树
root = TreeNode(3)
root.left = TreeNode(9)
root.right = TreeNode(20)
root.right.left = TreeNode(15)
root.right.right = TreeNode(7)
输出：
4
解释：二叉树的深度为4，分别是 [3], [9, 20], [15, 7] 和 []。
提示：递归深度优先搜索 (DFS) 是一个有效的解决方案。
对于每个节点，我们可以递归地计算其左子树和右子树的深度，然后返回最大的深度。
为了避免重复计算，我们可以使用一个队列来存储已访问的节点。
在计算深度的过程中，我们需要跟踪当前的深度。
当我们到达一个节点的深度时，我们就可以从队列中删除它，因为我们不需要再次计算它。
为了避免进入无限循环，我们需要在算法中使用一个变量来记录访问过的节点数量，如果超过了树中的节点数量，我们可以提前返回结果。
各类型二叉树例题说明
各类型二叉树例题说明5.1树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树1页满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
二叉树的几个经典例题
⼆叉树的⼏个经典例题⼆叉树遍历1题⽬描述编⼀个程序，读⼊⽤户输⼊的⼀串先序遍历字符串，根据此字符串建⽴⼀个⼆叉树（以指针⽅式存储）。
例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表⽰的是空格，空格字符代表空树。
建⽴起此⼆叉树以后，再对⼆叉树进⾏中序遍历，输出遍历结果。
输⼊描述:输⼊包括1⾏字符串，长度不超过100。
输出描述:可能有多组测试数据，对于每组数据，输出将输⼊字符串建⽴⼆叉树后中序遍历的序列，每个字符后⾯都有⼀个空格。
每个输出结果占⼀⾏。
输⼊abc##de#g##f###输出c b e gd f a思路：递归建树。
每次都获取输⼊字符串的当前元素，根据题⽬要求（先序、中序、后序等+其他限制条件）建树。
再根据题⽬要求输出即可。
1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3struct node{4char data;5 node *lchild,*rchild;6 node(char c):data(c),lchild(NULL),rchild(NULL){}7 };8string s;9int loc;10 node* create(){11char c=s[loc++];//获取每⼀个字符串元素12if(c=='#') return NULL;13 node *t=new node(c);//创建新节点14 t->lchild=create();15 t->rchild=create();16return t;17 }18void inorder(node *t){//递归中序19if(t){20 inorder(t->lchild);21 cout<<t->data<<'';22 inorder(t->rchild);23 }24 }25int main(){26while(cin>>s){27 loc=0;28 node *t=create();//先序遍历建树29 inorder(t);//中序遍历并输出30 cout<<endl;31 }32return0;33 }⼆叉树遍历2题⽬描述⼆叉树的前序、中序、后序遍历的定义：前序遍历：对任⼀⼦树，先访问跟，然后遍历其左⼦树，最后遍历其右⼦树；中序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后访问根，最后遍历其右⼦树；后序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后遍历其右⼦树，最后访问根。
树与二叉树典型例题讲解
练习
• 设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结 点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子数 为
证明：
• 二叉树度为0的结点总比度为2的结点多1个 因为二叉树所有结点滴个数都不大于2，所以结点总数 n=n0+n1+n2 (1) 又因为度为1和度为2的结点分别有1个子树和2个子树，所以， 二叉树中子树结点就有n(子）=n1+2n2 二叉树中只有根节点不是子树结点，所以二叉树结点总数n=n(子） +1 即 n=n1+2n2+1 (2) 结合（1）式和（2）式就得n0=n2+1
E
而由二叉树转化为森林的步骤得到对应的森林。
A B C F I
E G J H
D
例题6.8 证明n0个叶子结点的哈夫曼树共有2n0-1个结点。 证明：设度为1和2的结点个数分别为n1和 n2，二叉树结点总数为n，则 有：n=n0+n1+n2 根据二叉树的性质知：n0=n2+1 此外，由哈夫曼树的构造原理可知：哈夫曼树不存在度为1的结点，即 n1=0；所以由①②可得： n=n0+0+n2=n0+n0-1=2n0-1
二叉树的先序线索二叉树如下左图所示，后序线索二叉树如下右图所示。
A
NIL
A C B C
B
D
F H
E
NIL
D
F HE GIG来自I先序线索二叉树
后序线索二叉树
例题6.7 如果已知森林的前序序列和后序序列分别为ABCDEFIGJH和 BDCAIFJGHE，请画出该森林。 【解】由于森林的前序序列与其对应的二叉树前序序列相同，而森林的 后序序列与其对应的二叉树中序序列相同。因此，根据二叉树前序序 列ABCDEFIGJH和中序序列BDCAIFJGHE可画出二叉树如下图所示。 A B C D I J F G H
二叉树例题
二叉树例题摘要：一、二叉树的基本概念1.二叉树的定义2.二叉树的特点3.二叉树的重要性质二、二叉树的重要操作1.插入节点2.删除节点3.遍历二叉树三、二叉树的应用场景1.数据结构2.算法设计3.实际应用案例正文：一、二叉树的基本概念1.二叉树定义二叉树是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多只有两个子节点，通常分别称为左子节点和右子节点。
由于每个节点最多只有两个子节点，因此二叉树具有很好的分支特性，可以实现高效的数据查找、插入和删除操作。
2.二叉树的特点二叉树的主要特点如下：（1）每个节点最多只有两个子节点；（2）子节点有左右之分，顺序不能颠倒；（3）二叉树具有很好的分支特性，方便进行数据操作。
3.二叉树的重要性质二叉树有许多重要的性质，如：（1）二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数；（2）完全二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数，并且除了最后一层外，其他层都是满的；（3）满二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数，并且每一层都是满的。
二、二叉树的重要操作1.插入节点在二叉树中插入一个新节点的过程称为插入操作。
插入操作需要遵循以下原则：（1）若新节点的值小于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的左子树中；（2）若新节点的值大于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的右子树中；（3）若新节点的值等于当前节点的值，根据具体需求进行处理，如插入到右子树或创建一个新的平衡二叉树。
2.删除节点在二叉树中删除一个节点的过程称为删除操作。
删除操作需要遵循以下原则：（1）若要删除的节点无子节点，直接将该节点从树中移除；（2）若要删除的节点只有一个子节点，将该节点的值赋予子节点，然后删除子节点；（3）若要删除的节点有两个子节点，找到该节点的右子树中的最小节点，将该节点的值赋予最小节点，然后删除最小节点。
3.遍历二叉树遍历二叉树是指按照某种顺序访问二叉树的每个节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
二叉排序树的例题
二叉排序树的例题一、二叉排序树的例题二叉排序树呢，可有趣啦。
我给你多来点例题哈。
例1：有这么一组数，12，5，18，2，9，15，19。
让你构建二叉排序树。
那咱就开始呗。
先把12当作根节点，5比12小，就放在12的左子树位置，18比12大，就放在12的右子树位置。
然后2比5小，放在5的左子树，9比5大比12小，放在5的右子树。
15比12大比18小，放在18的左子树，19比18大，放在18的右子树。
答案和解析：答案就是构建出来的二叉排序树（这里你可以自己画一下哈，根节点12，左子树5，右子树18，5的左子树2，右子树9，18的左子树15，右子树19）。
解析呢，二叉排序树的构建规则就是，左子树的节点值都小于根节点值，右子树的节点值都大于根节点值。
按照这个规则，一个一个数去放就好啦。
例2：已知一个二叉排序树的前序遍历序列是30，20，10，25，23，39，35，42。
求这个二叉排序树的中序遍历序列。
我们先根据前序遍历序列构建二叉排序树。
30是根节点，20比30小，是左子树，10比20小，是20的左子树，25比20大，是20的右子树，23比25小，是25的左子树，39比30大，是30的右子树，35比39小，是39的左子树，42比39大，是39的右子树。
然后求中序遍历序列。
中序遍历就是先左子树，再根节点，再右子树。
那就是10，20，23，25，30，35，39，42。
答案和解析：答案：10，20，23，25，30，35，39，42。
解析：先根据前序遍历构建二叉排序树，然后按照中序遍历的规则得到序列。
前序遍历第一个数就是根节点，然后根据大小关系构建树，中序遍历的顺序就是左子树、根节点、右子树。
例3：给你一个二叉排序树，根节点为50，左子树节点有30、20、40，右子树节点有70、60、80。
现在要删除节点30。
那我们得按照二叉排序树删除节点的规则来。
因为30有左子树20，我们要找30的中序后继，也就是40。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树9满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
4.二叉树的存储结构：(1）顺序存储方式type node=recorddata:datatypel,r:integer;end;var tr:array[1..n] of node;(2)链表存储方式，如：type btree=^node；node=recorddata:datatye;lchild,rchild:btree;end;5.普通树转换成二叉树：凡是兄弟就用线连起来，然后去掉父亲到儿子的连线，只留下父母到其第一个子女的连线。
96.二叉树的遍历运算（递归定义）(1)先序遍历（根左右）访问根；按先序遍历左子树；按先序遍历右子树(2)中序遍历（左根右）按中序遍历左子树；访问根；按中序遍历右子树(3)后序遍历（左右根）按后序遍历左子树；按后序遍历右子树；访问根例1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。
program erchashu1;var b:array[1..31] of char;e:array[1..63] of byte;n,h,i,k:integer;procedure tree(t:integer);beginif e[t]=0 then exitelsebeginwrite(b[t]);e[t]:=0;t:=2*t;tree(t);t:=t+1;tree(t);end;end;beginrepeatwrite('n=');readln(n);until (n>0) and (n<6);fillchar(e,sizeof(e),0);k:=trunc(exp(n*ln(2)))-1;for i:=1 to k do e[i]:=1;for i:=1 to 26 do b[i]:=chr(64+i);for i:=1 to 5 do b[26+i]:=chr(48+i);h:=1 ;tree(h);writeln;end.例2.用顺序存储方式建立一棵如图所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
9program tree1;const n=15;type node=recorddata:char;l,r:0..n;end;var tr:array[1..n] of node;e:array[1..n] of 0..1;i,j:integer;procedure jtr;var i:integer;beginfor i:=1 to n dowith tr[i] doreadln(data,l,r);end;procedure search(m:integer);beginwith tr[m] dobeginwrite(data);if l<>0 then search(l);if r<>0 then search(r);end;end;beginjtr;search(1);writeln;end.例3 用链表存储方式生成上述二叉树，中序遍历之。
1.将上述二叉树用广义表表示为A(B(D,E(G)),C(F(,H)))2.根据广义表串（以#结束）生成二叉树。
program ltree;const n=8;type trlist=^node;node=recordda:char;l,r:trlist;end;9var s:array[1..n] of trlist;p,root:trlist;ch:char;top,k:integer;procedure creat(var head:trlist);beginread(ch);top:=0;while ch<>'#' dobegincase ch of'A'..'Z':begin new(p);p^.da:=ch;p^.l:=nil;p^.r:=nil; if top<>0 thencase k of1:s[top]^.l:=p;2:s[top]^.r:=p;endend;'(':begin top:=top+1;s[top]:=p;k:=1;end;')': top:=top-1;',': k:=2;end;read(ch);end;head:=s[1];end;procedure inorder(head:trlist);beginif head^.l<>nil then inorder(head^.l);write(head^.da);if head^.r<>nil then inorder(head^.r);end;beginwrite('Input tree string:');creat(root);inorder(root);end.二叉树的应用1. 哈夫曼树与哈夫曼码树的路径长度：一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。
9带权二叉树：给树的叶结点赋上某个实数值（称叶结点的权）。
带权路径长度：各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。
哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度最小的二叉树。
如何构建哈夫树：（思想是：权越大离跟越近）program gojiantree;const n=4;m=7;type node=recordw:real;parent,lchild,rchild:0..mend;htree=array[1..m] of node;var htree1:htree;procedure gjtree(var ht:htree);var i,j:integer;small1,small2:real;p1,p2:0..m;beginfor i:=1 to m dowith ht[i] dobeginw:=0;lchild:=0;rchild:=0;parent:=0;end;for i:=1 to n do read(ht[i].w);for i:=n+1 to m dobeginp1:=0;p2:=0;small1:=1000;small2:=1000;for j:=1 to i-1 doif ht[j].parent=0 thenif ht[j].w<small1 thenbegin small2:=small1;small1:=ht[j].w;p2:=p1;p1:=j endelse if ht[j].w<small2 then begin small2:=ht[j].w;p2:=j end; ht[p1].parent:=i;ht[p2].parent:=i;ht[i].lchild:=p1;ht[i].rchild:=p2;ht[i].w:=ht[p1].w+ht[p2].w;end;9end;begingjtree(htree1);end.哈夫曼码：哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0，1 表示，从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。
哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码，广泛应用实际中。
（原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分，为什么？）2.排序二叉树排序二叉树：每一个参加排列的数据对应二叉树的一个结点，且任一结点如果有左（右）子树，则左（右）子树各结点的数据必须小（大）于该结点的数据。
中序遍历排序二叉树即得排序结果。
程序如下：program pxtree;consta:array[1..8] of integer=(10,18,3,8,12,2,7,3);type point=^nod;nod=recordw:integer;right,left:point ;end;var root,first:point;k:boolean;i:integer;procedure hyt(d:integer;var p:point);beginif p=nil thenbeginnew(p);with p^ do begin w:=d;right:=nil;left:=nil end;if k then begin root:=p; k:=false end;endelse with p^ do if d>=w then hyt(d,right) else hyt(d,left);end;procedure hyt1(p:point);beginwith p^ dobeginif left<>nil then hyt1(left);write(w:4);9if right<>nil then hyt1(right);endend;beginfirst:=nil;k:=true;for i:=1 to 8 do hyt(a[i],first);hyt1(root);writeln;end.3.堆排序堆：设有数据元素的集合（R1,R2,R3,...Rn)它们是一棵顺序二叉树的结点且有Ri<=R2i 和Ri<=R2i+1(或>=)堆的性质：堆的根结点上的元素是堆中的最小元素，且堆的每一条路径上的元素都是有序的。