各类型二叉树例题说明
二叉树相关的面试题
二叉树相关的面试题一、二叉树面试题常见类型1. 二叉树的概念二叉树就是每个节点最多有两个子树的树结构，这两个子树被分别称为左子树和右子树。
比如说，我们可以想象成一棵家族树，一个爸爸最多有两个孩子，左孩子和右孩子，这就是二叉树的基本概念啦。
2. 二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历哦。
前序遍历就是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
就像我们去旅游先到一个景点的大门（根节点），然后去左边的小景点（左子树），最后去右边的小景点（右子树）。
中序遍历是先左子树，再根节点，最后右子树，这就好比先看左边的小景色，再看大门，最后看右边的小景色。
后序遍历是先左子树，再右子树，最后根节点，就像把两边小景色都看完了，最后再看大门整体的感觉。
3. 二叉树的高度计算二叉树的高度就是从根节点到叶节点最长路径上的节点数。
计算的时候要一层一层地去数，从根开始，一直到最深的叶子那里。
4. 二叉树的平衡判断一棵二叉树是平衡二叉树的话，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右子树都是平衡二叉树。
这就像两边的孩子不能长得太不均衡啦，一边特别高，一边特别矮可不行。
5. 二叉树的构建可以根据给定的遍历序列来构建二叉树。
比如说给了前序遍历和中序遍历的序列，我们就可以通过分析先确定根节点，再根据中序遍历确定左右子树，然后逐步构建出二叉树。
这就像是根据一些线索去拼凑出一个完整的图形一样有趣。
二、二叉树面试题实例1. 题目：给定一个二叉树的前序遍历序列为[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7]，中序遍历序列为[4, 2, 5, 1, 6, 3, 7]，构建出这个二叉树。
解答：首先从前序遍历知道根节点是1，然后在中序遍历中找到1，1左边的[4, 2, 5]就是左子树的中序遍历，右边的[6, 3, 7]就是右子树的中序遍历。
再根据前序遍历中左子树节点的顺序[2, 4, 5]，可以确定2是左子树的根节点，然后继续这样分析下去就可以构建出二叉树啦。
二叉树遍历典型例题
二叉树遍历典型例题正文:二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的二叉树遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
下面将以一个典型的例题来介绍这三种遍历方式的应用。
假设有一个二叉树如下所示：```1/2 3/4 5 6```首先介绍前序遍历。
前序遍历的顺序是先访问根节点，然后分别遍历左子树和右子树。
对于上面的二叉树，前序遍历的结果是1, 2, 4, 3, 5, 6。
接下来是中序遍历。
中序遍历的顺序是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
对于上面的二叉树，中序遍历的结果是2, 4, 1, 5, 3, 6。
最后是后序遍历。
后序遍历的顺序是先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
对于上面的二叉树，后序遍历的结果是4, 2, 5, 6, 3, 1。
以上就是三种常见的二叉树遍历方式。
在实际应用中，二叉树的遍历经常用于查找、删除、插入等操作。
例如，在前序遍历中，可以用来复制一棵二叉树；在中序遍历中，可以用来对树进行排序；在后序遍历中，可以用来释放二叉树的内存等。
除了以上介绍的三种遍历方式，还存在一种更特殊的遍历方式，即层序遍历。
层序遍历是逐层访问二叉树节点的方式，从上到下、从左到右。
对于上面的二叉树，层序遍历的结果是1, 2, 3, 4, 5, 6。
在实际应用中，根据具体的问题要求，选择合适的遍历方式能够更加高效地解决问题。
因此，对于二叉树的遍历问题，我们需要熟练掌握各种遍历方式的特点和应用场景，以便于在实际问题中灵活运用。
二叉树的遍历及例题
⼆叉树的遍历及例题⼆叉树的遍历及例题前序遍历就是根在前，中序是根在根在中，前序遍历根 --> 左 --> 右中序遍历左 --> 根 --> 右后序遍历左 --> 右 --> 根如图是⼀颗⼆叉树前序(根左右)，中序(左根右)，后序(左右根)它的前序遍历结果为： A B D F G H I E C 代表的含义为A( B ( D ( F ,G( H ,I ) ) ,E ) , C )所以第⼀个点⼀定是根节点它的中序遍历结果为： F D H G I B E A C它代表的含义，A（已知它不是叶⼦节点）在中间说明A的左边是左⼉⼦，A的右边是他的右⼉⼦它的后序遍历结果为：F H I G D E B C A解题：如果有前序和中序或者中序和后序可以得到⼆叉树，从⽽得到后序。
如果有前序和后序⽆法的得到⼆叉树。
1.已知前序、中序遍历求后序遍历例：前序遍历：A B G D E C F H中序遍历：G B E D A F C H构建⼆叉树的步骤：1.根据前序遍历特点，得到根节点A2.观察中序遍历结果：根节点左边节点为G B E D，根节点的右边节点为 F C H。
同时，两段也是左右⼦树的中序遍历的结果。
B G D E也是左⼦树前序遍历的结果。
C F H也是右⼦树前序遍历的结果。
3.重复 1 2的步骤，直到找到叶⼦结点就可以得到最后的⼆叉树。
例题：题意：给出中序遍历和前序遍历，让你找到后序遍历的结果。
#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 105;int pre[maxn],in[maxn],pos[maxn];int infind(int root,int l,int r){//在中序遍历中找到当前根节点的位置for(int i=l;i<r;i++){if(in[i]==root){return i;}}}int cnt;void posorder(int prel,int prer,int inl,int inr){if(prel==prer) return ;int root=infind(pre[prel],inl,inr);//找当前的根的位置int len=root-inl;posorder(prel+1,prel+1+len,inl,inl+len);//prel的位置是root的位置，删去posorder(prel+1+len,prer,inl+1+len,inr);//inl+len+1的位置是root的位置，删去//进⾏完左边和右边的遍历之后，进⾏赋值。
二叉树的遍历题目及答案
二叉树的遍历题目及答案1. 二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。
因而二叉树的遍历次序有六种。
最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按L R N 次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。
这三种方法相互之间有关联。
若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。
解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果；法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。
由前序先确定root，由中序先确定左子树。
例如，前序遍历BEFCGDH中，根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。
法3：递归计算。
如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。
如法对B的左右子树同样处理，则问题得解。
2.给定二叉树的两种遍历序列，分别是：前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I；中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F，试画出二叉树B，并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。
解：方法是：由前序先确定root，由中序可确定root的左、右子树。
然后由其左子树的元素集合和右子树的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定root的左右孩子。
将他们分别作为新的root，不断递归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。
3、当一棵二叉树的前序序列和中序序列分别是HGEDBFCA和EGBDHFAC时，其后序序列必是A. BDEAGFHCB. EBDGACFHC. HGFEDCBAD. HFGDEABC答案：B4. 已知一棵二叉树的前序遍历为ABDECF，中序遍历为DBEAFC，则对该树进行后序遍历得到的序列为______。
A．DEBAFCB．DEFBCAC．DEBCFAD．DEBFCA[解析] 由二叉树前序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一棵二叉树。
排序二叉树例题
排序二叉树例题摘要：1.排序二叉树的定义和特点2.排序二叉树的遍历方式3.排序二叉树的应用实例4.解决排序二叉树例题的方法和步骤正文：排序二叉树，又称为有序二叉树，是一种特殊的二叉树结构。
其特点是任意节点的左子树的值都小于该节点的值，右子树的值都大于该节点的值。
这种性质使得排序二叉树在数据查找、插入和删除等操作中有着较高的效率。
排序二叉树的遍历方式主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是指先访问根节点，然后依次遍历左子树和右子树；中序遍历是指先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树；后序遍历是指先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
排序二叉树的应用实例非常广泛，其中最常见的是用于实现二叉搜索树、AVL 树和红黑树等数据结构。
这些数据结构在计算机科学中具有重要的意义，被广泛应用于各种算法和程序设计中。
下面是一道排序二叉树的例题：给定一个排序二叉树，编写一个程序实现中序遍历。
对于这个问题，我们可以采用递归和迭代的方法来解决。
递归解法的基本思想是：先找到根节点，然后递归地处理左子树和右子树。
具体实现如下：```function inorderTraversal(root):if root is None:return []left = inorderTraversal(root.left)mid = root.valright = inorderTraversal(root.right)return left + [mid] + right```迭代解法的基本思想是：使用一个队列来存储待遍历的节点，每次从队列中取出一个节点，然后判断该节点是否为根节点，如果是，则将其值加入结果列表，否则将其左子树或右子树的节点加入队列。
具体实现如下：```def inorderTraversal(root):if root is None:return []queue = [root]result = []while queue:node = queue.pop(0)if node is None:continueleft = node.leftright = node.rightmid = node.valresult.append(mid)if left:queue.append(left)if right:queue.append(right)return result```以上就是一道排序二叉树例题的解决方法。
二叉树习题及答案(考试学习)
1.设一棵完全二叉树共有699个结点，则在该二叉树中的叶子结点数？1根据“二叉树的第i层至多有2^(i − 1)个结点；深度为k的二叉树至多有2^k − 1个结点（根结点的深度为1）”这个性质：因为2^9-1 < 699 < 2^10-1 ,所以这个完全二叉树的深度是10，前9层是一个满二叉树，这样的话，前九层的结点就有2^9-1=511个；而第九层的结点数是2^(9-1)=256 所以第十层的叶子结点数是699-511=188个；现在来算第九层的叶子结点个数。
由于第十层的叶子结点是从第九层延伸的，所以应该去掉第九层中还有子树的结点。
因为第十层有188个，所以应该去掉第九层中的188/2=94个；所以，第九层的叶子结点个数是256-94=162，加上第十层有188个，最后结果是350个2完全二叉树：若二叉树中最多只有最下面两层的结点的度可以小于2，并且最下面一层的结点（叶结点）都依次排列在该层最左边的位置上，这样的二叉树为完全二叉树。
比如图：完全二叉树除叶结点层外的所有结点数（叶结点层以上所有结点数）为奇数，此题中，699是奇数，叶结点层以上的所有结点数为保证是奇数，则叶结点数必是偶数，这样我们可以立即选出答案为B！如果完全二叉树的叶结点都排满了，则是满二叉树，易得满二叉树的叶结点数是其以上所有层结点数+1比如图：此题的其实是一棵满二叉树，我们根据以上性质，699+1=700，700/2=350，即叶结点数为350，叶结点层以上所有结点数为350-1=349。
3完全二叉树中，只存在度为2的结点和度为0的结点，而二叉树的性质中有一条是：n0=n2+1；n0指度为0的结点，即叶子结点，n2指度为2的结点，所以2n2+1=699 n2=349；n0=3502.在一棵二叉树上第5层的结点数最多是多少一棵二叉树，如果每个结点都是是满的，那么会满足2^(k-1)1。
所以第5层至多有2^(5-1)=16个结点！3.在深度为5的满二叉树中，叶子结点的个数为答案是16 ~ 叶子结点就是没有后件的结点~ 说白了~ 就是二叉树的最后一层~ 深度为K的二叉树~ 最多有2^k-1个结点~ 最多有2^(k-1)个结点~ 所以此题~ 最多有2^5-1=31个结点~ 最多有2^(5-1)=16个叶子结点~4.某二叉树中度为2的结点有18个，则该二叉树中有几个叶子结点？结点的度是指树中每个结点具有的子树个数或者说是后继结点数。
各类型二叉树例题说明
各类型二叉树例题说明5.1树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树1页满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.1树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树1页满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
4.二叉树的存储结构：(1）顺序存储方式type node=recorddata:datatypel,r:integer;end;vartr:array[1..n] of node;(2)链表存储方式，如：type btree=^node；node=recorddata:datatye;lchild,rchild:btree;end;2页5.普通树转换成二叉树：凡是兄弟就用线连起来，然后去掉父亲到儿子的连线，只留下父母到其第一个子女的连线。
6.二叉树的遍历运算（递归定义）(1)先序遍历（根左右）访问根；按先序遍历左子树；按先序遍历右子树(2)中序遍历（左根右）按中序遍历左子树；访问根；按中序遍历右子树(3)后序遍历（左右根）按后序遍历左子树；按后序遍历右子树；访问根例1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。
program erchashu1;var b:array[1..31] of char;e:array[1..63] of byte;n,h,i,k:integer;procedure tree(t:integer);beginif e[t]=0 then exitelsebeginwrite(b[t]);e[t]:=0;t:=2*t;tree(t);t:=t+1;tree(t);end;end;beginrepeatwrite('n=');readln(n);until (n>0) and (n<6);fillchar(e,sizeof(e),0);k:=trunc(exp(n*ln(2)))-1;for i:=1 to k do e[i]:=1;for i:=1 to 26 do b[i]:=chr(64+i);for i:=1 to 5 do b[26+i]:=chr(48+i);h:=1 ;tree(h);writeln;end.例2.用顺序存储方式建立一棵如图所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
3页program tree1;const n=15;type node=recorddata:char;l,r:0..n;end;vartr:array[1..n] of node;e:array[1..n] of 0..1;i,j:integer;procedure jtr;var i:integer;beginfor i:=1 to n dowith tr[i] doreadln(data,l,r);end;procedure search(m:integer);beginwith tr[m] dobeginwrite(data);if l<>0 then search(l);if r<>0 then search(r);end;end;beginjtr;search(1);writeln;end.例3 用链表存储方式生成上述二叉树，中序遍历之。
1.将上述二叉树用广义表表示为A(B(D,E(G)),C(F(,H)))2.根据广义表串（以#结束）生成二叉树。
program ltree;const n=8;type trlist=^node;4页node=recordda:char;l,r:trlist;end;var s:array[1..n] of trlist;p,root:trlist;ch:char;top,k:integer;procedure creat(varhead:trlist);beginread(ch);top:=0;while ch<>'#' dobegincase ch of'A'..'Z':begin new(p);p^.da:=ch;p^.l:=nil;p^.r:=nil; if top<>0 thencase k of1:s[top]^.l:=p;2:s[top]^.r:=p;endend;'(':begin top:=top+1;s[top]:=p;k:=1;end;')': top:=top-1;',': k:=2;end;read(ch);end;head:=s[1];end;procedure inorder(head:trlist);beginif head^.l<>nil then inorder(head^.l);write(head^.da);if head^.r<>nil then inorder(head^.r);end;beginwrite('Input tree string:');creat(root);inorder(root);end.5页5.3 二叉树的应用1. 哈夫曼树与哈夫曼码树的路径长度：一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。
带权二叉树：给树的叶结点赋上某个实数值（称叶结点的权）。
带权路径长度：各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。
哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度最小的二叉树。
如何构建哈夫树：（思想是：权越大离跟越近）program gojiantree;const n=4;m=7;type node=recordw:real;parent,lchild,rchild:0..mend;htree=array[1..m] of node;var htree1:htree;procedure gjtree(varht:htree);vari,j:integer;small1,small2:real;p1,p2:0..m;beginfor i:=1 to m dowith ht[i] dobeginw:=0;lchild:=0;rchild:=0;parent:=0;end;for i:=1 to n do read(ht[i].w);for i:=n+1 to m dobeginp1:=0;p2:=0;small1:=1000;small2:=1000;for j:=1 to i-1 doif ht[j].parent=0 thenif ht[j].w<small1 thenbegin small2:=small1;small1:=ht[j].w;p2:=p1;p1:=j endelse if ht[j].w<small2 then begin small2:=ht[j].w;p2:=j end;6页ht[p1].parent:=i;ht[p2].parent:=i;ht[i].lchild:=p1;ht[i].rchild:=p2;ht[i].w:=ht[p1].w+ht[p2].w;end;end;begingjtree(htree1);end.哈夫曼码：哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0，1 表示，从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。
哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码，广泛应用实际中。
（原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分，为什么？）2.排序二叉树排序二叉树：每一个参加排列的数据对应二叉树的一个结点，且任一结点如果有左（右）子树，则左（右）子树各结点的数据必须小（大）于该结点的数据。
中序遍历排序二叉树即得排序结果。
程序如下：program pxtree;consta:array[1..8] of integer=(10,18,3,8,12,2,7,3);type point=^nod;nod=recordw:integer;right,left:point ;end;varroot,first:point;k:boolean;i:integer;procedure hyt(d:integer;var p:point);beginif p=nil thenbeginnew(p);with p^ do begin w:=d;right:=nil;left:=nil end;if k then begin root:=p; k:=false end;endelse with p^ do if d>=w then hyt(d,right) else hyt(d,left);7页end;procedure hyt1(p:point);beginwith p^ dobeginif left<>nil then hyt1(left);write(w:4);if right<>nil then hyt1(right);endend;beginfirst:=nil;k:=true;for i:=1 to 8 do hyt(a[i],first);hyt1(root);writeln;end.3.堆排序堆：设有数据元素的集合（R1,R2,R3,...Rn)它们是一棵顺序二叉树的结点且有Ri<=R2i 和Ri<=R2i+1(或>=)堆的性质：堆的根结点上的元素是堆中的最小元素，且堆的每一条路径上的元素都是有序的。