第三章 循环群 群的结构 信息安全数学
循环群
§ 3 循环群（Cyclic Group）定义若G=<a>，则G被称为循环群.a称为G的一个生成元. Fg1 整数集Z对于普通加法是一个循环群,-1和1是生成元.Fg2 对n≥1,Z n={0,1,⋅⋅⋅,n−1}关于模n的加法是一个循环群.1和−1=n−1为生成元.Fg3 Z8=<1>=<3>=<5>=<7>Fg4 U10=1,3,7,9=<3>=<7>Fg5 U8={1,3,5,7}定理1G是一个群，a∈G.如果a=∞,则a i=a j当且仅当i=j.如果a=n,则<a>={e,a,a2,⋅⋅⋅,a n−1}和a i=a j当且仅当n|i−j.Corollary 1 a=<a>Corollary 2 a k=e implies that a divides k.Fg6 假设a=6，则<a>的结构如下图定理2 假设a是一个群阶为n的一个元和k是一个正整数, 则<a k>=<a gcd(n,k)>和 a k=n gcd(n,k).Corollary 1 在一个有限循环群中，元素的阶整除群的阶.Corollary 2 假设a=n,则<a i>=<a j>当且仅当gcd n,i=gcd(n,j)和 a i= a j当且仅当gcd n,i= gcd(n,j).Corollary 3假设a=n, 则<a>=<a j>当且仅当gcd n,j=1和a= a j当且仅当gcd n,j=1.Corollary 4 Z n中，整数k为Z n的一个生成元当且仅当gcd n,k=1.循环群的子群的分类定理 3 Fundamental Theorem of Cyclic Group循环群的每一个子群都是循环群.如果<a>=n,则<a>的任意一个子群的阶是n的一个因子.而且对n的每一个正因子k,<a>只有一个k阶子群即<a n/k>.Corollary 对于n的每一个正因子k,Z n的唯一阶k的子群为<n/k>；而且所有的<n/k>为Z n的全部子群.Fg7 Z30的全部子群为定义若ϕ1=1且当n>1时，ϕn为小于n同n互素的正整数的个数，则ϕ为Z+的一个函数.这个数学理论函数叫做Euler phi function.由U(n)的定义，我们知道U(n)=ϕ(n).ϕ(n)的前12个函数值在下表中给出定理4 如果d是n的一个因子，则一个阶为n的循环群中阶为d的元的个数为ϕ(d).Corollary 在一个有限群中，阶为d的元的个数被ϕ(d)整除.Subgroup lattice of group。
1.5循环群
例1 整数加群[Z, +],除单位元零元0外，每个元素都是 无限阶的.
例2 整数模 6 的剩余类加群 Z6, 计算每个元素的阶. 解： Z6= Z / (6) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 因为 12=2, 22=4, 32=6=0, 所以元素2的阶是3， (2)= 3. 类似可得 (0)= 1，(1)= 6， (3)= 2， (4)= 3， (5)= 6.
x M , 有x pd r,0 r d 由于 M kd k 0，
由于d 为M的最小元，故r=0．所以 r x pd H ． H k d k 0,1,... kd k 0,1,... ，
由d的最小性可得，m Z , 使md n 故 H 0, d , 2d ,...,(m 1)d d , d / n
1.5 循环群
(1.5 Cyclic Group)
1.5.1 循环群(Cyclic Group)
循环群是一种代数结构特别简单，而在群论中颇有 代表性的群。 在前面我们曾讨论了一个群G的子集S生成的子群。 特别地，当S只含有一个元素，即S= {a}时，由S生成的 子群的构造特别简单，它的任意元素都是a的乘幂，这 样的群叫循环群。 Def：若一个群 G 是由其中的某个元素 a 生成的，即 G=〈a〉 则称G为循环群，而称a是G的生成元。
0,1,.....n 1，并约定它的 (2) G [Z/(n), +] 令 Z /(n) 每一元素的表达式唯一（又因为Ｇ =〈m〉无限， k1 k 2 , mk1 mk2 从而H=〈m〉），均为 k , k n
H km k Z m
0 令M k k H \ 0 ,k n 设 H Z /(n),且H 显然 M ，是自然集的子集，设M的最小元为d,
第8节循环群
G|=6, |b|=6, 所以 b 为生 成元. G=(b)为循环群. |f |=6, 因 而 f 也是生成元 |c|=3, |d|=2, |e|=3, 因此 c,d, e不 是生成元. 子群：(a)={a}, (c)={c, e, a}, (d)={d, a}, G .
(n)称为欧拉函数：小于或等于n且与n互质的正整
数的个数. 例如 n=12，小于或等于12且与12互质的正整数有 4个： 1, 5, 7, 11，所以(12)=4.
7
近世代数
证明
证 (1) 显然(a1)G. ak∈G， ak=(a1)k (a1)， 因此G(a1)，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=(b). 由a∈G 可知存在整数 t 使得a = bt. 由b∈G = (a) 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到 a = bt = (am)t = amt 由G中的消去律得 amt1 = e 因为G是无限群，必有mt1 = 0. 从而证明了m = t = 1或 m = t = 1，即 b = a 或 b = a1.
2
近世代数
循环群的实例
例1 整数加法群(Z,+)是循环群，(1)=Z. 例2 模n同余类加群(Zn, ⊕)是循环群，([1])=Zn ，其中 [p]⊕[q]=[p+q]
3
近世代数
循环群的结构
循环群的结构：n 阶循环群和无限循环群. 设G=(a)是循环群， (1)若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 } 那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群. (2)若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称 G 为无限循环群.
《信息安全数学基础》课中的思政建设
《信息安全数学基础》课中的思政建设发布时间：2022-08-15T07:04:28.157Z 来源：《时代教育》2022年7期作者：张玉丽蔡庆军柯丽珊[导读] 信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
张玉丽蔡庆军柯丽珊广州大学数学与信息科学学院，广东广州，510006摘要：信息安全专业在高校中是一个较新的专业，距今成立仅仅二十余年。
专业课程的设置在不断调整，随着网络技术和信息技术的发展，越来越多的新课程不断加入，同时也适当地删减了一些课程。
但该专业的数学基础类课程-《信息安全数学基础》课却一直不能缺省，而且在思政方面还需要融入更多的教学内容与思想。
本文在广州大学信息安全专业开设的《信息安全数学基础课》的教学、体会基础上，讨论了该课程的思政建设，得到了一些体会。
关键词: 《信息安全数学基础》；思政建设；网络安全0引言自2000年左右我国开设信息安全本科专业至今，已有20余年。
起初开设该专业的高校仅有几家，但随着网络技术、信息技术的快速发展，以及网络安全从业人员的需求量越来越大，越来越多的高校纷纷开设了信息安全专业。
各高校一般将信息安全专业放在师资实力较强的学院，例如有的放在数学学院（广州大学就是这样设置的），有的放在计算机学院，有的放在通信学院，甚至有些高校还放在电子商务学院。
主要是根据信息安全方向硕士、博士的培养课程来进行设置相应的本科课程。
虽然各高校开设的专业课也不完全相同，但都非常注重数学理论课程的学习，不约而同开设了几乎相同的数学内容，包括初等数论、群、环、域、概率论等。
由于信息安全专业毕业后的许多毕业生去向是政府部门中的要害部门、企业中的信息管理职位，故该专业的思想政治教育尤为重要。
十八大以来，习近平总书记多次强调高校要重视课程的思政建设。
最近几年，有关信息安全专业的思政建设方面的研究论文比较多，但主要是集中在该专业总体方面的思政建设[1-4]，几乎没有讨论《信息安全数学基础》这门课地思政建设。
信息安全中的数学基础第一章
最小公倍数与最大公因子关系
定理1-8
a，b 2）
（a，b）
1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab ，特别地，如果(a，b) = 1，[a，b] = |ab|．
定理2证明
证明
1）做带余除法： d = q[a，b] + r，0r[a，b]， 由于ad，bd，那么 a[a，b]，b[a，b]， 则ar，br， r也是a，b的公倍数，
互素
定义1-7：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，
则称a，b互素．
推论1-1：a，b互素的充分必要条件是：
存在u，v，使ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
v， 使
(a，b)= ua+vb．
最大公因子定理
例6：将a = 888，b = 312的最大公因子表示为(a，b) = ua+vb 解 利用欧几里得除法求最大公因子的过程可以解出． 888 = 2312+264 312 = 1264+48 264 = 548+24 48=2 24 我们有： 264 = 8882312=a-2b 48 = 312264 = b (a-2b) = –a+3b 24 = 264548 = (a-2b)5(–a+3b) =6a17b 故(888，312) = 24 = 6888+(17)312．
（3）近世代数（第二版），韩士安，林磊著，科学出版社， 2009年
《信息安全数学基础》课程介绍
课程内容：数论，近世代数，有限域 课程目的：培养抽象思维能力和严格的逻辑推理 能力, 为学习专业基础课及专业课打好基础
信息安全数学基础环和域基础知识
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群
【完整】高一数学课件循环结构资料PPT
S←0
如果没有跑完全程，那么又会想离终点还有多远。
右图此结构中包含一个判断框，根据给定的条件P是否成立而选择执行A框或B框．无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不
可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行．
顺序结构:像上面这种跑算1法圈是依次进行多个处理的结构称为顺序结构.
S3 跑1圈，转S2；
可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行．
顺序结构是最简单、最基本的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
以万米长跑为例我们分开步始描述上述过程：
开始
楚水实验学校高二数学备课组
练习2:写出1×2×3×4×5的一个算法.
它选是择由 结若构干也个叫处条理件步结骤构起组，跑成是的指在,这算是法任中何通一过个对算条法件都的离不开的基本结构.
A
N
N
p
Y
直到型循环
先判断，后执行：
“Y”进入循 环
开始
S←0
A
Y
p
N
当型循环
S<10000
Nபைடு நூலகம்结束
S←S+400 Y
例:写出1+2+3+4+5的一个算法.
开始
累加变量
S ←1
计数变量
i←2
计数器初始值不同
S←S＋i i←i＋1
计数和累加的顺序不同
i>5
Y 输出S
结束
N
退出循环的计数值不同
先累加，后计
可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行． S3 跑1圈，转S2；
S4 结束。 S3 跑1圈，转S2；
练习2:写出1×2×3×4×5的一个算法. 如果没有跑完全程，那么又会想离终点还有多远。
2019年第循环群.ppt
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12
关于子群定理证明（续）
对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群.
n
(4) 设 d|n，则H a d 是 G 的 d 阶子群.
假若 H’=<am>也是 G 的 d 阶子群，其中 am 为最小正方 幂元.则
4
有关循环群的生成元的定理
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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16
变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
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n
a md e n | md n | m m n t a m (a d )t H
d
d
H’H, |H’|=|H|=d H’=H
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13
实例
例 1 (1) <Z12,>, 生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11 12 的正因子为 1,2,3,4,6,12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
第三章循环群群的结构信息安全数学
循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群．
证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t，
于是
gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以
n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm
到(g)的映射：对于任意 k Zm， f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ，
子群的陪集
证明 1）a，h都是G的元素，由G的封闭性，我们有
ahG． 则对于任意baG，总有bG，于是aG G． 对于任意bG，我们有
b = eb = (aa1)b = a(
b = a(a1b)aG，
G aG． 故G = aG． 2） GG aG GG
aG
子群的陪集
M的另一种表示为M = {mt | tZ}．
显然M是整数加群Z的子群
设为模m的一个剩余类，即 i{i+mt| tZ}
于是我们有
i i+M
可见 i i+M 是M的一个陪集．由Z可以按模m分成 m个剩余类，则Z可以按M分成m个陪集：
M，1+M，2+M，…，(m1)+M．
信息安全数学基础教案(禹勇)
信息安全数学基础教案（禹勇）教师教案（2009 —2010 学年第一学期）课程名称: 信息安全数学基础授课学时: 40学时授课班级: 信息安全专业，〜60班任课教师: 禹勇教师职称: 讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学信息安全数学基础教案（禹勇）第一章整除与同余授课时数：6一、教学内容及要求1. 整除的概念及欧几里得除法，理解2. 整数的表示，理解3. 最大公因数及广义欧几里得除法，掌握4. 整除的进一步性质及最小公倍式，掌握5. 素数和算术基本定理，掌握6. 同余的概念，掌握二、教学重点与难点本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面:信息安全数学基础教案(禹勇)1. 欧几里得除法和广义欧几里得除法。
2. 最大公因数和最小公倍数。
3. 整数的标准分解式。
4. 同余的概念三、内容的深化和拓宽在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。
四、教学方式(手段)及教学过程中应注意的问题1. 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT 演示的方式。
2. 讲述证明整除方面的定理的常用方法。
3. 通过举例阐述重要定理的内容和含义。
五、作业1. 证明：若2|n, 5|n, 7|n那么70|n。
2. 证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。
3. 证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。
4. 证明：任意三个连续整数的乘积都被6 整除。
5. 证明：对于任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数。
6. 证明：191，547都是素数，737，747都是合数。
7. 利用爱拉托斯筛法求出500 以内的全部素数。
8. 求如下整数对的最大公因数：(1) (55, 85) (2) (202, 282)9. 求如下整数对的最大公因数：信息安全数学基础教案(禹勇)(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)(1) 1613, 3589 (2)2947, 377211. 证明:若(a,4)=2, (b,4)=2，则(a+b,4)=41 2 .求出下列各对数的最小公倍数。
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循环群与其子群
例3.1.3 8阶循环群G的真子群． 8的所有正因子为1，2，4，8相应的子群分别 为 {e}， {e，g4}， {e，g2，g4，g6}， G 其中{e}和G是群G的平凡子群
第三章 循环群、群的结构
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3.2 剩余类群
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第三章 循环群、群的结构
第三章 循环群、群的结构
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第三章 循环群、群的结构
3.1 循环群（重要） 3.2 剩余类群（掌握） 3.3 子群的陪集（掌握） 3.4 正规子群、商群（重要）
第三章 循环群、群的结构
第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
定理3.1.3 1）循环群的子群是循环群，它或 者仅由单位元构成，或者由子群中具有最 小正指数的元素生成，即生成元为具有最 小正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
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剩余类群
例3.3.1 m = 8，r = 5的剩余类为5，18+5，28+5， 38+5，…． 这样我们将全体整数按模m分成m个剩余类： 0,1, 2, ( m 1) 这m个剩余类可分别表示为： 0 = {0，m，2m，3m，…}； 1 = {1，1m，12m，13m，…}； 2 = {2，2m，22m，23m，…}； … ( m 1) = {(m1)，(m1)m，(m1)2m，(m1)3m，…}．
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剩余类群
定理3.2.1 模m的全体剩余类集合对于剩余类加法 构成m阶循环群． 证明 封闭性和结合律显然满足．0 是单位元，i 的逆 元是 i m i
故剩余类集合是一个群．该群是一个循环群，生成元 是，注意对于加法，元素的“幂”就是元素的连加．
第三章 循环群、群的结构
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循环群简单性质
对于循环群G中两个任意元 循环群是交换群 gigj = gi+j = gj+i = gjgi， 所以循环群一定满足交换律，是交换群（Abel 群）． 在n阶循环群中，有 gn = e． 因为如果gn e，假设gn = gi (0in1)，则由消去 律得 gni = e (0nin1)， 这与n阶循环群的定义矛盾．
第三章 循环群、群的结构
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元素的阶及其性质
1）a的所有幂两两不相等，于是以a为生成元的循环群 {…，a2，a1，a0 = e，a1，a2，…}是无限循环群． 2）存在整数ij，使 ai = aj， 则 aij = e． 这表明存在正整数k = ij使 ak = e． 我们称使上式成立的最小正整数n称为元素a的阶．在第1种 情况下，这样的正整数不存在，称a是无限阶元素．
n
n (k
n (k , n)
) kl
因为
(
n
( k， n ) ( k， n )
,
k
)1
n (k , n) i
所以 故
n
是使(ak)i = e， 成立的最小正整数．证毕．
第三章 循环群、群的结构
(k , n)
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元素的阶及其性质
由定理3.1.2我们可以直接得出 推论 由元素g生成的n阶循环群G中任意元素 gk(0kn1)的阶为，当k，n互素时，gk的阶为n， 也是G的生成元． 例3.1.2 8阶循环群各个元素的阶分别为： g0：1，g：8，g2：4，g3：8， g4：2，g5：8，g6：4，g7：8． 其中共有4个生成元g，g3，g5，g7． 整数集合{0，1，2，…，n1}中与n互素的数有(n) 个（(n)—欧拉函数，以后我们还要深入讨论）， 因此n阶循环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成 元．
剩余类的概念： 根据同余的概念，我们可以将全体整数Z进行 分类：设m是正整数，把模m同余的整数归 为一类，即可表示为 a = qm+r， 0 r m，q = 0，1，2，…的 整数为一类，称为剩余类，剩余类中的每 个数都称为该类的剩余或代表，r称为该类 的最小非负剩余．
第三章 循环群、群的结构
第三章 循环群、群的结构
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元素的阶及其性质
定理3.1.1 一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是 G的子群．如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如 果a是n阶元素，则a生成n阶循环群． 证明 设a的幂集合为S． 1）a是无限阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 ai(aj)1 = aijS， 由定理2.2.2，S是G的子群． 2）a是n阶元素情形． 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，…)，有 aiaj = ai+jS， 由定理2.2.3，S是G的子群． 显然无限循环群的元素都是无限阶元素． 显然S是a生成的循环群．定理证毕． 有限循环群生成元的阶就是群的阶．
定理3.2.2的意义在于通过了解整数加群和剩余类加群， 就了解了一切无限循环群和有限循环群的构造
第三章 循环群、群的结构
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3.3 子群的陪集
引理 设G是一个群． 1）对于任意aG，集合 aG = {ah | hG}= G． 2）GG = {ah | hG，aG}= G．
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元素的阶及其性质
a是n阶元素，则序列 a0 （= e），a1，a2，…，an1 两两不相同，而且a的一切幂都包含在这个序列中。 证明：（反证法）如果 ai = aj，0 j i n1， 则aij = e，而0 ij n1，这与a是n阶元素矛盾． 对于任意整数m，am都包含在上面的序列中．m可表示为： m = qn + r，0rn， 于是 am = aqn + r = (aq)nar = ar， 因为ar在上面的序列中，则am也在上面的序列中
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剩余类群
定理3.2.2 任意无限循环群与整数加群Z同 构，任意有限n阶循环群与n阶剩余类加群 同构． 证明 设(g)任意循环群． 如果(g)是无限循环群，做整数加群Z到(g)的 映射如下：对于任意kZ，有 f(k) = gk， 这是一个一一映射，而且对于k，hZ， f(k)f(h) = gkgh = gk+h = f(k+h)． 故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构．
第三章 循环群、群的结构
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剩余类群
（证明续）如果(g)是n阶循环群，做模m剩余类加群Zm 到(g)的映射：对于任意 Zm， k f( k ) = gk， 这显然是一一映射，而且对于，h Zm ， f( k )f( h ) = gk gh = gk+h = f( k h )． 故f是Zm到(g)的同构映射，(g)与Zm同构．
第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
上页不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且 给出n的正因子q阶子群．当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n 的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶 循环子群．
第三章 循环群、群的结构
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m
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循环群简单性质
由n阶循环群中gn = e，我们可以得到：设i，j 是任意整数， 1）如果i j (mod n)，则 gi = gj． 2）gi的逆元 gi = gni． 3）是交换群 4）gn=e
第三章 循环群、群的结构
第三章 循环群、群的结构
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元素的阶及其性质
定理3.1.2 对于n阶元素a有 1）ai = e，当且仅当ni． 2）ak的阶为 n ． (k , n) 证明 n阶元素a生成n阶循环群： {a0 = e，a1，a2，…，an1}． 1）由于ni，则i 0(mod n)， 于是ai = a0= e． 反之，由 i = qn + r，0rn， 得ai = aqn+r= (an)qar = ear= ar = e， 而n是使ak = e的最小正整数，所以r = 0，故ni．
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循环群与其子群
证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，…)两两不同，H是 无限循环群． 证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n = qs+t，0ts， 则e = gn = gqs+t， 于是 gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以 n = qs， H可表示为H = {e，gs，…，g(q1)s }． 当s = n时H = {e}．
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元素的阶及其性质