高中数学选修3-1《数学史》：《周髀算经》与赵爽弦图
数学文化之赵爽弦图
赵爽弦图
中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊.”
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平明百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.
2.弦图的另一种证法（图2）
提示：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.
3.美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法（图3）
提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.。
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（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
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知识梳理
毕达哥拉斯
到了公元前540年，希腊数 学家毕达哥拉斯注意到了直角 三角形三边是3、4、5，或者是 5、12、13的时候，有这么个关 系,他想：是不是所有直角三角 形的三边都符合这个规律？反 过来，三边符合这个规律的， 是不是直角三角形？
知识梳理
他搜集了许多例子，结果都对这两 个问题作了肯定的回答。他高兴非常， 杀了一百头牛来祝贺。
注意“案”中的“弦图又可以”、 “亦成弦实”，“又”“亦”二字表示 赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法 证明，于是他给出了新的证明。
知识梳理
赵爽弦图
知识梳理
5000年前的埃及人，也知道这一定 理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用 它来测定直角。以后才渐渐推广到普遍 的情况。
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金字塔的底部，四正四方，正对准 东西南北，可见方向测得很准，四角又 是严格的直角。而要量得直角，当然可 以采用作垂直线的方法，但是如果将勾 股定理反过来，也就是说：只要三角形 的三边是3、4、5，或者符合的公式，那 么弦边对面的角一定是直角。
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《周髀算经》，卷上记载了商高答 周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定 理的特例32+42=52，后者有用勾股定理 及比例算法测太阳高远及直径的内容。
该书卷首记叙了一段精彩的对话：
昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫 善数也，请问昔者包牺立周天历度—— 夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？”
《周髀算经》和勾股定理
背景简介
中国是世界文明古国之一。数学是 中国古代科学中一门重要学科，其发展 源远流长，成就辉煌。我们都知道，中 国古代的四大发明曾经极大地推动了世 界文明的进步。同样，作为中国文化的 一个重要组成部分----中国古代数学， 也是数学发展历史长河中一支不容忽视 的源头。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《周髀算经与赵爽弦图》
视角一：面积
4S直 S大正
2ab c2 2ab a2 b2
a 2 b2 ab 2
ab ab 2
探究二
◆“赵爽弦图”不仅揭示了勾股定理这种等量关系，
由必修5可知还蕴含了不等关系。
ab a 2 b2 ab 1 1 2 2 a b 究三
◆“赵爽弦图”不仅揭示了勾股定理这种等量关系，
由必修5可知还蕴含了不等关系。
ab a 2 b2 ab 1 1 2 2 a b 2
视角三：角度 视角二：长度
BAE与a, b, c关系
a c cos b c sin a b c (sin cos ) 2c sin( ) 2c 4 [0, ] 4
长 度 视 角
面 积 视 角
角 度 视 角
特殊到一般
视角二：长度 视角一：面积
| EF || EH |
c h c2 2 ab 2 ab ch
2 ab a 2 b2 1 1 1 1 2 2 a b a 2 b2
2
F
c h 2a 2b 2 2 2 ab 2 h 2 2 2 1 1 a b 2 2 ab ch a b
周髀算经与赵爽弦图
简介
◆中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出贡献。 ◆中国流传至今最早一部与数学有关著作是《周髀》，大约成书于公元前1世纪。
◆唐朝李淳风等把它作为数学课本《算经十书》的第一种，并称为《周髀算经》。
思考：大家知道《周髀算经》中研究的最重要的数学问题是什么吗？
赵爽与《周髀算经》
赵爽是中国历史上著名的数学家与天文学家.他在数学上的主要贡献是为《周髀算经》写了序言，并作了详细的注释.他对《周髀算经》的研究包括三个方面：一是为书中文字作注解；二是进行较详细的数学理论推演；三是为其补图.他在序中说：“其（《周髀算经》）旨约而远，其言曲而中，将恐废替濡滞不通，使谈天者无所取则，辄依经为图，诚冀颓毁重仞之墙，披露堂室之奥.”现传《周牌算经》中的图形均为赵爽所补.《周牌算经》是中国古老的天文学和数学著作.就其数学内容看，主要有三方面：其一，相当复杂的分数乘除运算，在开方运算中有六位有效数字的答数；其二，用勾股定理计算距离；其三，测量太阳的高度.赵爽为《周髀算经》作注释时，作过“勾股圆方图”“日高图”“七衡图”以及各种“弦图”，还用黄、朱、青三种颜色来标记图形中的不同部位.从现传本赵爽注中可以看到，他在插图上确实下过大功夫.现用现代数学语言对“勾股圆方图”“日高图”注作出解释.为归类方便，改变了某些命题的前后次序.一、勾股圆方图注中的命题第一组命题1：“勾、股各自乘，并之为弦实.”记直角三角形勾、股、弦分别为a、b、c.（如图1）图1图2该命题是说，a2+b2=c2.推论：“开方除之，即弦.”该推论可表示为：a2+b2=c.证明：“按弦图一又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘，为中黄实.加差实一，亦成弦实.”《周牌算经》赵爽注中弦图一以勾、股作为长方形的两条边，其面积是朱色直角三角形的2倍.以勾、股的差为边作中间的黄色正方形，其面积加上4个朱色三角形的面积，即为以弦为边的正方形的面积.（如图2）《周牌算经》赵爽注中弦图二第二组命题2：“以差实减弦实，半其余，以差为从法.开方除之，复得勾矣.”命题3：“加差于勾，即股.”该命题可表示为：已知c，b-a，求a，b.赵爽认为所求a就是二次方程x2+(b-a)x=c2-(b-a)22的根.命题4：“倍股在两边，为从法.开矩勾之角，即股弦差.”命题5：“加股为弦.”该命题可表示为：已知a、b，求c-b、c.赵爽认为所数学史话61求c -b 是二次方程x 2+2bx =a 2的根，而c =b +(c -b ).命题6：“倍勾在两边，为从法.开矩股之角，即勾弦差.”命题7：“加勾为弦.”这是命题4、5的对偶命题.第三组命题8：“凡并勾、股之实，即成弦实.或方于内，或矩于外.形诡而量均，体殊而数齐.”这是说，以弦为边的正方形的面积是以勾、股为边的正方形面积之和.在以弦为边的正方形内截去以股（或勾）为边的正方形，余下的曲尺形面积等于以股（或勾）为边的正方形的面积.（《周牌算经》赵爽注中弦图二）二者的形状不同，然而它们的面积却是相等的.命题9：“勾实之矩以股弦差为广，股弦并为表，而股实方其里.减矩勾之实于弦实.开其余，即股.”该命题可表示为：已知c 、c +b 、c -b ，求b .可求得b =c 2-(c +b )(c -b ).（如图3）图3命题10：“以差除勾实，得股弦并.”命题11：“以并除勾实，亦得股弦差.”借助于命题9，该命题可表示为：已知a 、c -b ，求c +b ；或已知a 、c +b ，求c -b .”可得b +c =a 2c -b ,c -b =a 2c +b.命题12：“令并自乘，与勾实为实.倍并为法，所得亦弦.”命题13：“勾实减并自乘，如法为股.”这是说，b =(c +b )2-a 22(c +b ).由命题9可知两个正方形的面积（c +b ）2与a 2之差是以c +b 与2b 为边的长方形的面积之和.第四组命题14：“股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里.减矩股之实于弦实.开其余，即勾.”（《周牌算经》赵爽注中弦图三）《周牌算经》赵爽注中弦图三《周牌算经》赵爽注中弦图四命题15：“以差除股实，得勾弦并.”命题16：“以并除股实，亦得勾弦差.”命题17：“令并自乘，与股实为实.倍并为法，所得亦弦.”命题18：“股实减并自乘，如法为勾.”命题14～18依次为命题9～13的对偶命题.第五组命题19：“两差相乘，倍而开之.所得.以股弦差增之.为勾.”（《周牌算经》赵爽注中弦图四）命题20：“以勾弦差增之，为股.”命题21：“两差增之，为弦.”该命题可表示为：已知c -a ，c -b ，求a ，b ，c .赵爽提供了算术解法，即a =2(c -a )(c -b )+c -b ，而b =2(c -a )(c -b )+c -a ，则c =2(c -a )(c -b )+c -a +(c -b ).第六组命题22：“令并自乘，倍弦实乃减之.开其余，得中黄方.”命题23：“黄方之面，即勾股差.”命题24：“以差减并，而半之，为勾.”命题25：“加差于并，而半之，为股.”该命题可表示为：已知c ，a+b ，求a ，b.赵爽提供了算术解法：(b -a )22a 2，b -a =2c 2-(a +b )2；a =，b .证明：“以图考之，倍弦实满外大方而多黄实.黄实之多，即勾股差实.以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”赵爽用出入相补原理证明倍弦实、外大方与黄实之间的面积关系.（如图4）图4数学史话62第七组命题26：“其倍弦为广袤合.令勾股见者自乘为其实.四实以减之.开其余，所得为差.”命题27：“以差减合.半其余，为广.”命题28：“减广于倍弦，即所求也.”该命题可表示为：已知长方形的长、宽之和是2c ，面积是a ，求它的长、宽.赵爽指出，长宽差=，而所求宽=，长=2c -宽=.如果把所求长、宽视为二次方程的两根x 1，x 2，那么赵爽的命题相当于：已知x 1+x 2=2c ，x 1x 2=a 2，所求数为二次方程x 2-2cx +a 2=0的两根，而且根与系数的关系类似于韦达定理.清代学者戴震在微波榭本《九章算术》勾股章订讹补图工作中用图证明赵爽的第七组命题.大意是说，以弦、股的和c +b 为长，弦、股的差为宽作长方形（倍弦图）.长方形的长、宽的和是2c （倍弦），面积为a 2（勾自乘为实）.以“倍弦”为边的正方形面积减去四个“实”，开方得“倍股”.赵爽视其为长方形长与宽的差：c -b -（c -b ），于是长方形的宽为(2c -2b )2=c -b ，而其长是2c -（c -b ）=c +b .倍弦图日高图二、日高图注中的命题刘徽在《九章算术》注原序中说：“立两表（日高图中的IS 、GT ）于洛阳之城，令高八尺.南北各尽平地.同日度其正中之景（SD 1，SD 2）.”在序中确立了两个公式，但未作出证明.公式1：“以影差为法，表高乘表间为实，实如法而一.所得加表高，即日去地也（RK ）.”即为PK =IS ×ST TD 2-SD 1+IS .公式2：“以南表之影乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也（RS ）.”即为RS =SD 1×ST TD 2-TD 1+IS .赵爽在日高图注中用出入相补原理提出并证明刘徽公式1.命题1：“黄甲与黄乙其实相等.”这是说，平行四边形IT 全等于平行四边形OE .由平行四边形KD 2及对角线KD 2可得以公共顶点G 的平行四边形JT 全等于平行四边形NE .又由平行四边形KD 1及对角线KD 1可得以公共顶点I 的平行四边形JS 全等于平行四边形LU .又作IU =SD 1=GQ ，平行四边形N Q （青己）全等于平行四边形LU 全等于平行四边形JS （青丙）.做一次减法得平行四边形IT （黄甲）全等于平行四边形OE （黄乙）.命题2：“以表高（IS ）乘两表相去（ST ）为黄甲之实，以影差（TD 2-SD 1）为黄乙之广而一，所得则变得黄乙之袤（PE ）.”综合命题1、2得刘徽公式1.由命题1可计算出两个长方形的边长，推出“日去表顶”的距离.命题3：“按日高图加表高（得日去地）.”证明：“青丙与青己其实亦等.黄甲与青丙相连，黄乙与青己相连，其实亦等.”但是从现存文献看，《周牌算经》赵爽注和《九章算术》刘徽注所用数学用语非常一致，其有关证明方法也十分类似，由此可知，这些算术知识为汉魏时期数学家们的共同见识.赵爽在数学上的贡献表现在三大方面：一是列出了一元一次方程的一个求根公式，以及由此证明了根与系数之间存在的关系；二是奠定了重差术的理论基础；三是提出了一种证明勾股定理的简洁方法.由此可见，无论是在演算方法还是数学思想方面，赵爽对中国传统数学的发展都作出了重要贡献，在世界数学领域具有崇高地位.——摘自《中国数学史大系·第三卷》数学史话63。
《周髀算经》与赵爽弦图
《周髀算经》与赵爽弦图【教学目标】1．掌握《周髀算经》的内容。
2．熟练运用赵爽弦图解决具体问题。
3．亲历《周髀算经》的探索过程，体验分析归纳得出赵爽弦图证明勾股定理的过程，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握《周髀算经》的内容和赵爽弦图。
难点：赵爽弦图证明勾股定理的过程的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习《周髀算经》的主要内容，这节课的主要内容有赵爽弦图证明勾股定理的过程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解《周髀算经》的内容，形成初步感知。
就是弦的平方定理的证明利用了一个弦图，“弦图”就是以弦为边的正方形，如图3-2，考虑一个分别以三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形ADE ，其面积为22a b +。
如果将此合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形的弦为边的正方形，其面积为2c 。
这就证明了2c =22a b +。
据此，已知直角三角形的两条边可以求得第三边它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：《周髀》作为的第一种_____，也被称为《周髀算经》。
解析：《算经十书》根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：《周髀算经》是一部主张_____的天文学著作。
解：盖天说三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了《周髀算经》的主要内容以及赵爽弦图证明勾股定理的过程。
（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．我国流传至今最早的一部与数学有关的著作是_____。
2．唐太宗元年656年编定了一套算术书用作国家最高学府的算学教科书。
【高中数学数学文化鉴赏与学习】 专题2 赵爽弦图 (以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练)原卷版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题2 赵爽弦图（以赵爽弦图为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．420B．1020C．1180D．15602．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA=，若13AB=DF的长为（）A．2B3C．3D．43．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC的面积为（ ）A ．94B 93C ．134D 133 4．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设3DF AF =，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )A ．79B ．34C ．56D ．375．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD 的边长为2，ADH α∠=，则小正方形EFGH 的面积为（ ）A ．1sin 2α-B ．1cos2α-C ．44cos2α-D ．44sin 2α-6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．2425B ．2324C 3D ．147．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 8．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，310BD =D 、E 两点间的距离为145 ）A 3B 22C ．1D ．29．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AF =（ ）A ．3455a b +B ．4355a b +C ．1233a b +D ．2133a b + 10．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（ ）A ．625B ．625-C ．825D ．825- 11．赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理222+=a b c ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角α，另一对直角三角形含有锐角β（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）A ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-B ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+D ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 12．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种A ．120B ．240C ．300D ．360 13．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设3DF AF =，若向三角形ABC 内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（ ）A．79B．34C．56D．3714．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域1和区域3颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则()P B A=（）A．27B．12C．23D．3415．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BE EFλ=，16122525BF BC BA=+，则实数λ=（）A．2B．3C．4D．516．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．360种C ．420种D ．540种 17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA m =，DC n =，23AF AE =，则DE =（ ）A ．641313m n +B ．461313m n +C ．691313m n +D ．961313m n + 18．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，310BD =，D ，E 两点间的距离145 ）A3B22C．1D219．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若2BE EF=，则EF=（）A．311313BC BA+B．321313BC BA+C．231313BC BA+D．121313BC BA+20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC，若ABC6AF DE⋅的最小值为（）A．0B．1-C63D．323-二、填空题21．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin5BAC∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．22．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若5E为线段BF的中点，则AF BC⋅=______．23．国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ=．24．如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”.25，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为___________.25．赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则34tan πα⎛-⎫ ⎪⎝⎭的值为______________.26．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设20DF AF +=，若AD AB AC λμ=+，则可以推出λμ-=_________．27．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，且DF kAF =，能推出130139λμ+=，则正实数k 的值为____________．28．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC ，若ABC 的边长为27AF FD =，则DEF 的面积为_______.29．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，若1225S S =，则tan ABE ∠=___________.30．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.。
一《周髀算经》与赵爽弦图
卷下第31题：“今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
卷下第26题：“今有物，不知其数。三三 数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之， 剩二。问：物几何?”
思考：
谢谢！
（2）赵爽弦图
赵爽，字君卿，为《周 髀算经》撰写了序言， 并逐字逐句为其作了注 释。 他的工作主要包括三个 方面的内容：一为文字 解释；二为较详细地数 学理论推演；三是补图。 他是中算史上最早给出 勾股定理证明的数学家。
勾股圆方图
“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二， 倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为 中黄实。加差实，亦成弦实。”
以直角边a,b为边长，得到正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的那个 小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为 ；中间的小
正方形边长为 ，则面为
。
二、《九章算术》
是《算经十书》中最重要的 一部，成于公元一世纪左右。 其作者已不可考。一般认为 它是经历代各家的增补修订， 而逐渐成为现今定本的，成 书最迟在东汉前期，现今流 传的大多是在三国时期魏元 帝景元四年（263年），刘 徽为《九章》所作的注本。
共计
题数 术数
主要内容
38
21 各种面积计算式、分数运算问题
46
33 各种比例问题
20
22 比例配分问题
24
16 开平方、开立方等计算问题
28
24 体积的计算问题
28
28 运输、纳税有关的加权比例等问题
20Байду номын сангаас
17 盈亏问题的解法与比例问题
18
19 线性方程组的应用问题
24
22 勾股定理及其应用问题
246
译文： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断， 其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远，问原处还有多高 的竹子?
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《周髀算经》
勾股定理的普遍 形式
求邪至日者，以日下 为勾，日高为股，勾 股各自乘，并而开方 除之，得邪至日.
陈子测日法
相似形方法
《周髀算经》(西汉, 约公元前100年)
髀算经》里这样记载： 商高，陈子等利用立竿 （即周髀）测定日影，再 用勾股法推算日高的方法.
导入新课
从公元前3世纪到公元8世纪，希腊数 学正走向衰弱，而我国的数学却兴旺发达. 隋朝建立国子监（掌管教育部门），到了 唐朝设立了算学馆，设有算学博士和助教， 共招生30人，并由太史李淳风等奉命编纂 注释《算经十书》.到了宋元明清还出现许 多古算瑰宝，形成古代传统数学精华宝库.
《算经十书》
《周髀算经》、《九章算术》、 《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹 算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算 经》、《五经算术》、《缉古算经》、 《缀术》
课堂习题
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高h=3米，消防队员取来6.5米 长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离 x=2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？
A
C
B
课堂答案
6.52 = 42.25
2.52 = 6.25
32 = 9
6.52 2.52 + 32
现在我们由勾股定理很容易就能判断出 消防员的梯子够长，能进入三楼灭火.
“飞鸟之影未尝动也”“镞矢之疾而有 不行不止之时”“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”等都蕴含了朴素的极限思想. （《庄子·天下篇》）
流传至今最早的一部与数学有关的著作 是《周髀》，它是一部主张盖天说的天文 学著作，大约成书于公元前1世纪.唐朝的李 淳风等在选定数学课本时，将它作为《算 经十书》的第一部.并将其称为“周髀算 经”.
我国古人很早以前就开始使用 “规”和“矩”，而且在甲骨文中 就已经出现了这两个字.
我国古代从丰富的实践经验中 发现问题，创造了具有中国特色的 几何学，既有实际成果又有系统理 论.
先秦著作中的数学概念
“中，同长也”—关于“对称中心”的定 义 “圜，一中同长也”—关于“圆”的定义
“端，体之无厚而最前者也”—关于 “端点”的定义（《墨子》）
ICM2002
ICM2002会标
赵爽：弦图
这个会标又象 征中国传统的风车 图案，是古老的中 古国欢迎来 自世界五大洲的朋 友.
课堂小结
赵爽称为中算史上最早给出勾股定理理论证 明的数学家.
“赵爽弦图”表现出的中国古代数学的独具 特色以及中国古代的聪明才智和独具匠心.
中国古代数学瑰宝
中华文明源远流长，发展进程波澜壮 阔，在世界的古老文明中，古埃及、古巴 比伦文化早已湮没在历史长河之中；古印 度文明屡受摧残而损失殆尽，希腊和罗马 也早已失去了往日的荣耀和辉煌.惟有中 华文明薪火相传，五千多年虽有起伏跌宕， 但却连绵不绝，从未中断.
图是一幅汉帛画的局部，画上 是“伏羲执矩，女娲执规”图.
教学重难点
重点
《周髀算经》的数学内容，赵爽弦图.
难点
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的 钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的 骄傲.
内容介绍
赵爽
赵爽弦图
《周髀算经》是中国最早的天文学 著作，成书年代不晚于公元前1世纪， 与数学有关的内容：学习数学的方法、 用勾股定理测量、计算高深远、近似分 数计算等.在这部著作中有相当繁难的数 字计算和勾股定理的应用.
赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二
次方程 x2 + ax = A(其中a>0,A>0)的求根公
式.
在《日高图注》中利用几何图形面积关 系，给出了“重差术”的证明.（汉代天文 学家测量太阳高、远的方法称为重差术）.
ICM2002会徽
鉴于“赵爽弦图”所表现出的中国古 代数学的独具特色以及中国古代的聪明才 智和独具匠心，2002年在中国北京召开的 世界数学家大会（ICM）采用此图作为大 会的会标.
如果说大禹治水 因年代久远而无法确 切考证的话，那么周 公与商高的对话则可 以确定在公元前1100 年左右的西周时期， 比毕达哥拉斯要早了 五百多年.
赵爽弦图
系此无使除定望水 路
生勾漫注滔高山决禹 史
也股溺东天下川流治 。 之之海之之之江洪
后 记 十
所患，灾势形河 二
，
，，， 注
传说最早在大禹治水时就用到勾股定理了.
中国古代把直角三角形的两条直角边分 别称为“勾”和“股”，斜边称为“弦”.
“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除 之即弦.”（“弦实”就是弦的平方）
——赵爽
“赵爽弦图”证法的基 本思想：图形经过割补后， 面积不变.这就是中国古代 数学中重要的面积“出入相 补”原理.是我国古代数学 的特色之一.
印度数学婆什迦罗（1114—1185）曾用 类似的方法证明了勾股定理，但比赵爽晚了 大约900年.
勾股定理的建立
“勾股定理”是几何学宝库一大稀世之珍， 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比 毕达哥拉斯早得多.
赵爽对《周髀算经》所撰成“勾股圆方图” 说，简练、严密、明确地给出了勾股定理的理 论证明，赵爽称为中算史最早给出勾股定理理 论证明的数学家.
《周髀算经》之周公问数
周公问：“我听说您对数学非常精通，我 想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法 用尺子去一段一段丈量， 那么怎样才能得到关 于天地的数据呢？” 商高回答：“数的产生来 源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理： 当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’ 等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候， 那 么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹 在治水的时候就总结出来的呵.”
日晷（如右图）就是 利用勾股定理来测算时间 的.
一、《周髀算经》与赵爽弦图
《周髀算经》 原名《周 髀》.“周”指 周代，“髀” 原意是大腿骨 或股骨，这里 指竖立着的标 杆.
赵爽：三国时期 东吴的数学家.曾注 《周髀算经》，他所 作的《周髀算经注》 中有一篇《勾股圆方 图注》全文五百余字， 并附有数幅插图
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的天文学著作《周髀 算经》的学术价值；
熟悉我国古代数学家赵爽的杰出贡 献；
了解中国古代用勾股弦图证明勾股 定理.
过程与方法
通过《周髀算经》到赵爽发现“赵爽弦 图”，了解中国勾股定理发现过程.
情感态度与价值观
《周髀算经》是中国最早的天文学著作； 赵爽是我国最先明确地证明勾股定理的人.