浙江省东阳中学2018-2019高二下学期期中考试数学试卷附答案
浙江省东阳中学2018-2019高二下学期期中考试
数学
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知集合{|}A x y lgx ==,2{|4}B x y x ==-,则A B = ( ) A ．[0,2] B ．[-2,0] C ．(0,2] D ．[-2,0)
2．设m ,n R ∈,则“m n <”是“1
()12
m n ->”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知函数()f x 是偶函数，定义域为R ,单调增区间为[0,)+∞,且(1)0f =,则不等式
()1(1)0x f x --≤的解集为 ( )
A ．[2,0]-
B ．[1,1]-
C ．(,0][1,2]-∞
D. (,1][0,1]-∞- 4．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为111
,,643
,且三人录取结果相互之间
没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为 ( ) A ．3172 B ．
7
12
C ．2572
D ．1572
5．ABC ∆中，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-.其中a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，则A =
( )
A ．6π
B ．3π
C ．23
π
D ．56π
6．设a R ∈,若292()x x +与92()a
x x
+的二项展开式中的常数项相等，则a = ( )
A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2-
7．已知1
04
a <<,随机变量ξ的分布列如下：
ξ 1- 0 1 P
34 1
4
a - a 当a 增大时， ( )
A ．()E ξ增大，()D ξ增大
B ．()E ξ减小，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小 D ．()
E ξ减小，()D ξ减小
8．关于x 的不等式2
3344
a x x
b ≤
-+≤解集为[,]a b ,则a b -= ( ) A ．1- B ．2- C ．3- D. 4-
9．已知函数()|1|||f x x x a =-+-,1a >,若()4f x >的解集为()(),04,-∞+∞,则a 的值
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知不等式42(,,4)x
e x ax b a b R a -+≥+∈≠-对任意的实数x 恒成立，则
3
+4
b a -的最大值为 ( )
A ．ln 2-
B ．0
C ．2ln2-
D ．1
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．已知多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++,则0a = ;1a = ．
12．设x ,y 满足约束条件210201x y x y x -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
,则23z x y =+的最大值为 ;满足条件的x ,y 构成的平面区
域的面积是 ． 13．当0x >时，1x x +
的最小值为 ;当1x >-时，(0)1
t x t x +>+的最小值为3,则实数t 的值为 .
14．已知函数1(),0
()22(1),0x
x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
,(2)f = ;若方程3()2f x x a =+有且只有一个实根，求实数
a 的取值范围 .
15．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1
f x f x '+>,(0)4f =,则不等式3
()1x f x e
>
+（e 为自然对数的底数）的解集为 . 16．工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的的五个位置的螺栓.若
按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方
式的种数是 .
（第16题图） 17．已知函数2
1()(1)ln ln a f x a x x x x
-=-+
-恰有三个零点123,,,x x x 且1230,x x x <<< 记=ln +(1,2,3)i i i M x x a i =,则2
123M M M = .
三．解答题:本大题5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a R π
=--+∈,且()03
f π
=．
（1）求a 的值;
（2）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值．
19． 已知平面多边形PABCD 中，PA PD =,224AD DC BC ===,//AD BC ,AP PD ⊥,AD DC ⊥,E 为PD 的
中点,现将APD ∆沿AD 折起,使22PC = （1）证明：//CE 平面ABP ;
（2）求直线AE 与平面
ABP 所成角的正弦值．
（第19题图）
20．已知函数1
()(0)1
kx f x ln
k x -=>-． （1）求函数()f x 的定义域;
（2）若函数()f x 在区间[2,)+∞上是减函数,求实数k 的取值范围．
21. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ,2F ,C 过点3(1,)2
M -,离心率1
2e =．
（1）求椭圆C 的方程;
（2）若PQ 为椭圆C 过1F 的弦，R 为2PF 的中点，O 为坐标原点，求△12RF F ,△1
OFQ 面积之和的最大值．
（第21题图）
22．已知a R ∈,函数2
()f x alnx x
=
+,(0,6)x ∈． （1）讨论()f x 的单调性;
（2）若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点1(P x ,1()f x ,2(Q x ,212())()f x x x <处的切线互相平行，
这两条切线在y 轴上的截距分别为1b ,2b ,求12b b -的取值范围．。
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合2，3，，4，，则中的元素个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.直线的斜率是A. B. C. D. 23.“且”是“直线过点”的A. 充分条件不必要B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的最小正周期为A. B. C. D.5.已知向量，且，则实数x的值是A. B. 2 C. 8 D.6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则A. B. C. D.8.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为A. B. C. D.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为A. B. C. 1 D. 210.定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．12.若函数是偶函数，则______，值域为______．13.在等差数列中，若，则______，______．14.一个几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积为______，该该几何体的体积为______．15.过点的直线与抛物线交于A、B两点，且则此直线的方程为______．16.函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．17.若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知向量，且A，B，C分别是锐角三角形ABC三边a，b，c所对的角．Ⅰ求的大小；Ⅱ若a，c，b成等比数列，且，求c的值．19.设是公差大于零的等差数列，已知，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和．20.在四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ证明：平面PAC；Ⅱ若二面角的大小为，求AP的值．21.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为，，求直线l的倾斜角．22.设函数．求函数的最小值；设，讨论函数的单调性；斜率为k的直线与曲线交于、两点，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2，3，，4，，，则的元素个数是2个．故选：C．求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：直线变形得：，则直线斜率为．故选A将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．3.答案：A解析：解：由直线过点得：，即：，得不出且，直线过点不是且的必要条件；而且能得出，直线过点是且的充分条件．故选：A．直线过点，所以得到，下面只要验证能否得出且，且能否得出就可以了．本题考查了直线的方程、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：函数的最小正周期为，故选：B．根据了函数的周期为，计算求得结果．本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．5.答案：D解析：解：向量，且，，解得故选：D．由题意可得，解之即可．本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题．6.答案：D解析：解：等比数列中，，即有，，则新数列的公比为9，即有．故选：D．求出等比数列中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，故选：C．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sin B不为0求出cos A的值即可．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8.答案：A解析：解：在椭圆中，由，得椭圆的焦点为，，曲线是以、为焦点，实轴长为8的双曲线，故C的标准方程为：，故选：A．在椭圆中，由题设条件能够得到，曲线是以，，为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线的标准方程．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值，属于一般题．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时确定最大值12，由，解得，即，代入目标函数得，即，则，，．，，当时，取得最小值．故选B．10.答案：A解析：解：，令，则，是定义在R上的偶函数，．，则函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，又当时，，令，则与在的部分图象如下图在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，在上单调递减，则，解得：，故选：A．由题意可判断函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，令，画出与在的部分图象如下图，将在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．11.答案：解析：解：，，．故答案为：，．由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化简求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：2解析：解：根据题意，函数，是对称轴为的二次函数，若函数是偶函数，必有，即；则，即函数的值域为；故答案为：2，．根据题意，将函数的解析式变形可得，分析可得是对称轴为的二次函数，结合偶函数的性质可得a的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，注意结合二次函数的性质分析．13.答案：解析：解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，则，．故答案为：，．由已知结合等差数列的性质可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的三角函数值的求解．14.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体．如图所示：故：，．故答案为：，首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：设，由，得P为AB的中点．把A，B的坐标代入抛物线方程得，得：．所以．则过AB两点的直线方程为．即．故答案为．设出A，B两点的坐标并代入抛物线方程，由知P为AB的中点，利用点差法求出直线AB的斜率，由点斜式得方程．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用点差法求涉及弦中点的直线的斜率，是中档题．16.答案：解析：解：，令即，当，；当时，解得，或；因为函数在区间内是增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：求出，因为要求函数的增区间，所以令大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．17.答案：解析：解：由不等式对于且恒成立，可得，对于且恒成立，令，由表示两点与的斜率，根据右图可知，点代入可得t的最小值为1，点代入可得t的最大值3，则，则在上恒成立，由，，可得函数y在递减，则，即时，，可得，故答案为：．将a分离出来得，然后根据，，求出的范围，令，可得在上恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出a的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．18.答案：解：Ⅰ向量，可得即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以．Ⅱ因为a，c，b成等比数列，所以，又，所以．所以，即，所以．解析：Ⅰ通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C的大小．Ⅱ，c，b成等比数列，得到，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，等比数列的性质，三角形的解法，考查计算能力．19.答案：解：Ⅰ是公差大于零的等差数列，，．，解得，或舍，．Ⅱ是以1为首项，以3为公比的等比数列，，，．解析：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．Ⅰ由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出．Ⅱ由已知条件得，，由此能求出数列的前n项和．20.答案：Ⅰ证明：设O为AC与BD的交点，作于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，，所以，从而得，所以，即．由平面ABCD得，因为，所以平面分Ⅱ解：方法一：作于点H，连接DH．由Ⅰ知平面PAC，故D．所以平面DOH，从而得，．故是二面角的平面角，所以．在中，由，得．在中，．设，可得．解得，即分方法二：Ⅱ由Ⅰ知以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，0，，，0，．由平面ABCD，得轴，故设点．设y，为平面PDC的法向量，由，知取，得1，又平面PAC的法向量为0，，于是，．解得，即分解析：Ⅰ设O为AC与BD的交点，作于点E，证明，可得由平面ABCD得，利用线面垂直的判定定理，可得平面PAC；Ⅱ方法一：作于点H，连接DH，可得是二面角的平面角，在中，，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的大小为，可求AP的值．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．21.答案：解：由椭圆的离心率，则，，由，即，由解得：，，椭圆的方程；由题知，，直线l斜率存在，故设l：，则，整理得：，，由，得，，，，．故直线的倾斜角为或．解析：由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：，令，得．当时，；当时，，当时，分，．当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得．综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减．证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证．设，则，故在上是增函数，当时，，即．设，则，故在上是增函数，当时，，即．由知成立，得证．解析：根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是最小值；先确定函数的定义域然后求导数，讨论a在函数的定义域内解不等式和即可求得；要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证即可．本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．。
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二(下)开学数学试卷(含答案)
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知点A（1，﹣2，3），则点A关于原点的对称点坐标为（）A．（﹣1，2，3）B．（﹣1，2，﹣3）C．（2，﹣1，3）D．（﹣3，2，﹣1）3．（4分）在圆x2+y2+2x﹣4y＝0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．4．（4分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2＝0，则a＝b＝0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为05．（4分）如图，在正方形ABCD内作内切圆O，将正方形ABCD、圆O绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1，V2，则V1：V2＝（）A．2：B．2：3C．2：D．：16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n7．（4分）设a∈R，则“a＝2”是“直线l1：x+ay﹣a＝0与直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+1＝0垂直”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件8．（4分）已知函数f（x）＝x2+aln（1+x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围（）A．B．（0，2）C．D．9．（4分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8]B．C．D．（2，3]10．（4分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′上运动并且使∠MAC′＝∠P AC′，那么点P的轨迹是（）A．一段圆弧B．一段椭圆弧C．一段双曲线弧D．一段抛物线弧二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为；侧面积为．12．（6分）设函数f（x）＝xlnx，则点（1，0）处的切线方程是；函数f（x）＝xlnx 的最小值为．13．（6分）圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为，若该圆锥内有一个内接圆柱（圆柱的底面在圆锥的底面上），则圆柱体积的最大值为．14．（6分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+，则f（x）＝，单调增区间为．15．（4分）已知长方形ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，DD1⊥面ABCD，AB ＝4，AA1＝2，点E在棱C1D1上，且D1E＝3，若动点F在底面ABCD内且AF＝2，则EF的最小值为．16．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，M为AB的中点，现将△ACM沿CM 折成三棱锥P﹣CBM，当二面角P﹣CM﹣B大小为60°时，＝．17．（4分）过点P（1，1）的直线l与椭圆交于点A和B，且．点Q满足，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2＝0上．（1）求圆M的标准方程；（2）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，P A、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形P AMB面积的最小值．19．（15分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．20．（15分）已知a≥2，函数F（x）＝min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}＝．（1）若a＝2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在[﹣1，1]上的最大值．21．（15分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．（Ⅰ）求证：DE⊥AC；（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．22．（15分）已知抛物线E：y＝ax2（a＞0）内有一点P（1，3），过点P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A、C和B、D两点，且满足，．已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k．（Ⅰ）求证：点M的横坐标为定值；（Ⅱ）如果k＝2，点M的纵坐标小于3，求△P AB的面积的最大值．2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）开学数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．2．【解答】解：∵点A（1，﹣2，3），∴点A关于原点的对称点坐标为（﹣1，2，﹣3）．故选：B．3．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2＝5，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r＝，∴过（0，1）的直径斜率为＝﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是故选：B．4．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．5．【解答】解：设AC＝BD＝2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1＝2××π＝，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2＝（）3＝，故V1：V2＝：1，故选：D．6．【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能平行，也可能异面，故B错误．对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故C错误；对于D，根据线面平行的性质定理可知D正确．故选：D．7．【解答】解：当a＝0时，两条直线分别化为：x＝0，4y+1＝0，此时两条直线相互垂直；当a＝时，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠0，时，由于两条直线相互垂直，则×＝﹣1，则a＝2．综上可得：a＝0或2．∴“a＝2”是“直线l1：x+ay﹣a＝0与直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+1＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）定义域为（﹣1，+∞），又f′（x）＝2x+，令f'（x）＝0，则2x+＝0，∵函数在（﹣1，+∞）内有两个不同的实数根，∴a＝﹣2x（x+1），令y1＝a，y2＝﹣2x（x+1），如图示：∴0＜a＜．故选：C．9．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM＝PF1，PF1＝PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选：B．10．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC'，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC'；以A′点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C'（1，1，0），M（，1，1），＝（1，1，﹣1），＝（，1，0），∵cos∠MAC′＝＝＝＝设AC'与底面A'B'C'D'所成的角为θ，则cosθ＝＝＝＝＞∴θ＜∠MAC'，∴该正圆锥面和底面A'B'C′D'的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD'C的交线是双曲线弧，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【解答】解：由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，为×8×6×4＝64．侧面为等腰三角形，底边长分别为8，6；斜高分别为5，4∴侧面积为×8×5×2+×6×4×2＝40+24＝40+24故答案为64，40+24．12．【解答】解：求导函数，可得y′＝lnx+1x＝1时，y′＝1，y＝0∴曲线y＝xlnx在点x＝1处的切线方程是y＝x﹣1即x﹣y﹣1＝0．令lnx+1＝0，可得x＝，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；所以x＝时，函数取得最小值：﹣．故答案为：x﹣y﹣1＝0；﹣．13．【解答】解：∵圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，∴半圆的弧长为2π，即圆锥的底面周长为2π，设圆锥的底面径是R，则2πR＝2π，解得R＝1，∴圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积S＝πR（R+l）＝3π；作出圆锥轴截面如图所示：圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，则圆锥的高h＝，当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r时，圆柱的高x满足：，即，则x＝，故圆柱的体积V＝，得：V′＝，当r∈（0，）时，V′＞0，V随r的增大而增大；当r∈（，1）时，V′＜0，V随r的增大而减小．故当r＝时，V取最大值．故答案为：3π；．14．【解答】解：∵f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+，∴f′（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，∴f′（1）＝f′（1）﹣f（0）+1，故f（0）＝1，又f（0）＝f′（1），故f′（1）＝e，∴f（x）＝e x﹣x+x2，f′（x）＝e x﹣1+x，f″（x）＝e x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．故答案为：e x﹣x+x2，（0，+∞）．15．【解答】解：取CD的四等分点E1，使得DE1＝3，∵D1E∥DE1且D1E＝DE1，∴四边形D1EE1D为平行四边形，可得D1D∥EE1，∵DD1⊂平面D1DB，EE1⊄平面D1DB，∴EE1∥平面D1DB，∵AF＝2，∴点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．∵EE1∥DD1，D1D⊥面ABCD，∴E1E⊥面ABCD，Rt△EE1F中，可得EF＝＝．∴当E1F的长度取最小值时，EF的长度最小，此时点F为线段AE1和四分之一圆弧的交点，即E1F＝E1A﹣AF＝5﹣2＝3，此时，EF＝＝．∴EF长度的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：如图，取BC中点E，连接AE，设AE∩CM＝O，再设AC＝2，由∠C＝90°，tan A＝，可得BC＝，在Rt△MEC中，可得tan，在Rt△ECA中，求得tan，∴cot∠AEM═，则∠CME+∠AEM＝90°，有AE⊥CM．∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE为二面角P﹣CM﹣B的平面角为60°，∵AE＝，OE＝1×sin∠CME＝，∴PO＝．在△POE中，由余弦定理可得PE＝＝．∴PE2+CE2＝PC2，即PE⊥BC．则PB＝PC＝2．在Rt△ACB中，求得AB＝2，∴＝．故答案为：．17．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），由P（1，1），，，则1﹣x1＝λ（x2﹣1），m﹣x1＝﹣λ（x2﹣m），即为x1+λx2＝1+λ，x1﹣λx2＝m（1﹣λ），相乘可得x12﹣（λx2）2＝m（1﹣λ2），同理可得y12﹣（λy2）2＝n（1﹣λ2），于是可得（+）﹣λ2（+）＝（1﹣λ2）（+），即1﹣λ2＝（1﹣λ2）（+），化简可得+＝1，即3m+4n＝12，即Q的轨迹方程，可得|OQ|的最小值为＝．故答案为：．三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．【解答】解（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．（2）由题知，四边形P AMB的面积为S＝S△P AM+S△PBM＝|AM||P A|+|BM||PB|．又|AM|＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以S＝2|P A|，而，即，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为．19．【解答】证明：（1）＝+，＝+．因为BB1⊥平面ABC，所以•＝0，•＝0．又△ABC为正三角形，所以＜，＞＝π﹣＜，＞＝π﹣＝．因为•＝（+）•（+）＝•+•++•＝||•||•cos＜，＞+＝﹣1+1＝0，所以AB1⊥BC1．解：（2）由（1）知•＝||•||•cos＜，＞+＝﹣1．又||＝＝＝||，所以cos＜，＞＝＝，所以||＝2，即侧棱长为2．20．【解答】解：（1）令f（x）＝x3﹣x，g（x）＝a（x+1）＝2（x+1），令f（x）＝g（x），解得：x＝﹣1或x＝2，画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x），故F（x）＝，故F（x）在在（﹣，）递减；（2）由（1）得：a≥2时，F（x）＝，而＞2，故在[﹣1，1]上，F（x）＝f（x）＝x3﹣x，而f（x）在[﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1]递增，故F（x）的最大值是F（﹣）＝．21．【解答】解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF＝CF＝又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，所以C的坐标为C（1，1，）∴＝（0，﹣2，），＝（1，1，）∴＝（0，﹣2，）•（1，1，）＝0故DE⊥AC（Ⅱ）设平面BCE的法向量为＝（x，y，z）则，即∴令x＝1得＝（1，﹣1，）又＝（0，﹣2，）设平面DE与平面BCE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝（III）假设存在点M使得CM∥面ADE，则＝＝（2，0，﹣），∴＝（2λ，0，﹣）得M（2λ，0，）又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD所以AB⊥平面ADE因为CM∥面ADE，则即得2λ﹣1＝0∴λ＝故点M为BE的中点时CM∥面ADE．22．【解答】解：（Ⅰ）设CD的中点为点N，则由，，可推出，，这说明，且M、P、N三点共线，对A、B使用点差法，可得y A﹣y B＝a（x A﹣x B）（x A+x B），即k AB＝2a•x M，同理k CD＝2a •x N，于是x M＝x N，即MN⊥x轴，所以，x M＝x P＝1为定值；（Ⅱ）由k＝2得a＝1，设y M＝t∈（1，3），|PM|＝3﹣t，联立，得x2﹣2x+2﹣t＝0．由韦达定理可得x A+x B＝2，x A x B＝2﹣t．所以，＝．于是，．构造函数y＝（t﹣1）（3﹣t）2，其中1＜t＜3．y′＝（3﹣t）2+2（t﹣1）（t﹣3）＝（t﹣3）（3t﹣5）．令y′＝0，得．当时，y′＞0；当时，y′＜0．所以，当时，函数y＝（t﹣1）（3﹣t）2取得最大值．此时，△P AB的面积取到最大值．。
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=lg x}，B={x|y=}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.设m，n∈R，则“m＜n”是“（）m-n＞1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数f（x）是偶函数，定义域为R，单调增区间为[0，+∞），且f（1）=0，则（x-1）f（x-1）≤0的解集为（）A. B. C. D.4.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A. B. C. D.5.△ABC中，（a-b）（sin A+sin B）=（c-b）sin C．其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则A=（）A. B. C. D.6.设a∈R，若（x2+）9与（x）9的二项展开式中的常数项相等，则a=（）A. 4B.C. 2D.7.已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：A. 增大，增大B. 减小，增大C. 增大，减小D. 减小，减小8.关于x的不等式解集为[a，b]，则a-b=（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|，a＞1，若f（x）＞4的解集为（-∞，0）（4，+∞），则a的值（）A. 1B. 2C. 3D. 410.已知不等式e x-4x+2≥ax+b（a，b∈R，a≠-4）对任意的实数x恒成立，则的最大值为（）A. B. 0 C. D. 1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0=______，a1=______．12.设x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是______．13.当x＞0时，的最小值为______；当x＞-1时，＞的最小值为3，则实数t的值为______．14.已知函数f（x）=，，＞．（i）f（2）=______．（ii）若方程f（x）=x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．15.若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1的解集为______．16.工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的五个位置的螺栓．若按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是______．17.已知函数恰有三个零点x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，记M i=x i ln x i+a（i=1，2，3），则=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．19.已知平面多边形PABCD中，PA=PD，AD=2DC=2BC=4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，使PC=2．（1）证明：CE∥平面ABP；（2）求直线AE与平面ABP所成角的正弦值．20.已知函数f（x）=ln（k＞0）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，求实数k的取值范围．21.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C过点M（1，-），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q面积之和的最大值．22.已知a∈R，函数f（x）=+a ln x，x∈（0，6）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1，b，求b1-b2的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由A中的函数y=lgx，得到x＞0，即A=（0，+∞）；由B中的不等式变形得：4-x2≥0，即B=[-2，2]则A∩B=（0，2]故选：C．求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：由（）m-n＞1得m-n＜0，得m＜n，则“m＜n”是“（）m-n＞1”充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）的单调增区间为[0，+∞），且f（1）=0，则在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为偶函数，在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]上，f（x）＞0，综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）上，f（x）＞0，（x-1）f（x-1）≤0⇒或，解可得：x≤0或1≤x≤2，即不等式的解集为（-∞，0][1，2]；故选：C．根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]上，f（x）＞0，综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）上，f（x）＞0，又由（x-1）f（x-1）≤0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）的函数值的正负情况，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为：P=1-（1-）（1-）（1-）=．故选：B．他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，利用对立事件概率计算公式能求出他们三人中至少有一人被录取的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得，（a-b）（a+b）=（c-b）c，化简可得，b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得，cosA==∵0＜A＜π∴A=故选：B．由正弦定理化简可得，b2+c2-a2=bc，然后由余弦定理可得，cosA=可求A本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：（x2+）9的通项公式为T k+1=C9k（x2）9-k （）k=C9k x18-2k•2k x-k=C9k•2k x18-3k，由18-3k=0得k=6，即常数项为T6+1=C96•26=84×64，（x）9的通项公式为T r+1=C9r（x）9-r （）r=C9r x9-r•a r x-2r=C9r•a k x9-3r，由9-3r=0得r=3，即常数项为T3+1=C93•a3=84a3，∵两个二项展开式中的常数项相等，∴84a3=84×64，∴a3=64，即a=4，故选：A．根据二项式定义的通项公式求出常数项建立方程进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式求出常数项，建立方程是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：0＜a ＜，由随机变量ξ的分布列，得：E（ξ）=a-，∴当 a 增大时，E（ξ）增大；D（ξ）=（-1-a+）2×+（0-a+）2×（-a）+（1-a+）2×a=-a2+a+=-（a-）2+，∵0，∴当 a 增大时，D（ξ）增大．故选：A．由随机变量ξ的分布列，推导出E（ξ）=a-，从而当 a 增大时，E（ξ）增大；D（ξ）=-（a-）2+，由0，得到当 a 增大时，D（ξ）增大．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】D【解析】解：令f（x）=x2-3x+4，则f（x）=（x-2）2+1，∴f（x）min=f（2）=1，由题意可知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b，由f（b）=b得到b2-3b+4=b，解得b=（舍去）或b=4，由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，∴a-b=-4．故选：D．令f（x）=x2-3x+4，求出f（x）的最小值，然后根据f（x）的图象与性质求a，b的值．本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次不等式的解法与应用问题．9.【答案】C【解析】解：∵a＞1，∴f（x）=|x-1|+|x-a|=，∵f（x）＞4的解集为（-∞，0）（4，+∞），∴，∴a=3．故选：C．对f（x）去绝对值，根据f（x）＞4可得方程组，然后解方程组即可得a的值．本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．10.【答案】B【解析】解：不等式e x-4x+2≥ax+b化为e x-（a+4）x+2-b≥0，令f（x）=e x-（a+4）x+2-b，则f′（x）=e x-（a+4），若a＜-4，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；若a＞-4，由f′（x）=e x-（a+4）=0，得极小值点x=ln（a+4），由f（ln（a+4））=（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2-b≥0，得b≤（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2，则，令g（t）=1-lnt-，t=a+4＞0，则g′（t）==，则当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，∴g（t）max=g（1）=0，∴则的最大值为0．故选：B．不等式化为e x-（a+4）x+2-b≥0恒成立，构造函数f（x）=e x-（a+4）x+2-b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，属难题．11.【答案】31 75【解析】解：对于多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，可得32=1+a0，则a0=31．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，中x的系数，为•16-=75，故答案为：31；75．在所给的等式中，令x=0，可得a0的值．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，x的系数，为•16-，计算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．12.【答案】11【解析】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点C时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z=2×1+3×3=11，可行域的面积为：=故答案为：11；．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13.【答案】2 4【解析】解：根据题意，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，则的最小值为2；当x＞-1时，x+1＞0，则x+=（x+1）+-1≥2-1，当且仅当x+1=时等号成立，则x+的最小值为2-1，则有2-1=3，解可得t=4；故答案为：2，4．根据题意，第一空：由基本不等式的性质可得≥2=2，分析可得答案；第二空，分析可得x+=（x+1）+-1≥2-1，即可得x+的最小值为2-1，结合题意可得2-1=3，解可得t的值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．14.【答案】4 [，1）【解析】解：（i）f（2）=2f（1）=4f（0）=4×1=4，（ii）当0＜x≤1时，-1＜x-1≤0，f（x）=2f（x-1）=2×=，当1＜x≤2时，0＜x-1≤1，f（x）=2f（x-1）=2×=（）x-4，当2＜x≤3时，1＜x-1≤2，f（x）=2f（x-1）=2×=（）x-5=（）x-6，作出函数f（x）的图象如图，其中f（0）=1，f（1）=2f（0）=2，f（3）=2f（2）=4，f（4）=2f（3）=8，设直线g（x）=x+a，当g（x）=x+a分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，则g（0）=a=1，g（1）=+a=2，得a=，g（2）=3+a=4，得a=1，由图象知要使方程f（x）=x+a有且只有一个实根，则g（x）在A，B之间的区域，即≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故答案为：4，[，1）．（i）根据分段函数的表达式，直接代入即可（ii）求出当0＜x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3时，函数f（x）的解析式和图象，利用y=x+a的交点个数进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.【答案】{x|x＞0}【解析】解：不等式f（x ）＞+1可化为e x f（x）-e x＞3设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x =e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）-e x＞3，∴g（x）＞3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴原不等式的解集为{x|x＞0}故答案为：{x|x＞0}不等式f（x ）＞+1可化为e x f（x）-e x＞3，设g（x）=e x f（x）-e x，导数法可判g（x）的单调性，可得不等式的解集．本题考查不等式的解集，涉及函数和导数以及构造法，属中档题．16.【答案】10【解析】解：不妨先在编号为1，2，3，4，5中选1个固定螺栓，共=5种取法，不妨取编号1，由已知有再在编号为3，4中选1个，共=2种取法，再按题意操作即可，则不同的固定螺栓方式的种数是5×2=10，故答案为：10．由排列组合及简单的计数问题得：不同的固定螺栓方式的种数是=10，得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．17.【答案】1【解析】解：函数恰有三个零点x1，x2，x3，即为f（x）=0，即（1-a）xlnx+（a-1）-（xlnx）2=0，可设t=xlnx，即有t2+（a-1）t+1-a=0，由t=xlnx的导数为t′=1+lnx，可得x ＞时，t′＞0，可得函数t递增；0＜x ＜时，t′＜0，可得函数t递减；可得t有极小值，为-，函数t=xlnx的图象如图所示：t2+（a-1）t+1-a=0由两个异号实根，可得t1t2=1-a，t1+t2=1-a，可设M1=M2=t1+a，M3=t2+a，则M1M2M32=[（t1+a）（t2+a）]2=[t1t2+a2+a（t1+t2）]2=（1-a+a2+a-a2）2=1．故答案为：1．由题意可得f（x）=0，即（1-a）xlnx+（a-1）-（xlnx）2=0，可设t=xlnx，即有t2+（a-1）t+1-a=0，运用韦达定理，以及导数求得函数t的单调性和极值，画出图象可得所求值．本题考查函数和方程的转化思想，考查换元法和二次方程的韦达定理的运用，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】（1）证明：取PA中点F，连接EF，则EF为△PAD的中位线，∴EF AD，又BC AD，∴EF BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB．（2）解：取AD的中点M，连接BM，PM，∵AP=BP，∴PM⊥AD，又DM BC，AD⊥DC，CD=BC，∴四边形BCDM是正方形，∴BM⊥AD，∴∠BMP为二面角P-AD-B的平面角，设P在底面ABCD上的射影为O，∵AP⊥PD，AP=DP，AD=4，∴PD=2，又PC=2，∴PD=PC，∴O为BM的中点，∵OC==，∴OP==．设CD的中点为N，以O为原点，以OB，ON，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（-1，-2，0），B（1，0，0），P（0，0，），E（-，1，），∴=（2，2，0），=（1，2，），=（，3，），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得=（1，-1，），∴cos＜，＞===-．∴直线AE与平面ABP所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．【解析】（1）取PA中点F，连接EF，可证四边形BCEF是平行四边形，得出CE∥BF，故而CE∥平面ABP；（2）判断P在底面射影O的位置，建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量，则|cos＜＞|为直线AE与平面ABP所成角的正弦值．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，可知：＞0．即：（kx-1）（x-1）＞0．∵k＞0，∴x1=，x2=1．∴①当0＜k＜1时，x＞，或x＜1，故函数f（x）的定义域为（-∞，1）（，+∞）；②当k=1时，x＞1或x＜1，故函数f（x）的定义域为（-∞，1）（1，+∞）；③当k＞1时，x＜或x＞1，故函数f（x）的定义域为（-∞，）（1，+∞）．（2）若函数f（x）=ln在区间[2，+∞）上是减函数，则y=在区间[2+∞）上是减函数，且＞0在[2+∞）上恒成立．∴y′==≤0．即：1-k≤0，∴k≥1．又∵＞0在[2+∞）上恒成立．∴＜2，即：k＞．综上，可得：k≥1．【解析】本题第（1）题根据对数函数的定义域得到不等式＞0，然后变成同解不等式（kx-1）（x-1）＞0，然后要对k进行分类讨论得出函数f（x）的定义域；第（2）题根据复合函数增减性可得y=在区间[2+∞）上是减函数，求导法可得k的取值范围．再根据定义域判断出k的取值范围．综合可得实数k的取值范围．本题第（1）题主要考查对数函数的定义域，不等式的解法，分类讨论思想的应用；第（2）题主要考查复合函数的增减性问题以及求导法对于求参数取值范围的应用．本题属中档题．21.【答案】解：（1）由e==，设a=2t，c=t，t＞0，可得b=t，椭圆方程为+=1，代入M，可得+=1，可得t=1，则a=2，b=，c=1，可得椭圆方程为+=1；（2）由O，R分别为F1F2，PF2的中点，可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S=S△PQO，当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x=-1，此时S△PQO=×1×[-（-）]=；当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：y=k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线PQ不与x轴重合，即k≠0；联立，解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，故x1+x2=-，x1x2=，故|PQ|=|x1-x2|==，点O到直线PQ的距离d=，S=|PQ|d=6，令u=3+4k2∈（3，+∞），故S=6==∈（0，），故S的最大值为．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由O，R分别为中点，可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S=S△PQO，讨论直线PQ的斜率不存在，求得P，Q的坐标，可得△PQO的面积；PQ的斜率设为k，可得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，化简整理，结合不等式的性质，可得所求面积的最大值．本题考查的知识点是椭圆的方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，难度中档．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=-+=．∴①当a≤0时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间；…………………（1分）②当a＞0，且≥6，即＜时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞0，且＜6，即a＞时，函数f（x）在，上，f′（x）＜0，∴f（x）此时单调递减．函数f（x）在，上，f′（x）＞0，∴f（x）此时单调递增．……（3分）综上：当a时，函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞时，函数f（x）在，上单调递减；函数f（x）在，上，单调递增．（Ⅱ）∵x=2是函数f（x）的极值点，∴由（1）可知，=2，解得a=1设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+ln x1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+ln x2）=（-+）（x-x2）．∴若这两条切线互相平行，则-+=-+，化为：+=．∵=-，且0＜x1＜x2＜6．∴＜-＜，∴＜＜，∴x1∈（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x=0，则b1=+ln x1-1，b2=+ln x2-1．∴b1-b2=+ln x1-1-（+ln x2-1）=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-ln x+ln（-x），x∈，．g′（x）=8--=．∴g（x）在区间，上单调递减，……………………………………（10分）∴g（x）∈，．即b1-b2的取值范围是，．…………………………………（12分）【解析】（Ⅰ）f′（x）=-+=．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（Ⅱ）由x=2是函数f（x）的极值点，可得由（1）可知，=2，解得a=1．设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+lnx1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+lnx2）=（-+）（x-x2）．若这两条切线互相平行，可得-+=-+，化为：+=．又0＜x1＜x2＜6．可得x1∈（3，4），两条切线在y 轴上的截距：令x=0，则b1=+lnx1-1，b2=+lnx2-1．可得b1-b2=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-lnx+ln （-x），x ∈．利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
高二第二学期期中考试数学试卷含答案(word版)
2018-2019学年度第二学期期中考试试题高二数学试卷第I 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.函数y=f(x)的导函数y=()'f x 的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ( )A. B.C. D.3.曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：122='+'y x ，则曲线C 的方程为（ ）A. B. C. D. 4x 2+9y 2=14. 31()i i-的虚部是( ) A. -8 B.i 8- C.8 D.05.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =6.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ) A. (23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（ ）A. 假设a ，b ，c 至少有两个偶数B. 假设a ，b ，c 都是奇数C. 假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数D. 假设a ，b ，c 都是偶数8.若函数xax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.[]-1，0B.[]-∞1，C.[]0，3D.[]3∞，+9．已知函数()cos 1x f x x =+ , ()f x 的导函数为()'f x ， 则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2π-B ．1π-C ．πD ．2π10．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( )A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1>x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12. 若x=-2是函数f(x)= (2x +ax-1)1x e -的极值点,则f(x)的极小值为 ( )A.-1B.-23e -C.53e -D.1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.) 13．在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是 。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁U A ＝{2，4，5} 故选：C ．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 2．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 3．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意设＝x +y ，则（﹣1，2）＝x （1，1）+y （1，﹣1） ∴x +y ＝﹣1 ① x ﹣y ＝2 ②由①②知，x ＝，y ＝﹣∴＝﹣故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示．4．【分析】将复数化简整理，得z＝﹣+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．【解答】解：＝＝﹣+i∴复数在复平面内对应的点为Z（﹣，），为第二象限内的点故选：B．【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．5．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．6．【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝cos（2x+﹣）＝cos（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7．【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a＜．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想．属中档题．8．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分派方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9．【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）＝2f（x）﹣f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】解：由，得2f（x）﹣f2（x）≥0，得0≤f（x）≤2，平方得f2（x+1）＝1+2+2f（x）﹣f2（x），①∴2f（x+1）＝2+2②②﹣①得2f（x+1）﹣f2（x+1）＝2+2﹣[1+2+2f（x）﹣f2（x）]＝1﹣[2f（x）﹣f2（x）]，即2f（x+1）﹣f2（x+1）+2f（x）﹣f2（x）＝1，③设g（x）＝2f（x）﹣f2（x），则③等价为g（x+1）+g（x）＝1，即g（x+2）+g（x+1）＝g（x+1）+g（x）＝1，∴g（x+2）＝g（x），则g（0）＝g（2）＝g（4）＝…＝g（2020），g（1）＝g（3）＝g（5）＝…＝g（2021），则g（1）+g（2020）＝g（1）+g（0）＝1，∴2f（1）﹣f2（1）+2f（2020）﹣f2（2020）＝1，即2[f（1）+f（2020）]﹣[f2（1）+f2（2020）]＝1即2[f（1）+f（2020）]﹣[f（1）+f（2020）]2\+2f（1）f（2020）]＝12f（1）f（2020）＝1+[f（1）+f（2020）]2\﹣2[f（1）+f（2020）]≤2×[]2＝[f（1）+f（2020）]2，设t＝f（1）+f（2020），则不等式等价为1+t2﹣2t≤t2，整理得t2﹣4t+2≤0，得2≤t≤2+，即2≤f（1）+f（2020）≤2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．10．【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣2x，x＞0，∴f（x2）＝alnx2﹣2x2＝2alnx﹣2x2，则不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，等价为2alnx﹣2x2≤f（2x﹣1），即f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，即x2＞2x﹣1，∴等价为函数f（x）在（1，+∞）为减函数即可，函数的导数f′（x）≤0即可，∵f′（x）＝﹣2，∴由f′（x）＝﹣2≤0，即≤2，则a≤2x，在（1，+∞）上恒成立，∵2x＞2，∴a≤2，即实数a的取值范围是a≤2，故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可．【解答】解：向量||＝1，，，的夹角为，则＝||||cos＝1×＝1，||＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．12．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝，可得np＝2，np（1﹣p）＝，解得p＝．n＝8故答案为：8；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．13．【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，得解．【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，故答案为：40 32．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．14．【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝＝＝，由，取倒数得＝＝3+，得得﹣＝3，即数列{}是以公差d＝3的等差数列，首项为，则＝+3（n﹣1）＝，即a n＝，n∈N•故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键．15．【分析】令f（x）≥﹣解得x＞，若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，化为存在θ∈（0，]，不等式cos2θ+λsinθ﹣1＞成立，即sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，求g（θ）的最小值小于或等于0即可．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣2，令f（x）≥﹣，解得：x≥；若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，则存在θ∈（0，]，cos2θ+λsinθ﹣1≥成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣1≥成立，所以sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，则g（θ）＝+﹣，由θ∈（0，]，得sinθ∈（0，1]；所以λ≤0时，g（θ）在（0，]上单调递增，则g（θ）＞g（0）＝，不满足题意；0＜λ≤2时，g（θ）在（0，]上先增或减，则g（θ）＞g（0）＝﹣，令﹣≤0，解得λ≥或λ≤﹣（不合题意，舍去），所以≤λ≤2；λ＞2时，g（θ）在（0，]上单调递减，则g（θ）＞g（）＝1﹣λ+＝﹣λ，令﹣λ≤0，解得λ≥，所以＞2；综上所述，λ的取值范围是[，+∞），所以λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题．16．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，即有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a ＝2，则f（x）＝，据此结合函数解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a＝2，则f（x）＝，f（﹣2）＝2﹣1﹣2＝﹣，则g（2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝，g（）＝f（）＝﹣f（﹣）＝2﹣，则f（g（2））＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．17．【分析】依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6），然后根据数量积可以求出•的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6）∵•＝（﹣）•＝•﹣•＝4×6×﹣6（6﹣t）＝6t﹣≥﹣（t＝0时取等，此时D与C重合），∴在上投影为＝≥﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，故它的周期．（Ⅱ）∵，∴，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）…………（5分）∵∴F会入选………………（7分）（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××+××+××＝；P（X＝2）＝×+××+××＝，P（X＝3）＝××＝所以，X的分布列为：………………（15分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）通过向量的表达式，结合⊥，利用二倍角公式化简求tan x的值；（Ⅱ）化简函数f（x）＝•，且f（a）＝，列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sinα的值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）向量与，其中．．………………（4分）∴………………（7分）（Ⅱ），∴………………（9分）∵，∴，∴………………（12分）∴＝＝………………（15分）【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0，∵对于任意x∈R，都有，∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b………………（3分）又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立，∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1．∴f（x）＝x2+x．………………（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x2+x﹣|λx﹣1|，∵λ＞0，则即求方程x2+x﹣λ|x﹣|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．∵λ＞0，当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解．………………（8分）只需考虑时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题．即x2+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）2﹣4＝λ2﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3），当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解；当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在内无解；当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1•x2＝1，必有之间，取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即时，解x2∈（1，2）；若2λ﹣1＞f（2），即，x2∈[2，+∞）；………………（14分）综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点；当λ＝3或时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点；………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，f′（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，推导出e x ≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x ﹣x﹣1，证明：≥．由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）当时，，从而，令，推导出，利用累加法能证明（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1，∴函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，∴f′（0）＝1．∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e x≥x+1．①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e x，则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x﹣x﹣1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x＞0时，化为：m≤．下面证明：≥．令h（x）＝2e x﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0．h′（x）＝2e x﹣2﹣ln（x+1）﹣．h′（0）＝0．h″（x）＝2e x﹣﹣≥h″（0）＝0，∴h′（x）≥0．∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0．∴≥成立，并且是其最小值．∴m≤．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）．（Ⅲ）由（2）知：当时，，∴，令，∴，∴，累加得：∴，∴（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
2019-2020学年浙江省东阳中学2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年东阳中学2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,2,3,4}A =,{2,4,6}B =,则A B I 的元素个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个2．直线230x y ++=的斜率是 ( ) A .12- B .12C .2-D .23．“2k =且1b =-”是“直线y kx b =+过点()1,1”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4．函数π()sin(2)3f x x =+()x ∈R 的最小正周期为 ( ) A .π2B .πC .2πD .4π5. 已知向量()1,2a =r ,(),4b x =r 且a b r r∥,则实数x 的值是 ( )A .2-B .2C .8D .8-6. 已知等比数列{}n a 中,123n n a -=⨯,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为 ( ) A .31n - B .()331n - C .914n - D .()3914n -7. ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)3cos cos b c A a C -=,则cos A = ( )A .12B 3C 3D .3 8．设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A .2222143x y -=B .22221135x y -=C .2222134x y -=D .222211312x y -=9．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩……厖若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12,则2294a b +的最小值为 ( )A .1325 B .12C .1D .2 10. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的实数x ,有(2)()(1)f x f x f +=-,且当[]2,3x ∈时,2()21218f x x x -+-=,若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点,则a 的取值范围是 ( )A .20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B .30,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C .50,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D .60,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。
浙江诗阳中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题2019121901107
浙江省东阳中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ） A ．棱锥B ． 圆柱C ． 球D ． 圆锥2．"0">x 是"11"<-x 的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是（ ） A ．333cm B ．3334cmC ．3338cm D ．33cm4. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10 5．圆()4222=++y x 与圆()()91222=-+-y x 的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 6．下列命题中，假命题的个数为（ ）①对所有正数p p <； ②若方程220()R x x a a ++=∈有实数解，则2a ≤；③存在实数x ，使得111x -+≤≤且24x >； ④33≥. A.1 B.2 C.3 D.47．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）1 A．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B．,,m n m nαα⊥⊥若则‖C．,,m n m nαα若则‖‖‖ D．,,m mαβαβ若则‖‖‖8. 设双曲线C：22221x ya b-=（0b a>>）的左、右焦点分别为1F，2F．若在双曲线的右支上存在一点P，使得213PFPF=，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A.(]2,1 B.(]2,2 C.()2,2 D.()2,19. 已知正方体1111DCBAABCD-，过顶点1A作平面α，使得直线AC和1BC与平面α所成的角都为30︒，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个 D．1个10.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，点P在平面111A B C内运动，使得二面角P AB C--的平面角与二面角P BC A--的平面角互余，则点P的轨迹是（）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．抛物线yx42-=的焦点坐标是，准线方程是．12. 棱长为1的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 . 13．双曲线221169x y-=的离心率为，渐近线方程为．14．从直线2:-=xyl上一点P向圆22C:240x y x y++-=引切线，则圆C的半径长为，切线长的最小值为．15. 已知命题p：方程02)1(22=-+-+mxmx的两个实根一个小于1-，另一个大于1，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是．16．如图，在三棱锥BCDA-中，ADACAB,,两两互相垂直，4===ADACAB，点P，Q分别在侧面ABC，棱AD上运动，A'B'C'ECBD A 2=PQ ，M 为线段PQ 中点，当Q P ,运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于 .17. 设直线l 与椭圆181622=+y x 相交于,A B 两点，与圆())0(1222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本题满分14分）如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为侧棱'CC 的中点.（1）求证：//CD 平面EB A '；（2）求直线E B '与平面C C AA ''所成角的正弦值.19. （本题满分15分）已知命题p ：“曲线182:2221=++m y m x C ()R m ∈表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线2C ：1122=--+-t m y t m x (,)R R m t ∈∈表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．如图，已知抛物线方程为x y 42=．直线l 与抛物线相交D C ,两点.（1）若直线l 的倾斜角为︒60，且过抛物线的焦点F ，O 为原点，求OCD ∆的面积； （2）若4-=⋅OD OC ，求证：直线l 必过定点，并求出定点坐标.21. （本题满分15分）在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，二面角1A BC B --的平面角为60，11BB CC =.（1）求证：1A A BC ⊥；（2）求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.(第19题图)已知直线:l y kx m=+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（1）求k 与m 的关系式；（2）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.东阳中学2019年下学期期中考试高二数学卷参考答案一、选择题(4×10=40分)二、填空题（11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分）11．()1,0-，1=y ； 12．21，π3； 13．45, x y 43±=； 14．5，230；15．0≤m 或1≥m 16．ππ-64； 17．()7,1三. 解答题(74分) 18.（1）略 （2）51519.（1）24-<<-m 或4>m （2）34-≤≤-t 或4≥t 20.（1）334 （2）定点为()0,2 21. （I ）证明：设1AA ，1BB 与1CC 交于点S ，取棱BC 的中点O ，连结,AO SO . 因11BB CC =，11B C BC ，故SB SC =. ………………2分 又O 是棱BC 的中点， 故BC SO ⊥. 同理BC AO ⊥又,SO AO ⊂平面SAO ，且SO AO O =，因此BC ⊥平面SAO ，又1A A ⊂平面SAO ， ………………………4分 所以1A A BC ⊥； ………………………6分 （II ）作AH SO ⊥，垂足为H .因BC ⊥平面SAO ， 故AH⊥平面11BCC B ，从而ABH ∠为直线AB 与平面11BCC B 所成的角. ………………10分 不妨设2AB =,则AO =3sin 2AH AO AOM =∠=， ………………13分 所以3sin 4AH ABH AB ∠==. ……………………15分22.（I ）由2222,1y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， ……2分则22222222(2)4()()0a km a k b a m b ∆=-+-=， ……………………4分 化简整理，得2222m a k b =+； ……………………6分 （Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值22a ，此时OA OB ⊥，从而原点O 到直线l的距离d =， ………………8分又d =22212m a k =+. ……………………10分 再由（I ），得2222212a k b a k +=+，则22221b k a=-. 又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =， ……………………13分从而22222518c b e a a ==-=，即4e =. ……………………15分。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：2018—2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差211()n i i s x x n ==-∑2，其中11=n i i x x n =∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积，h 是高.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则A C U = ▲ ． 2．已知i 是虚数单位,复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3。
已知幂函数f （x ）＝k ·x α的图象过点(4,2），则k ＋α＝▲ ．4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的方差为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3,且两人下成和棋的概率为0。
5,则乙不输的概率为▲ ．6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ 。
1S ←For I From 1 To 5 Step 2 S S I ←+ End For Print S End7 98 4 4 4 6 7 9 3（第4题图）7．已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b -=>>）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为,则双曲线C 的焦距为▲ ．8．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．9．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ ．10。
三棱锥BCD A -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为 ▲ ．11。
已知四边形ABCD 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．12．若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6απ+=▲ ． 13. 某细胞集团，每小时有2个死亡,余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞 ▲ 个. 14. 若正数m ，n 满足121122n m n m m n +++=++，则36m n+的最小值是 ▲ ．二、解答题15。
浙江省东阳中学2018-2019学年高二10月月考数学试题(优质解析)
浙江省东阳中学2018-2019学年高二10月月考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）()1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 A. 异面B. 相交C. 异面或平行D. 相交或异面【答案】DABCD‒A1B1C1D1C1D1【解析】解：正方体中，直线AD与是两条异面直线，A1D1//AD A1D1C1D1BC//AD C1D1故选：D．借助正方体判定．本题考查了空间线线位置关系，属于基础题．2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，()()则该几何体的侧左视图为 A.B.C.D.【答案】BD‒AD1C【解析】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为，CD1BA1棱在左侧面的投影为，故选：B．根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．(0,1)x‒2y+1=0()3.过点且与直线垂直的直线方程是 x‒2y+2=0x‒2y‒1=02x+y‒1=02x+y+1=0A. B. C. D.【答案】Cx‒2y+1=02x+y+m=0【解析】解：根据题意，要求直线与直线垂直，设其方程为，(0,1)又由要求直线过，m=‒1则有，2x+y‒1=0则要求直线的方程为；故选：C．2x+y+m=0(0,1)根据题意，设要求直线的方程为，将点代入直线方程，计算可得m的值，将m的值代入直线的方程，即可得答案．本题考查直线的方程，注意直线垂直的判定方法，属于基础题．△AMN4.如图，长方形ABCD，M，N分别为AB，AD上异于点A的两点，现把沿着MN翻折，记AC与平θ1θ2θ1θ2()面BCD所成的角为，直线AC与直线MN所成的角为，则与的大小关系是 θ1=θ2θ1>θ2θ1<θ2A. B. C. D. 不能确定【答案】CAO⊥【解析】解：作平面BCD，垂足是O，连接Cl//MN CH=CO过点C作直线，在l上取点H，令，△AOC△AHC CO=CH AO⊥在和中，，平面BCD，∴AO<AH，，∴∠ACO <∠ACH 与平面BCD 所成的角为，直线AC 与直线MN 所成的角为，∵AC θ1θ2平面BCD ，，AO ⊥CH//MN ，，∴∠ACO =θ1∠ACH =θ2．∴θ1<θ2故选：C ．作平面BCD ，垂足是O ，连接CO ，过点C 作直线，在l 上取点H ，令，在和AO ⊥l//MN CH =CO △AOC 中，，平面BCD ，从而，由此能求出．△AHC CO =CH AO ⊥AO <AH θ1<θ2本题考查直线与平面所成的角和直线与直线所成的角的大小关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）5.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是______，体积是______【答案】 616+25【解析】解：由已知中三视图，可得几何体的直观图如下图所示：底面梯形的面积为：，12×(1+2)×2=3高，ℎ=2故棱柱的体积，V =Sℎ=6底面的周长C =1+2+2+12+22=5+5故侧面积为：，Cℎ=10+25故表面积，S =2×3+10+25=16+25故答案为：，616+25根据已知画出几何体的直观图，进而代入柱体体积和表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的直观图，难度中档．6.一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是______；内切球与该圆锥的体积之比为3______．【答案】1 49【解析】解：设球的半径为r ，则由等面积可得，．12×23×3=12(23+23×2)r∴r =1内切球与该圆锥的体积之比为．43π⋅13：13π⋅3⋅3=49故答案为1，．49由等面积可得内切球半径，利用体积公式求内切球与该圆锥的体积之比．本题考查内切球半径，利用体积公式求内切球与该圆锥的体积之比，属于中档题．7.已知直线：，直线：，若，则______；若，则两平行l 1x +(a ‒2)y +3=0l 2x +2y +1=0l 1⊥l 2a =l 1//l 2直线间的距离为______．【答案】 32255【解析】解：根据题意，直线：，直线：，l 1x +(a ‒2)y +3=0l 2x +2y +1=0若，则有，解可得；l 1⊥l 21+2(a ‒2)=0a =32若，则有，则直线的方程为，l 1//l 2a ‒2=2l 1x +2y +3=0两平行直线间的距离d =|3‒1|1+4=255故答案为：；．32255根据题意，对于第一空：由直线垂直与直线的一般式方程的关系可得若，则有，解可得l 1⊥l 21+2(a ‒2)=0a 的值，对于第二空：由直线平行与直线的一般式方程的关系可得a 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．本题考查直线平行、垂直的性质，平行线间的距离公式，注意直线平行、垂直与直线的一般式方程的关系．8.长方体中，，，则异面直线与所成角的大小是______；ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AB =AD =1AA 1=2AA 1BD 1与平面所成角的大小是______．BD 1ADD 1A 1【答案】 45∘30∘【解析】解：长方体中，，，ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AB =AD =1AA 1=2，∵AA 1//BB 1是异面直线与所成角或所成角的补角，∴∠B 1BD 1AA 1BD 1()，，BD 1=12+12+(2)2=2AD 1=AA 21+AD 2=2+1=3，∴cos∠B 1BD 1=BB 1BD 1=22，∴∠B 1BD 1=45∘异面直线与所成角的大小是；∴AA 1BD 145∘平面，是与平面所成角，∵AB ⊥ADD 1A 1∴∠BD 1A BD 1ADD 1A 1，，cos∠BD 1A =AD 1BD 1=32∴∠BD 1A =30∘与平面所成角的大小是．∴BD 1ADD 1A 130∘故答案为：，．45∘30∘推导出，则是异面直线与所成角或所成角的补角，由平面，得AA 1//BB 1∠B 1BD 1AA 1BD 1()AB ⊥ADD 1A 1是与平面所成角，由此能求出结果．∠BD 1A BD 1ADD 1A 1本题考查异面直线所成的角、线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为______．【答案】133π【解析】解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱、，底面是正三角形，它的外接球就是B ‒ACD BD ⊥AD DC ⊥DA 它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱的中，底面边长为1，棱柱的高为，ABC ‒A 1B 1C 13由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，正三棱柱的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：．∴ABC ‒A 1B 1C 14πr 2球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，23×32×1=33所以球的半径为．r =(33)2+(32)2=1312外接球的表面积为：4πr 2=133π故答案为：133π.三棱锥的三条侧棱、，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，B ‒ACD BD ⊥AD DC ⊥DA 求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．10.圆锥的顶点为P ，它的轴截面是等腰直角三角形PAB ，圆锥侧面积为，点C 是以AB 为直径的圆O 上2π的点，且点E 在线段PB 上，则的最小值为______．BC = 2.CE +OE 【答案】2+62【解析】解：设AB 直径为2r ，则半径为r ，又它的轴截面是等腰直角三角形，，得，则，，∴S 侧=πrl =2π⋅r ⋅r =2πr =1l =PA =2PO =1当E 为PB 中点时，由，得，，OB =OP =1OE ⊥PB OE =22由，得，．CP =BC =2CE ⊥PB CE =62当E 为PB 中点时，最小，最小值为．∴CE +OE 2+62当E 为PB 中点时，最小，即可求的最小值．CE +OE CE +OE 本题考查空间距离的计算，属于基础题．11.正方体中，M ，N ，Q 分别是棱，，BC 的中点，ABCD ‒A 1B 1C 1D 1D 1C 1A 1D 1点P 在对角线上，给出以下命题：BD 1当P 在上运动时，恒有面APC ；①BD 1MN//若A ，P ，M三点共线，则；②BPBD 1=23若，则面APC ；③BPBD 1=23C 1Q//过M 、N 、Q 三点的平面截正方体所得的截面是正六边形；④若过点P 且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m 条；过点P 且与直线和所成的角⑤AB 1A 1C 1都为的直线有n 条，则．60∘m +n =7其中正确命题为______填写正确命题的编号.()【答案】②③④⑤【解析】解：，，可得，①MN//A 1C 1A 1C 1//AC MN//AC 由MN ，AC 确定的平面若经过P ，此时MN 在平面PAC 内，故错误；①若A ，P ，M 三点共线，由，②D 1M//AB ，则，故正确；∴D 1P BP=D 1M AB=12BPBD 1=23②若，由可得A ，P ，M 三点共线，设对角线，③BPBD 1=23②BD ∩AC =O 连接OM ，OQ ，则四边形是平行四边形，，OQC 1M C 1Q//OM 而M 点在平面APC 内，平面APC ，因此正确；∴C 1Q//③作出过M ，N ，Q 的截面，可得正六边形MNKLQT ，故正确；④④若过点P 且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有，，，，4条．⑤A 1C D 1B AC 1DB 1连接，，由正方体的性质可得是等边三角形，则点P 取点，B 1C A 1C 1//AC △AB 1CD 1则直线，、满足条件，过点P 且与直线和所成的角都为的直线有且只有3条，则AD 1CD 1D 1B 1∴AB 1A 1C 160∘条，因此正确．m +n =7⑤故答案为：．②③④⑤中点R ，AC 的中点S ，设BD 1与RS 的交点是Q ，若P 与Q 重合时，此时MN 在平面PAC 内，即可判①MN 断出正误；若A ，P ，M 三点共线，由，由平行线的性质可得，，即可判断出正误；②D 1M//AB D 1PBP=D 1M AB=12若，由可得A ，P ，M 三点共线，设对角线，可得四边形是平行四边形，于是③BPBD 1=23②BD ∩AC =O OQC 1M ，即可判断出正误；C 1Q//OM 作出截面MNQ ，可判断正误；④若过点P 且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有，，，，4条过点P 且与直线⑤A 1C D 1B AC 1DB 1.和所成的角都为的直线有且只有3条，即可判断出正误．AB 1A 1C 160∘本题考查了正方体的性质、平行线分线段成比例定理、线面平行的判定与性质定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）12.已知圆C ：内有一点，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(x ‒1)2+y 2=4P(12,1)当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；(1)当直线l 的倾斜角为时，求弦AB 的长(2)45∘【答案】解：已知圆C ：的圆心为，(1)(x ‒1)2+y 2=4C(1,0)，直线l 的方程为，∵k CP =1‒012‒1=‒2∴y =12(x ‒12)+1即；y =12x +34当直线l 的倾斜角为时，斜率为1，(2)45∘直线l 的方程为，y =x +12圆心C 到直线l 的距离为d =1‒0+122=324又圆的半径为2，弦AB 的长为．∵∴222‒(324)2=462【解析】由直线CP 的斜率可求直线l 的斜率，然后由点斜式得到直线l 的方程；(1)先由点斜式求出直线l 的方程，然后由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离，(2)最后由勾股定理求出弦AB 的长．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，熟练运用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形是解决本题的关键．13.在正方体中，，E 在上且．ABCD ‒A 1B 1C 1D 1AB =3CC 1CE =2EC 1若F 是AB 的中点，求异面直线与AC 所成角的大小；(1)C 1F 求三棱锥的体积．(2)B 1‒DBE【答案】解：连结AC ，，(1)A 1C 1，或其补角是异面直线与AC 所成角，∵AC//A 1C 1∴∠FC 1A 1()C 1F 在中，，△FC 1A 1A 1C 1=32+32=32，A 1F =32+(32)2=352C 1F =(32)2+(32)2=92，∴cos∠FC 1A 1=(32)2+(92)2‒(352)22×32×92=22，∴∠FC 1A 1=π4异面直线与AC 所成角为．∴C 1F π4三棱锥的体积：(2)B 1‒DBE ．V B1‒DBE =V D ‒BB 1E =13×S △BEB 1×DC =13×12×3×3×3=92【解析】连结AC ，，由，得或其补角是异面直线与AC 所成角，由此能求出异(1)A 1C 1AC//A 1C 1∠FC 1A 1()C 1F 面直线与AC 所成角．C 1F 三棱锥的体积：．(2)B 1‒DBE V B 1‒DBE =V D ‒BB 1E =13×S △BEB 1×DC本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.如图，在几何体中，平面平面PAB ，四边形ABCD 为矩形，为正三角形，若P ‒ABCD ABCD ⊥△PAB ，，E ，F 分别为AC ，BP 中点．AB =2AD =1Ⅰ求证平面PCD ；()EF//Ⅱ求直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值．()【答案】Ⅰ证明：因为E 为AC 中点，所以DB 与AC 交于点E ．()因为E ，F 分别为AC ，BP 中点，所以EF 是的中位线，△BDP 所以．EF//DP 又平面PCD ，平面PCD ，DP ⊂EF⊄所以平面PCD ．EF//Ⅱ解：取AB 中点O ，连接PO ，DO ．()为正三角形，，∵△PAB ∴PO ⊥AB 又平面平面PAB∵ABCD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内的射影为DO ，为DP 与平面ABCD 所成角，∴PO ⊥∴DP ∠PDO ，，在中，，OP =3DP =5Rt △DOP sin∠PDO =155直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值为．∴155【解析】连结BD ，则E 为BD 的中点，利用中位线定理得出，故而面PCD ；(I)EF//PD EF//取AB 中点O ，连接PO ，DO ，得出平面ABCD ，于是，为DP 与平面ABCD 所成角，求出(II)PO ⊥∠PDO OP ，DP ，得直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值．本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并证明是解题关键，属于中档题．15.已知四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，，，，，又P ‒ABCD AD//BC AB ⊥BC AB =AD =1BC =2平面ABCD ，且，点E 在棱PD 上且．PB ⊥PB =1求证：；(1)BE ⊥PC 求直线CD 与平面PAD 所成角的大小；(2)求二面角的大小．(3)A ‒PD ‒B【答案】证明：，由题意知，(1)∵BE ⊥PD CF =BF =DF ，，∴∠CDB =90∘∴CD ⊥BD 平面PBD ，，∵PB ⊥∴PB ⊥CD ，平面PBD ，，∵PB ∩BD =B ∴CD ⊥∴CD ⊥BE ，平面PCD ，．∵CD ∩PD =D ∴BE ⊥∴BE ⊥PC 解：设C 到面PAD 的距离为h ，(2)，，∵V C ‒PAD =V P ‒ACD ∴13×12×1×2×ℎ=13×12×1×1×1解得，ℎ=22，解得．∴sinθ=222=12θ=π6直线CD 与平面PAD所成角为．∴π6连结AF ，交BD 于点O ，则，(3)AO ⊥BD 平面ABCD ，平面平面ABD ，∵PB ⊥∴PBD ⊥平面PBD ，∴AO ⊥过O 作于点H ，连结AH ，则，OH ⊥PD AH ⊥PD 为二面角的平面角，∴∠AHO A ‒PD ‒B 在中，，Rt △ABD AO =22在中，，Rt △PAD AH =PA ⋅ADPD =2×13=63在中，．Rt △AOH sin∠AHO =AO AH=2263=32，∴∠AHO =π3二面角的大小为．∴A ‒PD ‒B π3【解析】推导出，，，从而平面PBD ，进而，由此能证明平面(1)BE ⊥PD CD ⊥BD PB ⊥CD CD ⊥CD ⊥BE BE ⊥PCD ，从而．BE ⊥PC 设C 到面PAD 的距离为h ，由，求出CD 与平面PAD 所成角．(2)V C ‒PAD =V P ‒ACD ℎ=22连结AF ，交BD 于点O ，则，从而平面平面ABD ，进而平面PBD ，过O 作于(3)AO ⊥BD PBD ⊥AO ⊥OH ⊥PD 点H ，连结AH ，则，则为二面角的平面角，由此能求出二面角的大小．AH ⊥PD ∠AHO A ‒PD ‒B A ‒PD ‒B 本题考查线线垂直的证明，考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.如图所示，已知四棱锥中，底面ABCD 为菱形，平面ABCD ，，E ，F 分别是P ‒ABCD PA ⊥∠ABC =60∘BC ，PB 的中点．Ⅰ证明：平面PAD ；()AE ⊥Ⅱ若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最()大角的正切值为，求二面角的正切值．3B ‒AF ‒C【答案】证明：Ⅰ面ABCD ，面ABCD ，()∵PA ⊥AE ⊂，∴PA ⊥AE 又底面ABCD 为菱形，，E 为BC 中点，∵∠ABC =60∘，，，∴AE ⊥BC ∵AD//BC ∴AE ⊥AD ，面PAD ；∵PA ∩AD =A ∴AE ⊥解：面PAD ，是EH 与面PAD 所成角，(2)∵AE ⊥∴∠AHE 时，AH 最小，最大，tan∠AHE =AEAH ,AH ⊥PO tan∠AHE 最大，∠AHE 令，则，在中，，，AB =2AE =3,AH =1Rt △AHD AD =2∠ADH =30∘在中，，面ABCD ，Rt △PAD PA =233∵PA ⊥面面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，∴PAB ⊥正中，，面PAB ，△ABC CM ⊥AB ∴CM ⊥作于N ，连CN ，由三垂线定理得，MN ⊥AF CN ⊥AF 是二面角的平面角．．∠MNC B ‒AF ‒C CM =3在中，，边AF 上的高，△PAB BF =AF =233,AB =2BG =1,MN =12二面角的正切值．∴B ‒AF ‒C tan∠MNC =CM MN =23【解析】Ⅰ推导出，，由此能证明面PAD ；()PA ⊥AE AE ⊥AD AE ⊥是EH 与面PAD 所成角，时，AH 最小，最大，最大，取AB(2)∠AHE tan∠AHE =AEAH ,AH ⊥PO tan∠AHE ∠AHE 中点M ，作于N ，连CN ，由三垂线定理得是二面角的平面角，由此能求出二面角MN ⊥AF ∠MNC B ‒AF ‒C 的正切值．B ‒AF ‒C 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知向量，，，若为实数，，则（ ）(1,2)a =r (1,0)b =r (3,4)c =r λ()//a b c λ+r r rλ=C ．1D ．234意在考查学生空间想象能力和计算能，则（ ）}2,0,2,4-()R A B =I ðC ．D ．{}2,0,3-{}0,2,4C.ln y x =D.y x=，则），则（）•（+）=（）1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个9． 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．8+2B ．8+8C ．12+4D ．16+411．“a ≠1”是“a 2≠1”的（）A ．充分不必条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知复数,，,是虚数单位，若是实数，则（ ）11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z a = A ． B ． C ．D ．23-13-1323二、填空题13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．14．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，则|AC|= ．15．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．16．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为.17．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．18．，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，1F 2F 22221x y a b-=a 0b >P 120PF PF ⋅=u u u r u u u u r若，则该双曲线的离心率为______________.12PF F ∆【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．()5f x x a x =-+（1）当时，求不等式的解集；1a =-()53f x x ≤+（2）若时有，求的取值范围．1x ≥-()0f x ≥a 20．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4﹣a 3=1．设等比数列{b n }且b 2=a 4，b 3=a 8（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }前n 项的和S n ．21．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *）（Ⅰ）求证：数列{a n +2n}是等比数列；（Ⅱ）设b n =a n sin π，求数列{b n }的前n 项和；（Ⅲ）设C n =﹣，数列{C n }的前n 项和为P n ，求证：P n ＜．22．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；{}n a n a n n S （2）设，为数列的前项和，若不等式对于任意的恒成立，求实数的1(1)n n a b n =+n S {}n b n n S t <*n ∈N t 取值范围．23．（1）计算：（﹣）0+lne ﹣+8+log 62+log 63；（2）已知向量=（sin θ，cos θ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cos θ的值．24．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围．东阳市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以(1,2)a =r (1,0)b =r ()()1,2a b λλ+=+r r ()//a b c λ+r r r，故选B. ()14160,2λλ+-==考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.2． 【答案】D 【解析】3． 【答案】A 【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.4． 【答案】B 【解析】试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故xy e =y x =-xy e -=2'30y x =>3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B. ()0,∞考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.5． 【答案】A【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．6．【答案】C【解析】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．7．【答案】D【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：===2+4﹣2+2=6．故选：D．【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．8．【答案】B【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．9．【答案】B【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．【答案】D【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题． 11．【答案】B【解析】解：由a 2≠1，解得a ≠±1．∴“a ≠1”推不出“a 2≠1”，反之由a 2≠1，解得a ≠1．∴“a ≠1”是“a 2≠1”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．【答案】A【解析】，1232(32)i z z a a =-++∵是实数，∴，∴．12z z 320a +=23a =-二、填空题13．【答案】98【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．(1)(A P A P -=14．【答案】 1 ．【解析】解：在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查． 15．【答案】+=1 ．【解析】解：设动圆圆心为B ，半径为r ，圆B 与圆C 的切点为D ，∵圆C ：（x+4）2+y 2=100的圆心为C （﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B 与圆C 相内切，可得|CB|=R ﹣r=10﹣|BD|，∵圆B 经过点A （4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，∴点B 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设方程为（a ＞b ＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b 2=a 2﹣c 2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．【答案】12【解析】考点：分层抽样17．【答案】 150 【解析】解：在RT △ABC 中，∠CAB=45°，BC=100m ，所以AC=100m ．在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m ．在RT △MNA 中，AM=100m ，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m ．故答案为：150． 18．1【解析】三、解答题19．【答案】【解析】（1）当时，不等式，1a =-()53f x x ≤+ ∴，5315x x x ≤+++∴，∴．13x +≤24x -≤≤∴不等式的解集为．()53f x x ≤+[4,2]-（2）若时，有，1x ≥-()0f x ≥ ∴，即，50x a x -+≥5x a x -≥-∴，或，∴，或，5x a x -≥-5x a x -≤6a x ≤4a x ≥-∵，∴，，∴，或．1x ≥-66x ≥-44x -≤6a ≤-4a ≥∴的取值范围是．a (,6][4,)-∞-+∞U 20．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则由，可得，…解得：，∴由等差数列通项公式可知：a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，∴数列{a n }的通项公式a n =n ，∴a 4=4，a 8=8设等比数列{b n }的公比为q ，则，解得，∴；（2）∵…∴，=，=，∴数列{c n }前n 项的和S n =．21．【答案】【解析】（I ）证明：由S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *），∴当n ≥2时，，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+4，变形为a n +2n=2[a n ﹣1+2（n ﹣1）]，当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1+3+2，解得a 1=﹣4，∴a 1+2=﹣2，∴数列{a n +2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；（II ）解：由（I ）可得a n =﹣2×2n ﹣1﹣2n=﹣2n ﹣2n ．∴b n =a n sinπ=﹣（2n +2n ），∵==（﹣1）n ，∴b n =（﹣1）n+1（2n +2n ）．设数列{b n }的前n 项和为T n ．当n=2k （k ∈N *）时，T 2k =（2﹣22+23﹣24+…+22k ﹣1﹣22k ）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k ﹣1﹣2k ）=﹣2k=﹣n ．当n=2k ﹣1时，T 2k ﹣1=﹣2k ﹣（﹣22k ﹣4k ）=+n+1+2n+1=+n+1．（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，当n=1时，c1=成立．综上可得：∀n∈N*，．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．【答案】n【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解析：（1）原式=1+1﹣5+2+1=0； …（6分）（2）∵向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，∴sinθ=﹣2cosθ，①…（9分）又sin2θ+cos2θ+=1，②由①②解得cos2θ=，…（11分）∵θ∈（，π），∴cos θ=﹣． …（12分）【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力．24．【答案】．[]1,2-【解析】试题分析：先化简条件得，分三种情况化简条件，由是的一个必要不充分条件，可分三种情况p 31x -≤<p 列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.试题解析：由411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12a >时，():,1q a a -- 由题意得，p 是的一个必要不充分条件，当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-．考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断是的什么p 条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件，二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题p p 或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.。