主成分分析法的原理应用及计算步骤
统计学中的主成分分析
统计学中的主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种多变量分析方法，用于降维和数据可视化。
它通过将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的数据能够保留原始数据的主要变化趋势，并且可以按照重要性进行排序。
在本文中，将介绍主成分分析的原理、应用场景和步骤。
一、主成分分析原理主成分分析的核心是寻找数据中的主要变化趋势，即找到数据中的主成分。
主成分是数据最大方差方向上的投影，也即是能够解释数据中最大不同的变量。
对于一个具有p个变量的数据集，主成分分析可以得到p个主成分，按照重要性递减排序。
通过选择适当数量的主成分，可以实现对数据的降维和可视化。
主成分分析的计算过程可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
特征值分解会得到数据的特征向量和特征值，而奇异值分解则可以直接得到主成分。
在实际应用中，奇异值分解是更常用的方法。
二、主成分分析的应用场景主成分分析广泛应用于各个领域，包括金融、生物学、社会科学等。
下面将介绍主成分分析在这些领域的具体应用。
1. 金融：主成分分析常用于资产组合管理和风险管理。
通过将各种金融数据进行主成分分析，可以获得具有代表性的主成分，从而有效降低资产组合的维度，减少投资组合中的相关风险。
2. 生物学：主成分分析可以应用于基因表达数据的分析。
通过主成分分析，可以从大量的基因表达数据中提取出基因表达的主要变化趋势，帮助研究人员理解基因与表型之间的关系。
3. 社会科学：主成分分析可以用于社会调查数据的分析。
通过对调查数据进行主成分分析，可以发现不同变量之间的相关性，进而揭示不同因素对于社会问题的影响程度。
三、主成分分析的步骤主成分分析的步骤通常包括以下几个步骤：1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量级的变量转化为标准差为1的变量。
这一步骤是为了消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于度量变量之间的相关性。
PCA主成分分析原理及应用
PCA主成分分析原理及应用主成分分析的原理是通过对数据矩阵进行特征值分解，找到使得方差最大化的主成分。
具体步骤如下：1.标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个维度具有相同的尺度。
2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
协方差矩阵描述了不同维度之间的相关性。
3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值代表了各个主成分的重要程度，特征向量表示了相应特征值对应的主成分。
4.主成分选择：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分。
通常，选择特征值大于平均特征值的一些阈值（如1）作为截断标准。
5.数据转换：将原始数据与所选的主成分构成的矩阵相乘，得到降维后的数据。
这相当于将原始数据投影到主成分所构成的子空间中。
PCA广泛应用于数据预处理、特征提取和数据可视化等领域。
1.数据预处理：PCA可以通过降低维度，过滤噪声和冗余特征，减少计算时间和资源消耗。
例如，在图像处理中，PCA可以用来处理图像中的噪声、压缩图像和实现图像的重建。
2.特征提取：PCA可以帮助寻找最能代表数据集的主要特征。
通过提取主成分，可以减少特征维度，提高模型的训练和预测效率。
在机器学习任务中，PCA常被用于特征选择和特征降维。
3.数据可视化：PCA能够将高维数据映射到二维或三维空间，帮助我们理解和发现数据中的模式和规律。
通过可视化降维后的数据，我们可以更好地理解数据的结构和关系。
虽然PCA具有许多优点，但也存在一些限制。
首先，PCA假设数据是线性相关的，对于非线性关系的数据可能效果不佳。
其次，PCA可能无法解释数据中的复杂关系，因为它只能提取线性相关性。
最后，PCA对异常值和噪声敏感，可能影响到主成分的提取结果。
总之，PCA作为一种常用的数据降维技术，具有广泛的应用前景。
通过保留数据集的主要特征，PCA可以提高数据处理和模型性能，并帮助我们更好地理解和分析数据。
主成分分析法的原理应用及计算步骤57270
一、概述在处理信息时,当两个变量之间有一定相关关系时,可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠,例如,高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性;学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠与高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题,最简单与最直接的解决方案就是削减变量的个数,但这必然又会导致信息丢失与信息不完整等问题的产生。
为此,人们希望探索一种更为有效的解决方法,它既能大大减少参与数据建模的变量个数,同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数,并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成较少几个综合指标,通常综合指标(主成分)有以下几个特点:↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后,因子将可以替代原有变量参与数据建模,这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不就是原有变量的简单取舍,而就是原有变量重组后的结果,因此不会造成原有变量信息的大量丢失,并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标(主成分)之间互不相关,因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之,主成分分析法就是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子,如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析就是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1,X2,…,XP(比如p 个指标),重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取,使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息,又能保证新指标之间保持相互无关(信息不重叠)。
(完整版)主成分分析法的步骤和原理
（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。
[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。
（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。
设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。
对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X pZ 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p…… …… ……Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。
（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。
第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。
第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。
其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
主成分分析法的原理应用及计算步骤1.计算协方差矩阵：首先，我们需要将原始数据进行标准化处理，即使每个特征都有零均值和单位方差。
假设我们有m个n维样本，数据集为X，标准化后的数据集为Z。
那么，计算协方差矩阵的公式如下：Cov(Z) = (1/m) * Z^T * Z其中，Z^T为Z的转置。
2.计算特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。
特征值表示了新坐标系中每个特征的重要性程度，特征向量则表示了数据在新坐标系中的方向。
将协方差矩阵记为C，特征值记为λ1, λ2, ..., λn，特征向量记为v1, v2, ..., vn，那么特征值分解的公式如下：C*v=λ*v计算得到的特征向量按特征值的大小进行排序，从大到小排列。
3.选择主成分：从特征向量中选择与前k个最大特征值对应的特征向量作为主成分，即新坐标系的基向量。
这些主成分可以解释原始数据中大部分的方差。
我们可以通过设定一个阈值或者看特征值与总特征值之和的比例来确定保留的主成分个数。
4.映射数据：对于一个n维的原始数据样本x，通过将其投影到前k个主成分上，可以得到一个k维的新样本，使得新样本的方差最大化。
新样本的计算公式如下：y=W*x其中，y为新样本，W为特征向量矩阵，x为原始数据样本。
PCA的应用：1.数据降维：PCA可以通过主成分的选择，将高维数据降低到低维空间中，减少数据的复杂性和冗余性，提高计算效率。
2.特征提取：PCA可以通过寻找数据中的最相关的特征，提取出主要的信息，从而减小噪声的影响。
3.数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间中，PCA可以帮助我们更好地理解和解释数据。
总结：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它通过投影数据到一个新的坐标系中，使得投影后的数据具有最大的方差。
通过计算协方差矩阵和特征向量，我们可以得到主成分，并将原始数据映射到新的坐标系中。
PCA 在数据降维、特征提取和数据可视化等方面有着广泛的应用。
主成分分析法的原理和步骤
主成分分析法的原理和步骤主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而实现降维和数据可视化。
PCA的基本思想是通过选取少数几个主成分，将原始变量的方差最大化，以便保留大部分的样本信息。
下面我将详细介绍PCA的原理和步骤。
一、主成分分析的原理主成分分析的核心原理是将n维的数据通过线性变换转换为k维数据（k<n），这k维数据是原始数据最具有代表性的几个维度。
主成分是原始数据在新坐标系中的方向，其方向与样本散布区域最大的方向一致，而且不同主成分之间互不相关。
也就是说，新的坐标系是通过原始数据的协方差矩阵的特征值分解得到的。
具体来说，假设我们有一个m个样本、维度为n的数据集X，其中每个样本为一个n维向量，可以表示为X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{m} \right )。
我们的目标是找到一组正交的基变量（即主成分）U=\left ( u_{1},u_{2},...,u_{n} \right )，使得原始数据集在这组基变量上的投影方差最大。
通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到主成分对应的特征向量，也就是新的基变量。
二、主成分分析的步骤主成分分析的具体步骤如下：1. 标准化数据：对于每一维度的数据，将其减去均值，然后除以标准差，从而使得数据具有零均值和单位方差。
标准化数据是为了消除不同维度上的量纲差异，确保各维度对结果的影响是相等的。
2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据集X，计算其协方差矩阵C。
协方差矩阵的元素c_{ij}表示第i维度与第j维度之间的协方差，可以用以下公式表示：\[c_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}\left ( x_{ik}-\bar{X_{i}} \right )\left( x_{jk}-\bar{X_{j}} \right )}{m-1}\]其中，\bar{X_{i}}表示第i维度的平均值。
主成分分析
主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的降维技术，它可以从高维数据中提取出最重要的特征，并将其映射到一个低维空间中。
通过降维，可以简化数据分析过程，减少计算复杂度，去除冗余信息，同时保留了数据主要的结构和规律。
本文将详细介绍主成分分析的原理、算法和应用。
一、主成分分析的原理主成分分析的目标是找到一组新的变量，称为主成分，这些主成分是原始数据中更高次特征的线性组合。
其中，第一主成分是数据中最大方差对应的一个线性组合，第二主成分是与第一主成分不相关的捕捉第二大方差的线性组合，以此类推。
主成分的数量等于原始数据的特征数。
主成分分析的基本思想是通过线性变换将高维数据映射到低维空间上，使得降维后的数据能够尽可能地保留原始数据的信息。
在降维过程中，主成分分析还会对不同特征之间的相关性进行考虑，以达到尽量保留原有信息的目的。
二、主成分分析的算法主成分分析的算法可以分为以下几个步骤：1. 数据标准化：首先对原始数据进行预处理，将每个特征按照零均值和单位方差的方式进行标准化。
这样可以保证特征之间的量纲一致，降低不同特征对主成分的影响。
2. 计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵来度量不同特征之间的相关性。
协方差矩阵的对角线元素为各个特征的方差，非对角线元素为各个特征之间的协方差。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示某个主成分所解释的总方差，特征向量表示主成分的方向。
4. 选择主成分：根据特征值的大小排序，选择前k个特征向量对应的主成分作为降维后的新特征。
5. 映射原始数据：将原始数据通过特征向量的线性组合映射到低维空间上，得到降维后的数据。
三、主成分分析的应用主成分分析在许多领域都有广泛的应用，下面介绍其中的几个典型应用。
1. 数据压缩：主成分分析可以将高维数据映射到低维空间，从而实现数据的压缩。
大数据分析中的主成分分析技术使用教程
大数据分析中的主成分分析技术使用教程主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的统计分析方法，用于降低数据维度、提取数据的主要特征和结构，从而帮助我们更好地理解和解释数据。
在大数据时代，主成分分析技术被广泛应用于各个领域，为数据分析师提供了重要的工具和方法。
一、主成分分析的基本原理1.1. 什么是主成分分析？主成分分析是一种多变量统计分析方法，通过对原始数据进行线性变换，将原始数据转化为新的一组综合指标（理论上是无关的），这些综合指标被称为主成分。
主成分是原始变量的线性组合，其具有不相关性和方差最大化的特点。
1.2. 如何进行主成分分析？主成分分析的步骤可以概括为以下几步：1）标准化原始数据：将原始数据标准化，使其均值为0，方差为1。
2）计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
3）求解特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4）选择主成分：按照特征值从大到小的顺序选择主成分，通常保留累计贡献率较高的主成分。
5）计算主成分得分：通过将原始数据乘以特征向量得到主成分得分。
二、主成分分析的应用场景2.1. 特征提取与数据降维主成分分析广泛应用于特征提取和数据降维领域。
在大数据时代，我们往往面临高维数据集，而高维数据分析复杂且困难。
主成分分析可将原始数据映射到低维度空间，保留大部分原始数据的信息，从而减少数据的复杂性，简化数据分析过程。
2.2. 数据可视化主成分分析还可用于数据可视化。
通过将高维数据降维至二维或三维，我们可以将数据在二维或三维空间中进行可视化展示，更好地理解数据的结构和内在关系。
数据可视化有助于发现异常值、聚类分析、分类和回归分析等任务。
2.3. 特征选择和变量相关分析主成分分析还可用于特征选择和变量相关分析。
通过计算各个主成分的贡献率和相关系数，我们可以判断原始变量对每个主成分的贡献程度，从而选择对结果影响较大的主成分。
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一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。
主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。
主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标 X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
设 F1 表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即F1 =a11X1+a21X2+...+a p1X p,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var（F1）越大，表示 F1 包含的信息越多。
常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1 为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在 F2中，即F2 与F1 要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov（F1, F2）=0，所以F2 是与F1 不相关的 X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称 F2为第二主成分，依此类推构造出的 F1、F2、……、Fm 为原变量指标 X1、X2……XP 第一、第二、……、 第 m 个主成分。
F 1 = a 11X 1 + a 12X 2 +...+ a 1p X pF 2 = a 21X 1 + a 22X 2 +...+ a 2p X pF m =a m 1X 1+a m 2X 2 +...+a mp X p根据以上分析得知：（1） Fi 与 Fj 互不相关，即 Cov （Fi ，Fj ） = 0,并有 Var （Fi ）=ai'Σai，其 中Σ为 X 的协方差阵（2）F1 是 X1 ， X2 ，…， Xp 的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最 大的,……,即 Fm 是与 F1，F2，……，Fm －1 都不相关的 X1，X2，…，XP 的所有 线性组合中方差最大者。
F1，F2，…，Fm （m≤p）为构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、……、 第 m 个主成分。
由以上分析可见，主成分分析法的主要任务有两点：（ 1 ）确定各主成分 Fi （ i=1 ，2 ，…，m ）关于原变量 Xj （ j=1 ，2 ，…， p ） 的表达式，即系数 a ij （ i=1，2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。
从数学上可以证 ij明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前 m 个较大特征根就代 表前 m 个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前 m 个较大的特征值i（这 样选取才能保证主成分的方差依次最大）所对应的特征向量就是相应主成分 Fi 表达式的系数a i ，为了加以限制，系数a i 启用的是i对应的单位化的特征向量， 即有ai 'ai = 1。
（ 2 ）计算主成分载荷，主成分载荷是反映主成分 Fi 与原变量 Xj 之间的相互 关联程度： P （Z k ,x i ）=k a ki （i ,=1,2,L,p ;k =1,2,L,m ）三、主成分分析法的计算步骤 主成分分析的具体步骤如下： （1）计算协方差矩阵 计算样品数据的协方差矩阵：Σ=（s ij ）p p ，其中 1ns ij = 1（x ki - x i ）（x kj -x j ） i ，j=1，2，…，p n -1k=12）求出Σ的特征值i 及相应的正交化单位特征向量a iΣ的前 m 个较大的特征值 1 2 … m>0, 就是前 m 个主成分对应的方差，i 对应的单位特征向量a i 就是主成分 Fi 的关于原变量的系数，则原变量的第 i 个 主成分 Fi 为：Fi = a 'X 主成分的方差（信息）贡献率用来反映信息量的大小，i为：mi=i /ii =1（3）选择主成分最终要选择几个主成分，即 F1,F2, …… ,Fm 中 m 的确定是通过方差（信息） 累计贡献率 G （m ）来确定mpG （m ）=i/ki =1k =1当累积贡献率大于 85%时，就认为能足够反映原来变量的信息了，对应的 m 就是抽取的前 m 个主成分。
（4）计算主成分载荷主成分载荷是反映主成分 Fi 与原变量 Xj 之间的相互关联程度，原来变量 Xj （j=1，2 ，…， p ）在诸主成分 Fi （i=1，2，…，m ）上的荷载 lij （ i=1， 2，…，m ； j=1，2 ，…，p ）。
：l （Z i ,X j ）=i a ij （i =1,2,L,m ; j =1,2,L ,p ）在 SPSS 软件中主成分分析后的分析结果中，“成分矩阵 ” 反应的就是主成分 载荷矩阵。
（5）计算主成分得分计算样品在 m 个主成分上的得分：F i = a 1i X 1 + a 2i X 2 +...+a pi X pi = 1，2，…，m实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的 影响。
消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做如下数 据变换：x - xx i *j = ij ji =1,2,...,n ; j =1,2,...,p ij s j根据数学公式知道，①任何随机变量对其作标准化变换后，其协方差与其相 关系数是一回事，即标准化后的变量协方差矩阵就是其相关系数矩阵。
②另一方n其中：xj = ni =1 x ijn (x ij -x j )2i =1面，根据协方差的公式可以推得标准化后的协方差就是原变量的相关系数，亦即，标准化后的变量的协方差矩阵就是原变量的相关系数矩阵。
也就是说，在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述，为消除量纲的影响，将变量标准化后再计算其协方差矩阵，就是直接计算原变量的相关系数矩阵，所以主成分分析的实际常用计算步骤是：☆计算相关系数矩阵☆求出相关系数矩阵的特征值i及相应的正交化单位特征向量a i☆选择主成分☆计算主成分得分总结：原指标相关系数矩阵相应的特征值i 为主成分方差的贡献，方差的p贡献率为i =i /i，i越大，说明相应的主成分反映综合信息的能力越强，i=1可根据i 的大小来提取主成分。
每一个主成分的组合系数(原变量在该主成分上的载荷) a i就是相应特征值i 所对应的单位特征向量。
主成分分析法的计算步骤1 、原始指标数据的标准化采集p 维随机向量x = ( x 1, X2,...,X p ) T )n 个样品x i = ( x i 1, x i 2,..., x ip) T，i=1,2,…,n ，n>p ，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：其中，得标准化阵Z。
2、对标准化阵Z 求相关系数矩阵3 、解样本相关矩阵 R 的特征方程 得 p 个特征根 , 确定主成分按 确定 m 值，使信息的利用率达 85%以上，对每个 λj , j=1,2,...,m, 解方程组 Rb = λj b 得单位特征向量 。
U 1称为第一主成分,U 2 称为第二主成分,…,U p 称为第p 主成分。
5 、对 m 个主成分进行综合评价对 m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。
一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析 方法。
从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。
变量太多无疑会增加分析 问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较 多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这 样问题就简单化了。
原理：假定有 n 个样本，每个样本共有 p 个变量，构成一个 n × p 阶的数据 矩阵，x11x 12 x 1pX =x21x22x 2pxn 1xn 2x np其中,4 、将标准化后的指标变量转换为主成分记原变量指标为 x 1，x 2，…，x p ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量 为 z 1 ， z 2 ， z 3 ，… ， z m (m ≤ p) ，则z 1 = l 11x 1 + l 12x 2 + +l 1p x pz 2 = l 21x 1 + l 22x 2 + + l 2 p x pz m = l m 1x 1 +l m 2x 2 + +l mp x p系数 l ij 的确定原则：①z i 与 z j （i≠j；i ，j=1，2，…，m ）相互无关；②z 1是 x 1，x 2，…，x P 的一切线性组合中方差最大者，z 2是与 z 1不相关的 x 1，x 2，…， x P 的所有线性组合中方差最大者； z m 是与 z 1，z 2，……，z m －1都不相关的 x 1， x 2，…x P ， 的所有线性组合中方差最大者。
新变量指标 z 1，z 2，…，z m 分别称为原变量指标 x 1，x 2，…，x P 的第 1，第2，…， 第 m 主成分。