北师大版数学高一-1.3素材 “补集思想在解题中的应用
1.3 第2课时 补集及其应用课件ppt
A∩B,A∪B,(∁UA)∩(∁UB),A∩(∁UB),(∁UA)∪B.
解 (方法1)直接法
由已知易求得
A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},∁UA={1,2,6,7,8},∁UB={1,2,3,5,6},
则(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6},A∩(∁UB)={3,5},(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
A.
探究二
交集、并集与补集的混合运算
例2(2021浙江宁波高一期末)集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4},则
S∩(∁UT)=(
)
A.{1,5}
B.{1}
C.{1,4,5}D.{12,3,4,5}答案 A
解析 由集合U={1,2,3,4,5},S={1,4,5},T={2,3,4}可知
是直角的菱形}.
(2)解 ①把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|x<-1,或x≥1}.
②把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|x<-1,或1≤x≤2}.
③把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知∁SA={x|-4≤x<-1,或x=1}.
反思感悟 求集合的补集的方法
答案 C
解析 已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},∴A∩B={2,3},因
此,∁U(A∩B)={1,4}.故选C.
3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合
∁U(A∪B)中元素的个数为
.
答案 2
【规范答题】
解 (方法1)因为A∩B={4,5},(∁SB)∩A={1,2,3},所以
高一数学补集思想在解题中的应用
1 “补集思想”在解题中的应用在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。
例1、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},范围。
如图由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。
例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a 。
设A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
最新-2021学年北师大版高中数学必修一课件：1.3.2 全集与补集 共13张 精品
(CR A) {x | x 5}, (CRB) {x | x 3};
(4)(CR A) (CRB) {x | x 5}{x | x 3} ;
例题讲解
(5)CR A CRB xx 5 xx 3
xx 3,或x 5; (6)CR(A B) xx 3,或x 5;
(7)CR ( A B) .
其中相等的集合是
CR ( A B) (CR A) (CRB); CR ( A B) (CR A) (CRB); CR ( A B) (CR A) (CRB).
课后作业
课本P14 1,2,3,4
或(余集). 记作 CU A .
即 CUA x xU,且x A.
图示法
A
CU A
U
归纳总结
(1) A (CU A) U (2) A (CU A)
例题讲解
例1 设全集为R, A {x x 5},
B {x x 3}. 求 ⑴ A B; ⑵ A B;
⑶ CR A,CRB;
(4)CR A CRB;
课本P14
习题1—3 B组 2
A组 5,6
谢谢观看
下课
例题讲解
(5)CR A CRB;
(7)CR ( A B).
(6)CR ( A B);
并指出其中相等的集合.
例题讲解 解 （1） 在数轴上，画出集合A和B
-1 0 1 2 3 4 5 6
A B {x x 5}{x x 3}
x x 5
(2)A B xx 5 xx 3 R;
例题讲解 （3） 在数轴上，画出集合CRA和CRB
3.2 全集与补集
想一想
观察集合A,B,C与D的关系: A={菱形}; B={矩形}; C={平行四边形}; D={四边形}.
北师大版必修第一册--第1章-1.3-第2课时全集与补集--课件(35张)
答案:{2,4,8}
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则∁UP等于(
A.{x|0≤x<1,或x>1}
B.{x|x<1}
C.{x|x<1,或x>1}
D.{x|x>1}
解析:因为U={x|x≥0},P={1},
所以∁UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.
【典例】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实
数a的值.
错解 因为∁UA={5},所以5∈U,且5∉A,所以a2+2a-3=5,且|2a1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
【例1】 (1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁UA=
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则∁UA=
.
解析:(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴∁UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴可得∁UA={x|x<1}.
答案:(1){3,4,5} (2){x|x<1}
或2<x≤4}.
所以(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩(∁UB)={x|2<x<3}.
1.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图
形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求
解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算
【数学】1.1.3全集和补集 课件(北师大版必修1)
求 C U A B ） ,A，B （
变式1:p3.10
变式2：如果全集U有10个元素，A B 含有2个元素，
（ （ C U A ） C U B ）含有4个元素， C U A ） B 含有3 （
个元素，则A含有____个元素，B含有___个元 素。
范例
已知 A x | 1 x 3 , B x | x 2
C （3） U ( A B )； C U ( A B )
（ （4） C U A ） B
动动脑
（1）若S={2，3，4}，A={4，3}则CSA=———
思考：若A=S或A= 又怎样呢？ U
（2）若U=Z那么CUN= ————— 若U=R那么CU（CUQ）=—— （3）A C U （
集合的运算 之
全集和补集
导航
世间万物都是对立统一的，在一定 范围内事物有正就有反，就像数学 中，有正数必有负数，有有理数必 有无理数一样，那么，在集合内部 是否也存在这样的“对立统一”呢？ 若有，又需要什么样的条件呢？
考察下列集合A，B，C之间的 关系
1、 A 1，，，，， B 1，，， C 4， 2 3 4 5 2 3 5
A ） _____ ， A C U A ） ______ （
A CUA
（ 思考： 若 A B ，则 A C U B ） ____
例1若 I 1，，，，，，，， A 3，，， B 1，， ， 6 2 3 4 5 6 7 8 4 5 3 那么集合
范例
2 ，， 是（ 7 8
A 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 7 2、 1，，，，，， ， B 1，，， C 4，，，
（1）象上面的A集合，含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作U。 （2）对于全集U的一个子集A，由全集U中所有 不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集 ，,简称为集合A的补集
北师大版高中数学必修一1.3.2全集与补集课件
-2-
3.2 全集与补集
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.全集 (1)定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合 的子集,这个给定的集合叫作全集.全集含有我们所要研究的这些 集合的全部元素. (2)符号表示:全集通常记作U . (3)图示:用Venn图表示全集U,如图.
-5-
3.2 全集与补集
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 求补集的简单运算 【例1】 已知A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1},∁UB={-3,-2,0},用列举法 写出集合B. 分析:先结合条件,利用补集的性质求出全集U,再由补集的定义 求集合B. 解:∵A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1}, ∴U=A∪(∁UA)={-3,-2,-1,0,1,2}. 又∁UB={-3,-2,0},∴B={-1,1,2}. 反思在进行补集的简单运算时,应首先明确全集,而利用 A∪(∁UA)=U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式,故进行补 集运算时,要紧扣补集的定义及补集的性质.
IANLITOUXI
S随堂演练
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题型二 交集、并集、补集的综合运算 【例2】 已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|1≤x<1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB). 分析:由于U,A,B均为无限集,所求问题是集合间的交集、并集、 补集运算,故考虑借助数轴求解. 解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图, 则∁UA={x|-1≤x≤3}; ∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}; 方法一:(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}. 方法二:∵A∪B={x|-5≤x<1}, ∴(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={x|1≤x≤3}. 反思求解不等式表示的数集间的运算时,一般要借助数轴求解,此 方法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否.
例说补集思想在高中数学解题中的应用
• 32 •理科考试研究•数学版2019年11月1日评注 解法6是对参数a 进行放缩，然后求函数 最小值;解法7则利用两个重要结论，+ l 和 ln(% + l)Wx 的灵活变形，再通过赋值、配凑等技巧, 对学生的数学素养要求较高.参考文献：[1]陈崇荣.老师，为什么这解法失灵了？ 一2018年高考全国卷I 文科第21题的解题反思[J].中学数学教学,2018 (05) ：36 -38.[2J2018年高考试题的创新解法赏析[J].中学数学教学 参考，2018(19) ：35 -47.(收稿日期:2019 - 03 - 07)例说补集思想在高中数学解题中的应用张梅(四川师范大学数学科学学院四川成都610000)摘要:补集是高中集合章节的重要知识点，背后蕴藏着补集思想.补集思想在高中数学解题中有广泛的应用，从 反面的角度给出解题思路，使解题过程简单化.本文通过列举补集思想在各个章节的渗透，为学生解题多提供一种 思路.关键词：补集思想；解题技巧；解题思路补集可以看作是集合间的一种关系、一种运算， 也是一种数学思想——补集思想.当从现有的已知条件正面解决问题遇到困难时，需要改变解题策略，从 反面入手,把问题简单化，这就是补集思想.1补集思想在方程中的渗透例1 已知集合4 = {%1异-4a%+a +3 =0}至少 有一个负根，求a 的取值范围.分析方程至少有一个负根，即有一个负根、一 个负根一个正根、两个负根、一个负根一零根等情况. 过于繁琐，考虑反面,“至少有一个负根”等价于“没有 一个负根”解析 由△ =16/-4(a+3)M0,得(4a+3)(a -1) M0 ,解得 aMl 或 aW -才.所以a2评注该题的补集的运用是相对全集而言的，一 定要准确把握其所对应的全集.待求问题用否定的形 式、唯一存在性、至多、至少等语句呈现，反面求解比正面证明更加简洁.补集思想在三角函数中的渗透例2求证方程cosx +c =x 只有唯一解.解析 假设方程至少有衍卫2 (尙工兀2)两个解， 贝g cos%】+ c 二衍，cosx 2 + c = x 2.① _ ②得 cos 兀 I - C0S%2 =^1 - %2 -①②因为 Jsin^sin所以 t/= alaMl 或 aW 所以sin 中sin 导=号——sin ―—2 2由方程x 2 - 4ax + a + 3 = 0没有负根，所以‘△MO,x t +x 2 =4aM0,解得 aMl.x {x 2 = a + 3 MO ,%1 + Xj X } -Xj 1%. -x 2\所以 I sin —-—I • I sin —-—I =-----------③又因为心# x 2,所以丨sin 竺2空I <设 Q = {alaMl },则 C£ = {alaW X. +x7.I sin ―-— I W 1 ・作者简介：张梅(1990 -),女，四川成都人，硕士研究生，研究方向：数学学科教学.2019年11月1日理科考试研究•数学版•33•则Isin巴尹I•Isin空产I<也評与③矛盾.所以cosx+c=x只有唯一解.3补集思想在不等式中的渗透例3若a>0,b>0,”eN+,且“>1,贝l j a>bo -7a>^b.分析正面分析，一时找不到解题思路,联想到'‘若a>0,b>0,neN+.贝！|a>boa">b""，从">'‘的补集“W”着手.解析假设纭则帝<血或纭=瓶当循<彷时,a<b；当纭=血时有a=6,同条件a >b>0矛盾.所以无>76.4补集思想在立体几何中的渗透例4证明:过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行.分析几何证明题,先将文字语言转化成数学符号语言•设宜线a外有一点4,只有一条直线6与已知直线a平行.解析假设过点A还有一条直线c与已知直线a 平行，即61~)c=A,c//a.又b//a,得c//b，与c D6=4矛盾.所以过直线外一点,有且只有一条直线与该直线平行.例5已知空间四边形ABCD.求证:对角线AC, BD是异面直线.分析异面直线是不同在任何一个平面内的两条宜线•证明两直线异面直接证明很难说明问题，这时可从补集的角度思考•假设两条直线共面，根据题设条件来证明假设错误.解析假设对角线ac,bd共面，则A,B,C,D四点共面，与ABCD是空间四边形矛盾.假设不成立，对角线AC,BD是异面直线.5补集思想在数列中的渗透例6设｛%｝是公比为g的等比数列，且gMl,证明数列｛a…+l｝不是等比数列.分析证明不是等比数列，难以找到解题突破口，利用补集思想，从反面出发求解.解析假设｛a”+l｝是等比数列，由等比数列的性质可知,(a*+i+1)2=(a*+1)(昭2+1).所以+1+2畋+1=畋畋+2+«4+%+2+1・所以(a")?+1+2a x q h=a｝q k~l a｝q k+1+a｝q k~l + SqE+1.艮卩a；q2”+1+2a x q k=ajg”+a x q t +x+1.利用系数相对,2(1沖=5qi'+\因为a】HO,所以=厂+广】.因为狞0,同时除以广-所以2g=l+『.所以q-1与已知矛盾.例7等比数列｛%｝和数列｛»｝各项均为正数，满足a”+i=I；、亏(nwN+),设6”+N+),求5和&的值.解析因为«…>0,6…>0,由基本不等式得"a”；b”)+比<(a”+b n)2.所以1<%\=上£电§匹.+b n设等比数列｛a”｝的公比为g,因为a”>0,所以g >0,下面证明g=l：若g>1时，有a】=—<a2wQ・①q当n>log g施时,a“+i=a x q n>Q与①矛盾.a\若0<gv1时，则5=才>。
高一数学人必修件时补集及综合应用
通过构造一个与原命题等价的补集命题，可以使得证明过程更加直观和易于理解。
补集在函数性质研究中的应用
1 2
利用补集思想研究函数的单调性
通过补集的思想，可以将函数的单调性问题转化 为其补集函数的单调性问题，从而更容易研究和 判断。
补集在函数奇偶性研究中的应用
利用补集的性质，可以简化函数奇偶性的判断过 程，使得判断更加直观和易于理解。
03 补集的运算规则与技巧
补集的交、并、差运算
补集的交运算
对于任意两个集合A和B，A与B 的补集的交集等于A减去A与B的
交集，即$A cap complement_{U}B = A - (A
cap B)$。
补集的并运算
对于任意两个集合A和B，A与B 的补集的并集等于全集U减去A
与B的交集，即$A cup complement_{U}B = U - (A
概率统计问题
在概率统计中，补集的思想也经常被用到。例如，在求某个事件的概率时，可以通过求其 对立事件的概率来得到结果。对立事件就是一个事件不发生的情况，即该事件的补集。
实际应用问题
在实际生活中，很多问题可以通过补集的思想来解决。例如，在投票选举中，可以通过计 算反对票的数目来推断支持票的数目；在市场调查中，可以通过调查不满意客户的比例来 推断满意客户的比例等。
3
补集在函数周期性研究中的应用
通过补集的思想，可以将函数的周期性问题转化 为其补集函数的周期性问题，从而更容易研究和 判断。
综合应用：补集与其他知识点
05
的结合
补集与集合运算的综合应用
补集的定义及性质
补集是相对于全集而言的，包含了全集中不属于该集合的所有元 素。补集具有互斥性和完备性。
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“补集思想”在解题中的应用
在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？
本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。
例1、 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，
若A ∩B ≠φ，求实数a 的
取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补
集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2
+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的
范围。
如图 由⎩⎨⎧≥+≤4
122a a ， 得⎩
⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a . 即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”。
例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实
根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考
虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或
123-<<-⇔a 。
设A=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数,且62,32,22222π
π
π
+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，
求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.
分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。
证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,
又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立， ∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.
评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。
总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望
同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。