梅森公式例子
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
梅森增益公式三个互不接触的回路例题
梅森增益公式三个互不接触的回
路例题
梅森公式是梅森在创建流图时提出的一种计算传递函数的方法。
因为信号流程和框图没有本质区别，所以完全适用于框图。
它使传递函数的计算变得简单，过程完全格式化。
梅森增益公式三个互不接触的回路例题 1
如果两个回路之间没有共同点，则简称为两个非接触回路，否则称为接触，两个非接触回路的每个回路的增益的乘积称为两个非接触回路的增益。
同样，三个回路之间没有共同点，称为三个非接触回路，每个回路的增益的乘积称为三个非接触回路的增益。
如此类推，共计有n个回路的系统最多存在一个n个互不接触回路。
如果不存在b个互不接触回路，则一定不存在大于b的互不接触回路。
方框图是一种很有用的图示法，但对于复杂的控制系统，方框图的简化过程仍较复杂，且易出错.mason提出的倍号流图，既能及示系统的特点，而且还能直接应用梅森公式方便地写出系统的传递函数。
因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
信号流图是一种衣示线性化代数方程组变量间关系的图示方法，信号流图由节点和支路组成，每一个节点用符号“〇”表示系统的一个变量，而每两个节点间的支路用符号“一>” 连接，表示这两个变量之间信号的传输关系，信号流向由支路
上的箭头表示，而传输关系（增益、传递函数）则标注在支路上。
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
K1.24-梅森公式
1
i
pi i
1 Lj Lm Ln Lp Lq Lr 流图的特征行列式jm,np,q,r
Lj － 所有不同回路的增益之和； j
Lm Ln － 所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
Lp Lq Lr － 所有三三不接触回路的增益乘积之和；…
p,q,r
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；
p1=2H1H2H3 p2=H1H4
1 H ( p11 p22 )
(4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3
3
Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益；
△
i
称为第i条前向通路的剩余特征行列式。消去接触回路
2
梅森（Mason）公式
例： 求下列信号流图的系统函数。
H4
解： (1)首先找出所有回路：
L1=H3G
1 H1 H2 H3 2
1
L2=2H1H2H3H5
G
L3=H1H4H5
H5
(2)求特征行列式
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 (3)然后找出所有的前向通路：
知识点K1.24
梅森（Mason）公式
梅森（Mason）公式
主要内容：
1.梅森公式及其各符号含义 2.梅森公式求解信号流图的系统函数步骤
基本要求：
1.掌握梅森公式 2.掌握由梅森公式求信号流图的系统函数
1
梅森（Mason）公式
K1.24 梅森公式
思考：意义？
系统函数H(s)记为H。梅森公式为： H
2-5 信号流图与梅森公式
G12 ( s ) R2 ( s )
G21 ( s )
C2 ( s ) G22 ( s )
G22 ( s )
+
+
C2 ( s )
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5 bx2 cx3 x5
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈 通路传递函数H(s)的乘积。
30
推广到一般情况：
b m s m b m 1s m 1 b1s b 0 G(s)H(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
2 2 Π( τ i s 1) Π( τ di s 2ζ di τ d s 1) i 2 s ν Π(Ti s 1) Π(Tni s 2ζ ni Tni s 1) i 1 i 1 i 1 ρ i 1 σ u η
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
+
A
_
1 R1
+
-
B
1 C1 s
C +
D _
1 R2
E
1 C2 s
用梅森公式求传递函数例题
用梅森公式求传递函数例题
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学表达式。
梅森公式是一种求解传递函数的方法，可以通过已知系统的差分方程来推导出传递函数表达式。
下面是一个例题：
考虑一个二阶离散系统，其差分方程为：
y[n] + 0.5y[n-1] - 0.25y[n-2] = x[n] + 0.2x[n-1]
我们要求解该系统的传递函数。
首先，将差分方程中的所有变量的z变换代替，其中z是复变量，表示单位延迟。
将y[n]表示为Y(z)，x[n]表示为X(z)，则有：Y(z) + 0.5z^(-1)Y(z) - 0.25z^(-2)Y(z) = X(z) + 0.2z^(-1)X(z)
整理得到传递函数表达式：
H(z) = Y(z)/X(z) = (1 + 0.5z^(-1) - 0.25z^(-2))/(1 + 0.2z^(-1))
这就是所求的该二阶离散系统的传递函数。
需要注意的是，梅森公式只适用于线性、时不变、时域因果的离散系统。
在实际应用中，我们可以通过求解差分方程或直接对系统的零极点进行分析来得到传递函数。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
最新梅森公式例子
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3 第六条回路增益 L6= - GG7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
R(s) G1 G2 G3 G4 G5
G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
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1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1
1C(s)
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P1=G1 G2 G8
-H2
-H3
第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8
第二条前向通路与回路L1及L2不接触，与其它回路都接触， 所以特征式的余因子 2=1-（ L1+L2）+L1L2 =1+ G4 H1 + G6 H2 + G4 G6 H1 H2
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3
1 1 C(s)
G8
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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-H1
-H2
-H3
两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积 L1 L2= G4 G6 H1 H2 L1 L7= G2 G4 G8 H1 H3
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1
C(s) 1
-H1
-H2
-H3
两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积 L1 L2= G4 G6 H1 H2 L1 L7= G2 G4 G8 H1 H3 L2 L7= G2 G6 G8 H2 H3
G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
第一条前向通路与各个回路都接触，
特征式的余因子 1=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1
C(s) 1
-H1
特征式的余因子 4=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6
第五条前向通路与各个回路都接触，
特征式的余因子 5=1
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
5
C(s)
Pk k
k 1
R(s)
1
C(s) 1
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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-H1
-H2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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1 1 C(s)
-H1
-H2
-H3
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C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
G5 G6
1
1 1 C(s)
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8
还有没有前向通路啦？
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6 第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3 第六条回路增益 L6= - G7 G4 G9 G6 H3
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3 第六条回路增益 L6= - G7 G4 G9 G6 H3
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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C(s) 1
-H1
-H2
-H3
三三互不接触回路增益乘积
L1 L2 L7= - G2 G4 G6 G8H1 H2 H3 =1-(L1+ L2 + L3+ L4 + L5+ L6 + L7)+ L1 L2+ L1 L7+ L2 L7- L1 L2 L7 =1+ G4 H1 + G6 H2 + G2 G3 G4 G5 G6 H3 + G2 G3 G4 G9 G6 H3
-H3
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 3=1
1
C(s) 1
G8 G7
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R(s) G1 G2 G3 G4
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-H1
-H2
-H3
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
第四条前向通路与各个回路都接触，
第七条回路增益 L7= - G2 G8 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
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C(s) 1
-H1
-H2
-H3
两两互不接触(没有公共的节点）回路增益乘积 L1 L2= G4 G6 H1 H2
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
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C(s) 1
1 1 C(s)
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
1 1 C(s)
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4 G5
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
1
C(s) 1
-H1 -H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1
-H2 注意：要考虑负号！
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
+ G7 G4 G5 G6 H3 + G7 G4 G9 G6 H3 +G2 G8 H3 + G4 G6 H1 H2 + G2 G4 G8 H1 H3 + G2 G6 G8 H2 H3 + G2 G4 G6 G8H1 H2 H3
G8 G7
G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
三．（15分）系统的方框图如图所示，用Mason公式求系统的传递函数