2017湖北省宜昌市中考数学试卷解析

2017湖北省宜昌市中考数学试卷解析2017年湖北省宜昌市中考数学试卷满分：120分版本：人教版一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2017湖北宜昌）有理数15-的倒数为（）A．5B．15C．15-D．-5答案：D，解析：根据“乘积为1的两个数互为倒数”,得15-的倒数为-5．2．（2017湖北宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：A，解析：根据轴对称图形的概念逐一进行判断，即轴对称图形就是把一个图形沿着某条直线进行折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，选项A 既是轴对称图形，其余都不是轴对称图形，故选择A . 3．（2017湖北宜昌）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对鲸1号”拥有27354台设备，约40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米.其中准确数是（）A．27354B．40000C．50000D．1200答案：A，解析：根据准确数与近似数的概念分别进行排除，符合准确数的只有选项A．6．（2017湖北宜昌）九一（1）班在参加学校4100m接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（）A．1 B．12C．13D．14答案：D，解析：根据概率公式法：P(A)=nm，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数；甲跑第一棒的概率为14．7．（2017湖北宜昌）下列计算正确的是（）A．a2+a3 =a5B．a3·a2=a5C．（a2）3=a5 D．a6÷a2=a3答案：B，解析：根据幂的有关运算性质和整式的有关运算法则．分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.选项A中a2、a3不是同类项，不能进行计算，选项B中a2·a3=a2+3=a5；选项C中（a2）3=a2×3=a6；选项D中a6÷a2=a6－2=a4.故选择B .8．（2017湖北宜昌）如图，在△AEF中，尺规作EF的长图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF答案：C，解析：根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线，故选C．9．（2017湖北宜昌）如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在AB外选一点C,连接AC，BC，并分别找出它们的中点D、E, 连接DE.现测得AC=30 m，BC=40 m，DE=24 m,则（）A．50m B．48m C．45mD．35m答案：B，解析：由题意可知线段DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得AB=2 DE=48 m．10．（2017湖北宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④答案：B ，解析：根据剪开所得图形的内角和进行识别与判断，都是四边形，符合要求，第2个剪开所得两个图形分别是五边形和三角形，不符合，第3个剪开所得两个图形分别是三角形，符合要求，第4个剪开所得两个图形分别是三角形和四边形，不符合．11．（2017湖北宜昌）如图，四边形ABCD 内接⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是（ ）OABDA ．AB=ADB ．BC=CDC ．AB⌒ =DA ⌒ D ．∠BCA=∠ACD答案：B ，解析：根据圆心距、弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B 正确．12．（2017湖北宜昌）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动.长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是（ ） A ．手串 B ．中国结C ．手提包D ．木雕笔筒答案：B ，解析：根据销售率=销售数量除以总数量，可知中国结的销售率最高是100%．13．（2017湖北宜昌）△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方体边长为1），AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误．．的是（ ）A ．sin α=cosα B ．tanC=2 C ．sin β=cos βD ．tan α=1答案：C ，解析：先构建直角三角形再根据三角函手式制品手串 中国结 手提包 木雕笔筒 总数量（个）200 100 8070 销售数量（个） 190 100 7668数的定义， sin α=cos α=222=，tanC= 21=2，sin β=cos （90-β），故选C ．14．（2017湖北宜昌）计算()()224x y x y xy +--的结果为（ ）A ．1B ．12C ．14D ．0 答案：A ，解析：根据整式的运算法则及分式的基本性质化简，原式=222222444x y xy x y xy xy xy xy ++--+==1．15．（2017湖北宜昌）某学校要种植一块面积为1002m的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y （单位：m ）随另一边长x （单位：m ）的变化而变化的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C ，解析：由题意得y =100x ，因两边长均不小于5m ，可得y ≥20,符合题意的选项只有C ．二、解答题 （本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（2017湖北宜昌）（本小题满分6分）计算：31210.54⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 思路分析：根据有理数运算顺序及法则计算，先括号，再乘方，最后乘法．解：原式=834⨯12⨯=3．17．（2017湖北宜昌）（本小题满分6分）解不等式组()1,22143.x x x ⎧≥-⎪⎨⎪-<-⎩思路分析：根据不等式基本性质．先解两个一元一次不等式，再求两个解集的公共部分．，解：由①得 x ≥－2；由②得x<2，所以，不等式组的解集为-2≤x ＜2．18．（2017湖北宜昌）（本小题满分7分）YC 市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够， 导致出现需要租用却未租到车的现象，现随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格.请回答下列问题:（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？（2）由随机抽样估计，平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数是多少？思路分析：（1）把一组数据从小到大排列后，处在最中间的数据(数据有奇数个)或中间两个数据(有偶数个数据)的平均数就是这组数据的中位数；（2）把一组数据先求和，再除以数据的总个数就可以得到该组数据的平均数；，解：（1）由表可知，中位数是1300．（2）平均每天需要租车却未租到车的人数：（1500+1200+1300+1300+1200） 5=1300 时间 第一天 7：00-8：00 第二天 7：00-8：00 第三天 7：00-8：00 第四天 7：00-8：00 第五天7：00-8：00需要租车却未租到车的人数1500 1200 1300 1300 1200平均每天在7:00-8:00 :需要租用公共自行车的人数：1300+700=200019．（2017湖北宜昌）（本小题满分7分）“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y (单位：m/s)与时间x (单位：s)的关系如图所示，其中线段B C ∥x轴.（1）当0≤x≤10，求y关于x的函数解析式；（2）求C点的坐标.思路分析：（1）根据函数图象用待定系数法求解；（2）先求直线BC的解析式，借助横坐标求解点B 的纵坐标，最后结合B C∥x轴求解点C的坐标.解：(1)当0≤x≤10,y关于x的图象呈直线且过原点，故设函数解析式为y=kx,将（10，50）代入上式，得k=5,故解析式为y=5x．（2）当10≤x≤30,y关于x的图象呈直线，故设函数解析式为y=kx+b ,将（10，50）（25，80）代入上式，得50108025k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k =5,b =30,故解析式为y =2x +30． 将x =30代入y =2x +30，得y =90,所以C 点的坐标为（60，90）．20．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c ，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： ()()22221,2,1.2a m n b mn c m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m>n>0，m ，n 是互质的奇数.应用，当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.思路分析：当n =1时，将三边用含有m,n 的代数式表示勾股数，进而分类考虑其中一边为5时分别求解三边是否符合题意分析与判断，解：当n =1时，a = 12(m 2-1) ①，b=m ②,c =12(m 2+1) ③因为直角三角形有一边长为5，分情况如下： 情况1：当a =5时，即12(m 2-1)=5，解得m =11舍去)；情况2：当b =5时，即m =5，再将它分别代入①③得a =12×(52-1)=12，c=12×(52-1)=13；情况3：当c =5时，即12(m 2+1)=5，m =±3，因m >0，所以m =3，把m =3分别代入①②得a =12×(32-1)=4，b =3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4．21．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）已知，四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED=EC ,以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D, B 点在⊙O 上，连接OB . O CA DB E（1）求证：DE=OE；（2）若A B∥CD，求证：四边形ABCD是菱形.思路分析：（1）利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边；（2）先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.解：（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°又∵DE=EC，∴∠2=∠1，∴∠3=∠COD，∴DE=EO（2）∵OD=OE,∴OD=ED=OE,∴∠3=∠COD=∠DEO=60°∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE，而OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,又∵AB∥CD,∴∠4=∠1∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°∴△ABO≌△CDE∴AB=CD四边形ABCD是平行四边形.4321OCADBE∴∠DAE= 12∠DOE=30°∴∠1=∠DAE∴CD=AD∴四边形ABCD是菱形.22．（2017湖北宜昌）（本小题满分10分）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.思路分析：（1）根据三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2求解；（2）根据辅助配套投资、线路敷设投资每年都增加b 亿元列方程组求解；（3）根据搬迁安置投资逐年递减列方程求解.解：（1）三年用于辅助配套的投资为54×23=36（亿元）（2）设2015年年初，对辅助配套投资为x亿元，则线路敷设、搬迁安置投资分别是2x亿元、4x亿元，由题意得2222541.52(1)4362x x b x bbx xx++++=⎧⎪⎨⎡⎤+++=⎪⎢⎥⎣⎦⎩，解得58xb=⎧⎨=⎩所以市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元.（3）由x=5得2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y,由题意得20（1-y）2=5解得y1=0.5,y2=1.5(舍去)所以搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%.23．（2017湖北宜昌）（本小题满分11分）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.(1)当MO经过点A时，①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点；（图1仅供分析）②如图2,在ON 上截取OE=OA ，过E 点作EF 垂直于直线BC ,垂足为点F ，E H ⊥CD 于H ，求证：四边形EFCH 为正方形.当OM 不过点A 时，设OM 交边AB 于G ,且OG=1.在NO 上存在点P ,过P 点作PK 垂直于直线BC ,垂足为点K ，使得S △POK =4S △OGB ，连接GP ，求四边形PKBG 的最大面积.B C DA图1 图2思路分析：(1) ②根据三角为直角证矩形，再证邻边相等可证出正方形；（2）将四边形的面积转化为三个三角形面积的计算. 解：（1）①不可能②∵∠MON=90°,∴∠EOF=90°-∠AOB,在正方形ABCD 中，∠BAO=90°-∠AOB ∴∠EOF = ∠BAO又∵E H ⊥CD, E F ⊥CB,,∴∠EHC=∠EFC=90°,而∠HCF=90°∴四边形EFCH 为矩形又∠EOF = ∠BAO ，∠EFO =∠B ，OE=OA , ∴△EOF ≌△BAO∴EF=BO,OF=AB有OF=OC+CF=AB=BC=BO+CO=FE+CO ∴CF=EF ,∴四边形EFCH 为正方形（2） 由∠POK=∠OGB , ∠PKO=∠OBG , 得△POK ∽△OGB ，∵S △POK =4S △OGB有S △POK ：S △OGB =2()OP OG =4,∴OP=2,可得OG=1,方法一：因为OG=1为定值，如图，Rt △OGB 内接于⊙Q （设OB =a ,BG =b ）,过B 作B T ⊥OG ，垂足为T,则ab =B T ·OG ,当BT 为半径时，ab 最大，即为12，这时△OGB 最大面积为14.方法二：由完全平方公式，（a -b ）2=a 2-2ab +b 2≥0,此题中a b≤12(a2+b2)又因a2+b2=1，所以a b≤12，所以ab的最大值为12所以△OGB最大面积为14. 方法三：△OGB的面积为1 2a b=12a21a-=4212a a-+=22111()224a--+这时当a2=12时，△OGB的最大面积为14，所以四边形PKBG的最大面积为1+14+1=9424．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b>0>c，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y= x+m与轴,x y轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADFADE SS ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3）（2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2b a-=-1,将b=2a代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0, ∴244ac ba -<0,所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限. 方法二：∵b =2a ， c=-3a ， ∴244ac b a -=221244a ba --=-4a <0,所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限. （3）∵b =2a ， c=-3a ∴24b b ac-±-242a a a-±∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°. 又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF 是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G .∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ， ∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a=+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a=-⎧⎨=-⎩，221114x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a-1，1a-4a ）即为顶点D 的坐标（1a-1，1a-4a ）D 点到对称轴x=-1的距离为1a-1-（-1）=1a，AE =4a -=4a, S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-3。