2015考研数学线性代数常见问题及思考
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题及解答
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。
2015考研线代真题
2015考研线代真题2015年考研线代真题是考研数学科目中的一道经典题目，它涉及到线性代数的基本概念和运算方法。
线性代数作为数学的一个重要分支，对于理解和应用其他学科都具有重要意义。
在考研中，线性代数是一个必考的科目，因此掌握线性代数的基本知识和解题方法对于考生来说是非常重要的。
2015年考研线代真题的内容主要涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
在解答这道题目时，首先需要计算矩阵的特征值。
特征值是矩阵的一个数值，它与矩阵的性质和运算有着密切的关系。
计算特征值的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。
特征方程是一个关于特征值的方程，通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值。
在计算特征值时，我们需要注意特征值的重数，即一个特征值对应的特征向量的个数。
特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。
在得到矩阵的特征值后，接下来需要计算特征向量。
特征向量是与矩阵的特征值相对应的向量，它可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
计算特征向量的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程得到特征值，然后再通过代入特征值求解特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵的特征值之间存在着重要的关系。
特征向量可以用来描述矩阵的变换效果，它可以帮助我们理解和应用矩阵的性质和运算。
在解答这道题目时，我们需要注意特征值和特征向量的计算方法和步骤。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
在计算特征值和特征向量时，我们需要注意特征值的重数和特征向量的非零性。
特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。
特征值和特征向量的计算是线性代数中的一个重要内容，它对于理解和应用其他学科都具有重要意义。
线性代数中常见的难题,易错题目解析
线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。
此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。
2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。
因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。
3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。
系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。
4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。
矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。
5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。
考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。
6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。
通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。
学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。
2015考研数学真题主观题解析：线性代数
2015考研数学真题主观题解析：线性代数
店铺考研数学频道讯：2015考研数学真题主观题解析：线性代数
2015考研数学真题主观题解析：线性代数
对于线性代数⽽⾔，数⼀、数⼆、数三所考知识点仅有⼀处是不⼀样的，数⼀要考向量空间这⼀部分的内容，包括向量空间的概念，基的概念，向量空间的及变换和坐标变换，过渡矩阵。
然⽽对于数⼆和数三是不考的。
⽽对于这个个别⼩点，在2015考研数学的考题中的主观题出现了。
【分析】此题考查的是3维向量空间基的概念及即在不同基下的坐标相同时，转化为⽅程组的求解。
此类型的题⽬在往年真题中解答题中出现的频率⽐较低。
若基础扎实，作为⼀个⼤纲要求的个别考点，认真对待和备考的话，此题没难度，问题不⼤。
若平时复习时对此块内容关注不多的话，则此题估计做的就不好。
从主观题的这三题来看，难度也都不⼤，⽐去年的题⽬要简单，不管是逻辑思维上，还是在计算量上，都⽐去年的难度⼩。
然⽽在数⼀中出现向量空间的⼤题，是令我们出乎意料的，这在历年真题中也是极其罕见的，往年⼀般是出⼀道⼩题。
这给要参加2016考研的同学⼀个警⽰：全⾯复习所有考点，打好基础，掌握基本题型和基本⽅法，这样在考试中才会旗开得胜。
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线性代数中常见的难题、易错题目解析
线性代数中常见的难题、易错题目解析线性代数是数学的一个重要分支，包括线性方程组、矩阵论、特征值分解等内容，已经成为许多学科的必备的基础知识。
随着学科的发展，线性代数也成为了一门杂而乱的学科，其中很多难题和易错题目都会困扰学习者。
本文将从难题、易错题的解析的角度，介绍如何解决线性代数中常见的难题和易错题目。
一、难题1、求解方程组求解方程组是一个具有挑战性的问题，如果把它当做一个整体去理解和求解，那么将是一个棘手的问题。
一般来说，可以用矩阵的乘法法则进行求解，或者用换元法来求解，或者用逐步求解法求解，最后结合容易理解的思想，来解决更加复杂的多元方程组。
2、求矩阵的特征值、特征向量矩阵的特征值和特征向量非常重要，求解特征值和特征向量十分困难。
特征值是矩阵行列式的解，而特征向量则是将特征值代入矩阵方程来求解，这两个问题会有一定的耦合性，有时候也不容易像前者一样能够得出精确的解。
因此，对矩阵的特征值和特征向量求解，一般来说要尽可能的用矩阵的几何性质，来解决相关的问题。
3、找到向量的基础向量的基础是要证明一组给定的向量可以线性表示其他所有的向量，也就是说，它们能够形成一个若干个线性无关向量的基础。
但是在找到向量的基础时，有时会出现向量冗余的情况，我们要在构造基础时尽可能消除冗余，使用一些四元数计算可以大大减少搜索时间，然后在手动检查和调整时，来增强搜索的精确性和准确性。
二、易错题1、矩阵相乘的几何意义很多学生常常弄混矩阵的相乘的几何意义，将它和普通的算术乘法混为一谈。
实际上，矩阵的相乘有重要的几何意义，也就是图像的变换，图像可以用平移、旋转、缩放等形式来表示，而所有的变换就是矩阵乘法的几何意义。
2、判断一个矩阵是否是对称矩阵对称矩阵是比较常见的一类矩阵，但是给出一个矩阵之后数学家要判断它是否是对称矩阵，也是一个相当难的问题。
其实并不难，只要把它乘自身的转置就可以得到判断的答案，如果转置之后的矩阵和原矩阵相同，那么它就是一个对称矩阵，反之则不是。
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导-李兰巧
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。
在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。
线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。
其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。
所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。
今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.第一章行列式是整个线性代数的基础。
复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。
对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。
有的同学说，我看不明白，那可以不看。
计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。
在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。
关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。
考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。
行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。
其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。
计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。
数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。
例如2012年在解答题第（I ）问中直接计算四阶行列式，第（II ）问考查线性方程组。
2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。
抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。
抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。
2015北京大学考研数学线性代数必考考点分析
2015北京大学考研数学线性代数必考考点分析线性代数在考研数学一、二、三中都占了不小的比例，其重要性不容忽视。
而在冲刺阶段总结性的知识是必不可少的，线性代数也是一样，希望这次对线代重点内容的总结能够对大家的复习有所助益。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。
如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。
行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。
但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。
常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。
矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。
这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。
涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。
这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。
考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。
常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
2015考研数学线性代数真题解析
2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。
从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。
下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。
很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。
比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。
对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。
一定要注意总结这些基本运算的运算方法。
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1. 二阶常系数齐次线性微分方程的解为什么是这个样子?
尽管二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程考纲有明确要求，但我相信仍不少考生没有思考过这个问题。
他们可能觉得微分方程会识别类型，记住解法就行了，没必要知道为什么要这样解。
有的老师也给学生建议：“像背单词一样把二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法背下来”。
这样有个问题：很容易忘。
如何对抗遗忘?思考!多思考，找到知识之间的联系就不容易忘了。
如何思考?提问是思考的一个开端。
拒绝机械地记忆，能简单推导的可以推导;不好推导的，可以“理解性地记忆”。
比如上面的问题，咱们可以把三种形式的解代入微分方程中算算，对理解，对记忆都有帮助。
2. 考研数学中有不少“推广”，有多少同学总结过这些吗：有多少推广?
推广前后有哪些相同和不同?
(1)一维随机变量与多维随机变量
在学习多维随机变量时，我们可以先回顾一维随机变量的内容。
那么，关于一维随机变量我们学习了哪些内容呢?
首先是定义，什么是随机变量?随机变量是定义在样本空间上的函数(与高数中的函数不同)。
它的作用是把随机试验的可能结果数量化了，便于用数学工具处理。
那么什么是二维随机变量(多维我们主要考虑二维)?就是把两个定义在同一个样本空间上的随机变量放在一起考虑，或者说是定义在样本空间上的向量值函数。
继续回忆：如何描述一个随机变量X?通用的工具是不是分布函数?分布函数
F(x)是什么?它是概率，是随机变量X落入(负无穷, x]这个区间的概率。
那么推广过来，我们要描述一个二维随机变量(X,Y)，也可以用分布函数。
一维对应着一元函数F(x)，二维自然对应二元函数F(x, y);一维分布函数是X落入一个区间的概率，相应地二维分布函数是(X,Y)落入一个区域的概率，与(负无穷, x]
这个区间对应，这个区域是(负无穷, x]乘(负无穷, y]。
在讨论了分布函数的概念后，我们可以进一步讨论分布函数的性质。
思考一下，一维随机变量的分布函数有哪些性质?“单调不减”，“0,1之间”和“右
连续”，并且这三条性质合起来是一个函数可以作为某个随机变量的分布函数的充要条件。
那么推广一下，不难得到二维随机变量的分布函数的性质，有需要注意的地方吗?第一条和第三条性质需要加上“关于x”(或者“关于y”)。
“关于”是什么意思?就是把另一个变量固定，再考虑问题。
第二条性质推广前的部分内容是F(正无穷)=1，F(负无穷)=0，推广之后变为F(正无穷,正无穷)=1，F(负无穷，y)=0，F(x,负无穷)=0，F(负无穷,负无穷)=0。
为什么会这样?关键在F(x, y)中那个逗号，是“且”的意思。
还有一条性质可以结合图形来理解，考得不多。
当然二维随机变量的分布函数的这几条性质是否是充要条件?这点考研不要求。
我们知道，描述一维随机变量，除了分布函数外，还有分布律和概率密度。
它们是与离散型和连续型随机变量对应的。
那么二维随机变量是否也有离散型和连续型，也有相应的分布律和概率密度?对应推广过来不就行了?
下面的这些“推广”，你能否自己总结?
(2)一元函数极限与二重极限
(3)一元函数连续与二元函数连续
(4)一元函数可微与多元函数可微
(5)定积分与二重积分
(6)二重积分与三重积分
3. 学数学同时也学了英语，理解了汉语同时也记住了数学符号。
这状态听起来不错，要不要试一下?
(1) 微分的符号为什么是“d”?为什么常用“I”表示一个定积分?矩阵转
置的符号为什么是“T”?
“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是积分的英文integral 的首字母;“T”是转置的英文transpose 的首字母。
(2) 微分方程的类型不少，你能根据名字识别它们吗?
关于微分方程，我们在基础阶段要掌握的是识别和求解。
对于可分离变量的微分方程，如何识别?关键信息就在它的名字中——“可分离变量”。
如果所给微分方程的x和y是完全可以分开的，那么这就属于此类方程。
它的解法也与名字“可分离变量”直接相关——通过恒等变形把x和y
的式子移到等式的两边，然后两边求不定积分即可。
对于齐次微分方程，也可以通过名称识别：齐次是什么意思?字面含义是次数相等。
“齐次微分方程”的“齐次”指方程的每一项关于x、y次数都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均为二次项(注意“齐次线性方程组”中的“齐次”是指每个方程的每一项关于x的次数相等; “二阶常系数齐次线性微分方程”中的“齐次”指微分方程的每一项关于x的次数相等(都是零次))。
那么如果一个一阶微分方程，每一项x、y次数都相等，那么就属于此类型。
对于一阶线性微分方程，识别的关键也在其名字——“一阶线性”。
“一阶”体现在导数的最高阶数是一阶，“线性”在数学中即一次的意思，如线性函数即为一次函数，体现在微分方程关于y的导数和y是一次的，即不会出现y的导数的平方或y的导数乘以y这种非线性的项。
对于二阶常系数非齐次线性微分方程，可以类似按关键字“二阶”、“常系数”、“非齐次”和“线性”理解。
其实，这部分内容也可以理解成“顾名思义”。
如果你也觉得挺有意思，那不妨自己主动去发现。
4. 有时，我们可以用联想把数学和其它学科联系起来，体会某种“异质同构”的乐趣。
(1)求极限的题目中，如果是这种类型的：分子分母均为若干个无穷大的加减，可以用“抓大头”这种方法。
所谓“抓大头”就是原极限等于从分子分母中分别抓出起决定作用的无穷大再算极限。
这种做法是不是用点像“射人先射马，擒贼先擒王”，或者“首犯必办，胁从不论”?
(2)还有一种求极限的题目，分子或分母中有一项(非因子)是幂指型函数。
有同学直接把这个幂指型函数的极限算出来，再算剩余部分的极限。
想想他犯了什么错误?是犯了刻舟求剑的错误，还是形而上学的错误?想想这些是不是有点意思?
/shuxue/xiandai/15909.html。