2.集合运算(教师版) WPS文字 文档
集合的基本运算(课件
集合的元素
01
02
03
确定性
集合中的元素是确定的， 不存在模糊不清的情况。
互异性
集合中的元素是互不相同 的，即集合中没有重复的 元素。
无序性
集合中的元素没有顺序， 即集合中元素的排列顺序 不影响集合本身。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集。常用 希腊字母∅表示空集。
性质
空集是任何集合的子集，即对于任意集 合A，都有{}⊆A。
补集
补集是指属于全集但不属于某个特定 集合的元素组成的集合。
补集运算不满足交换律和结合律，即 AB≠BA，且(AB)C≠A (BC)。
补集运算可以用符号“”表示，例如 ：AB 表示集合A和集合B的补集。
03 集合运算的性质
交换律
定义
对于任意两个集合A和B，若A∪B=B∪A和A∩B=B∩A，则称交 换律成立。
04 集合运算的应用
在数学中的应用
集合的交、并、差运算
01
这些基本运算在数学中用于描述集合之间的关系，如两个集合
的共有元素、所有元素等。
集合的对称差运算
02
在数学中，对称差运算用于描述两个集合之间的相对差异，即
属于一个集合但不属于另一个集合的元素。
集合的补运算
03
补运算用于描述全集中不属于某个集合的元素组成的集合，即
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分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，若A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称分配律成立。
举例
设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∪(B∩C)={1,2,3,4}， (A∪B)∩(A∪C)={1,2,3,4}，满足分配律。
集合的运算与运算法则
集合的运算与运算法则在数学中，集合是最基本的概念之一。
集合是由一些确定的元素所组成的。
对于一个集合而言，可以对它进行不同的运算。
那么集合的运算有哪些呢？它们又有哪些运算法则呢？本文将为大家详细讲解。
一、集合的基本运算1. 并集运算并集运算指的是将两个或多个集合的元素合并成一个新的集合。
例如：集合A={1,2}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的并集为{1,2,3,4}。
2. 交集运算交集运算是指将两个或多个集合中公共元素取出来组成一个新的集合。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的交集为{2,3}。
3. 差集运算差集运算是指将一个集合中属于另一个集合的元素从该集合中去除。
例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的差集为{1}。
4. 补集运算补集运算指的是在一个全集中，去掉一个集合后得到的剩余部分。
假设有集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为{4,5}。
五个符号来表示集合的基本运算：并集运算：A ∪ B交集运算：A ∩ B差集运算：A - B补集运算：A’集合相等：A=B二、集合的运算法则1. 并集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。
②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∪B=B∪A。
③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。
④恒等律：对于任意的集合A来说，A∪Φ=A。
2. 交集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。
②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∩B=B∩A。
③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。
④恒等律：对于任意的集合A来说，A∩U=A。
3. 差集运算的法则①差集运算的定义：对于任意的集合A和B来说，A-B={x|x∈A 且 x∉B}。
(完整word版)《集合》公式汇总
《集合》公式汇总(一）元素与集合1、元素与集合的关系:∈∉、∈，读作“a属于A”若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A∉，读作“a不属于A".若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2，3,5}描述法：{x｜x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素. 形如：｛x｜x2＋2x－3＞0}}图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。
3、常见数集的符号表示：自然数集(非负整数集）N；或N*；正整数集N+整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R+（二)集合间的基本关系（2）A=∅=（3)A B真子集A B（1）读作“A真包含于B”或“B真包含A”（2）A=∅非空真子集A B且A≠∅空集∅空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。
2、集合个数：★★★★★集合A中有n个元素,则集合A的子集有（2n）个，真子集有（21n-）个n-)个，非空真子集有（22元素子集真子集非空子集非空真子集n2n21n-21n-n-22(三)集合的基本运算及运算法则集合韦恩图数轴表示交集在画数轴时，要注意层次感和实心空心!并集只要是线下面的部分都要！补集UUAA注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外 Cu （A ∩B ）=Cu A ∩Cu B Cu （A ∪B ）=Cu A ∪Cu B2、常见结论： 若A ∪B=B ，则A B ⊆ 若A B A =，则A B ⊆。
专题18 集合的基本运算(补集与集合的综合应该运算)(教师版)
专题18集合的基本运算（补集与集合的综合应该运算）学习目标1.在具体情境中，了解全集的含义2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集高中必备知识点2：补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言[知识点拨](1)简单地说，∁U A是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．典例剖析高中必会题型1：补集的运算1．设全集{}22,3,23U a a =+-，{}1,2A a =+，{}5U A =ð，求a 的值【答案】2a =或4a =-.因为{}5U A =ð，所以5U ∈，2235a a +-=，解得2a =或4a =-，当2a =时，{}2,3,5U =，{}3,2A =，满足{}5U A =ð，符合题意；当4a =-时，{}2,3,5U =，{}3,2A =，满足{}5U A =ð，符合题意；所以2a =或4a =-.2．已知全集{}321,3,2S x x x =--，{}1,21A x =-如果{}0S A =ð，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由.【答案】存在，是1x =-或2x =.∵{}0S A =ð，∴0S ∈且0A ∉，即3220x x x --=，解得1230,1,2x x x ==-=，当0x =时，211x -=，1是A 中的元素，不符合题意；当1x =-时，213x S -=∈；当2x =时，213x S -=∈.∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =.3．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，A U ⊆，B U ⊆，且{3,5}A B = ，{4,8}U A B ⋂=ð，{1}U U A B ⋂=痧，求集合A ，B ．【答案】{3,4,5,8}A =，{2,3,5,6,7}B =因为{3,5}A B = ，所以3,5A ∈且3,5B ∈，因为{4,8}U A B ⋂=ð，所以4,8A ∈且4,8B ∉，因为{1}U U A B ⋂=痧，所以{}2,3,4,5,6,7,8A B = ，因此有{3,4,5,8}A =，{2,3,5,6,7}B =.4．设集合{}22,3,23A a a =+-，{}21,2B a =-.（1）若{}5A C B =，求实数a 的值；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）2a =；（2）{2--.（1）由5A C B =得：2235213a a a ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得：2a =；（2）①若213a -=，解得：2a =或1a =-，当2a =时，2235a a +-=，满足题意，当1a =-时，2234a a +-=-，满足题意，②若22123a a a -=+-，解得：a =或2a =--当a =时，{}1A =-，{}1,2B =-，满足题意，当2a =--{2,3,5A =+，{}5B =+，满足题意，综上所述，实数a 的取值集合为：{2--.5．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若()R A B A ⋂=ð，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-．高中必会题型2：集合的交并、补集的综合运算1．已知U ={x ∈R |1<x ≤7}，A ={x ∈R |2≤x <5}，B ={x ∈R |3≤x ≤7}.求：（1）A ∪B ；（2）(ðU A )∪(ðU B ).【答案】（1）A ∪B ={x |2≤x ≤7}；（2）(ðU A )∪(ðU B )={x |1<x <3或5≤x ≤7}.(1)因为A ={x |2≤x <5}，B ={x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ={x |2≤x ≤7}.(2)因为U ={x |1<x ≤7}，A ={x ∈R |2≤x <5}，B ={x ∈R |3≤x ≤7}.所以ðU A ={x |1<x <2或5≤x ≤7}，ðU B ={x |1<x <3}，所以(ðU A )∪(ðU B )={x |1<x <3或5≤x ≤7}.2．已知集合3|52⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭A x x ，{|1B x x =<或2}x >，U =R ．（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）求()U A B ⋃ð．【答案】（1）(5,1)-（2）(5,2]-（1）因为3|52⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭A x x ，{|1B x x =<或2}x >，所以=(5,1)A B - （2）由{|1B x x =<或2}x >，U =R 知[1,2]U B =ð，所以()(5,2]U A B =- ð.3．已知全集}{1,2,3,4,5,6,7U =.集合}{1,2,4,6A =,}{2,4,5,7B =.（1）求U A ð；（2）求U ()A B ð.【答案】（1）{}3,5,7；（2）{}1,2,3,4,6解：（1）因为全集}{1,2,3,4,5,6,7U =.集合}{1,2,4,6A =,.所以{}U 3,5,7A =ð（2）因为}{2,4,5,7B =，所以}{U 1,3,6B =ð，所以(){}U 1,2,3,4,6A B = ð4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,3,6}A =，集合{1,2,3,5}B =，（1）求A B ，U B ð；（2）求()U A B ð，()U A B ð.【答案】（1）{1,2,3,5,6},{4,6,7}U A B B ⋃==ð；（2）(){1,5}U A B ⋂=ð，(){1,4,5,6,7}U A B ⋂=ð.（1）因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,6}A =，{1,2,3,5}B =，所以{1,2,3,5,6}A B ⋃=，{4,6,7}U B =ð；（2）因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,6}A =，{1,2,3,5}B =，所以{}1,4,5,7U A =ð，{}2,3A B ⋂=，所以(){1,5},(){1,4,5,6,7}U U A B A B ⋂=⋂=痧.5．已知全集U =R ，集合{|4},{|66}A x x B x x =>=-<<．（Ⅰ）求A B 和A B ；（Ⅱ）求U B ð．【答案】（Ⅰ）{}|46A B x x =<< ，{}|6A B x x ⋃=>-；（Ⅱ）{|6U B x x =≤-ð或}6x ≥（Ⅰ）{}|4A x x => ,{}|66B x x =-<<，{}|46A B x x ∴=<<I ,{}|6A B x x ⋃=>-（Ⅱ）U =R ，{}|66B x x =-<<，{|6U B x x ∴=≤-ð或}6x ≥高中必会题型3：与补集有关的求参数问题1．已知集合U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B )=___________.【答案】{﹣2，3}解：∵U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，∴A ∪B ={﹣1，0，1，2}，∁U (A ∪B )={﹣2，3}.故答案为：{﹣2，3}.2．已知集合{}37|A x x =≤＜，{}210|B x x =＜＜，则()A A B U ð＝_____．【答案】∅∵{}37|A x x =≤＜，{}210|B x x =＜＜，∴{}2|10A B x x =＜＜U ，∴()A A B =∅U ð．故答案为：∅．3．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,4M =，{}1,2,3N =，则()U M N ⋂=ð______．【答案】{}2,3由题意{}0,2,3,5U M =ð，而{}1,2,3N =，所以(){}2,3U M N = ð．故答案为：{}2,3.4．已知全集U Z =，{}1,0,1,2A =-，{}2|B x x x ==，则U A C B ⋂=_______【答案】{}1,2-.因为全集U Z =，{}{}2|0,1B x x x ===，所以{}|,0,1U C B x x Z x x =∈≠≠，又因为{}1,0,1,2A =-，所以{}1,2U A C B ⋂=-，故答案为：{}1,2-.5．已知全集U Z =，定义{}|,A B x x a b a A b B ==⋅∈∈ 且，若{}1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B = ___________.【答案】{}|||4,x x x Z ≥∈由题意可知，{}3,2,1,0,1,2,3A B =--- ，所以{}()|||4,U C A B x x x Z =≥∈ .故答案为：{}|||4,x x x Z ≥∈对点精练1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，全集U =A ∪B ，则集合ðU (A ∩B )=（）A ．{1，2，3，5}B ．{1，2，3}C ．{1，2，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C因为A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，所以全集U =A ∪B ={1，2，3，4，5}，A ∩B ={3，4}，所以U (A ∩B )={1，2，5}.故选：C.2．已知集合M ＝{x ∈R|x 2﹣2x ＝0}，U ＝{2，1，0}，则U M =ð（）A ．{0}B ．{1，2}C ．{1}D ．{1，0，2}【答案】C 解：集合M ＝{x ∈R|x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，U ＝{2，1，0}，则{}U 1M =ð．故选：C ．3．设全集{}*,6U xx N x =∈<∣，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B 等于（）A ．{2,4}B ．{1,5}C ．{2,5)D ．{1,4}【答案】A由题得{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A B ⋃= ，(){2,4}U C A B ∴⋃=.故选：A4．已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=ð（）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-【答案】C {}{}2914027B x x x x x =-+<=<< ,{2U B x x ∴=≤ð或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-ð.故选：C.5．已知全集{}1,0,1,2,3,4U =-，集合{}1,A x x x =≤∈N ，{}1,3B =，则()U A B = ð（）.A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4-D ．{}1,0,2,4-【答案】C {}{}1,0,1A x x x =≤∈=N ,{}0,1,3A B ∴⋃=,(){}1,2,4U A B ∴=- ð.故选：C.6．设U =R ，N ={x |-2<x <2}，M ={x |a -1<x <a +1}，若ðU N 是ðU M 的真子集，则实数a 的取值范围是（）A ．-1<a <1B ．-1≤a <1C ．-1<a ≤1D ．-1≤a ≤1【答案】D因为ðU N 是ðU M 的真子集，所以M 是N 的真子集，所以a -1≥-2且a +1≤2，等号不同时成立，解得-1≤a ≤1.故选：D7．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若R A B ⊆ð，则实数a 的取值范围为（）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥【答案】C因为{}{},14||A x x a B x x =<=<<，所以|1{R B x x =≤ð或}4x ≥，因为R A B ⊆ð，所以1a ≤.故实数a 的取值范围为{}|1a a ≤故选：C 8．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅ð，则a 的取值范围为（）A ．3a >B ．3a C ．9a <D ．9a 【答案】C因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ，所以{|39}U A x x =<ð，又因为()U A B ⋂≠∅ð，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C9．已知集合{(3)(1)0}A x x x =-+>，{}11B x x =->，则()R A B = ð（）A ．[1,0)(2,3]- B ．(2,3]C ．(,0)(2,)-∞+∞ D ．(1,0)(2,3)- 【答案】A 集合{{(3)(1)0}3A x x x x x =-+>=或}1x <-，集合{}{112B x x x x =->=或}0x <，则 {}13R A x x =-≤≤，( {)10R A B x x ⋂=-≤<或}23x <≤故选：A.10．设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为（）A ．()M P SB ．()()U M PC S C ．()M P SD ．()()U M P C S 【答案】B 由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x ∉S ，∴x ∈U C S ，且x ∈M ∩P ，因此x ∈（U C S ）∩（M ∩P ）．故选：B ．11．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁U M=()A ．{x|-1<x<3}B ．{x|-1≤x≤3}C ．{x|x<-1或x>3}D ．{x|x≤-1或x≥3}【答案】C由题意，全集U =R ，集合{|13}M x x=-＃，所以{|1U C M x x =<-或3}x >，故选C.12．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若(∁R M )⊇(∁R N )，则k 的取值范围是()A ．k ≤2B ．k ≥－1C ．k >－1D ．k ≥2【答案】D【解析】由()()M N ⊇R R 痧可知M N ⊆，则k 的取值范围为2k ≥.故选D.13．已知集合U ＝R ，A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |x ﹣a ＜0}，若满足U B A ⊆ð，则实数a 的取值范围为__.【答案】a ≤﹣1求出∁U A ，再利用集合的包含关系即可求解.因为A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，B ＝{x |x ﹣a ＜0}＝{x |x ＜a }若B ⊆∁U A ，则a ≤﹣1.故答案为：a ≤﹣1.14．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．【答案】{135}，，【解析】M ∪N 元素去掉M∩∁U N 元素得N ＝{1，3，5}15．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A∩B)＝________.【答案】{1，4，5}因为集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}所以A∩B ＝{2，3}，所以∁U (A∩B)＝{1，4，5}．故答案为{1，4，5}.16．已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R|−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且R M P Íð，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥2【解析】由题意得M ＝{x |−2＜x ＜2}，R P ð＝{x |x ＜a }．∵M ⊆R P ð，∴由数轴知a ≥2.17．已知集合U ={x ∈Z |-2<x <10}，A ={0，1，3，4，8}，B ={-1，1，4，6，8}.求A ∩B ，ðU (A ∪B )，A ∩(ðU B )，B ∪(ðU A ).【答案】A ∩B ={1，4，8}，ðU (A ∪B )={2，5，7，9}，A ∩(ðU B )={0，3}，B ∪(ðU A )={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.集合U ={x ∈Z |-2<x <10}={-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ={0，1，3，4，8}，B ={-1，1，4，6，8}，所以A ∩B ={1，4，8}，A ∪B ={-1，0，1，3，4，6，8}，所以ðU (A ∪B )={2，5，7，9}，又ðU B ={0，2，3，5，7，9}，ðU A ={-1，2，5，6，7，9}，所以A ∩(ðU B )={0，3}，B ∪(ðU A )={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.18．已知全集U =R ，集合{}32A x x =-<<，{}16B x x =≤≤，{}121C x a x a =-≤≤+.（1）求()U A B ð；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2x x <或}6x >，（2）2a <-解：（1）因为全集U =R ，{}16B x x =≤≤，所以{U 1B x x =<ð或}6x >，因为{}32A x x =-<<所以(){U 2A B x x =< ð或}6x >，（2）因为{}32A x x =-<<，{}16B x x =≤≤，所以{}12A B x x =≤< ，当集合C =∅时，()C A B ⊆⋂成立，则121a a ->+，解得2a <-，当集合C ≠∅时，则12111212a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得a ∈∅，综上，a 的取值范围2a <-19．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}.求：（1）A ∩B ；（2）∁U (A ∪B )；（3）A ∩(∁U B ).【答案】（1）{}|02x x <<；（2）{|1x x ≤-或3}x >；（3）{|10}x x -<≤.(1)因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |0<x ≤3}＝{x |0<x <2}.(2)A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |0<x ≤3}＝{x |－1<x ≤3}，∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x >3}.(3)A ∩(∁U B )＝{x |－1<x <2}∩{x |x >3或x ≤0}＝{x |－1<x ≤0}.20．已知集合A={x|x 2-x-2=0}，B={x|x 2+mx+m-1=0}.（1）当m=1时，求(∁R B )∩A ;（2）若(∁R A )∩B=⌀，求实数m 的取值.【答案】（1）(∁R B )∩A={2}；（2）m 的取值为2或-1.解方程x 2-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x=-1，或x=2.故A={-1，2}.（1）当m=1时，方程x 2+mx+m-1=0为x 2+x=0，解得x=-1，或x=0.故B={-1，0}，∁R B={x|x ≠-1，且x ≠0}.所以(∁R B )∩A={2}.（2）由(∁R A )∩B=⌀可知，B ⊆A.方程x 2+mx+m-1=0的判别式Δ=m 2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.①当Δ=0，即m=2时，方程x 2+mx+m-1=0为x 2+2x+1=0，解得x=-1，故B={-1}.此时满足B ⊆A.②当Δ>0，即m ≠2时，方程x 2+mx+m-1=0有两个不同的解，故集合B 中有两个元素.又因为B ⊆A ，且A={-1，2}，所以A=B.故-1，2为方程x 2+mx+m-1=0的两个解，由根与系数之间的关系可得-(-1)2-1(-1)2m m =+⎧⎨=⨯⎩，，解得m=-1.综上，m 的取值为2或-1.21．全集U =R ，对集合A 、B 定义U A B A B -=⋂ð，定义()()A B A B B A ∆=-⋃-.若集合{}{}|15|37A x x B x x =<≤=≤≤，，求A B ∆.【答案】{13x x <<或}57x <≤解：因为{}{}|15|37A x x B x x =<≤=≤≤，，所以{1U A x x =≤ð或}5x >，{3U B x x =<ð或}7x >，所以{}13U A B A B x x -=⋂=<<ð，{}57U B A B A x x -=⋂=<≤ð，所以{()()13A B A B B A x x ∆=-⋃-=<<或}57x <≤22．已知集合{A x x a =<或}21x a >+，{}24B x x =≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）当a 取使不等式21x ax +≥恒成立的a 的最小值时，求()R C A B .【答案】（1）{a a ≤}2a ≤≤；（2）{}24x x ≤≤.（1）{A x x a =<或}21x a >+，{}24B x x =≤≤，()22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭ ，21a a ∴<+，若A B =∅ ，则2214a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得a ≤或2a ≤≤，所以a的取值范围为{a a ≤}2a ≤≤；（2）由21x ax +≥得210x ax -+≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，所以a 的最小值为2-，当2a =-时，{|2A x x =<-或}5x >{}25R C A x x ∴=-≤≤，(){}24R C A B x x ∴⋂=≤≤。
集合的概念与运算
分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，如果A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称集合的运算满足分配律。
解释
分配律意味着并集和交集运算可以分配给括号内的并集和交集运算。 即，括号内的并集和交集运算的结果可以与外部的并集和交集运算 的结果进行交换。
伍 集合的应用
集合的元素
元素可以是具体的， 如苹果、汽车等；也 可以是抽象的，如数 字、图形等。 元素是构成集合的基 本单位，可以是任何 对象或实体。
并集
并集是将两个集合中 的所有元素合并到一 个新的集合中。 并集运算可以用符号 “∪”表示。
交集
交集运算可以用符号“∩”表示。 交集是两个集合中共有的元素组成的集合。
壹
集合的概念与运算
目录 CONTENTS
0 1 集合的基本概念
0 4 集合的应用
0 2 集合的运算
0 5 集合运算的注意事项
0 3 集合运算的性质
贰 集合的基本概念
集的定义
集合中的元素具有确定性、 互异性和无序性。 集合是由确定的、互不相 同的元素所组成的总体。
集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出 来，用大括号括起来。 列举法 通过描述集合中元素的共同 特征，用大括号括起来。 描述法
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合，即同时属于A和B的元素组成的集合。 交集的表示方法为A∩B，其中A和B为两个集合。 交集的性质包括交换律、结合律和分配律。
差集
差集是指属于A但不属于B的元素的集合，即所有属于A但不属于B的元素组成的集合。 差集的表示方法为A−B，其中A和B为两个集合。 差集的性质包括反身律、对称律和传递律。
解释
集合的基本运算-(教师版)
并集、交集、补集
并集
交集
补集
由所有属于集合或属于
由属于集合且属于集合
对于集合，由全集中不
集合的元素所组成的集
的元素所组成的集合，
属于集合的所有元素组
合，称为集合与的并集.
称为集合与的交集.
成的集合，称为集合相
概念
对于全集的补集.
记号
符号
⋃(读作:并)
② 结合律 (⋃)⋃ = ⋃(⋃)，(⋂)⋂ = ⋂(⋂)；
③ 分配律 (⋂)⋃ = (⋂)⋃(⋂)，(⋃)⋂ = (⋂)⋃(⋂)；
④ 德摩根律 ∁(⋃) = (∁)⋂(∁)，∁(⋂) = (∁)⋃(∁).
【典题 1】离散型集合运算
【解析】由中方程变形得：( +4) = 0，
解得： = 0或 = ―4，即 = { ― 4,0}，
由 = {|2 +2( +1) + 2 ―1 = 0}，其中 ∈ ，且 ∩ = ，
分两种情况考虑：
若 = ∅时，Δ = 4( +1)2 ―4(2 ― 1) = 8 +8 < 0，即 ≤ ―1，满足题意；
数的取值范围.
【解析】
∵ 2 +8 = 0， ∴ ( + 8) = 0，解得 = 0或 = ―8．
∴ = {0 , ― 8}．
∵ ∪ = ， ∴ ⊆ ,
(利用venn图理解下这个结论)
∴ 可能为∅ , {0} , {－8} , {0 , －8}．
方程2 +2( + 2) + 2 ―4 = 0( ⊗ )的 △= 4( + 2)2－4(2 ―4) = 16( + 2)．
数学集合的运算ppt课件
差集的定义
差集定义
差集表示属于A但不属于B的元素 组成的集合，记作A-B。
举例说明
如果A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}， 则A-B={1,3,5}。
差集的性质
差集的对称性
A-B=B-A的逆否命题是成立的，即如 果A-B=C，那么B-A=D，其中D是C 的补集。
差集的传递性
如果A-B=C，B-C=D，那么A-C=E， 其中E是D的补集。
符号表示
用符号“∩”表示交集， 例如集合A和集合B的交集 记作A∩B。
举例
若集合A={1,2,3,4}，集合 B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
交集的性质
01
02
03
04
空集是任何集合的交集：对于 任意集合A，空集与A的交集是
空集，记作∅∩A=∅。
任何集合与空集的交集是其本 身：对于任意集合A，A∩∅=A。
集合的逻辑
集合运算可以用于逻辑推理，例 如集合的包含关系和排中律。
在计算机科学中的应用
数据结构
集合运算用于实现各种数据结构，如 并查集和动态集合。
算法设计
数据库查询
集合运算用于数据库查询语言（如 SQL）中，实现数据的筛选、连接和 汇总。
集合运算在算法设计中用于处理数据 和解决问题，例如排序算法和图算法。
对于任意集合A，有A∩A=A。
03 集合的并集运算
并集的定义
并集的定义
由两个或两个以上的集合中的所有元素组成的集 合称为这几个集合的并集。
并集的符号表示
记作A∪B，读作“A并B”。
并集的元素
并集中的元素是原集合中所有不重复的元素。
并集的性质
01
集合运算公式大全
集合运算公式大全集合是数学中的一个重要概念，它是由若干个确定的元素所组成的整体。
在集合的运算中，我们常常会用到一些基本的运算公式，这些公式在解决问题时起着至关重要的作用。
本文将为大家介绍集合运算的各种公式，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
1. 并集运算公式。
对于集合A和B的并集运算，我们有以下公式：A ∪B = {x | x∈A 或 x∈B}。
这个公式表示A和B的并集是包含了A和B中所有元素的集合。
换句话说，A∪B中的元素要么属于A，要么属于B，或者同时属于A和B。
2. 交集运算公式。
对于集合A和B的交集运算，我们有以下公式：A ∩B = {x | x∈A 且 x∈B}。
这个公式表示A和B的交集是包含了A和B中共同元素的集合。
换句话说，A∩B中的元素既属于A，又属于B。
3. 补集运算公式。
对于集合A的补集运算，我们有以下公式：A' = {x | x∈U 且 x∉A}。
其中U表示全集。
A'中包含了全集U中属于A的元素的补集。
换句话说，A'中的元素属于U，但不属于A。
4. 差集运算公式。
对于集合A和B的差集运算，我们有以下公式：A B = {x | x∈A 且 x∉B}。
这个公式表示A-B是包含了A中属于B的补集的集合。
换句话说，A-B中的元素属于A，但不属于B。
5. 对称差运算公式。
对于集合A和B的对称差运算，我们有以下公式：A △B = (A B) ∪ (B A)。
这个公式表示A△B是A-B和B-A的并集。
换句话说，A△B中的元素属于A-B或者属于B-A。
以上就是集合运算的几种基本公式，它们在解决实际问题时非常有用。
通过运用这些公式，我们可以更方便地处理集合之间的关系，解决各种实际问题。
除了基本的集合运算公式外，还有一些特殊的集合运算，比如笛卡尔积、幂集等。
这些运算也有各自的公式和性质，但由于篇幅有限，本文不再一一介绍。
总之，集合运算公式是数学中非常重要的一部分，它们在解决问题时起着至关重要的作用。
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集合运算
学习目标：
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
③ 能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算.
一、基础知识
1.交集:定义_________________,表示=B A _____________，图示
交集的性质:
2.并集: 定义_________________,表示=B A _____________，图示
并集的性质:
3.全集：
4．补集: 定义________________,表示=A C U _____________，图示
补集的性质:
5. ⑴A B A B A =⇔⊆； ⑸u A B U A B =⇔⊆ð
⑵A B B B A =⇔⊆； ⑹()U C A B U U C A C B =；
⑶A B ⊆⇔u u A B ⊇痧； ⑺()U U U C A
B C A C B =. ⑷u u A B A B =∅⇔⊆痧；
二、题型归类
（一）直接求交、并、补集
1. 1）已知集合{(,)|21},{(,)|3},P x y y x Q x y y x ==-==+求P Q . 2）已知集合22{|,},{|23,},P y y x x R Q y y x x R ==∈==-+∈求P Q .
2.若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）
A.}{2,1A
B =-- B.()(,0)R
C A B =-∞ C.(0,)A B =+∞ D.}{()2,1R C A B =--
3.已知集合****814{|
,},{|,},A x N x N B x N x N x x =∈∈=∈∈求A B .
4.设全集U R =,50,2A x x ⎧⎫=<<
⎨⎬⎩⎭21,32B x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或
求u A ð，u B ð， u A ðu B ð．
5.设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差集为:}|{P x and M
x x P M ∉∈=-,
则=--)(P M M ( )
A. P
B.P M
C.P M
D. M 6.设全集为⋃，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分。
（1）
（2） （3）
（二）已知交、并、补集，求字母值或范围
1. 设(){}(){},30,,0T x y ax y S x y x y b =+-==--=.若(){}2,1S T =,则
a =_______,
b =_______.
2.若集合{1,2,4,}P m =与2{2,}Q m =，满足{1,2,4,}P Q m =，求由实数m 的值所组成
的集合.
3. 已知22{|20},{|6(2)50},S x x px q T x x p x q =-+==++++= 且12S
T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求集合S 和T .
4. 集合2{|20}A x x x p =++=，已知A
R +=∅，求实数p 的范围.
5.集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝___.
6.设{}042=+=x x x A ，}01)1(2{22=-+++=a x a x x B 其中R x ∈,如果A ⋂B =B ，求实数a 的取值范围。
三、巩固练习 1.已知全集U ={1,2,34,5,678910}.，
，，，，集合{1,2,4,5,9},A ={4,6,7,8,10},B = {3,45,7}.C =， 则 求：1）)A B C ( 2）(C )U B C 3）()U A C B C
2.定义集合的一种运算}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若 }6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ，
则M －N = ， N －M= .
3.如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
（A ）（M S P ⋂⋂) （B ）（M S P ⋃⋂)
（C ）（M ⋂P ）⋂（C U S ） （D ）（M ⋂P ）⋃（C U S ）
4.已知：集合}0q px x |x {A 2=--=，
}0p x )2q (x |x {B 2=--+=，且}1{B A = ，
求B A .
5.已知全集{1
2345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，， 则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4。