第17章_勾股定理复习课件
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人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》复习ppt课件
第十七章《勾股定理》复习
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,
则有 a2+ b2=c2。
逆定理:
三角形的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
２． 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
即b=
，c=
8、如图，小颖同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
9、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重 合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为 边长的正方形面积。
E
D
C
A
形;
最长边c 所对的角是直角.
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm,2cm ，则第三边长 为
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，求EB的长．
A
F
D
A
ห้องสมุดไป่ตู้
ED
P
A
C
BE
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,
则有 a2+ b2=c2。
逆定理:
三角形的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
２． 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
即b=
，c=
8、如图，小颖同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
9、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重 合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为 边长的正方形面积。
E
D
C
A
形;
最长边c 所对的角是直角.
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm,2cm ，则第三边长 为
类型二 构造Rt△，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，求EB的长．
A
F
D
A
ห้องสมุดไป่ตู้
ED
P
A
C
BE
最新人教版数学八年级下册第十七章 勾股定理 单元复习课件
数形结合
——《勾股定理》的单元复习课
明其理——勾股定理
2 + 2 = 2
明其理——勾股定理的历史
明其理——勾股定理的证明
在不添加辅助线的情况下，你能
用图1验证勾股定理吗？
明其理——勾股定理的证明
你能结合图1与图2，验证勾股定理吗？
明其理——勾股定理的证明
到直径，路程为1 ; 线路2——沿侧面走，
路程为2 .
（1）若a=2,r=8,哪条路线较短？
C
攀其峰——勾股定理的拓展与提升
（1）若a=2,r=8,哪条路线较短？
解：1 =2+2╳8=18
2 = 2 + 2 =
22+ (8)
2 2 2
2
∵ − =18 −
1
2
πr
2r
C
C
量关系？
解：∵在Rt△′′中，
a
∴(24 − )2 +(7 + )2 =252
即2 − 48 + 2 +14 = 0
24 −
o
b
攀其峰——勾股定理的拓展与提升
问题3：如图，高为a,上底面直径为2r的圆
柱，若一蚂蚁要从圆柱表面A点爬到B点，
现它可以从两条线路走，线路1——沿高线
+2()
若
， 2则1 2 ＝2 2
即( + 2)2 ＝ 2 + 2 2
2 −4
∴a=
r时，路线1和路线2一样长.
4
2
A
B
【知识·梳理】知识点·解题方法·数学思想
本节课你学习了什么知识？体会到
了什么数学思想？
课后作业：
一、基础巩固
——《勾股定理》的单元复习课
明其理——勾股定理
2 + 2 = 2
明其理——勾股定理的历史
明其理——勾股定理的证明
在不添加辅助线的情况下，你能
用图1验证勾股定理吗？
明其理——勾股定理的证明
你能结合图1与图2，验证勾股定理吗？
明其理——勾股定理的证明
到直径，路程为1 ; 线路2——沿侧面走，
路程为2 .
（1）若a=2,r=8,哪条路线较短？
C
攀其峰——勾股定理的拓展与提升
（1）若a=2,r=8,哪条路线较短？
解：1 =2+2╳8=18
2 = 2 + 2 =
22+ (8)
2 2 2
2
∵ − =18 −
1
2
πr
2r
C
C
量关系？
解：∵在Rt△′′中，
a
∴(24 − )2 +(7 + )2 =252
即2 − 48 + 2 +14 = 0
24 −
o
b
攀其峰——勾股定理的拓展与提升
问题3：如图，高为a,上底面直径为2r的圆
柱，若一蚂蚁要从圆柱表面A点爬到B点，
现它可以从两条线路走，线路1——沿高线
+2()
若
， 2则1 2 ＝2 2
即( + 2)2 ＝ 2 + 2 2
2 −4
∴a=
r时，路线1和路线2一样长.
4
2
A
B
【知识·梳理】知识点·解题方法·数学思想
本节课你学习了什么知识？体会到
了什么数学思想？
课后作业：
一、基础巩固
八年级数学：17.章《勾股定理》复习课件 课件共18张PPT
∵CD=DE C D
, AD=AD
E ∴ Rt△ACD Rt△AED A ∴ AC=AE 在 Rt△ABC中, AC2+BC2=AB2
2+42=(x+2)2 即 : x 令AC=x,则AB=x+2 ∴ x=3
1 2
B
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
A组 课本P38-39页 B组课本P38-39页1-13题 C组课本P38-39页1-11题
•18
方程 思想 3、已知，如图，在Rt△ABC,∠C=90°，
∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.
提示：作辅助线DE⊥AB，利
用平分线的性质和勾股定理。
C
D 1 2
A
B
过D点做DE⊥AB 解： ∵ ∠1=∠2, ∠C=90° ∴ DE=CD=1.5
在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得 BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 ∴ BE=2 在Rt△ACD和 Rt△AED中, x
３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三的高为
，面积为
．
4.已知三角形的三边长9 ,12 ,15 ,则 这个三角形的最大角是＿＿度 90 ;
5.△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则 180 ; △ABC的面积为＿＿＿＿
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
, AD=AD
E ∴ Rt△ACD Rt△AED A ∴ AC=AE 在 Rt△ABC中, AC2+BC2=AB2
2+42=(x+2)2 即 : x 令AC=x,则AB=x+2 ∴ x=3
1 2
B
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
A组 课本P38-39页 B组课本P38-39页1-13题 C组课本P38-39页1-11题
•18
方程 思想 3、已知，如图，在Rt△ABC,∠C=90°，
∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.
提示：作辅助线DE⊥AB，利
用平分线的性质和勾股定理。
C
D 1 2
A
B
过D点做DE⊥AB 解： ∵ ∠1=∠2, ∠C=90° ∴ DE=CD=1.5
在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得 BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 ∴ BE=2 在Rt△ACD和 Rt△AED中, x
３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三的高为
，面积为
．
4.已知三角形的三边长9 ,12 ,15 ,则 这个三角形的最大角是＿＿度 90 ;
5.△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则 180 ; △ABC的面积为＿＿＿＿
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个 命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
第十七章勾股定理全章复习ppt课件
(x+1)米
C 5米
B
勾股定理在立体图形中的应用
B
有一个圆柱,它的高等 于12厘米,底面半径等于 3厘米,在圆柱下底面上 的A点有一只蚂蚁,它想 从点A爬到点B , 蚂蚁沿
着圆柱侧面爬行的最短 路程是多少? (π的值取3)
我怎 么走 会最 近呢?
A
B
9cm B
高 12cm
A
A 长18cm (π取3)
图①
图②
图1
图③
小红同学的做法是：
设新正方形的边长为x(x＞0).依题意，割补前后图形的面积相等，
有x2＝5，解得x＝ 5 . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形
组成得矩形对角线的长.于是，画出图②所示的分割线，拼出如图
③所示的新正方形.
本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
③若c=61，b=60，则a=__1__1______；
④若则aR∶t△b=A3B∶C4的，面c=积1为0，____2_4___.
解三角形：设未知数求长度
小明同学想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米， 当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他 算出来吗？
A
x米
平面展开问题
判断一个三角形是否为直角三角形
1. 直接给出三边长度，如3,4,5; 2.间接给出三边的长度或比例关系 （1）.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其 他两边之差为1cm,则这个三角形是___________. （2）．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后， 得到的三角形是 ____________．
比
5
一
比8
17章勾股定理小结与复习(课件)
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三
角形?你作判断的依据是什么?
4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?
5.一个命题成立，它的逆命题未必成立。请举例说明.
知识点梳理： 一、勾股定理
A
A
17
17
10
8
B
D
C
10
B
C
本章思想方法： 二、方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的
等量关系，利用勾股定理列方程。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿
直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
∆ SAB，其中SA=SB，AB是圆维底面圆O的直径，已知SA=7cm,AB=4cm,
求截面∆SAB的面积.
∆ =
考题分类：
[题型一]：勾股定理的实际应用
教材38页复习题17
3.如图，车床齿轮箱党要钻两个圆孔，两孔中心的距离是 134 m，两
孔中心的水平距离是77mm.计算两孔中心的垂直距离(结果保留小数点后
[题型二]：勾股定理的直接应用
教材38页复习题17
7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 +1和2 -1，求斜边c的
长.
c=
8.如图，在∆ABC中，AB=AC=BC，高AD=h.求AB
AB=
考题分类：
[题型三]：勾股定理的逆定理应用
教材38页复习题17
5.一个三角形三边的比为1: :2，这个三角形是直角三角形吗?
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三
角形?你作判断的依据是什么?
4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?
5.一个命题成立，它的逆命题未必成立。请举例说明.
知识点梳理： 一、勾股定理
A
A
17
17
10
8
B
D
C
10
B
C
本章思想方法： 二、方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的
等量关系，利用勾股定理列方程。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿
直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
∆ SAB，其中SA=SB，AB是圆维底面圆O的直径，已知SA=7cm,AB=4cm,
求截面∆SAB的面积.
∆ =
考题分类：
[题型一]：勾股定理的实际应用
教材38页复习题17
3.如图，车床齿轮箱党要钻两个圆孔，两孔中心的距离是 134 m，两
孔中心的水平距离是77mm.计算两孔中心的垂直距离(结果保留小数点后
[题型二]：勾股定理的直接应用
教材38页复习题17
7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 +1和2 -1，求斜边c的
长.
c=
8.如图，在∆ABC中，AB=AC=BC，高AD=h.求AB
AB=
考题分类：
[题型三]：勾股定理的逆定理应用
教材38页复习题17
5.一个三角形三边的比为1: :2，这个三角形是直角三角形吗?
第十七章勾股定理复习课 课件
方法总结
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开 方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们 的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到 达建筑物的高度是___4___米．
6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方 是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆 卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家 具的卡车能否通过这个通道？
7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相
距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经
过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？
解：根据题意得∠AOC=30°， ∠COB=45°，AO=1000米. ∴AC=500米，BC=OC.
北 60° A
∵2c-b=12，
∴10k-4k=12，
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
1 2
×6×8=24．
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个 角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船 是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mil#43;302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
针对训练
8.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6
八年级数学下册 第十七章 勾股定理复习课件
【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题(wèntí)，可用勾股 定理先求出第三边再求解．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
cb2a242327,
又∵S△ABC＝
1 2
b•BD＝
1 2
ac，
BDac6 73 7. b8 4
第六页，共二十页。
A D4
B3 C
例3 已如图，一架云梯(yúntī)25米，斜靠在一面墙上， 梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯 子的底部在水平方向上滑动了（ ） C
所以矩形(jǔxíng)塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．
11.解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边 的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间 关系式求解. 答案：6.5s． 12.．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等 于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是 20m/s=72km/h＞km/h．
＝n4＋2n2＋1，从而(cóng ér)a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是
直角三角形．
第八页，共二十页。
方 位
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每
角
问
小时8 n mile的速度(sùdù)前进，乙船沿南偏东某个角度以
题
(
每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到
第十页，共二十页。
解:由折叠(zhédié)可知FC=BC=10，BE=FE. 在长方形ABCD中，DC=AB=8 ， AD=BC=10，∠D=90°. ∴DF=6， AF=4. 设BE=FE=x，则AE=8-x . 在Rt△AFE中，由勾股定理得
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
cb2a242327,
又∵S△ABC＝
1 2
b•BD＝
1 2
ac，
BDac6 73 7. b8 4
第六页，共二十页。
A D4
B3 C
例3 已如图，一架云梯(yúntī)25米，斜靠在一面墙上， 梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯 子的底部在水平方向上滑动了（ ） C
所以矩形(jǔxíng)塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．
11.解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边 的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间 关系式求解. 答案：6.5s． 12.．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等 于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是 20m/s=72km/h＞km/h．
＝n4＋2n2＋1，从而(cóng ér)a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是
直角三角形．
第八页，共二十页。
方 位
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每
角
问
小时8 n mile的速度(sùdù)前进，乙船沿南偏东某个角度以
题
(
每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到
第十页，共二十页。
解:由折叠(zhédié)可知FC=BC=10，BE=FE. 在长方形ABCD中，DC=AB=8 ， AD=BC=10，∠D=90°. ∴DF=6， AF=4. 设BE=FE=x，则AE=8-x . 在Rt△AFE中，由勾股定理得
第17章 勾股定理复习课(16张PPT)
6、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， 则此三角形为 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 7、若三角形的三边满足 ， 则这个三角形中最大的角为
.
2015-3-27
如图：△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24， 求AC的长。
一人板演，合作完成
2015-3-27
如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm， CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝900， 求四边形ABCD的面积。
2015-3-27
为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示 AB所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在 的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B， 已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km， 试问：图书室E应该建在距点A多少km处， 才能使它到两所学校的距离相等?
第十七章勾股定理复习课源自如果直角三角形的 俩边是a.b,斜边为c， 则 a2 + b2 = c2
勾股定理
命题 定理
互 逆 定 理 实际问题
勾股定理的逆定理
如果三角形三边为a.b.c满足 三角形是直角三角形
a +b = c
2
2
2
类型一：运用定理计算
1、一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm， 那么这个直角三角形斜边为 13㎝ 2. 如图将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm， 高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的 长度是为hcm，则h的取值范围是___________. 11 h 12
5
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在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， ∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c， 则a∶b∶c=__________ 。
3、如图，平面直角坐标系中,AB⊥AC. 求点B的坐标。
AC² ＝AO² ＋CO²＝1² ＋2²＝5 AB² ＝AO² ＋BO²＝2²＝ x² ＋4 BC² ＝(x＋1)²
2：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中 A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4km，现欲在河岸上M处建一个水泵站向A、 B两村送水，当M在河岸上何处时，到A、B两村 铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 1 C M 4 4 5 2 D 1 E
A′
• 3、如图，在三角形ABC中，AC=BC=2， ∠ACB=90o，D为BC的中点，E为AB边上的一 动点，则EC+ED的最小值为_______
S1 S3 S2
S5
S4
二、分类讨论思想
1、已知直角三角形的两直角边长分别是5和12， 则第三边为 13 。
2、已知直角三角形的两条边长分别是5和12， 则第三边为 13或 119 。
3、已知在ΔABC中，AB=10，AC=17,BC边的 高为8,则边BC的长为（ D ） A 21 B 6 C 21或 6 D 以上都不对
x 25－x
X＝15
五、直角三角形斜边上的高的求法
1.若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则 60 斜边上的高为 13 c m ．
直角边 a 直角边 b 斜边上的高 斜边 c
2.某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为 生物园，如图AC＝80米,BC=60米,若线段CD为一条 水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米， 则点D在距A点多远，水渠的造价最低,最低价是多少？
2
X＝4 B（- 4,0）
x （-x，0）
1
八、勾股定理与最短距离问题
1, 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村庄 和B村庄送水，已知A、B两村庄到河边的距离分别为 2km和7km，且二村庄相距13km． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在 图中设计出水泵站的位置。 （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺 设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用 为多少元？
25 X＝ 4
8-x 6 x 8
x
1 S△BED＝ DE•AB 2 75 ＝ 4
4、如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄 若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要 在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离 相等.（1）求E应建在距A多远处？ （2）DE和EC垂直吗？试说明理由
C
60
B
80
A
D
六、勾股定理与等腰（边）三角形
1、在ΔABC中， AB=AC=10， BC=12，则ΔABC 48 A 的面积为___________
B
C
D
2、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积 为______ 3
七、勾股定理与平面直角坐标系
1、在平面直角坐标系中，已知点P的 坐标是(1,2)，则OP的长为（
勾股定理
1、已知△ABC是直角三角形，两直角边 长分别为5,12，则斜边长为 13 .
B a C b c A
勾股定理的逆定理
2、已知三边长分别为5，12，13， 则△ABC为 直角 三角形.
3 5 7 8 9
4 12 24 15 40
5 13 25 17 41
6 8 10 9 12 15 12 16 20 ……
• 5,变式题： 求代数式
( x 5 ) 36 ( 10 x ) 4
• 的最小值。
2
2
九、辅助线思想（构造直角三角形）
1、如图，已知△ABC中，∠B=450，∠C=300， AB= 2 ，求BC的长？
A
B
D
C
2、如图所示是一块地，已知AD=8米，CD=6 米，∠D=900，AB=26米，BC=24米，求 这块地的面积
2 2 2 2 OP 2 OP 1 a b
5
）
y 2 P(1,2)
2
o
1 1
x
四、整体思想
1、一个直角三角Байду номын сангаас的周长为2+ 6 ，斜边长为2，
1 则其面积为_______ 2
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10， 则Rt△ABC的面积是_______ 24
x3、一个直角三角形的周长为24cm，面积为24cm² ， 则斜边长为_____ 10 cm
一、勾股树
1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和 25 为 。
S2 S3
S1
2、如图所示，图中所有三角形是直角三角 形，所有四边形是正方形，s1=9，s3=144， s4=169 ，则s2= 16 ．
A
E
C’ ? 2 E’
C
D
1
B
• 4、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. • (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； • (2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小? • (3)根据(2)中的规律和结论, • 请构图求出 代数式的最小值.
十、勾股定理与全等
如图所示，直线L过正方形ABCD的顶点B， 点A,C到直线L的距离是1和2，则正方形 ABCD的边长是（ 5 ）
D
C A 1
E
2 B
F
L
如图，直线上有三个正方形，若A,B的面积分 别为5和11，则C的面积为（ ） 6
十一、勾股定理与直角三角形中30度角 所对的直角边等于斜边的一半相结合
A
10 B 17 8 D 15 C A 17 8 10 C 15
6
D
6
B
BC=BD＋DC=21
BC=DC－BD=9
三、方程思想
• 1、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D 恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则 6 BF=___________ 。
5
8
X+4
5
3
x
4
2、如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C’的 位置时，BC’与AD交于E，若AB=6，BC=8，求重叠 部分△BED的面积。
3、如图，平面直角坐标系中,AB⊥AC. 求点B的坐标。
AC² ＝AO² ＋CO²＝1² ＋2²＝5 AB² ＝AO² ＋BO²＝2²＝ x² ＋4 BC² ＝(x＋1)²
2：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中 A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4km，现欲在河岸上M处建一个水泵站向A、 B两村送水，当M在河岸上何处时，到A、B两村 铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 1 C M 4 4 5 2 D 1 E
A′
• 3、如图，在三角形ABC中，AC=BC=2， ∠ACB=90o，D为BC的中点，E为AB边上的一 动点，则EC+ED的最小值为_______
S1 S3 S2
S5
S4
二、分类讨论思想
1、已知直角三角形的两直角边长分别是5和12， 则第三边为 13 。
2、已知直角三角形的两条边长分别是5和12， 则第三边为 13或 119 。
3、已知在ΔABC中，AB=10，AC=17,BC边的 高为8,则边BC的长为（ D ） A 21 B 6 C 21或 6 D 以上都不对
x 25－x
X＝15
五、直角三角形斜边上的高的求法
1.若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则 60 斜边上的高为 13 c m ．
直角边 a 直角边 b 斜边上的高 斜边 c
2.某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为 生物园，如图AC＝80米,BC=60米,若线段CD为一条 水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米， 则点D在距A点多远，水渠的造价最低,最低价是多少？
2
X＝4 B（- 4,0）
x （-x，0）
1
八、勾股定理与最短距离问题
1, 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村庄 和B村庄送水，已知A、B两村庄到河边的距离分别为 2km和7km，且二村庄相距13km． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在 图中设计出水泵站的位置。 （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺 设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用 为多少元？
25 X＝ 4
8-x 6 x 8
x
1 S△BED＝ DE•AB 2 75 ＝ 4
4、如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄 若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要 在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离 相等.（1）求E应建在距A多远处？ （2）DE和EC垂直吗？试说明理由
C
60
B
80
A
D
六、勾股定理与等腰（边）三角形
1、在ΔABC中， AB=AC=10， BC=12，则ΔABC 48 A 的面积为___________
B
C
D
2、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积 为______ 3
七、勾股定理与平面直角坐标系
1、在平面直角坐标系中，已知点P的 坐标是(1,2)，则OP的长为（
勾股定理
1、已知△ABC是直角三角形，两直角边 长分别为5,12，则斜边长为 13 .
B a C b c A
勾股定理的逆定理
2、已知三边长分别为5，12，13， 则△ABC为 直角 三角形.
3 5 7 8 9
4 12 24 15 40
5 13 25 17 41
6 8 10 9 12 15 12 16 20 ……
• 5,变式题： 求代数式
( x 5 ) 36 ( 10 x ) 4
• 的最小值。
2
2
九、辅助线思想（构造直角三角形）
1、如图，已知△ABC中，∠B=450，∠C=300， AB= 2 ，求BC的长？
A
B
D
C
2、如图所示是一块地，已知AD=8米，CD=6 米，∠D=900，AB=26米，BC=24米，求 这块地的面积
2 2 2 2 OP 2 OP 1 a b
5
）
y 2 P(1,2)
2
o
1 1
x
四、整体思想
1、一个直角三角Байду номын сангаас的周长为2+ 6 ，斜边长为2，
1 则其面积为_______ 2
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10， 则Rt△ABC的面积是_______ 24
x3、一个直角三角形的周长为24cm，面积为24cm² ， 则斜边长为_____ 10 cm
一、勾股树
1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和 25 为 。
S2 S3
S1
2、如图所示，图中所有三角形是直角三角 形，所有四边形是正方形，s1=9，s3=144， s4=169 ，则s2= 16 ．
A
E
C’ ? 2 E’
C
D
1
B
• 4、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. • (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； • (2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小? • (3)根据(2)中的规律和结论, • 请构图求出 代数式的最小值.
十、勾股定理与全等
如图所示，直线L过正方形ABCD的顶点B， 点A,C到直线L的距离是1和2，则正方形 ABCD的边长是（ 5 ）
D
C A 1
E
2 B
F
L
如图，直线上有三个正方形，若A,B的面积分 别为5和11，则C的面积为（ ） 6
十一、勾股定理与直角三角形中30度角 所对的直角边等于斜边的一半相结合
A
10 B 17 8 D 15 C A 17 8 10 C 15
6
D
6
B
BC=BD＋DC=21
BC=DC－BD=9
三、方程思想
• 1、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D 恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则 6 BF=___________ 。
5
8
X+4
5
3
x
4
2、如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C’的 位置时，BC’与AD交于E，若AB=6，BC=8，求重叠 部分△BED的面积。