高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系教师用书新人教A版必修第一册

1．2 集合间的基本关系问题导学预习教材P7－P8，并思考以下问题：1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？1．Venn图(1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．■名师点拨表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．2．子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)■名师点拨“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.3．集合相等的概念一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A ＝B.4．真子集的概念文字语言符号语言图形语言如果集合A ⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.5．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅．(3)规定：空集是任何集合的子集．■名师点拨∅，0，{0}与{∅}之间的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．( )(2)集合{0}是空集．( )(3)空集是任何集合的真子集．( )(4)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．( )(5)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )A．M<N B．M∈NC．N⊆M D．M N答案：D已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x 是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( ) A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.下列四个集合中是空集的是( ) A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|x<4或x>8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________．解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合间关系的判断指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(3)正方形是特殊的矩形，故A B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈子集、真子集的个数问题(1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B的集合C的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( )A．－2 B．4C．0 D．以上答案都不是(3)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )A．3 B．6C．7 D．8【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：23－2＝6.【答案】(1)B (2)C (3)B(变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}⊆C⊆{1，2，3，4，5}，试写出集合C的所有可能．解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}；当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}；所以满足条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤(2)与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有①A的子集的个数有2n个；②A的非空子集的个数有2n－1个；③A的真子集的个数有2n－1个；④A的非空真子集的个数有2n－2个．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．答案：5由集合间的包含关系求参数已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．【解析】由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.【答案】1<m≤41．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知m≤4.2．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，BA ，求m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}． 因为BA ，所以B ＝{－3}或B ＝{2}或B ＝∅. 当B ＝{－3}时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13.当B ＝{2}时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12.当B ＝∅时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．下列命题中正确的是( ) A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B ⊆A ，那么，若x ∉A ，则x ∉B解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A ，C 错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B 错误；由子集的概念知D 正确．2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的最适合的关系是( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．AB D ．AB解析：选D.集合A 是能被3整除的整数组成的集合，集合B 是能被6整除的整数组成的集合，所以BA .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B.依题意a ∈M ，且M {a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个)．4．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________． 解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ， 解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件．当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件．所以a 的值为－1或13.答案：－1或13[A 基础达标]1．(2019·衡水检测)已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{3，4，5，X }，若B ⊆A ，则X 可以取的值为( )A ．1，2，3，4，5，6B ．1，2，3，4，6C ．1，2，3，6D ．1，2，6解析：选D.由B ⊆A 和集合元素的互异性可知，X 可以取的值为1，2，6. 2．已知集合A ＝{x |x 2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ；②{－3}∈A ；③∅⊆A ；④{3，－3}⊆A .A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B.根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子： 对于①3∈A ，3是集合A 的元素，正确； ②{－3}∈A ，{－3}是集合，有{－3}⊆A ，错误； ③∅⊆A ，空集是任何集合的子集，正确；④{3，－3}⊆A ，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．3．已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R }的子集的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不确定解析：选C.方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2>0， 所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4个子集．4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M 与N 没有相同元素解析：选C.因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .故选C.5．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0，1或－1解析：选D.由题意，当Q 为空集时，a ＝0，符合题意；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，得a ＝1或a ＝－1.所以a 的值为0，1或－1.6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a≤14. 答案：a ≤148．设A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是________． 解析：集合A ，B 在数轴上表示如图，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．答案：a ≤－19．判断下列集合间的关系： (1)A ＝{－1，1}，B ＝{x ∈N |x 2＝1}．(2)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }． (3)A ＝{x |x －3>2}，B ＝{x |2x －5≥0}．(4)A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }． 解：(1)用列举法表示集合B ＝{1}，故BA .(2)因为Q 中n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 与P 都表示偶数集，所以P ＝Q . (3)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥52，所以利用数轴判断A ，B 的关系． 如图所示，AB .(4)因为A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，所以A ＝B .10．(2019·葫芦岛检测)已知集合A ＝{a ，a －1}，B ＝{2，y }，C ＝{x |1<x －1<4}． (1)若A ＝B ，求y 的值； (2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解：(1)若a ＝2，则A ＝{1，2}，所以y ＝1. 若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2，3}， 所以y ＝3，综上，y 的值为1或3. (2)因为C ＝{x |2<x <5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2<a <5，2<a －1<5.所以3<a <5.[B 能力提升]11．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．ABC ．BA D ．A ∈B解析：选D.因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A ＝{0，1}是集合B 中的元素，所以A ∈B ，故选D.12．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围． 解：集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素，即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2， 即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.13．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2， 解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．[C 拓展探究]14．已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，则集合C ＝________．解：由题意知C ⊆{0，2，4，6，7}，C ⊆{3，4，5，7，10}，所以C ⊆{4，7}．又因为C ≠∅，所以C ＝{4}，{7}或{4，7}．答案：{4}，{7}或{4，7}。