对策论问题
运筹学-第15章--对策论
1 8 5 8 5 5*
2 2 3 2 1 1
3 4
9 0
5 2
6 3
5 5*
3
0
max 9 5* 8 5*
可知 ai* j* =5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，
β2）（α2，β4）为对策的纳管 什理均运衡，筹 V学G=5．
15
• 最优纯策略求解步骤：
• 1、行中取小，小中取大得最大化最小收益 值；
• 2、列中取大，大中取小得最小化最大支付 值；
• 3、比较两值是否相等。若相等便存在最优 纯策略。若不等，则不存在最优纯策略。
管理运筹学
16
§3 矩阵对策的混合策略
设矩阵对策 G = { S1, S2, A }。当
max
i
min
j
aij
min
j
max
i
aij
时，不存在最优纯策略。
例：设一个赢得矩阵如下:
一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量化） 称为该局势对策的益损值。
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3
§1 对策论的基本概念
出赛的次序是一个策略 “齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）
管理运筹学
4
§1 对策论的基本概念
其中：齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
A=[aij]m×n i 行代表甲方策略 i=1, 2, …, m；j 列代表乙方策略 j=1, 2, …, n；aij 代表甲方取策略 i，乙方取策略 j，这一局势下甲方的 益损值。此时乙方的益损值为 -aij（零和性质）。
对策论的基本概念
– 策略: 可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动 方案.
– 策略集:局中人所拥有的对付其它局中人的手段、方案 的集合。每局中人，都有自己的策略集，一般每一局 中人的策略集中至少应包括两个策略。
对策现象的基本要素
➢ 赢得函数（支付函数）
对策中， 每一局中人所出策略形成的策略组称为一个局势。例如， si 是第 i 个局中人的
运筹学
一个策略，则 n 个局中人的策略形成的策略组
s (s1, s2 ,sn ) ， s 就是一个局势，全体局势的集合 S 可用各局中人策略集的笛卡尔积表示，即
S S1 S2 Sn 当一个局势 s (s1, s2 ,sn ) 给定以后，就用一个数来表示局中人的得失（或输赢），显
然，这种“得失”或“输赢”是局势的函数，称为支付函数。通常用正的数字表示局中人的
运筹学
对策论的基本概念
➢对策论的由来和发展历史 ➢ 对策现象的基本要素 ➢ 对策问题举例及对策的分类
对策论的由来和发展历史
在社会生活和经济、经常碰到各种各样具有竞争或利益相对抗的现象，研 究对抗或竞争现象的数学理论和方法，称为对策论。 20 世纪初数学家波雷尔（Borel）和策墨洛（E．Zermelo）开始用数学方 法研究对策现象，研究对象主要是日常生活中的一些游戏（如扑克、象棋 等），因而对策论在相当长的时间内发展缓慢。 冯• 诺依曼（Von Neumann）在 1928 年创立了二人零和对策理论，为对策 论的进一步发展奠定了基础。 1944 年冯•诺伊曼和摩根斯特恩（Morgenstern）合著的《对策论与经济 行为》一书的出版，标志着系统的对策理论的初步形成。 1994 年三位长期致力于对策论的理论和应用研究的学者纳什（John F Nash）、泽尔腾（Reinhard Selten）和海萨尼（John Harsanyi）共同获 得诺贝尔经济学奖，则更是对对策论地位和作用的最具权威性的肯定。 2005 年，以色列经济学家罗伯特·奥曼和美国经济学家托马斯·谢林获 得诺贝尔经济学 奖。罗伯特·奥曼提出的“重复博弈 ”分析，目前成为所 有社会科学的主流分支。托马斯·谢林提出了冲突局势理论，在上世纪 50 年代和 60 年代的冷战时期，该理论极大地影响了美国政府对核威慑的 态度。
四年级上册数学教案-《对策论问题》人教新课标
四年级上册数学教案-《对策论问题》人教新课标一、教学目标1. 让学生理解对策论的基本概念，掌握简单的对策论问题解决方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 培养学生的合作意识，让学生在合作中学会沟通、交流，培养团队精神。
二、教学内容1. 对策论的基本概念：对策、参与者、策略、支付函数、纳什均衡等。
2. 简单的对策论问题：石头、剪刀、布游戏，井字棋游戏等。
3. 对策论问题的解决方法：画树状图、矩阵法等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生理解对策论的基本概念，掌握简单的对策论问题解决方法。
2. 教学难点：让学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如石头、剪刀、布游戏，引入对策论的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解新课：讲解对策论的基本概念，让学生了解对策、参与者、策略、支付函数、纳什均衡等。
3. 案例分析：分析石头、剪刀、布游戏，让学生了解对策论在实际生活中的应用。
4. 解决问题：让学生运用所学知识解决井字棋游戏等简单的对策论问题，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，共同解决对策论问题，培养学生的合作意识和团队精神。
6. 总结提升：对本节课所学内容进行总结，让学生明确对策论在实际生活中的重要性。
五、课后作业1. 请学生列举生活中的对策论问题，并尝试用所学知识解决。
2. 让学生回家与家长一起玩石头、剪刀、布游戏，并思考如何制定最优策略。
六、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的参与度，调动学生的积极性，让每个学生都能参与到教学活动中来。
2. 在讲解对策论问题时，教师要注意引导学生运用数学知识，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 教师要关注学生的合作学习，培养学生的团队精神，让学生在合作中学会沟通、交流。
总之，本节课通过讲解对策论的基本概念，让学生了解对策论在实际生活中的应用，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，以及合作意识和团队精神。
四年级数学上册第八单元的必背知识点
四年级数学上册第七单元的必背知识点一、优化问题1. 沏茶问题：合理安排时间的过程包括明确完成一项工作要做的具体事情、每项事情所需的时间，以及合理安排工作的顺序，明确先做什么、后做什么，哪些事情可以同时做。
2. 烙饼问题：烙饼的最优方案是每一次尽可能让锅里按要求放最多的饼，这样既没有浪费资源，又节省时间。
3. 对策论问题：解决同一个问题可能有不同的策略，需要学会寻找最优方案。
可以用列举法等方法来选择最优方案。
二、统计1. 条形统计图：特点：直观、方便、便于察看。
制作方法：确定水平方向标出项目；确定垂直方向代表的数量 （一格代表的数量）；根据数据的大小画出长度不同的直条；写出标题。
理解：统计图中1格表示不同单位量，要结合具体的情况来判断1格表示几个单位。
数据大时，每1格所表示的单位就多；数据小时，每1格所表示的单位就小。
2. 折线统计图：特点：能获取数据变化情况的信息，并进行简单的预测。
制作方法：在方格纸中，根据所给出的数据把点标出来，再用线将点连接起来，要顺次连接。
理解：能够看出折线统计图所提供的信息，并回答相关的问题。
3. 补充知识点：条形统计图与折线统计图的不同：条形统计图用直条表示数量的多少，折线统计图用折线表示数量的增减变化情况。
初步了解复式折线统计图，能够从中获得相应的信息，回答提出的问题。
三、算法思维学习利用已有算法解决问题，培养学生的逻辑思维和推理能力。
四、计算1. 三位数的加减法：通过加减法的练习，加深对三位数的理解和计算能力。
2. 乘法口诀表：学习并默写29的乘法口诀表，为后面的乘法运算打下基础。
3. 两位数乘一位数的乘法：学习如何进行两位数乘一位数的乘法计算，掌握进位和借位的方法。
4. 两位数除一位数的除法：学习如何进行两位数除一位数的除法计算，掌握整除和余数的概念。
五、度量衡学习长度、重量和容量的度量单位及其换算关系。
六、植树问题植树问题的关键是理解各种植树问题中棵数与间隔数的关系。
校园网应用常见问题与解决对策论析
校园网应用常见问题与解决对策论析随着“校校通”工程的推进,许多学校的校园网已基本建设完成,这对学校充分利用网上资源加快教育教学改革,利用现代教育技术,进一步推动教育模式的改进,具有重要的意义。
但是,当前有相当一部分中小学在校园网建设中存在着重硬件建设、轻软件建设,重实物装备、轻应用研究的问题,造成了校园网利用率不高、效益低下的现状,影响了校园网的健康发展。
1 校园网应用中存在的主要问题1.1 认识上比较模糊很多教师认为校园网就是利用多媒体辅助教学或者是相互之间传送资料,偶尔上上网,但上网之后具体干什么、怎么干,很多教师都感到迷茫与困惑。
1.2 利用率不高我们平时的校园网,大部分是用来传送文件、上多媒体公开课的,因为在利用前要有大量的准备,很多教师嫌麻烦,所以使用的人不多。
1.3 教育资源匮乏校园网应用中存在的最突出问题就是教育资源匮乏,特别是与课程内容相配套的教育资源就更少,即使是有限的教育资源,由于设计理念、教学结构等原因,其实用性也很差。
1.4 软件投入不足对硬件的建设比较重视,对软件却投入不足,造成网络很先进,功能很强大,但网上有价值的信息不多。
甚至有很多校园网,根本就没有运行的平台。
1.5 信息技术能力有待提高现状是:教师在教育教学上有丰富的经验,但在学科教学上应用信息技术却是接触不多,多数教师还只是初步掌握了计算机操作的一般技能,对校园网还比较陌生,信息素养有待提高。
1.6 合作性较差广大教师因为彼此竞争的原因,不注重借鉴和横向交流,一个课件,有的教师做好了,同学科的其他教师却不能用到,造成了课件的不能共享,合作性较差。
1.7 管理问题目前在管理中缺乏真正的网络管理体系,大多数管理趋于形式,很少注重管理目的和教学效益,如各单位要求教师每学期(学年)要写多少篇论文、要做多少个课件的措施较多,但是要求这些论文、课件、在提高教学质量方面的措施却少得可怜。
2 针对问题,采取措施,加快网络的完善和应用的普及2.1 更新教育观念,增强网络的开放性,引进远程教育现代教育技术正在由电化教学、计算机辅助教学向一个新的阶段——网络教学发展。
对策论(Theory of Games)
定义
并不是所有的对策都存在鞍点，如 A为齐王的赢得矩阵 3 1 1 1 1 -1 1 3 1 1 -1 1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3 1 1 1 1 -1 1 3 max(min aij)= -1 min (max aij)=3 i j j i
例如：
• 给定矩阵对策
6 5 6 A 1 4 2 8 5 7
对策的最优值为5，对策的解有两个，分 别为局势 , 和 , 。
1 2 3 2
(三)矩阵对策的混合策略
1、矩阵对策的混合策略的定义
2、原则：坏中求好的原则。 3、解的存在：一定有解 4、混合策略求解：利用期望转化成 线性规划问题求解。
三、矩阵对策模型
（一）矩阵对策的概念 （二）矩阵对策的最优纯策略 （三）矩阵对策的混合策略 （四）矩阵对策的解法
（一）矩阵对策的概念 1、矩阵对策的定义 2、建立矩阵对策模型
1、矩阵对策的定义 局中人只有两个，对策中各方只能从有限 的策略集中确定性的选择一种，且对策双 方的支付之和为零的对策称为两人零和纯 策略对策。
表2
齐 王 上中 下 田忌 上中下 3 上下 中上 中 下 1 1 中下 上 -1 下中 上 1 下上 中 1
上下中 1 中上下 1
中下上 1 下中上 1
3 1
1 -1
-1 3
1 1
1 1
3 1
1 -1
1 3
1 1
-1 1
下上中 -1
1
1
1
1
3
引例3
有两个儿童A和B在一起玩“石头-剪子布”游戏。我们规定胜者得1分，负者得 -1分，平手时各得0分。双方选定的各种 出法及相应的结果可由下表列出。双方 应取何种策略？
8.1对策问题的提出8.2对策论模型8.3矩阵对策的解法知识归纳习题
合作… 对策模型… 零和 二人 有限 非零和 完全信息 静态 多人…… 无限…… 非合作 不完全信息…… 完全信息 动态 不完全信息……
（2）策略 在一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的自始至终通盘筹划的完整行动 方案称为这个局中人的一个“策略”。参加对策的局中人i（i∈I）的所有可供选择的 策略的全体所构成的集合叫做局中人i的“策略集”，简记作Si。 （3）赢得函数 一局对策结束之后，对每个局中人来说，不外乎是胜利或失败，名次的前后， 以及其他物质的收入或支出等，这些可以统称为“得失”或“益损”。 在齐王与田 忌赛马的例子中，最后田忌赢得一千金，而齐王损失一千金，即为这局对策（结局时） 双方的“得失”。 实际上，每个局中人在一局对策结束时的得失，与局中人所选定的策略有关。 例如，上述赛马的例子中，当齐王出策略“上、中、下”，田忌出策略“下、上、中” 时，田忌得千金；而如果与田忌都出策略“上、中、下”时，田忌就得付出三千金了。 因此，在一局对策中，当局势给定以后，对策的结果也就确定了。 一局对策结束时，每个局中人的“得失”是全体局中人所决定的一组策略即 “局势”的函数，我们称之为“赢得函数”。 在最终局势ω下，局中人i∈I的赢得函数记作：H（i,ω）。 在一局对策中，如果在任一“局势”中，全体局中人的“得失”相加总和为零， 就称该对策为“零和对策”，否则，就称为“非零和对策”。上述齐王与田忌赛马的 例子中，不论比赛双方的策略如何，比赛的结果，一方的所得必为另一方的所失，因 此该对策就是一个零和对策。 一般来说，当上述三个基本要素确定以后，一个对策模型就确定了。
（3）发展阶段 20世纪60至80年代是博弈论体系的发展壮大时期。一方面，研究的领域从军事 战略战术问题推广应用到经济领域；另一方面，研究的内容也不断发展出新。合作博 弈理论继续得到充实和丰富，而非合作博弈理论更是发展迅速，成为博弈论研究和应 用的主流。 （4）成熟阶段 纪80年代至今是博弈论的完善和应用期。此间博弈论本身发展成为了一个 相对完善、内容丰富的理论体系，羽翼已丰的非合作博弈理论在理论研究和实践应用 中都占据了主导地位。更重要的是，博弈理论在各种经济学科中都得到了深入的应用， 在政治学、生物学、计算机科学、道德哲学、社会学等领域内也产生了重要影响。 1994年，纳什、泽尔腾、海萨尼三人因博弈论及其在经济应用方面的突出贡献而荣 获诺贝尔经济学奖，1996年诺贝尔经济学奖再度授予了在博弈论研究方面作出突出 贡献的维克里和莫里斯。由此，吸引了更多的学者投入到博弈论的研究当中，使得博 弈论成为世界范围内的研究热点，博弈论也逐步趋于完善和成熟。2001年，研究博 弈论的学者再一次获得诺贝尔经济学奖。美国教授乔治· 阿克尔洛夫、迈克尔· 斯彭斯 和约瑟夫· 斯蒂格利茨在20世纪70年代奠定了对充满不对称信息市场进行分析的理论 基础，正是由于他们在“对充满不对称信息市场进行分析”领域所做出的重要贡献， 而分享了2001年诺贝尔经济学奖。
对策论问题
对策论问题
一、情景导入
同学们，你听过“田忌赛马”的故事吗？
二、探索新知
田忌是怎样赢了齐王的？
齐 王 第一场 第二场 第三场 上等马 中等马 下等马 田 忌 本场胜者
田忌所用的这种 策略是不是唯一 能赢齐王的方法？
二、探索新知
我们可以把两人赛马的 情况用表格表示出来。
齐 王 第一场 第二场 第三场 上 田 忌
下等马 上等马 中等马
田 忌
二、探索新知
把解决问题的所有可能性都一一找出
来，然后从中找到最好的策略，这是数
学中一种很重要的方法。
二、探索新知
第一场 齐 王 田忌1 上等马
田忌所用的这种策略 可以在哪些地方应用?
我们来看看田忌共有多少种可采用的应对策略。
第二场 中等马 第三场 下等马 获胜方
三、知识应用
两人玩扑克牌比大小的 游戏，每人每次出一张牌， 各出3次，赢两次者胜。
小红拿的是右边下面 一组的牌，她有可能 获胜吗？
三、知识应用
我用列表格的 方法来表示。
对 方
小 红 3
本场胜者
第一次
第二次 第三次 9 7
对 方
小 红
8 6
5
小 红
四、布置作业
作业：第107页练习二十，第3题。
上等马
上等马 中等马 中等马
中等马 下等马 上等马
下等马
下等马 中等马
下等马 上等马 中等马 上等马
齐 王
齐 王 齐 王 齐 王 田 忌 齐 王
田忌2
田忌3 田忌4
田忌5
田忌6
下等马
下等马
上等马 中等马
在比赛中，田忌要想获胜必须满足两个条件：1、让（ ）先出。2、 田忌用最弱的马牵住齐王（ ）的马，才能换取后两场的胜利。
对策论的基本概念
对策论的基本概念引言对策论是一种重要的决策理论，它在多个领域，包括经济学、政治学、管理学等方面都有广泛的应用。
本文将介绍对策论的基本概念，包括对策、对策矩阵、纳什均衡等内容。
对策的定义对策是指在决策过程中，一方的行动将受到另一方行动的影响，从而引发一系列后续行动的反应。
对策是一种针对不确定性情况下的最佳决策方法，通过预测对手的可能行动并制定相应的应对策略来实现最优效果。
对策通常涉及两个或多个决策者之间的互动。
在对策中，每个决策者都试图通过选择最优的行动来达到自己的目标，同时也要考虑到对手的行动。
对策矩阵是对策论分析的基本工具之一，用于描述对策者在不同行动下的收益情况。
对策矩阵通常以表格形式呈现，横轴代表一个决策者的行动，纵轴代表另一个决策者的行动，每个单元格中的数值表示在特定行动组合下各方的收益。
例如，考虑两个决策者A和B在某个游戏中的对策矩阵如下：行动1 行动2 行动3行动1 2, 2 0, 3 1, 1行动2 1, 0 3, 2 2, 1行动3 1, 1 2, 2 0, 3在这个对策矩阵中，每个单元格表示A和B在特定行动组合下的收益情况。
例如，当A选择行动1，B选择行动2时，A的收益为0，B 的收益为3。
纳什均衡是对策论中的一个重要概念，指的是在对策矩阵中，各方在给定对手行动的情况下，选择能够最大化自己收益的行动组合。
在对策矩阵中，如果不存在更好的选择来取代当前的行动组合，那么该组合就是一个纳什均衡。
在纳什均衡下，每个决策者都无法通过改变自己的行动来获得更好的结果。
以前面的对策矩阵为例，在该矩阵中，行动组合(行动1, 行动2)是一个纳什均衡，因为在这种情况下，A选择行动1，B选择行动2时，双方的收益已经达到最大化。
结论对策论是一种重要的决策理论，可以应用于各种领域，帮助我们理解和分析决策者之间的互动和冲突。
本文介绍了对策的基本概念，包括对策、对策矩阵和纳什均衡。
了解对策论的基本概念将有助于我们更好地理解和解决复杂的决策问题。
【三套试卷】小学四年级数学下册第八单元练习试卷带答案(3)
第八单元过关测试卷(附答案解析)完成一件事怎样合理安排才能做到用时最少、效果最佳，解决此类问题必须能同时做就尽量同时做。
一、沏茶问题：(1)明确完成一项工作要做哪些事情。
(2)知道每项事情各需要多长时间。
(3)明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做就尽量同时做，这样最省时间。
二、烙饼问题节省时间的最佳方案是每一次尽可能地让锅里按要求放上最多的饼，这样既没有浪费资源，又节省时间。
（1）在每次只能烙两张饼，两面都要烙的情况下：①烙3张饼：先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的反面。
②烙多张饼：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了; 如果要烙的饼的张数是单数，可以先2个2个的烙，最后3张饼按①的方法烙，最节省时间。
（2）烙饼的时间计算：总时间=烙饼次数×烙每面的时间三、比赛中的策略在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种策略，在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。
类型一沏茶问题例1.练习：1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
为了尽快做完这些事，最少需要几分钟？2.小强给客人沏茶，烧开水要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶要1分钟。
为了使客人能早点喝上茶，按照最合理的安排，多少分钟就能沏好茶？3.在早晨起床后的1小时之内，小欣需完成以下事情：叠被子3分钟，刷牙洗脸8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌子5分钟，收听广播30分钟。
为了尽快做完这些事，应怎样安排才能使所用时间最少？最少需要多少分钟？4.玲玲帮奶奶下碗面：买面条5分钟，切葱花2分钟，洗锅4分钟，烧开水9分钟，把面条煮熟3分钟。
为了让奶奶尽快迟到面条，你帮玲玲算算最少要多少时间？5.妈妈下班回家做饭，淘米要3分钟，煮饭要30分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟．如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用多长时间？7.小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟．小明合理安排以上事情，最少要（）使客人尽快喝茶．A．7分钟B．8分钟C．9分钟8.烧开水要12分钟，找茶叶要1分钟，洗杯子要2分钟，接水要1分钟，洗茶壶要2分钟，切茶要1分．最短几分钟客人可以喝到茶？怎样做？类型二烙饼问题例2.用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放两个，煎一个需要2分钟（规定正反两面各需要1分钟）。
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田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着， “哗啦”一声，把一大堆银钱倒在桌子上，作为 他下的赌钱。 齐威王一看，心里暗暗好笑，于是 吩咐手下，把前几次赢得的银钱全部抬来，另外 又加 了一千两黄金，也放在桌子上。齐威王轻蔑 地说： “那就开始吧！” 一声锣响，比赛开始 了。 孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局 田忌输了。齐威王站起来说： “想不到赫赫有名 的孙膑先生，竟然想出这样拙劣的对策。” 孙膑 不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马 对齐威王的中等马，获胜了一局。 齐威王有点慌 乱了。 第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下 等马，又战胜了一局。这下，齐威王目瞪口呆了。 比赛的结果是三局两胜，田忌赢了齐威王。 还是 同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就 得到转败为胜的结果。
如果要进行团体比赛,三局两胜制，你能找出姚 沟四年级胜出一贯制四年级的策略吗？
第一场
第二场
陈捷116
第三场
陈辉133
一贯制四年 级
姚沟四年级 胜 方
林小军158
一贯制
姚沟
姚沟
何梦婷148 林达 92 姚沟四年级以 2： 1获胜！
林森124
玩纸牌，比大小，三局两胜。（拿出 两组牌，分别是：红心10、7 、4和黑桃9、 6、3。）然后挑选两名同学进行比赛。说 一说获胜的方法，以及所使用的策略。
数学广角-对策论
大家听过田忌赛马这个故事吗？
田忌赛马的故事
齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要 进行一场比赛。 他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。 比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于 齐威王每个等级的马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次， 田忌都失败了。 有一次，田忌又失败了，觉得很扫兴，比赛还没有结束， 就垂头丧气地离开赛马场， 这时，田忌抬头一看， 人群中有个 人，原来是自己的好朋友孙膑。孙膑招呼田忌过来，拍着他的 肩膀说： “我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少 呀。” 孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼： “想不到你也来挖 苦我！” 孙膑说：“我不是挖苦你，我是说你再同他赛一次， 我有办法准能让你赢了他。” 田忌疑惑地看着孙膑： “你是说 另换一匹马来？” 孙膑摇摇头说： “连一匹马也不需要更换。” 田忌毫无信心地说： “那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地 说： “你就按照我的安排办事吧。” 齐威王屡战屡胜，正在得 意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来， 便站起来讥讽地说： “怎么，莫非你还不服气？”
一个猎人带着一只羊，一匹狼和一些菜来 到河边要过河，河边的一条小船一次只能 运猎人和一样东西。应该怎样安排他们全 过河而避免伤害？小船往返一次需8分钟， 需要多少时间
齐王 田忌 田忌
田忌 2：1获胜！
田忌赢了齐王靠得是什么？
策略
田忌共有多少种应对策略呢？ 所用的策略中还有没有能赢齐王的方法？
请大家列举出来填在书本第116页中间的空 格里。
第一场Biblioteka 齐威王 田忌 上等马第二场
中等马
第三场
下等马
获胜方
上等马 上等马 中等马 中等马 下等马 下等马
中等马 下等马 上等马 下等马 上等马 中等马
在同等级别的马中，田忌的马不如齐威王的马。 齐王 第一场 上等马 田忌
上等马 中等马
本场胜者 齐王 齐王
第二场 第三场
中等马 下等马
下等马
齐王
齐王 3：0获胜！
而经过孙膑的调整，却让田忌赢取赛马的胜利。
齐威王 第一场 第二场 第三场 上等马 中等马 下等马 田忌 下等马 上等马 中等马 本场胜者
下等马 中等马 下等马 上等马 中等马 上等马
齐王 齐王 齐王 齐王 田忌 齐王
田忌可以采用的策略一共有6种，但 只有一种策略可以获胜。
说一说，田忌赛马这种策略 在生活中还有哪些地方可以 应用？
参加跳绳比赛的队员最近一次记录
（单位：下/分）
姚沟四年级：林达92，林森124，何梦婷148 一贯制四年级：陈捷116，陈辉133，林小军158