中考数学复习 6 二次根式(无答案)
中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案
中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案一、单选题1．√123÷√213×√125值为（）A．1B．3C．√33D．√7 2．若√(a−b)2=b﹣a，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 3．与√a3b不是同类次根式的是（）A．1√abB．√baC．√ab2D．√ba34．下列运算正确的是（）A．√3+3=3√3B．4√2−√2=4C．√2+√3=√5D．3√3−√3=2√35．若代数式1x−1+√x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简√(b−a)2的结果是（）A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b7．设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是（）A．-2a+b B．2a+b C．-b D．b8．若√3−m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞39．下列运算正确的是（）A．(x−y)2=x2−y2B．|√3−2|=2−√3C．√8−√3=√5D．﹣（﹣a+1）=a+110．已知2<a<4，则化简√1−2a+a2+√a2−8a+16的结果是() A．2a﹣5B．5﹣2a C．﹣3D．311．下列运算中正确的是（）A．√2+√3=√5B．(−√5)2=5C．3√2−2√2=1D．√16=±4 12．下列计算正确的是（）A．(m−n)2=m2−n2B．(2ab3)2=2a2b6C．√8a3=2a√a D．2xy+3xy=5xy 二、填空题13．计算：√45﹣√25× √50=．14．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）15．计算：√24−√12√3=．16．如果x2﹣3x+1=0，则√x2+1x2−2的值是．17．化简：√75=.18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√a2−|a+c|+√(b−c)2−|−b|三、综合题19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y= √2x−5+√5−2x﹣3，求2xy的值．20．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：①√4×9=，√4×√9=；②√16×25=，√16×√25=．通过计算，我们可以发现√a×b=（a>0，b>0）从上面的结果可以得到：√8=√2×√4=2√2，√12=√3×√4=2√3（2）根据上面的运算，完成下列问题①化简：√24②计算：√27+√48③化简：√a2b（a>0，b>0）21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+√3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1√3+√2=；（2）化简 √2+1+√3+√2√4+√3⋯+√256+√255 ； （3）若 a =√10−3，求 a 4−6a 3+a 2−12a +3 的值. 22．已知 x =√3+12 ， y =√3−12与 m =xy 和 n =x 2−y 2 . （1）求m ，n 的值；（2）若 √a −√b =m +72， √ab =n 2 求 √a +√b 的值. 23．计算： （1）√135•2 √3 •（﹣ 12 √10 ）； （2）√3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）． 24．计算下列各题 （1）计算：（ 12 ）﹣2﹣6sin30°﹣（ √7−√5）0+ √2 +| √2 ﹣ √3 | （2）化简：（ x+2x 2−2x ﹣ x−1x 2−4x+4 ）÷ x−4x ，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】√514．【答案】对15．【答案】2√2−216．【答案】√517．【答案】5√318．【答案】019．【答案】（1）将x=n 代入方程x 2+mx+2n=0得n 2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0 因为n≠0,所以n+m+2=0即m+n=-2.（2）因为y=√2x −5+√5−2x -3有意义，则{2x −5≥05−2x ⩾0解得{x ⩾52x ≤52则x=52 所以y=0+0-3=-3即2xy=2×52×（-3）=-15. 20．【答案】（1）6；6；20；20；√a ×√b（2）解：①√24=√4×6=√4×√6=2√6；②√27+√48=√3×9+√3×16=√3×√9+√3×√16=3√3+4√3=7√3 ；③√a 2b =√a 2⋅√b =a √b （a >0，b >0）．21．【答案】（1）√3−√2（2）解：原式 =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√256−√255=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋯−√255+√256=√256−1=16−1=15 ；（3）解： ∵ a =√10−3 =√10+3 ∴a −3=√10∴(a −3)2=10即 a 2−6a +9=10 .∴a 2−6a =1 .∴a 4−6a 3=a 2∴a 4−6a 3+a 2−12a +3=2a 2−12a +3=2(a 2−6a)+3=2+3=5 .22．【答案】（1）解：由题意得， m =xy =√3+12×√3−12=12 n =(x +y)(x −y)=(√3+12+√3−12)(√3+12−√3−12)=√3 （2）解：由（1）得， √a −√b =4 √ab =3 ∴(√a +√b)2=(√a −√b)2+4√ab =42+4×3=28∵√a +√b >0∴√a +√b =2√723．【答案】（1）解： √135 •2 √3 •（﹣ 12 √10 ） =2×（﹣ 12 ） √135×3×10 =﹣ √16×3=﹣4 √3（2）解： √3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）= √3a2b × √ba× 12× √b= √3424．【答案】（1）解：原式=4﹣6× 12﹣1+ √2+ √3﹣√2 = √3；（2）解：原式=[x+2x(x−2)﹣x−1(x−2)2]•xx−4= (x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•xx−4=x−4x(x−2)2•xx−4=1 (x−2)2当x=10时，原式= 1 64．。
中考数学一轮总复习 第5课时 二次根式(无答案) 苏科版
第5课时：二次根式【课前预习】（一）知识梳理1、平方根与立方根：①平方根定义；②算术平方根定义；③立方根定义．2、二次根式的有关概念：①二次根式定义；②最简二次根式；③同类二次根式；④分母有理化．3、二次根式的性质：①；（a ≥0）；② ()=2a （a ≥0）；③ =2a ；④ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑤ =ba （0,0>≥b a ）. 4、二次根式的运算：①二次根式的加减；②二次根式的乘除．（注意：计算结果必须是最简二次根式）（二）课前练习1、16的平方根是_ __，-27的立方根是__ _，36的算术平方根是_ _.2、当x ______x ______时，代数式x -21有意义．3、下列根式：①②③④中不是．．最简二次根式的是 ．4、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A C 5、已知012=-++b a ，那么2007)(b a +=__________；=-+-x x 22 ．6、化简：2)2(-= ，24= ，= ，312= ，321-= .7= ；=÷⨯263_________．8、如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ．【解题指导】例1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？①()22+x ； ② 53--x x ； ③ xx ---512； ④ 32-+x x ； ⑤ 231--x ．例2 计算：（1）24－32＋23－2 16 ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷3232292443.例3 已知b a a b a b ==-求的值．【巩固练习】 1、下列计算正确的是（ ）=B 4= D 3=-2、设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ）A ．．2＝a D3、对于实数a 、b b -a ，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4、使2-x 有意义的x 的取值范围是 ．5、25的平方根是 ，()24-的算术平方根是 ，16的算术平方根是_______.6、16-= ，412-= ，24）（- ．7、若最简根式1+x 和y 3是同类根式，则 x y +＝______.834请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来______________________9、化简或计算：(1) -3018⨯752⨯ (2)【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤22()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B ． C D 4、 16的平方根是 ；函数y =自变量x 的取值范围是 ．5= ；= ；= ．6、当x ≤0时，化简1x -的结果是 ．7、有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？ （只需填字母）.A ．．2E ．08小的整数 .9、对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※2=52323=-+． 那么12※4=10、计算：（1）（2）24616323252⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（3)2；11、先化简再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中.o二、选做题：12的值( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D ．在4到5之间2、若x y=xy 的值是（ ）A ．B ．C ．m n + D．m n -3、实数,,a b ca －b │．4、若y ＝3x －6＋6－3x ＋x 3，则10x ＋2y 的平方根为________；5、已知||6－3m ＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n ＝________．6、计算12121...571351131-+++++++++n n .7、已知：a ＝12＋3，求a 2－1a ＋1－a 2－2a ＋1a 2－a 的值．。
中考数学复习专题6数的开方和二次根式试题(A卷,含解析)
专题6 数的开方和二次根式一、选择题1. (浙江杭州，1，3分)9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B ．【逐步提示】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是能利用a a =2(a ＞0)进行解答，首先应将被开方数9写成32，再利用“a a =2(a ＞0)”即可锁定答案．【解析】因为9＝23＝3，故选择B ．【解后反思】本题亦可以理解为求9的算术平方根，根据算术平方根的定义进行切入思考与计算：看什么正数的平方等于9，这个正数就是9的算术平方根．另外，二次根式实质上就是非负数的算术平方根，熟练地掌握二次根式的性质：(1)2)(a ＝a (a ≥0)；(2)2a ＝a ＝⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，是进行二次根式化简求值的基础．【关键词】二次根式；二次根式的求值；算术平方根2.(浙江杭州，5，3分)下列各式的变形中，正确的是( ) A ．x 2·x 3＝x 6B ．x x =2C ．(x 2－x 1)÷x ＝x －1 D ．x 2－x ＋1＝(x －21)2＋41 【答案】B ．【逐步提示】本题考查了代数式的恒等变形，解题的关键是掌握整式的乘除法法则、二次根式的性质、及完全平方公式的特点．解题时，先按同底数幂乘法法则、整式乘除法法则计算A ．C 选项的式子，判断这两个选项的变形的正确性；再根据完全平方式的特点，对D 选项的式子进行变形，从而判断选项D 的正确性；最后根据二次根式性质判断B 选项的正确性，从而轻松解题． 【解析】∵x 2·x 3＝x 2＋3＝x 5，x x =2，(x 2－x 1)÷x ＝(x 2－x 1)·x 1＝x －21x，x 2－x ＋1＝x 2－x ＋41＋43＝(x －21)2＋43，∴只有选项B 正确，故选择B ． 【解后反思】本题是代数式的有关运算，涉及到整式的运算、二次根式的性质，分式的运算．只要熟练地掌握相关的运算法则与性质，对各个选项的变形逐一判断，即可得到正确答案．四个选项的变形，分别考查了代数式的四个领域：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：a m ×a n =a m +n(m 、n 都是正整数)；整式除法，转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算；配方法得掌握完全平方公式的结构特征：前平方、后平方、积的2倍在中间，就不难进行代数式的配方变形．【关键词】代数式的恒等变形；同底数的乘除法；二次根式的性质；配方法；整式的除法3.(浙江宁波，4，4分)使二次根式1x -有意义的x 的取值范围是( )A. x ≠1B. x > 1C. x ≤1D. x ≥1 【答案】D【逐步提示】本题考查了二次根式的概念，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件. 先根据二次根式有意义的条件建立关于x 的不等式，再解这个不等式确定x 的取值范围． 【解析】根据题意，得10x -≥，解得x ≥1，故选择D .【解后反思】形式)0(≥a a 的式子是二次根式，因此二次根式的被开方数a 应满足条件a ≥0. 解答与二次根式概念有关的问题通常是根据这个条件建立不等式来求解． 【关键词】二次根式 4.(重庆B ，7，4分)若二次根式2a -有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ≠2 【答案】A【逐步提示】a 所在的代数式为二次根式，必须使被开方数为非负数.【解析】由题意可知a －2≥0，解得a ≥2. 故选A .【解后反思】求代数式中字母的取值范围，要看给出的代数式是整式、分式、二次根式，还是有关代数式的组合，然后结合整式、分式及二次根式成立的条件判断即可. 【关键词】二次根式 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.36.37.38.39.二、填空题1.（山东聊城，13，3分）计算：278132⋅÷ =【答案】12【逐步提示】第一步直接利用二次根式乘除法法则把二次根式乘除法转化为被开方数的乘除法, 第二步计算二次根式乘除法, 第三步化简二次根式.278132⋅81827=272=916=34=12323⨯÷⨯⨯⨯⨯.故填12 .【解后反思】考查了二次根式的乘法，解题的关键是正确运用二次根式的乘法法则及二次根式的化简．二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．【关键词】二次根式；二次根式乘法；二次根式除法；；2.（山东青岛，9，33282= .【答案】2【逐步提示】先计算分子中的减法，再进行除法运算.【详细解答】解：原式42222222，故答案为2.【解后反思】1.二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；2.二次根式运算的结果一般要化为最简二次根式；3.每个根式都可看成“单项式”，多项式的乘法法则及乘法公式仍然适用．【关键词】二次根式的混合运算3. (山东威海，14，3)188_____________.2【逐步提示】首先化简二次根式使其成为最简二次根式，然后合并同类二次根式．18832222=2 .【解后反思】一个二次根式，满足以下几个条件就被称为最简二次根式：(1) 被开放数不含有开得尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根号．同类二次根式：化简成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．二次根式的加减步骤是先化简二次根式，然后再合并同类二次根式，法则类似于合并同类项．【关键词】二次根式；最简二次根式；同类二次根式，二次根式的加减4. (天津，14，3分)计算5353+)(-)的结果等于 .【答案】2【逐步提示】本题考查了二次根式的运算．利用乘法公式中的平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，进行运算，合并化简即可．【解析】(53)(53)+-=22(5)(3)-=５－3=２，故答案为2.【解后反思】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式，能根据算式的特点利用平方差公式简化运算是解题的关键．【关键词】二次根式的运算；平方差公式5. （ 四川省巴中市，9，3分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A. 18B.13C.24D.0.3 【答案】B.【逐步提示】本题考查了二次根式的化简，以及同类二次根式的概念，解题的关键是应用二次根式的性质，将二次根式进行化简．先将各二次根式化简成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行选择. 【详细解答】解：18=32，13=133，24=26，0.3=13010，其中只有133 与3是同类二次根式，故选择B.【解后反思】一个二次根式是否为最简二次根式，必须满足两个条件（1）根号内不含有开方开得尽的因数或因式，（2）二次根式的根号内不含有分母；而同类二次根式是指把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的就是同类二次根式，被开方数不同的就不是同类二次根式， 【关键词】最简二次根式；同类二次根式；6. （ 四川南充，2，3分）下列计算正确的是（ ）A ．1223=B ．3322= C ．3x x x -=- D ．2x x = 【答案】A【逐步提示】本题考查了二次根式的化简、商的算术平方根，解题的关键是熟练掌握上述运算法则．根据对应的运算法则逐个计算再作出判断. 【详细解答】解：124323=⨯=，选项A 正确；336222==，选项B 错误； 因为3x -≥0，则x ≤032x x x x x -=-=--，选项C 2x x =，选项D 错误；故选择A ．【解后反思】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【关键词】二次根式的化简；二次根式的乘法；二次根式的除法7（四川省自贡市，3，4分）下列根式中，不是最简二次根式的是 A ．10 B ．8 C ．6 D ．2【答案】B【逐步提示】看被开方数是否含有能开方的因式，若含有，则不是最简二次根式，若不含有则是最简二次根式. 【详细解答】解：B 选项中被开方数8可以分解为4×2，4可以开平方，所以B 不是最简二次根式，故选择B. 【解后反思】二次根式的化简主要运用二次根式的乘除法法则及二次根式的性质进行运算：1. 乘法法则：(a 0,b 0)a b ab •=≥≥.2．除法法则：(a 0,b 0)aa b b÷=≥>. 3．a a =2.【关键词】二次根式的化简8.(浙江金华，12，4分)能够说明“2x x =不成立．．．”的x 的值是 (写出一个即可). 【答案】如-1等(只要填一个负数即可)【逐步提示】认真审题，根据2x x =成立的条件，确定不成立的x 的值．【解析】因为2x x =成立的条件为x ≥0,所以“2x x =不成立．．．”的x 的值是所有负数，答案不唯一，故答案可以为如-1等(只要填一个负数即可) .【解后反思】根据公式成立的条件确定出公式不成立的条件． 【关键词】二次根式9.(浙江宁波，13，4分)实数-27 的立方根是 . 【答案】-3【逐步提示】本题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握利用逆运算求立方根的方法．利用立方和开立方运算是互逆运算进行求解．【解析】由于(-3)3=-27，所以-27 的立方根是-3，故答案为-3 .【解后反思】任何实数的立方根只有一个；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．求一些特殊实数的立方根也是利用数的立方的逆运算来求的． 【关键词】 立方根的概念及求法10.(浙江衢州，12，4分)二次根式3x -中字母x 的取值范围是＿＿＿.【答案】x ≥3.【逐步提示】由二次根式的被开方式是非负数，列出不等式求解. 【解析】依题意，得x －3≥0，解得x ≥3，故答案为x ≥3.【解后反思】正确理解二次根式的被开方式是非负数，是顺利求解此类问题的关键. 【关键词】二次根式的意义，不等式.11.(浙江舟山，12，4分)二次根式x －1中，字母x 的取值范围是 . 【答案】x ≥1【逐步提示】本题考查了二次根式的概念，解题的关键是根据二次根式有意义的条件建立关于x 的不等式求解. 二次根式有意义，必须满足被开方数是非负数.【解析】由题意，得x －1≥0，∴x ≥1，故答案为 x ≥1 .【解后反思】在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含指数为0的幂的形式：底数≠0．【关键词】函数定义及其取值范围；解一元一次不等式12.. （ 四川乐山，14，3分）在数轴上表示实数a 的点如图7所示，化简2(5)2a a -+-的结果为___ _．图7a 52【答案】3．【逐步提示】观察数轴易得2＜a ＜5，再将2(5)2a a -+-化简获解．【详细解答】解：由数轴得2＜a ＜5，∴ 2(5)2a a -+-=5-a+a-2=5-2=3，故答案为3．【解后反思】(1)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．(2) 二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数．否则二次根式无意义． 【关键词】数轴；绝对值；二次根式 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.三、解答题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。
山东省龙口市兰高镇中考数学复习 二次根式练习(无答案) 鲁教版五四制 试题
二次根式1. 4 的平方根是（ ）A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5a化简后为A ． 7B ． －7C ． 2a －15D ． 无法确定0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－75. (-2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 6.下列运算正确的是（ ）A.25=±3-27=1 C.18÷2=9 D.24·32=6 0、2-中，最小的是（ ）A ．2- B．C ．0D8.12a -，则（ ）A ．a ＜12B. a ≤12C. a ＞12D. a ≥129．下列各式中，正确的是（ ）A ．3- B．3- C3± D3±21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为A.9 B.±3 C.3 D. 511.计算75147-＋27之值为何（ ）A ．53 B ．33 C ．311 D ． 91112.．计算631254129⨯÷之值为何（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．43313. 8的立方根是（ ）A ．2 B ．-2 C ．3 D ．414.下列各式计算正确的是A．2．15.下面计算正确的是（ ）A.33235=D.2-3-x 中x 的取值X 围是（ ）A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞317 ）A ．3B ．－3C ．±3D．21－631＋8的结果是（ ）A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．2219.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．．y =2xy 的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．152- D ． 15221.下列计算正确的是（ ）=4=a 、b为两个连续的整数，且a b <，则a b +=23.计算：28-=第2题图24. 当x 2211x x x---=____________．25. x 的取值X 围是．26.实数x ，y 满足x +1y y ---1)1(=0，那么x2011-y2011=28.先化简再计算：22121x x x x x x--⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.m =54322011m m m --的值是．263(5)36m n m -+-=-m n -=1)(2=____________．a b 、为有理数，m n 、分别表示521amn bn +=，则2a b +=。
2022-2023年数学中考第一轮复习-专题二二次根式
专题二：二次根式1：考向解读1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、的化简与运算（分母有理化）．2：导图导学3：考点数的乘方负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．这样的二次根式叫做最简二次根式．（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．二次根式的运算二次根式的性质：0(0)a a≥≥，2()(0)a a a=≥．2(0),||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩．(0,0)ab a b a b=⋅≥≥．(0,0)a aa bb b=≥>．4：解题技巧化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
常见二次根式化简求值的九种技巧一、估算法二、公式法三、拆项法四、换元法 五、整体代入法 六、因式分解法 七、配方法 八、辅元法 九、先判后算法 考点1：二次根式有意义的条件 1．（2022•衡阳）如果二次根式1a -有意义，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a C ．1a < D ．1a 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -， 1a ∴， 故选：B ． 2．（2022•日照）若二次根式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 32x ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：320x -，解得：32x ， 故答案为：32x．举一反三1．（202236x -x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．2．（2022•广州）代数式11x +有意义时，x 应满足的条件为( ) A ．1x ≠- B ．1x >- C ．1x <- D ．1x - 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：代数式11x +有意义时，10x +>， 解得：1x >-． 故选：B ． 3．（2022•常州）若二次根式1x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x B ．1x > C ．0x D ．0x > 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可． 【解答】解：二次根式1x -有意义， 10x ∴-，解得：1x ．故选：A ．考点二：二次根式的定义1．（2022秋•二道区校级期中）下列式子中，不是二次根式的是( )A ．3B ．0.6C ．12D ．3π-【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：3，0.6，1为二次根式，2而30π-<，所以3π-不是二次根式．故选：D．2．（2022春•泸县校级期中）下列式子中是二次根式的是()A．x B．3-C．2-D．38【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A选项，x缺少条件0x，当0x<时，x不是二次根式，故该选项不符合题意；B选项，30-<，故该选项不符合题意；>，故该选项符合题意；C选项，20D选项，38是三次根式，故该选项不符合题意；故选：C．举一反三1．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是()A a B21a+C32D2-【分析】(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．当0a<aa+B21C32是三次根式，故此选项不合题意；D2-故选：B．2．（2022秋•宛城区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．4-B．21x+x-C．32a D．21【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．x的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；C．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．3．（2022秋•榆树市月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．3-B．32a C．22a+D．29a-【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．3-，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．32a，三次根式，故此选项不合题意；a+，是二次根式，故此选项符合题意；C．22a-，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；D．29故选：C．考点三：考向3 二次根式的性质与化简1．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则22-+-等于((3)(7)m m)A．210-C．10D．4m-B．102m【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：2、5、m是某三角形三边的长，5252m ∴-<<+， 故37m <<， ∴22(3)(7)m m -+- 37m m =-+- 4=． 故选：D ． 2．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简22|1|(1)()a b a b +--+-= 2 ． 【分析】根据数轴可得：10a -<<，12b <<，然后即可得到10a +>，10b ->，0a b -<，从而可以将所求式子化简． 【解答】解：由数轴可得，10a -<<，12b <<，10a ∴+>，10b ->，0a b -<，22|1|(1)()a b a b ∴+--+-1(1)()a b b a =+--+-11a b b a =+-++-2=，故答案为：2．举一反三1．（2022•内蒙古）实数a 21|1|a a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<，0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．2．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．【解答】===故选：A ．3．（2022•河北）下列正确的是( )A23=+ B 23⨯ C 23= D 0.7【分析】A 0,0)a b 判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．考点4：最简二次根式1．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A ．19 B ．4 C ．2a D ．a b + 【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【解答】解：11.93A =，不是最简二次根式； .42B =，不是最简二次根式； 2.||C a a =，不是最简二次根式； .D a b +，是最简二次根式． 故选：D ． 2．（2022•杭州）计算：4= ；2(2)-= ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：42=，2(2)4-=，故答案为：2，4．举一反三1．（2022秋•忻州月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )A 12B 3C 12D 2a 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A 124323⨯=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B 3是最简二次根式，本选项符合题意；C 122=D 2||a a =，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：B ．2．（2021•益阳）将452化为最简二次根式，其结果是( ) A ．452 B ．902 C ．9102 D ．3102 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：459523102222⨯⨯==⨯， 故选：D ． 3．（2022秋•永春县期中）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．13 B ．18 C ．7 D ．12 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：13.33A =，因此13不是最简二次根式，所以选项A 不符合题意； .1832B =，因此18不是最简二次根式，所以选项B 不符合题意；.7C 是最简二次根式，因此选项C 符合题意；.1223D =，因此12不是最简二次根式，所以选项D 不符合题意； 故选：C ．考点5：二次根式的乘除法1．（2022•山西）计算：1182⨯的结果为 ． 【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式93==．故答案为：3．2．（2022•衡阳）计算：28⨯= ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式28164=⨯==．故答案为：4举一反三1．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( ) A 1822=± B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A 1822，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意； 故选：D ．2．（202211622正确的是( ) A ．4B ．2C 7D ．2±【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解：原式11622=÷⨯4=2=．故选：B ．3．（202223= ．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】236= 6．考点61．（2021•潍坊）下列运算正确的是( ) A ．2211()24a a a -=-+ B ．1221()a a --=C ．33a ab b-=- D ．623=【分析】根据完全平方公式判断A ，根据负整数指数幂判断B ，根据分式的基本性质判断C ，根据二次根式的除法判断D ．【解答】解：A 选项，原式214a a =-+，故该选项正确；B 选项，原式122211()()a a a-===，故该选项正确；C 选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D 选项，原式2=，故该选项错误；故选：AB ．2．（2021•娄底）计算：0111(2021)()2cos45221π--++-︒+． 【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式222121222(2)1-=++-⨯- 12122=+-+-2=．举一反三1．（2022秋•嘉定区月考）下列结论正确的是( ) A 22a b +是最简二次根式 B x y -x y + C 2(12)12-D a ba b-=+【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．【解答】解：A 是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；BC 1，故本选项错误，不符合题意；D=故选：A ．2．（2022•信阳二模）下列式子运算正确的是( ) A ．632a a a ÷= B ．22(2)4a a =C 1=D ．22()(2)2x y x y x y -+=+【分析】根据整式运算相关的法则和分母有理化逐项判断． 【解答】解：632a a ÷=，故A 错误，不符合题意；22(2)4a a =，故B 正确，符合题意；1，故C 错误，不符合题意；22()(2)2x y x y x xy y -+=+-，故D 错误，不符合题意；故选：B ．3．（2022春•孝义市期末）下列是最简二次根式的是( )AB C D 【分析】根据最简二次根式的定义解决此题．【解答】解：A 不是最简二次根式，那么A 不符合题意．B 不是最简二次根式，那么B 不符合题意．C ．根据最简二次根式的定义，C 不符合题意．D．根据最简二次根式的定义，15是最简二次根式，那么D符合题意．故选：D．考点7：同类二次根式1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：A、822=和3不是同类二次根式，本选项不合题意；B、1223=与2不是同类二次根式，本选项不合题意；C、5与15不是同类二次根式，本选项不合题意；D、7553=是同类二次根式，本选项符合题意．=，2733故选：D．2．（2020•上海）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A．6B．9C．12D．18【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与3不是同类二次根式，那么A 不符合题意．B．根据算术平方根以及同类二次根式，93=与3不是同类二次根式，那么B 不符合题意．=与3是同类二次C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1223根式，那么C符合题意．D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1832=与3不是同类二次根式，那么D 不符合题意． 故选：C ．举一反三1．（2022秋•浦东新区校级月考）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是( ) A 313B 850C 34x 38xD 3x 233a x 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A 、133=∴313故A 不符合题意；B 、822=5052=∴850故B 不符合题意；C 、342x x x 3822x x ，∴34x 38x故C 符合题意；D 、2333a x ax x =∴3x 233a x故D 不符合题意； 故选：C ．2．（20222022m +2可以合并，则m 的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2024D ．2024-【分析】2022m +22022m +2的被开方数相同，即20222m +=．【解答】解：最简二次根式2022m +与2可以合并，则2022m +与2是同类二次根式，20222m ∴+=．解得2020m =-． 故选：B ．3．（2022春•綦江区校级月考）若8和最简二次根式37m -是同类二次根式，则m 的值为( ) A ．5m =B ．2m =C ．3m =D ．6m =【分析】先把8化为最简二次根式22，再根据同类二次根式得到372m -=，然后解方程即可． 【解答】解：822=，372m ∴-=， 3m ∴=．故选：C ．考点8：二次根式的加减法1．（2022•鞍山）下列运算正确的是( ) A ．2810+= B ．3412a a a ⋅= C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、2832+=，故A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．2．（2022•宁夏）下列运算正确的是( ) A ．220--=B ．826-=C ．3362x x x +=D ．326()x x -=【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；B ．822-=，故此选项不合题意；C ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．举一反三1．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D 2832=【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误；2124-=，C 选项也错误； 2832=D 选项正确．故选：D ．2．（2022123( ) A 15B ．32C ．33D ．53【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：12323333+=+=． 故选：C ．3．（2022秋•沈河区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2(2)2-=-B ．43331-=C ．235+=D ．1222= 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【解答】解：2.(2)2A -=，故此选项不合题意；.43333B -=，故此选项不合题意； .23C +无法合并，故此选项不合题意；12.22222D =⨯=，故此选项符合题意； 故选：D ．考点9：二次根式混合运算1．（2022•朝阳）计算：637|4|÷--= ． 【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可． 【解答】解：原式6374=÷-34=-1=-．故答案为：1-．2．（2022•泰安）计算：48633⋅-= ． 【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法． 【解答】解：原式238633=⨯-⨯4323=- 23=，故答案为：23．举一反三1．（2022•安顺）估计1()(2552)5A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式210=<<，310452106∴<<，故选：B．2．（2022•湖北）下列各式计算正确的是()A235÷D236=B．43331C1226【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A23A不符合题意；B、43333，故B不符合题意；=C不符合题意；C1223D236，故D符合题意；故选：D．3．（2022•青岛）计算1的结果是()(2712)3A3B．1C5D．3【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：1(2712)3112712=⨯⨯3394=-32=-1=，故选：B ．考点10：二次根式的化简求值1．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足1228y x x =-+-+，则xy 的值是 ．【分析】根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：1228y x x =-+-+，20x ∴-，20x -，2x ∴=，18y =， 则原式1112842=⨯==， 故答案为：122．（2022秋•浦东新区校级月考）已知15x x-=，那么1x x+的值为 ．【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可． 【解答】解：15x x-=，∴1x x+21()x x =+21()4x x =-+2(5)4=+54=+3=．故答案为：3．举一反三1．（2021•包头）若21x =，则代数式222x x -+的值为( ) A ．7B ．4C ．3D ．322-【分析】利用条件得到12x -两边平方得221x x -=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：21x =+，12x ∴-2(1)2x ∴-=，即2212x x -+=，221x x ∴-=， 222123x x ∴-+=+=．故选：C ．2．（2022秋•琼山区校级月考）已知51x =时，则代数式223x x ++的值( ) A ．1B ．4C ．7D ．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：51x =-时，15x ∴+=2(1)5x ∴+=，2215x x ∴++=，2237x x ∴++=，故选：C ．3．（2022春•东莞市月考）若1220223x =1220223y ，则222x xy y ++的值( )A ．12B ．4C ．2022D ．8【分析】先利用x 、y 的值计算出22x y +=，再利用完全平方公式得到2222()x xy y x y ++=+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：1220223x =+，1220223y =-， 22x y ∴+=，22222()(22)8x xy y x y ∴++=+==．故选：D ．考点11：二次根式的应用1．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m 和正方形n ，则图中阴影部分的周长为 ．【分析】先根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长，再根据图形求得阴影部分的长与宽，最后根据矩形的周长公式求得结果． 【解答】解：根据题意得，2(321818)⨯-+242=⨯ 82=，故答案为：82．2．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于 ．【分析】由周长可得出两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一方程求出两直角边之积进而求得三角形的面积． 【解答】解：设两直角边长分别为x ，y ；则22443216x y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得1xy =．故这个三角形的面积为1122xy =， 故答案为：12．举一反三1．（20221250的周长为( ) A ．23102B ．4352C ．43102D ．4352或23102【分析】分腰长为1250关系进行验证，可求得其周长．【解答】12121250，不满足三角形的三边关系；50125050系，此时周长为23102综上可知，三角形的周长为23102 故选：A ．2．（2022•雄县校级开学）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为29cm 和28cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )A ．21)cmB ．21cmC ．26)cmD ．28)cm【分析】根据HLFG MCEF S S S =+矩形矩形空白部分，需求HC 以及LM ．由题意得()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228LMEF S LM LF MF cm ====正方形，故3HC cm =，)LM LF MF cm ===，进而解决此题．【解答】解：如图所示：由题意知：()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228HCDG S LM LF ME cm ====正方形．3()HC cm ∴=，)LM LF MF cm ===．HLFG MCDE S S S ∴=+矩形矩形空白部分HL LF MC ME =⋅+⋅ HL LF MC LF =⋅+⋅()HL MC LF =+⋅ ()HC LM LF =-⋅(3=-⨯2)cm =．故选：D ．3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为26cm 和215cm 的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为( )A．2B．221cm C．2D．2【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积即可得出答案．【解答】解：两个小正方形的面积为15和6，∴，+=--∴阴影部分的面积26151526615=+--2)cm=，故选：A．专题二：练习一．选择题1．（2022秋•榆树市期中）下列计算正确的是( ) ABCD 3-2．（2022秋•恩阳区 月考）x ( ) A ．1.5B ．1-C ．3-D ．9-3．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x 、y 为实数，且1y =，则x y +的值是( ) A ．2022B ．2023C ．2024D ．20254．（2022秋•文山市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( )AB C D 5．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式计算正确的是( ) A=B = C=D 6．（2022秋•汝州市校级月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．B C ．D 7．（2022秋•泌阳县校级月考）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是()A ．1x ≠B ．0xC ．1x -D ．0x 且1x ≠-8．（2022秋•泌阳县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) ABC D9．（2022秋•宛城区校级月考）下列根式中为最简二次根式的是( )AB C D 10．（2022秋•泌阳县校级月考）下列运算正确的是( ) AB ．2C D 11．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是( )A3-B 2=C 123D ．2(10-=12．（2022秋•邓州市校级月考）已知ABC ∆的面积为212cm ，底边为，则底边上的高为( )A ．B ．C D ．13．（2022秋•邓州市校级月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )ABC D14．（2022秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点 表示的数为x ，则x +( )A ．1B ．1C 1D ．215．（2022秋•安溪县校级月考）已知y =，则20202021()()x y x y +-的值为( ) A ．2B ．2C ．1-D ．116．（2022秋•安溪县校级月考）下列计算正确的是( )A2=-B ．26=C D ．=17．（2022秋•西安月考）下列计算中正确的是( ) A=B ．1C 8D18．（2022( ) A ．2BC D 19．（2022春•重庆月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D 0)a >20．（2022秋•禅城区校级月考）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且||||a b >，则化||a b -的结果为( )A ．2a b +B ．2a b -+C ．bD ．2a b -21．（202230b -=，则b 的取值范围是( ) A ．3b >B ．3b <C ．3bD ．3b22．（2022春•鲤城区校级期中）下列计算错误的是( ) A=B ．3=C =D 23．（2022( ) A ．1x >B ．1xC ．1x ≠D ．1x24．（2022有意义的实数x 的取值范围是( ) A ．2xB ．3x 且2x ≠C ．2x >且3x ≠D ．2x 且3x ≠25．（2022春•福山区期中）下列计算中，正确的是( ) A ．21 B ．3=C 3D =26．（2022春•鼓楼区校级期中）下列运算正确的是( )A ．3=B =C 3=-D ．215=27．（2022( ) A ．0B ．3C ．D ．28．（2022春•东莞市月考）下列各组二次根式中，能进行合并的是( ) ABC D29．（2022春•东莞市月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )AB C D 30．（2022春•东莞市校级期中）当a 满足( ) A ．3aB ．3a >C ．3a -D ．3a >-31．（2022春•仓山区校级期中）下列计算正确的是( )A4B 32=C 5=±D 1=-32．（2022春•东莞市校级期中）下列计算正确的是( ) A=B =C5-D 1=33．（2022春•杭州期中）下列运算正确的是( )A=B ．26=C D 2=-34．（2022秋•高新区校级月考）若实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||b c +( )A ．b c a +-B ．b c a ++C ．b c a ---D ．b c a --+35．（2022春•北京期中）下列二次根式计算正确的是( ) A=BC D36．（2022春•武隆区校级期中）把二次根式化简为( ) A ．B C ．D 二．填空题37．（2022秋•忻州月考）若最简二次根式则x=．38．（2022=的值为．39．（20222)<<=．x40．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：20212022⋅=．41．（2022．42．（2022在实数范围内有意义，则x的取值范围是．43．（2022秋•高新区校级月考）若3y=，则xy的值为．44．（2022秋•虹口区校级月考）设x=y=t为时，代数式22++=．2062202022x xy y45．（2022秋•虹口区校级月考）若x，y满足6y=，则x y⋅的平方根为．46．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式；．（填写编号）47．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形的两边长为a、b，且满足b-==．|4|048．（2022秋•虹口区校级月考）已知x=，则654322--+-+．x x x x49．（2022秋•二道区校级期中）当1x=．50．（2022秋•渝中区校级月考）若两不等实数a，b满足8b+，则a+=，8．三．解答题51．（2022秋•禅城区校级月考）计算．（1）01)|-（252．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，+，其中5x =，15y =．53．（2022． 54．（2022秋•薛城区校级月考）计算：（1）+（2）2011)()|1(2)3π---+--55．（202256．（202257．（2022春•江汉区校级月考）计算：（1（2）747a ．一．选择题1．【解答】解：AA选项不符合题意；B==B选项不符合题意；C==C选项符合题意；D．原式6318=⨯=，所以D选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：由题意得，210x +，解得0.5x -，3210.50-<-<-<-<，故选项A符合题意．故选：A．3．【解答】解：20230x -，20230x-，20230x∴-=，2023x∴=，1y∴=，202312024x y∴+=+=，故选：C．4．【解答】解：A是最简二次根式，故本选项符合题意；B的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C不符合题意；D不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A ．5．【解答】解：A ，故A 不符合题意；B =B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：A 、原式=，故A 不符合题意．B 、原式=B 不符合题意．C 、C 符合题意．D 、原式||a =，故D 不符合题意．故选：C ．7．【解答】解：根据题意得：100x ≠⎪⎩， 解得0x ．故选：B ．8．【解答】解：AB 不是最简二次根式，故此选项不合题意；C D不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A ．9．【解答】=式，故A 选项不符合题意；是最简二次根式，故B 选项符合题意；=C 选项不符合题意；，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D 选项不符合题意；故选：B ．10．【解答】解：A A 不符合题意；B 、=B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．11．【解答】解：A 3=，故此选项不合题意；B 2=，故此选项符合题意；C =，故此选项不合题意；D ．2(20-=，故此选项不合题意； 故选：B ．12．【解答】解：ABC ∆的面积为212cm ，底边为，∴底边上的高为：122)cm ⨯÷=． 故选：B ．13．【解答】解：A 故本选项不符合题意；B 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D ．14．【解答】解：由题意可得：1AB CA ==，则C点坐标为：11)2x=-=-故22x==．故选：D．15．【解答】解：y=，∴20 20xx-=⎧⎨-=⎩，20x∴-=，解得2x=，y∴=20202021()()x y x y∴+-20202020()()()x y x y x y=+--2020[()()]()x y x y x y=+--222020()()x y x y=--20201(2=⨯2=+故选：B．16．【解答】解：A|2|2=-=，故本选项不符合题意；B．24312=⨯=，故本选项不符合题意；CD．4(2=⨯=，故本选项符合题意；故选：D．17．【解答】解：A=B．=C=D 故选：A ．18．【解答】解：A ．2不是同类二次根式，故本选项不合题意；B =C =，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；D = 故选：B ．19．【解答】解：2=不是最简二次根式，=C 是最简二次根式；(0)D a >，因此不是最简二次根式； 故选：C ．20．【解答】解：实数a 、b 在轴上的位置可知，0a b <<，且||||a b >， 0a b ∴-<，∴原式a b a =-+-2b a =-，故选：B ．21．【解答】解：30b -=，即|3|3b b -=-，30b ∴-， 即3b ，故选：D ．22．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、B 符合题意；C =C 不符合题意；D=D不符合题意；故选：B．23．【解答】解：由题意得：10x-，解得：1x，故选：B．24．【解答】解：由题意得：20x-且30x-≠，解得：2x且3x≠，故选：D．25．【解答】解：A．原式=A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=，所以D选项符合题意．故选：D．26．【解答】解：A．3不能合并，所以A选项不符合题意；B B选项不符合题意；=，所以C选项不符合题意；C．原式3D．原式1=，所以D选项符合题意．5故选：D．27．【解答】解：原式===．故选：A．28．【解答】解：A不能合并，故此选项不符合题意；B、∴C、=，∴不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；D、==，∴故选：B．29．【解答】解：|a=不是最简二次根式；C故选：D．30．【解答】解：由题意得，30a+，解得3a-，故选：C．31．【解答】解：A、原式=，故A不符合题意．B、原式3=，故B符合题意．2=，故C不符合题意．C、原式5D、原式1=，故D不符合题意．故选：B．32．【解答】解：A A不符合题意；B=B符合题意；C5，故C不符合题意；D D不符合题意；故选：B．，故选项A正确，符合题意；33．【解答】212=，故选项B错误，不符合题意；C错误，不符合题意；2，故选项D错误，不符合题意；故选：A．34．【解答】解：根据题意得：0∴+<，b c<<<，0c b a||+=---，b c b c a故选：C．35．【解答】==，故选项A错误，不符合题意；==C错误，不符合题意；不能合并，故选项D错误，不符合题意；故选：B．36．【解答】解：10->，a∴<，a∴二次根式0<，∴二次根式化简为故选：A．二．填空题37．【解答】解：最简二次根式∴+=，x25解得：3x=，故答案为：3．38．【解答】解：=，22∴，220∴-=，0∴=，0≠，∴0=，∴25a b ∴=，∴ 5035255b b b b b b++=-+ 5829b b =2=．39．【解答】解：原式11)=-2=，故答案为：2．40．【解答】解：原式2021=⨯⨯2021(1)=-⨯1=-⨯=， 故答案为：41．【解答】0)x y z =>>>，两边平方得：13x y z ++++ 比较系数得：13x y z ++=①，5xy =②，7xz =③，35yz =④，由②得：5x y =，代入③得：57z y=， 即：75y z =， 代入④得：225y =，5y ∴=，1x ∴=，7z =，∴原式．42．【解答】解：由题意得：230x -且20x -≠， 解得：32x 且2x ≠， 故答案为：32x且2x ≠． 43．【解答】解：根据题意，得310130x x -⎧⎨-⎩， 解得13x =，所以3y =，所以1313xy =⨯=．故答案为：1．44．【解答】解：(1t xy t ==，42x y t +==+，2206220220()2222022x xy y x y xy ∴++=++=，20(42)2222022t ∴++=，解得：2t =或3t =-（舍去）2t ∴=．故答案为：2．45．【解答】解：x ，y 满足6y =， ∴30620x x -⎧⎨-⎩， 解得3x =，6y ∴=，18x y ∴⋅=，x y ∴⋅的平方根为=±．故答案为：±46．【解答】解：=，=⑤23=∴②⑤． 故答案为：②⑤．47．【解答】解：|4|0b -=，即|3||4|0a b -+-=，3a ∴=，4b =， ∴该直角三角形的斜边长的平方22223425a b =+=+=， 故答案为：25．48．【解答】解：2022x ==654322x x x x ∴--+-+5432(2x x x x x =--+-+-54322x x x x =-+-+54322x x x x =-+-+-432[1]2x x x x =-+-+-4321]2x x x =-+-+432(202220211)2x x x =--+-+-322x x =-+2(2x x x =-+-22x x =+22x x =+[2]x x =+-2]x =+(202120222)x =-+x ==49．【解答】解：当1x =时，原式3=， 故答案为：3．50．【解答】解：38a b +=，8b +=，0a b ∴-+，0∴-=， a b ≠，∴≠∴3=，16a b ++=，7a b ∴+=，27∴-=，∴21=，∴原式32124=+=．故答案为：21．三．解答题51．【解答】解：（1）原式1=1=+（2）原式=+23=+5=．52．【解答】===当5x=，15y=时，原式===．53．【解答】=4=4=．54．【解答】解：（1）原式=÷==；2（2）原式=---+51911=．755．【解答】解：原式===56．【解答】解：原式==．57．【解答】解：（1==+-4=；4（2）747a2=⨯+a a747=147=20。
二次根式-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向08 二次根式【考点梳理】1、二次根式：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
当a ＞0时，a 表示a 的算术平方根,其中0=02、 理解并掌握下列结论：（1）)0(≥a a 是非负数（双重非负性）； （2）)0()2≥=a a a （； （3）⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0()0()0()0()0(0)0(2a a a a a a a a a a a a a a a ；口诀：平方再开方，出来带“框框” 3、二次根式的乘法：)0,0(≥≥=•b a ab b a ，反之亦成立4、二次根式的除法：)0,0(>≥=b a b a ba ，反之亦成立5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【题型探究】题型一：二次根式的概念和性质1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数11y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若3y =，则2022()x y +等于（ ） A ．1B ．5C ．5-D ．1-3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．35x ≤<C ．5x <D ．35x ≤≤题型二：二次函数的化简4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）A 23+B 23=⨯C D 0.75．（2023·河北·b a 的值是（ ） A ．6B ．9C ．12D ．276．（2022·四川绵阳·统考三模）已知y =，则xy ＝（ ）A ．3B ．－6C ．±6D ．±3题型三：二次根式的乘除7．（2022·广东广州· ）A B C D ．8．（2022·天津南开·二模）计算3)的结果等于______．9．（2022·河北唐山·=a ＝______；b ＝__．题型四：二次根式的加减10．（2022·黑龙江哈尔滨·=_____． 11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________．12．（2022·黑龙江哈尔滨·______．题型五：分母的有理化13．（2022·河北保定·统考一模）已知x =2y = （1）22x y +=________； （2）2()x y xy --=________．14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算tan 22.5︒时，如图，在Rt ACB 中，9045C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，所以tan 22.51AC CD ︒===，类比小明的方法，计算tan15︒的值为________．15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）3的整数部分是m ，小数部分是n ，则mn+3＝_____．题型六：二次根式的比较大小16．（2021·四川成都·766517．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：1013-（填“＞”、“=”、“＜”）18．（2021·陕西宝鸡·17﹣5（填“>”或“<”）题型七：二次根式的化简求值问题19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中53x =． 20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab ⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =+32b = 21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：22124()(1)442x x x x x x x-+-÷--+-，其中x ＝2+tan30°．【必刷基础】一、单选题22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ） A 257B ．22525=+C 532=D ．233323．（2022·福建泉州·校考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≠-B ．23x >-C ．23x -D ．23x -24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ） A ．2与22B ．3与24C ．5与25D ．6与1225．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方法进行两次折叠后，BEF △恰好是等腰直角三角形，若2BE =，则CD 的长度为（ ）A ．22B ．22+C ．222+D ．224+26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列： 2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为()1,2，23的位置记为()2,1，则36这个数的位置记为（ ）A ．()54，B ．()44，C ．()43，D ．()35，27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算1(2712)3-⨯的结果是（ ） A ．33B ．1C ．5D ．328．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，则使式子()011k k ++-有意义的k 的值可能为（ ）A ．－3B ．－1C ．－2D ．229．（2021·北京·统考中考真题）若7x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______________． 30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x 满足|2017-x|+-2018x =x ， 则x-20172=________31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中62a =+． 32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.【必刷培优】一、单选题33．（2021·广东·统考中考真题）设610-的整数部分为a ，小数部分为b ，则()210a b +的值是（ ） A ．6B ．210C ．12D ．91034．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m -+-等于（ ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．435．（2021·内蒙古·统考中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（ ） A ．7 B ．4C ．3D ．322-36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）A ．1，4，5B ．2，3，5C ．3，4，5D ．2，2，4二、填空题37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a 244a a +-+=_____．38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：12211311112212x =++==+⨯； 22211711123623x =++==+⨯； 3221113111341234x =++==+⨯； ……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______．39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若32-的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b +⋅的值是______． 40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知625x =-为一元二次方程20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则=a ______，b =______．41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b 的值为_____． 42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()()2211a b a b +--+-=______．三、解答题43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中33=a ．44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程： 21+21(21)(21)-+-2-1； 32+32(32)(32)-+-32； 43+434343-+-()()433 …解答下列各题： （1109+＝ ；（2＝ ．（3）利用这一规律计算：）×）．45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m .46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n +++∴2222a m n b mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a + 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n ，填空： ＋ ＝( ＋2；（3）若(2a m +＋，且a 、b 、m 、n 均为正整数，求a 的值．参考答案：1．B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：依题意，3010 xx+>⎧⎨-≠⎩∴3x>-且1x≠故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．2．A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20 420xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，故y＝-3，∴20222022()(213)=x y+=-．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．3．C【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得50x->∴5x<故选：C．【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．4．B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23+，故错误；23=⨯，故正确；=≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．D【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．∴3a =，3b =， ∴3327=， 故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 6．B【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x 的值后，再求出y 的值，即可求解． 【详解】解：∵229090x x -+≥-≥，， ∴29x =， 又∵30x +≠， ∴3x =， ∴0012233y --==-+，∴()326xy =⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x 的值与y 的值． 7．A【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．=== 故选：A ．【点睛】)0,0a b ≥≥)0,0a b ≥>，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．4【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：3)=223-=13-9 =4，故答案为：4．【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 9． 2 6化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．=2,6a b ∴==故答案为：2，6．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．-【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：原式==-故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11．20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵213202x x ++=△=9-4=5＞0，∴13x =-23x =-，∴()212x x -=((223320-==，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 12【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．3==【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 13． 14 11【分析】根据分母有理化得到2x =x 和y 分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．【详解】解：∵123x =+， ∴()()12323232323x ===+-+--， ∴（1）22x y +()()222323=-++ 44334433=-++++14=，故答案为：14；（2）()2x y xy -- ()()()223232323⎡⎤=--+--+⎣⎦()()22343=---121=-11=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．14．23-【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．【详解】解：如图，在Rt ACB 中，9030C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，∴∠BAD =∠D ，2AB BD AC ==，∴cos =3BC AC ABC AC =⋅∠，∴()23CD BC BD AC =+=+，∵∠ABC =∠BAD +∠D ，∴=15D ︒∠，∴1tan =tan15===2323AC D CD ︒-+∠， 故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．15．2m 的值，小数部分n m ，把m 、n 代入分式m n+3中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．【详解】解：∵12，∴m ＝1，n 1， ∴=n+3m＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．16．＜【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．==<故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．17．＞ 【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．【详解】解：∵21(10=，211()39-=且11109<，1<，∴13>- 故答案为：＞【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．18．>【分析】首先利用二次根式的性质可得【详解】解：∵∴＞﹣故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．19．13x x -+【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭ ()()()23221111x x x x x x ++-+=÷++- ()()()211313x x x x x +-+=⨯++13x x -=+．当3x =时，原式=． 【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．20．ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入3a =3b = 【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--．当3a =3b =原式(33927==-=．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．21．()212x -；3【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得x 的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解：22124()(1)442x x x x x x x -+-÷--+- ()()()()()22122422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()2224=42x x x x x x x --+⨯-- ()241=42x x x -⋅-- ()212x =-2tan 302x =+︒=∴原式21322==⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．22．D【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．【详解】解：AB、= CD、=故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．23．C【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．【详解】解：根据题意得：320x +，解得23x -．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．24．A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 、2与22是同类二次根式，符合题意；B 、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C 、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D 、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．25．D【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD 是矩形，'90ADA B C A ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，CD AB =，由第一次折叠得：'90DA E A ∠=∠=︒，1452ADE ADC ∠=∠=︒， 45AED ADE ∴∠=∠=︒，AE AD ∴=，在Rt ADE △中，根据勾股定理得，2DE AD =，由第二次折叠知，CD DE AB ==，222DE AE ∴=，2222()2(2)CD AB BE CD ∴=-=-，422CD ∴=+【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．26．C∵36218÷=，18533÷=4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．27．B再合并即可．【详解】解：94321 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．28．B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<．()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠ ∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底29．7x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x -≥，解得：7x ≥；故答案：为7x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．30．2018【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x 的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程=2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．【详解】解：由条件知，x-2018≥0， 所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ =x ，即 =2017，所以x-2018=20172 ，所以x-20172=2018，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x 的取值范围是解题的关键．31．2a a -，1+【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值． 【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+-- 2a a =-．当2a 时，原式1==== 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 32．a b -【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.33．Aa 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34，∴263<<，∴62a =，∴小数部分624b ==∴(((22244416106a b =⨯==-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a 与小数部分b 的值是解题关键．34．D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+， 解得：37x ，374m m -+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．35．C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．36．B【分析】根据勾股定理，222+=a b c ，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a 、b 、c ，222A 、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：112=12⨯⨯；B 、∵2+3=512 C 、∵3+4≠5，则不符合题意；D 、∵2+2=4112=；1>， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．37．2【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a 的取值范围进而化简即可．【详解】解：由数轴可得：0＜a ＜2，则a=a =a +（2﹣a ）=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a 的取值范围．38．12021-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021＝12021-． 故答案为：12021-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 39．2【分析】先由12<得到132<<，进而得出a 和b ，代入()2b ⋅求解即可．【详解】解：∵ 12<，∴132<<，∵ 3的整数部分为a ，小数部分为b ，∴1a =，312b ==∴()((222242b ⋅=⨯=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．40． 2； 4-；【分析】将x =1x =，则20x ax b ++=)()260a b a -+-+=，根据a ，b 为有理数，可得2a -，6b a -+)()260a b a -+-+=时候，只有20a -=，60b a -+=，据此求解即可．【详解】解：∵x ====1∴20x ax b ++=∴))2110a b ++= ∴60a b --+=60a b -++=)()260a b a -+-+=∵a ，b 为有理数，∴2a -，6b a -+也为有理数，∴2a =，4b =-，故答案是：2，4-；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．41．4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b 2，∴120210a a -≥⎧⎨-≥⎩∴1-2a=0，解得：a=12，则b=-2， 故ab=（12）-2=4． 故答案为4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a 的值是解题关键． 42．2【分析】利用数轴可得出102a b -<<<<，1，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：102a b -<<<<，1，则10,10,0a b a b +>->-<∴1a +=|1||1|||a b a b +--+-=1(1)()a b a b +----=11a b a b +-+-+=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．43．13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，当3=a 时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．44．（13；（2（3）2020【分析】（1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．【详解】（133；（2==（3）×）1+）×）1）×） ＝20211-＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．45．22m m-+ 1． 【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m -- =221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m 2时，原式===﹣=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 46．（1）223m n +，2mn ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根据题意进行探索即可.【详解】（1）∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．（2）设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．（3）由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.。
中考数学专题复习六数的开方与二次根式
中考数学专题复习六 数的开方与二次根式一、中考要求：1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．二、考点讲解：1．平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．2．开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．3．算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．4．立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=A ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．7．开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，应知道4=2．9．无理数：无限不循环小数叫做无理数．10．实数：有理数和无理数统称为实数．11．实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数。
12．实数和数轴上的点是一一对应的．13．二次根式的化简：14．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．15．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．16．无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如1．414141···(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2）带根号的数是无理数，这种说法错误，如 4 ,9，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以 4 ,9是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，这种说法错误，如3+ 2 3-2，都是无理数，但它们的积却是有理数，再如2ππ和都是无理数，但2ππ却是有理数，2-2和是无理数；但2+(-2)却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如2，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此；（5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个．17．二次根式的乘法、除法公式18、二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．三、经典例题剖析：1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ）A 、a+3 B.a －3 C. a +3 D.a 2+32、16的平方根是______3、已知(x-2)2+|y-4|+6z =0，求xyz 的值．解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．4、327 的平方根是_________解：±3 点拨327 =3.3的平方根是±35、在实数中－23，0，3，－3.14，4中无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（ ）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞27、下列各式属于最简二次根式的是（ ）A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.58、当a 为实数时，2a =-a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ）A ．原点的右侧B ．原点的左侧C ．原点或原点的右侧D ．原点或原点的左侧9、下列命题中正确的是（ ）A ．有限小数是有理数B ．无限小数是无理数C ．数轴上的点与有理数一一对应D ．数轴上的点与实数一一对应10、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a 其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+21-2a+a = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________解：（1）小明 （2）被开方数大于零点拨：小明的解答是错的．因为a=9时，1－a<0,所以2(1-a)=-(1-a)=a-1,根据2a =|a|.化简。
中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案
中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（）A．5B．13C．-2D．322．使式子√x+1x−1有意义的x的取值范围是（）A．x>1B．x≠1C．x≥1且x≠1D．x≥−1且x≠13．若等式√m2−4=√m+2⋅√m−2成立，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．m≥2C．−2≤m≤2D．m≥44．在函数y=1√x+3中，自变量x的取值范围是（）A．x≥−3B．x≥−3且x≠0 C．x≠0D．x>−35．下列计算正确的一项是（）A．√36=±6B．√0.49=0.7C．√919=313D．√(3−23)2=3−1136．计算正确的是（）A．√114=112B．7a-5a=2C．（-3a）3=-9a3D．2a（a-1）=2a2-2a7．下列运算正确的是（）A．2√2-√2=2B．a3·a2=a5C．a8÷a2=a4D．（﹣2a2）3=﹣6a68．下面是二次根式的是（）A．12B．−3C．√3D．0 9．若式子√x−3有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x=3 10．有下列说法：①一元二次方程x2+px-1=0不论p为何值必定有两个不相同的实数根；②若b=2a+12c，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为－2；③代数式x2+√x+1+1有最小值1；④有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④运算结果在哪两个整数之间（）11．估计(√24−√12)⋅√13A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4 12．下列运算正确的是（）A．√3+√4=√7B．(−√3)2=−3C．2√3−√3=2D．√3×√2=√6二、填空题(共6题；共7分)13．式子√x−1中x的取值范围是14．计算：(√3−√2)2012(√3+√2)2013＝．15．若√x−5不是二次根式，则x的取值范围是16．若|a－b＋1|与√a+2b+4互为相反数，则a＝，b＝．17．若x，y为实数，且y=2022+√x−4+√4−x，则x+y=．18．已知√24n是整数，则正整数n的最小值是.三、综合题(共6题；共86分)19．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M 的坐标．（3）如图2，过点C做CD△y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角△AOP，OF△OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．20．有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a 且mn=√b，a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使√a±2√b得以化简．（1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3)2+(√2)2+2√2×√3=(√3+√2)2 ∴√5+2√6=√(√3+√2)2= ，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简√4−2√3；（3）利用上面的方法，设A =√6+4√2，B =√3−√5，求A ＋B 的值．21．计算：（1）(√12−3)0+√24−(−12)−1 ； （2）已知 y =√2−x +√x −2−3 ，求 (x +y)2021 的立方根；（3）如图，一次函数 y =kx +b 的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且经过点 (−1,32) ，求 △AOB 的面积．22．阅读下列计算过程：√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1√3+√2=√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2√5+2=√5(√5+2)(√5−2)=√5−2试求： （1）1√11+√10的值；（2）1√n+√n−1的值；（3）求1+√2√2+√3√3+√4+⋅⋅⋅√199+√200 的值．23．计算：（1）√8+2 √3﹣（√27+ √2）（2）√23÷ √223× √25（3）（7+4 √3）（7﹣4 √3）24．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的立方根．（3）已知x、y为实数，且y=√x−9−√9−x+√4．求√x+√y的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】x≥114．【答案】√3+√215．【答案】x＜516．【答案】－2；－117．【答案】202618．【答案】619．【答案】（1）解：∵（a+2）2+ ＝0∴a+2=0，b-3=0∴a＝﹣2，b＝3；（2）解：如图1，过点C作CT△x轴，CS△y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0）∴AB＝5∵C（﹣1，2）∴CT＝2，CS＝1∴△ABC的面积＝AB•CT＝5∵△COM的面积＝△ABC的面积∴△COM的面积＝若点M在x轴上，即OM•CT＝∴OM＝2.5．∴M的坐标为（2.5，0）（﹣2.5，0）若点M在y轴上，即OM•CS＝∴OM＝5∴点M坐标（0，5）或（0，﹣5）综上所述：点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）或（2.5，0）；（3）解：如图2，的值不变，理由如下：∵CD△y轴，AB△y轴∴△CDO＝△DOB＝90°∴AB△CD∴△OPD＝△POB．∵OF△OE∴△POF+△POE＝90°，△BOF+△AOE＝90°∵OE平分△AOP∴△POE＝△AOE∴△POF＝△BOF∴△OPD＝△POB＝2△BOF．∵△DOE+△DOF＝△BOF+△DOF＝90°∴△DOE＝△BOF∴△OPD＝2△BOF＝2△DOE∴＝2．20．【答案】（1）√3+√2（2）解：∵4−2√3=3+1−2√3=(√3)2+1−2√3=(√3−1)2∴√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1．（3）解：∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4)2+(√2)2+2×√4×√2=(2+√2)2∴A=√6+4√2=2+√2∵B=3−√5=6−2√52=5+1−2√52=(√5)2+12−2×1×√52=(√5−1)22∴B=√3−√5=√(√5−1)22=√5−1√2=√10−√22=12√10−12√2∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+√2+12√10−12√2=2+12√10+√2221．【答案】（1）解: 原式= 1+2√6+2=3+2√6；（2）解: ∵y=√2−x+√x−2−3∴2−x≥0,x−2≥0∴x≤2∴x=2∴y=−3∴(x+y)2021=(2−3)2021=−1；∴(x+y)2021的立方根为−1；（3）解: 由图像可得点B的坐标为(0,3)，然后把点B(0,3)和点(−1,32)代入一次函数y=kx+b得：{b=3−k+b=32，解得：{k=32b=3∴一次函数的解析式为y=32x+3令y=0时，则有0=32x+3，解得：x=−2∴OA=2，OB=3∴S△AOB=12×2×3=3．22．【答案】（1）解：√11+√10=√11−√10(√11+√10)(√11−√10)=√11−√10（2）解：1√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n+1)(√n−√n−1)=√n−√n−1n−(n−1)=√n−√n−1（3）解：11+√21√2+√3+1√3+√41√199+√200=√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√199−√198+√200−√199=√200−1=10√2−1. 23．【答案】（1）解：原式=2 √2+2 √3﹣3 √3﹣√2 = √2﹣√3（2）解：原式= √23×38×25= √1010（3）解：原式=49﹣48=124．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15∴（a+3）+（2a﹣15）=0∴a=4；（2）解：∵√a−16+(b+2)2=0∴a﹣16=0，b+2=0∴a=16，b=﹣2∴√a b3=√16−23=﹣2；（3）解：∵y=√x−9−√9−x+√4∴x=9，y=2∴√x+√y=√9+√2=3+√2。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
中考数学专题复习课件(第6讲_二次根式及其运算)
2013年中考数学专题复习第六讲：二次根式姓名：【基础知识回顾】1、二次根式：式子a （ ）叫做二次根式2、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）④= (a ≥0, b ≥0)3、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 【重点考点例析】A ．x ≠3B ．x ＜3C ．x ＞3D ．x≥3 A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2A B ．5C DA ．3BC ．D ．A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x3+x 3=x 6B ．m2•m 3=m 6 C．3= D = （a ≥o ） （a ≤o ）6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（）A．=BC3=±D．9=7．（2012•广西）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．x≤2 D。
﹣1＜x＜2 8．（2012•上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C ．D 。
9．（2012•三明）下列计算错误的是（）A．B ．C ．D ．10．（2012•自贡）下列计算正确的是（）A．B．C ．D 。
11．（2012•资阳）下列计算或化简正确的是（）A．a2+a3=a5B ．C 。
D 。
12．（2012•宜昌）下列计算正确的是（）A．B．C 。
D 。
二、填空题20.（2012•=．22．（2012•梅州）使式子有意义的最小整数m是．25．（2012•柳州）计算：．26．（2012•大连）计算：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 代数式
课时6．二次根式
【课前热身】
1. 当x ___________
2. 计算：2=__________．
3. 若无理数a 满足不等式14
<<a ，请写出两个符合条件的无理数_____________. 4. 计算：54-= _____________.
5是同类二次根式的是（ ）
A B C D 1
【考点链接】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式. ⑵ 简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最
简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ⑴ ；
⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；
⑶ =ab （0,0≥≥b a ）；
⑷ =b
a （0,0>≥
b a ）. 3．二次根式的运算
(1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ；
②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.
【典例精析】
例1 ⑴ a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．a≤1
C ．a≥1
D ．1a >
⑵ ）
A ．6到7之间
B ．7到8之间
C ．8到9之间
D ．9到10之间 例2 下列根式中属最简二次根式的是（ ）
例3 计算：⑴ 0(π1)++；
⑵ 8＋()31-－2×2
2．
【中考演练】
1． 计算：1233-= ． 2. 式子2x -有意义的x 取值范围是________．
3. 下列根式中能与3合并的二次根式为（ ）
A ．3
2 B ．24 C ．12 D ．18
﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的
点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体
现的数学思想方法叫做（ ）
A ．代人法
B ．换元法
C ．数形结合
D ．分类讨论
5． 若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
6．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．
7．（1） 计算：03(2)tan 45π---+º；
（2） 计算：︒---+-45tan 2)510()31(401
.
﹡8． 如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -。