高中数学人教A版选修2-1配套课件：2.2.3直线与椭圆的位置关系
人教A版高二数学选修2-1《2.2.3 直线与椭圆的位置关系》课件 赵大藏 (共13张PPT)
直线与椭圆位置关系
回顾1：如何判定直线与圆的位置关系？
（1）
（2）
（3）
① 几何法：由圆心到直线的
距离d与半径r的大小来判断 当d<r时，直线与圆相交； 当d=r时，直线与圆相切；
当d>r时，直线与圆相离．
②代数法：联立直线方程与圆方程，
得到方程组，根据方程组解的个数来判断
②相切
③相离
如何判定直线与椭圆的这三种位置关系？
1. 几何方法：考察交点个数
（1）相交－－有两个公共点 （2）相切－－有唯一公共点 （3）相离－－没有公共点
2. 代数方法：判定联立方程组解的情况
步骤：（1）把直线方程与椭圆方程联立为方程组；
（2）消去y(或x)得到一元二次方程；
（3）计算 b2 4ac .当 0 ，相交；
得：
又设直线与椭圆的交点为 A( 的两个根，于是
)，B（
），则 是方程
，
又 M 为 AB 的中点，所以
解得
，
故所求直线方程为
， 。
解法二：设直线与椭圆的交点为 A( M（2，1）为 AB 的中点，
所以
，
，
又 A、B 两点ห้องสมุดไป่ตู้椭圆上，则 两式相减得
)，B（
， ，
）， ，
所以 故所求直线方程为
，即
，
。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A( )，由于中点为 M（2，1），
有两个相异实根，即⊿＞０，则相交； 有两个相同实根，即⊿＝０，则相切； 无实根， 即⊿＜０，则相离．
回顾2： 如何求直线被圆截得的弦长？
（1）几何方法
四川省成都市第七中学高中数学人教A版选修2-1课件：2.2.3直线与椭圆的位置关系
两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线,垂足为C，连接 AC，并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k. （1）当直线PA平分线段MN时，求直线PA的方程； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.
第二十三页，编辑于星期日：七点 四十一分。
课后作业
1. 习题2.2A组9、10B组3、4
2. 《乐学》 2.3.1 3. 《乐学》2.3.2
第二十四页，编辑于星期日：七点 四十一分。
代入椭圆方程：
由弦长公式得：| AB |
1 k 2 | x1 x 2 | 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
1 ( 1)2 2
42 4 0 2 5.
第五页，编辑于星期日：七点 四十一分。
解法二：
则由
∵
∴
由
由已知 x1 x2
得①②源自yA. .M .
F1 O
F2 x
B
由弦长公式得：| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 2 5.
B
可设直线PQ：y 2( x c) 2( x b)2
.
[1]
F1
O
.P A
F2
x
椭圆方程为：x 2 2b2
y2 b2
1即
x2
2 y2
2b2
[2]
Q
由[1] 代入 [2] 得：5 x2 8bx 2b2 0 且 24b2 0.
设P(x1,y1), Q(x2,y2), 则 | PQ | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 3( x1 x2 )2
解：(1)由题意椭圆E:
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
高中数学 直线和椭圆的位置关系课件 新人教A版选修2
练习：若直线 l过圆x y 4x 2 y 0 x y 的圆心M，交椭圆 9 4 1 于 A,B 两点，且 A,B 两点关于 点M对称，求直线 l 的方程
2 位置关系； 2、直线被椭圆截得弦长公式； 3、直线与椭圆的应用。
谢 谢
y x 1
变式1：若直线 y x m 与 x y 1 m 椭圆 4 2 有公共点，求 的取值范围。
2 2
变式2：若直线 y kx 1 ：与 x y 椭圆 4 2 1 交于 A, B 两点， 4 5 AB 且 3 ，求直线 l 的方程
2 2
例2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点 在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线y=kx+m与椭圆C交于A，B 两点（A，B不为左右顶点），且以为 直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直 线过定点，并求出该点的坐标
直线和椭圆的位置关系
永安十二中 罗上尧
知识回顾 1、直线和椭圆的位置关系： 相交、相切、相离； 2、弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2 2
例12 、判断直线 与椭 2 x y 圆 4 2 1的位置关系，若相交， 求其弦长
新课标人教A版选修2-1辅导资料—直线和椭圆的位置关系(含答案)
直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P ，则1212PP x x =-=或()01122121≠+-=k k y y P P ． 说明：过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短.ab CD 22=3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其中的解题方法就是常说的“设而不求，整体代入”；由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x 用两式相减，即可将问题转化为斜率与中点关系来解决（点差法）。
4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题．三、基础自测1. 椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是A.21B.23 C.1D.32．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3. 直线0=--m y x 与椭圆1922=+y x 只有一个公共点，则=m . 4. 已知斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的右焦点交椭圆与A 、B 两点，则弦AB 的长为.85 四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题1. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．2、已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：22142x y +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆C ， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.其Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <32，此时直线与椭圆C 有两个不同的公共点； (2)由Δ＝0，得m ＝±32，此时直线与椭圆C 有且只有一个公共点； (3)由Δ<0，得m <－32或m >32，此时直线与椭圆C 没有公共点．综上所述，当－32<m <32时，直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点；当m ＝±32时，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；当m <－32或m >32时，直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二：弦长问题3．（2011天津）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的离心率e =面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．若5AB =,求直线l 的倾斜角;4、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2) 如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解：(1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15.∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立．消去y ，得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409.∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知＝2.又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)．故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1.以上两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65.故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l 与x 轴重合的特殊形式而失分．5、 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与该椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x 轴，还是在y 轴上，且对于a 、b 、c 的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx 2+ny 2=1(m >0，n >0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx 2+ny 2=1(m >0，n >0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 中消去y 并依x 聚项整理得：(m +n )·x 2+2nx +(n -1)=0，Δ=4n 2-4(m +n )·(n -1)>0，即m +n -mn >0，OP ⊥OQ 等价于x 1x 2+y 1y 2=0，将y 1=x 1+1，y 2=x 2+1代入得：2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0， ∴2012)1(2=+⇒=++-+-n m nm nn m n ①又|PQ |=221221221221)]1()1[()()()(+-++-=-+-x x x x y y x x＝212212214)(2)(2x x x x x x -+∙=-21014222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=n m n n m n ②联立①②并解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21232321n m n m 或 经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x 2+3y 2=2或3x 2+y 2=2.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx 2+ny 2=1 (m >0，n >0)，m 与n 的大小关系，决定了焦点位置. 题型三：中点弦问题6. (2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 解：7．（2013新课标）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b += ②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D.8. 在椭圆16422=+y x 中，求过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长．9. 已知椭圆12122=+y x 和椭圆外一点()2,0，过这点任意引直线与椭圆交于A,B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．10．椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且11212414,,.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。
高中数学2-2-3直线与椭圆的位置关系课件新人教A版选修
如图所示，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，求椭圆
上的点到点P的最大距离及最小距离．
[分析] 如图所示，以(0,5)为圆心，内切于椭圆的圆
半径为r1，即点P到椭圆的最小距离；以(0,5)为圆心外切于 椭圆的圆的半径为r2，即P点到椭圆的最大距离，也可写出 P点与椭圆上任一点的距离函数关系式再求最值．
已知椭圆的两个焦点为 F1(－2 2，0)，F2(2 2，0)，过 F1 且与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点．如 果△MNF2 的周长等于 12，求椭圆的方程为________．
[解析]
∵△MNF2 的周长为 12，
∴|MN|＋|NF2|＋|MF2|＝12， 即(|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)＝12， ∴长半轴长 a＝3， 又 c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝1， x2 2 ∵焦点在 x 轴上，∴椭圆方程为 9 ＋y ＝1.
4 5 2 5 焦点的距离分别为 3 和 3 ， 过 P 作对称轴的垂线恰过椭圆 的一个焦点，求椭圆方程．
[解析]
4 5 2 5 设两焦点为 F1、F2，且|PF1|＝ 3 ，|PF2|＝ 3 ，
从椭圆定义知 2a＝|PF1|＋|PF2|＝2 5，即 a＝ 5，所以本题 须求出 b. 由|PF1|>|PF2|知 PF2 垂直长轴，所以在 Rt△PF2F1 中， |PF2| 1 π π sin∠PF1F2＝ ＝ ，可求出∠PF1F2＝ ，2c＝|PF1|· cos ＝ |PF1| 2 6 6 2 15 10 2 2 2 3 ，从 b ＝a －c ＝ 3 . x2 3y2 3x2 y2 故所求椭圆为 5 ＋ 10 ＝1 或 10 ＋ 5 ＝1.
的解的个
数的讨论来进行， 有两组不同的实数解(Δ>0)时， 直线与椭 圆相交；有两组相同的实数解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切； 无实数解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．
数学选修2-1 直线与椭圆的位置关系_ppt课件
2 2 x y 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： + = 1 2 2 a b
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
Ax+By+C=0
x2 y2 2 1 2 a b
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp >0 =0
方程组有两解 方程组有一解 两个交点 一个交点 相交 相切
<0
方程组无解
无交点
相离
直线与椭圆位置的关系
• 围绕直线与椭圆的公共点展开的，将直线 方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到 一个一元二次方程， • 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； • 当Δ＞0时，直线与椭圆相交； • 当Δ＜0时，直线与椭圆相离。
点与椭圆的位置关系
x y 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 2 2 1(a b 0) 的位置关系 a b 2 2 2 2 x y x y 点 P 在椭圆上 2 2 1 ；点 P 在椭圆内部 2 2 1 a b a b 2 2 x y 点 P 在椭圆外部 2 2 1 a b
数学选修2-1 直线与椭圆的 位置关系
复习回顾
•
• • • • – .判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 法一：几何法，。利用圆心到直线的距离d与 圆半径r之间的关系判断 即 当d>r时 直线与圆相离 当d=r时 直线与圆相切 当d<r时 直线与圆相交 法二：代数法（判别式法）即将已知直线方程 代入圆方程，消元得一元二次方程，利用△判 别解的个数。 即 △>0 直线与圆有两个交点 相交 △=0 直线与圆有一个交点 相切 △<0 直线与圆没有交点 相离
2
2
弦长公式
高中数学第二章圆锥曲线与方程第3课时直线与椭圆的位置关系课件新人教A版选修1_1
议一议:解决椭圆中点弦问题有哪些方法?(指定小组回答,其他组 补充)
预学 2:弦长公式 设弦两端点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为 k,则弦长
2 2 1
|AB|= (������1 -������2 ) + (������1 -������2 ) = 1 + ������ 2 |x1-x2|= 1 + ������ 2 |y1-y2|.
预学 3:用作差法解决中点弦问题
上节课我们学习了椭圆的几何性质,熟练掌握椭圆的几何性质是解 答椭圆基本问题的法宝,这节课我们将继续运用椭圆的几何性质研究椭 圆的标准方程、几何性质和直线与椭圆的位置关系.
预学 质
������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2 1:椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)和椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)的几何性
重点:直线与椭圆位置关系的判断、弦长问题、综合问题等. 难点:综合问题的解决. 学法指导:学习本课时前应通过复习教材、导学案,熟练掌握以前所 学的椭圆习时注意体会两方面问题:一是解题思路的确定,通过典型的题目总 结出位置关系的判断、弦长问题、综合问题等的处理思路;二是注意运 算能力的培养,本部分问题一般计算量较大,因此学习过程中要注意多 想、多算,逐步提升计算能力.
高二数学选修2-1课件：直线与椭圆的位置关系
所以只能用
第四页，编辑于星期一：一点 二十三分。
例新1课：讲解判已断知它直们线的y位置x关系12与。椭圆x2+4y2=2 ，
解：联立方程组
y
x
1 2
消去y 5x2 4x 1 0 （１）
x2 4 y 2 2
(4)2 4 5 (1) 36 0
所以方程（１）有两个实数根，
则原方程组有两组解, 即直线与椭圆相交。
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
d
d
d
相离
相切
相交
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r d=r
d<r
代数法：∆<0 ∆=0
∆>0
第三页，编辑于星期一：一点 二十三分。
新课讲解
问题2：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能
用几何法吗？
不能！因为他们不像圆一样有统一的半径。
直于x轴的直线所截得的弦长。
通径
2b 2 a
2、直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1 94
的位置关系为
。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十三分。
例题讲解
例4 过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1)引一 16 4
条弦，使弦被点 M平分，求这条弦所在直
线的方程．
y
B（x2 , y2）
当k> 6 或 k<- 6 时相交；
3
3
当k= 6 时相切； 3
当- 6 k< 6 时相离.
3
3
第七页，编辑于星期一：一点 二十三分。
例2、 已知椭圆 x 2 25
高中数学人教A版选修21课件第二章22222第二课时直线与椭圆的位置关系
22，
所以直线 l 被椭圆截得的弦长为
[4＋
2－4－
2]2＋2－
22－2＋
22 2
＝ 10．
法二：因为 x1＋x2＝8，x1x2＝14．
所以直线 l 被椭圆截得的弦长为
1＋－122 82－4×14＝ 10．
解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方 程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系 以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点 坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率 的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆ax22＋by22＝ 1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，
∴kAB＝xy11－－yx22＝－48xy11＋ ＋xy22＝－12·xyMM．
又 kO M＝xyMM，∴kAB·kOM＝－12． 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
与椭圆有关的综合问题
[典例] 已知椭圆xa22＋y2＝1(a>1)，过直线 l：x ＝2 上一点 P 作椭圆的切线，切点为 A，当 P 点在 x
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆 方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于 另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线 y＝kx＋1 与焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 总有公共点，求 m 的取值范围． 解：∵直线 y＝kx＋1 过定点 A(0,1)． 由题意知，点 A 在椭圆x52＋ym2＝1 内或椭圆上， ∴052＋1m2≤1，∴m≥1． 又椭圆焦点在 x 轴上∴m<5，
人教A版高二数学选修2-1教学课件《2.2.3直线与椭圆的位置关系》
∴ SF1AB
1d 2
AB
=1 2
24 3
2=4 . 3
答:
△F1
AB
的面积等于
4 3
题型三：中点弦问题
例3 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
题型三：中点弦问题
例 3 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
∆=0
∆>0
直线与椭圆的位置关系
相交(二个交点) 相切(一个交点)
种类: 相离(没有交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
例4、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
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1 1＋k2 [y1＋y22－4y1y2] AB 1 22 8 5 5 1＋4· [－3 －4×－3]＝ 3 ．
x2 y2 5．已知椭圆 E： 8 ＋ 4 ＝1． (1)直线 l：y＝x＋m 与椭圆 E 有两个公共点，求实数 m 的 取值范围； (2)以椭圆 E 的焦点 F1、F2 为焦点，经过直线 l′：x＋y＝9 上一点 P 作椭圆 C，当 C 的长轴最短时，求 C 的方程．
2．若直线 mx＋ny＝4 和⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过 x2 y2 点 P(m，n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点个数为( A．2 个 C．1 个 B．至多一个 D．0 个 )
[答案] A
4 2 2 [解析] 由题意得 2 >2 ，∴ m ＋ n <4． 2 m ＋n ∴－2<m<2，－2<n<2． x2 y2 ∴点(m，n)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1 内，故过点 P(m，n)的直线与 x 2 y2 椭圆 9 ＋ 4 ＝1 有 2 个交点．
x2 y2 3．过点(－3,2)且与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 有相同焦点的椭圆方程 是________．
x2 y2 [答案] 15＋10＝1
x2 y2 [解析] 因为焦点坐标为(± 5， 0)， 设方程为a2＋ 2 ＝1， a －5
2 9 4 x 将(－3,2)代入方程可得a2＋ 2 ＝1， 解得 a2＝15， 故方程为15 a －5
x2 y 2 ＋ ＝1， [解析] (1)由 8 4 消去 y 得， y＝x＋m. 3x2＋4mx＋2m2－8＝0． ∵直线 l 与椭圆 E 有两个公共点， ∴Δ＝16m2－12(2m2－8)>0， 解得－2 3<m<2 3， ∴实数 m 的取值范围是(－2 3，2 3)．
y2 ＋10＝1．
x2 y2 4．已知斜率为 2 的直线经过椭圆 5 ＋ 4 ＝1 的右焦点 F1， 与椭圆相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为________．
[答案]
[分析]
5 5 3
可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离
问题；也可以利用弦长公式求解．
[ 解析 ] F1(1,0)，
关系的代数与几何表示．
思维导航 1．设椭圆的两焦点F1、F2，已知点P在椭圆上时，|PF1|＋ |PF2| ＝ 2a ，那么点 P 在椭圆外时，设直线 PF1 交椭圆于 Q ，则 |PF1|＋|PF2|与|QF1|＋|QF2|的大小关系如何？
2 ．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置
关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组 的解的个数来讨论？
2．直线与椭圆的位置关系 x2 y2 直线 y＝kx＋m 与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方 kx＋m， y＝ 法：由x2 y2 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程． ＋ ＝1. a2 b2
位置关系 相交
相切 相离
解的个数 两解
一解 无解
Δ的取值
Δ_____0 >
Δ_____0 ＝
Δ_____0 <
3．直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k， 直线与椭圆两交点为 A(x1， y1 ) ， B(x2， y2)，
| x1 －x2 | ＝ 则|AB|＝ 1＋k __________
2
1 |y －y | 1 2 1＋k2__________ ，一般地，|x1
－x2|＝ x1＋x22－4x1x2用根与系数关系求解．
解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x－y－2＝0， 22 则 A，B 的坐标为方程组x y2 的解． ＋ 4 ＝1. 5 5 消去 y 得 3x －5x＝0，则 x1＋x2＝3，x1· x2＝0．
2
∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x221＋k2 AB
第二章
圆锥曲线与方程
第二章 2.2 椭圆
第3课时 直线与椭圆的位置关系
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
1．巩固掌握椭圆的几何性质．
2．能够解决直线与椭圆相交的简单问题．
重点： 椭圆几何性质的综合运用及直线与椭圆相交的问 题． 难点：直线与椭圆相交的问题．
直线与椭圆的位置关系 温故知新 回顾复习点与圆的位置关系的代数表示，直线与圆的位置
牛刀小试 1．直线 l：x－2y＋2＝0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B， 则该椭圆的离心率为( 1 A．5 5 C． 5
[答案] D
) 2 B．5 2 5 D． 5
[解析] 令 x＝0，得 y＝1，令 y＝0，得 x＝－2，由题意知 c 椭圆的半焦距 c＝2，短半轴长 b＝1，∴a＝ 5，∴离心率 e＝a 2 5 ＝ 5 ．
新知导学 1．点与椭圆的位置关系 x 2 y2 点 P(x0，y0)与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在
2 x2 y0 0 2＋ 2＝1 a b 椭圆上⇔__________ ； 2 x2 y 0 0 2＋ 2<1 a b 点 P 在椭圆内部⇔__________ ； 2 x2 y 0 0 2＋ 2>1 a b 点 P 在椭圆外部⇔__________ ．
x2 y2 解法一：∵直线 l 过椭圆 5 ＋ 4 ＝ 1 的右焦点
又直线的斜率为 2，∴直线 l 的方程为 y＝2(x－1)， x－y－2＝0， 22 即 2x－y－2＝0．由方程组x y2 ＋ ＝1， 5 4 5 4 得交点 A(0，－2)，B(3，3)． ∴|AB|＝ xA－xB2＋yA－yB2 ＝ 52 42 0－3 ＋－2－3 ＝ 125 5 5 9 ＝ 3 ．
2 ＝ 1＋kAB [x1＋x22－4x1x2]
＝
52 5 5 1＋2 [3 －4×0]＝ 3 ．
2x－y－2＝0， 2 2 解法三：由方程组x y 消去 x 得 ＋ 4 ＝1， 5 3y2＋2y－8＝0， 2 8 则 y1＋y2＝－3，y1y2＝－3． ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ ＝ ＝ 1 y1－y2 · k2 ＋1 AB