2018年普通高考全国123卷文科数学(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)文科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（） A ．{}02， B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设121iz i i-=++，则z =（） A ．03 A B C D 4A ．135为8A ．6．（） A ．y =-7．在△A ．314AB AC - C ．314AB AC +3AB AC +8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．B ．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（） A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（） A ．15BC D ．112A ．(-∞1314．若x 15．直线16．△228a -=，则ABC △17．（12⑴求1b ，⑶求{}n a 的通项公式．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ；⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：20．（12两点． ⑴当l 与⑵证明：21．（12⑴设2x =计分。

22．[⑴求2C ⑵若1C 23．[已知()f x ⑴当1a =⑵若(x ∈1.A {0,2}A B ⋂=2.C 【解析】∵121iz i i i-=+=+，∴1z =，∴选C3.A 【解析】由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x ，种植收入为0.6x .建设后经济收入则为2x ，种植收入则为0.3720.74x x ⨯=，种植收入较之前增加．4.C 【解析】知2c =，∴2228a b c =+=，a =2e =.5.B 【解析】截面面积为8，所以高h =r =22212S πππ=⋅⋅+=.6.D 【解析】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =，∴选D.7.A 【解析】由题可11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.8.B 【解析】222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+，∴最小正周期为π，最大值为4.9.B 【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为,M N 连线的距离，所以MN ==，所以选B.10.C 【解析】连接1AC 和1BC ，∵1AC 与平面11BB C C 所成角为30，∴130AC B ∠=，∴11tan 30,ABBC BC ==，∴1CC =22V =⨯⨯=11.B 2tan α=b =当tan α12.D A,B ； 取 D. 13.7-14.6值，max z15.，半径为2，22.4sin sin sin A B C ，∴2242b c bc +-=，∴17.解：（1）依题意，21224a a =⨯⨯=，321(23)122a a =⨯⨯=，∴1111a b ==，2222ab ==，3343a b ==.（2）∵12(1)n n na n a +=+，∴121n n a an n+=+，即12n n b b +=，∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.（3）∵1112n n nn a b b q n--===，∴12n n a n -=⋅. 18.解：（1）证明：∵ABCM 为平行四边形且90ACM ∠=,∴AB AC ⊥,又∵AB DA ⊥,∴AB ⊥平面ACD , ∵AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ACD .AB ⊥平面（2）过点Q 作QH AC ⊥,交AC 于点H ，∵ACD ，∴AB CD ⊥,又∵CD AC ⊥,∴CD ⊥平面ABC , ∴13HQ AQ CD AD ==,∴1HQ =,∵BC BC AM AD ====∴BP ABP S ∆=Q ABDV -19.以可估（2，3m 的计在[频数2450P =（3150150∴一年能节省3184.69127.7556.94m -=.20. 解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，代入22y x =， ∴(2,2),(2,2)M N -或(2,2),(2,2)M N -，∴BM 的方程为：220,y x ++=或220y x --=.（2）设MN 的方程为2x my =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩， 得2240y my --=，∴12122,4y y m y y +==-，11222,2x my x my =+=+，∴121212122244BM BN y y y y k k x x my my +=+=+++++ 12121224()0(4)(4)my y y y my my ++==++， ∴BM BN k k =-，∴ABM ABN ∠=∠. 21.解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1()x f x ae x'=-. ∵2x =是()f x 极值点，∴(2)0f '=，∴2211022ae a e-=⇒=. ∵x e 在又1x在∴当x ∈综上，（2）∵∴()f x 令()g x ()gx '=∴当x ∈∴()g x ∴当a ≥22.解：（2）1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线2(0)y kx k =+<与圆2C 相切，圆2C 圆心为(1,0)-，半径为22=，解得43k =-，故1C 的方程为423y x =-+.23.解：（1）当1a =时，21()|1||1|21121x f x x x xx x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，∴()1f x >的解集为1{|}2x x >.（2）当0a =时，()|1|1f x x =+-，当(0,1)x ∈时，()f x x >不成立. 当0a <时，(0,1)x ∈，∴()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+<，不符合题意. 当01a <≤时，(0,1)x ∈，()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+>成立.当1a >时，1(1),1()1(1)2,a x x af x a x x a ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，∴(1)121a -⋅+≥，即2a ≤.12B =32()f x x =4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y = B．y =C．y = D．y =7．在ABC △中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．99100+-9AE 与10．若f 11．已知C 的离心12．已知(1)(50)f f ++B ．0 13．曲线14．若,x 15．已知45⎝⎭16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1（219PA （1（2平面POM 20||8AB =． （1（221（1（2（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--．f x x a x（1）当1f x≥的解集；a=时，求不等式()0（2）若()1f x≤，求a的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试171317（1由a1所以（218．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y $=99+17.5t 可以较好地描述2010（ii 值226.119（1AC ，且OP =连结形，且由由（2故由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC =3，∠ACB =45°．所以OM ，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠．所以点C 到平面POM ． 20．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此（25x =-+． (x -21（1令f 当x 当x 故f（2设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点． 综上，f （x ）只有一个零点．【注】因为211()(1)(13)33f x x x x a -=++--，22131()024x x x ++=++>，所以1(13)03f a +=>，2(23)(1)0f a x x -+=-++<．综上，f （x ）只有一个零点． 22．解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当（2(1+120t +=．23可得（2而|x 由|a [2,)+∞．年普通高等学校招生全国统一考试1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。