甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

17．已知函数()22324f x sin x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC 的面积为23BC 边上的高1AH =，求b ，c .19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+(万元)；当年产量不小于7万件时，()36ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取320e =). 20．已知函数()2ln 1e xf x x=-. （1）求曲线()y f x =在点(1，()1f )处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）已如函数()32321g x x ax =++，若1x ∀，[]21,e x ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln x af x x+=. （1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =，求()f x 的极值；（2）若()21xf x e x≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多选，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值.23．已知函数()|1|||f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集； （2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题答案高三数学（理）参考答案：BCCAB CCDCA BB 1．B解：因为{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，所以{}1,0,2A B ⋃=- 所以(){}U3,4A B =-故选：B 2．C()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-. 故选：C. 3．C【详解】又()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数， ∴ ()()f x f x -=，()()g x g x -=-， ∴()()()()f x g x f x g x -⋅-=-∴ 函数()()⋅f x g x 为奇函数，其图象关于原点对称，A,B 错， 由图可得当0x >时，()0f x >，()0>g x ， ∴ ()()0f x g x ⋅>，D 错， 故选：C. 4．A【详解】因为199599182a a S a +=⨯==，所以52a =； 又因为752a a d =+，所以12122d -==-. 所以51142a a d a =+=-，解得14a =. 故选：A5．B【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意； 对于C ，由11x y>得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B. 6．C【详解】圆锥底面周长为12222ππ⨯⨯=，所以圆锥的底面半径1r =，圆锥的高22213h =-= 所以圆锥的体积为21131333V Sh ππ==⨯⨯，3π. 故选：C 7．C【详解】作出可行域，如图所示，目标函数z x y =-+的几何意义是直线y =x+z 在y 轴上的截距，z x y =-+转化为y =x+z ，令0z =，则0x y -=，作出直线0x y -=并平移使它经过可行域的点，经过A 时， 所以3{250x x y =+-=，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以()3,1A .此时z 取得最小值，即min 312z =-+=-． 故选：C. 8．D【详解】依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322258223log 8log 9<==<=<，当0x ≥时，()x f x e x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 322(log 9)(2)(5)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：D 9．C【详解】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称， 所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--， 则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--， 由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称， 所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--， 故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确； 773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确；由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：C 10．A【详解】当2x >时，363666126x a x a a x x+-≥⋅=-，当且仅当6x =时，等号成立，即当2x >时，函数()f x 的最小值为126a -； 当2x ≤时，2()22f x x ax =--， 要使得函数()f x 的最小值为(2)f ，则满足2,(2)24126,a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩解得25a ≤≤．故选：A ． 11．B【详解】解：设过右焦点()2,0F c 且与渐近线0x ay -=垂直的直线为l ， 则直线l 的方程为()y a x c =--. 由1,()y x a y a x c ⎧=⎪⎨⎪=--⎩，得2a x c =，a y c =，即2,a a P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.则12PF F △的面积为121222P aF F y c c⨯=⨯= ∴22a =∴2221819c a =+=+=， ∴3222e =故选：B 12．B【详解】解：函数3()5f x x x =+的定义域为R ，且()()()()()3355f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，又3y x =与y x =在定义域R 上单调递增，所以()f x 在定义域R 上单调递增，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则()()()2244f m mt f t f t +<-=-，即224m mt t +<-对任意实数2t ≥恒成立， 所以242tm t <-+对于任意实数2t ≥恒成立， 即42m t t<-+任意实数2t ≥恒成立， 因为函数()2g t t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 23g t g ==，则42t t-+有最小值43-， 若42m t t<-+对任意实数2t ≥恒成立，所以43m <-．即m 的取值范围为4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故选：B ． 13．10【详解】①丙选择一名男生和一名女生：1112228C C A =. ②丙选择两名男子：22222C A =. 所以不同的安排方法种数是：10种. 故答案为：10. 14．()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【详解】解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()1,2a b λλλ+=++， 因为a 与a b λ+的夹角为锐角，所以()0a a b λ+⋅>，且a 与a b λ+不共线， 所以()1220λλ+++>且()212λλ+≠+，解得53λ>-且0λ≠，所以λ的取值范围为()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．【详解】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]2()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减， 又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==， 故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<，得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得11100<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭,. 16322+【详解】解：因为0x >，0y >，且24x y +=，即()4x y y ++=， 所以()11111242x y y x y y x y y ⎛⎫+=+++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 1313322422422y x y y x y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫+++=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x yx y y+=+，即()421y =，)421y =、(4322x =-时取等号； 故答案为：3228+ 17．（Ⅰ）最小正周期π，[51212k k ππππ-+，]（k ∈Z ）．（Ⅱ）[0，3]． 【详解】（Ⅰ）函数()22324f x sin x cos x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭1﹣cos （2x 2π-）3232212216cos x cos x sin x cos x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2226k x k ππππ≤+≤+（k ∈Z ），整理得1212k x k π5ππ-≤≤π+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[51212k k ππππ-+，]（k ∈Z ）． （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）＝2cos （2x 36ππ-+）+12216cos x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于x ∈44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，所以22363x πππ-≤-≤，故12126cos x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以0≤g （x ）≤3，故函数的值域为[0，3]．18．（1）6π；（2）7b =2c =.【详解】解：（1）因为3cos b A c =，所以22232b c a b c bc +-⋅=-，所以222223b c a c ac +-=-，即2223c a b ac +-. 由余弦定理可得2223cos 2c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC 的面积为311sin 2322ac B a ==，解得3a =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=348422328+-⨯⨯=， 则27b =19．（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元， 由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233P x x C x x x x x x =--=---=-+-；当7x ≥时，()()336266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭；所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033P x x x x =-+-=--+≤，当且仅当6x =时，等号成立；当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e xP x x x x-'=-+=，所以，当37x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln eP x x x=--单调递增；当3x e >时， ()0P x '<，即函数()315ln eP x x x=--单调递减；所以当3x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e=--=；综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.20．（Ⅰ）2210ex y e ---=；（Ⅱ）()f x 在（0，e ）递增，在(),e +∞递减；（Ⅲ）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【详解】（Ⅰ）∵()2ln 1e xf x x=-，定义域是()0,∞+， ∴()11f =-，()222ln e e xf x x -'=，()12f e '=， 故切线方程为()121y e x +=-，即2210ex y e ---=； （Ⅱ）由（Ⅰ）()222ln e e xf x x -'=， 令()0f x '>，解得0x e <<，令()0f x '<，解得x e >， 故()f x 在（0，e ）递增，在(),e +∞递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得()f x 的极大值是()2lne11e f e e=-=， 即()f x 的最大值是()1f e =，∵()32321g x x ax =++，∴()294g x x ax '=+，令()0g x '=，解得0x =或49a x =-， 若1x ∀，[]21,e x ∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立， 则[]1,x e ∈时，()()max min f x g x ≤恒成立， ①当419a -≤即94a ≥-时，()g x 在[]1,e 上单调递增， 此时()()min 142g x g a ==+，令421a +≥，得32a ≥-；②当419a e <-<时，即9944e a -<<-时，()g x 在41,9a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在4,9a e ⎛⎤- ⎥⎝⎦递增， 此时()3min43219243a a g x g ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令33211243a +≥，解得0a ≥，不符合题意； ③当49e e -≥即94ea ≤-时，()g x 在[]1,e 递减， 故()()32min 321g x g e e ae ==++，令323211e ae ++≥，解得32a e ≥-，不符合题意综上，实数a 的取值范围是3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．（1）()f x 的极大值为1，不存在极小值；（2）3a ≤.【详解】（1）()21ln a xf x x --'=，由题意可得：()2110af x -'==，解得：1a =此时函数()11f a ==，函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =成立 所以()ln 1x f x x+=，()2ln xf x x -'=，由()0f x '>可得01x <<，由()0f x '<可得1x >， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞ 上单调递减. 所以()f x 的极大值为()11f =，不存在极小值.()2由()21x f x e x ≤+-可得ln 21x x a e x x+≤+- 分离a 可得：()1ln 2xa x e x ≤--+()0x > 令()()1ln 2,0xF x x e x x =--+>()()()111111,0x x x x x F x e xe e x x e x x x x '=-+⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭=++> ()1,0.x h x e x x=->令()21'0xh x e x =+> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增 ()120,110,2h e h e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010xh x e x =-=当00x x <<时，()0h x <，即()0F x '<， 当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，故()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()()0000000min 12ln 2x x F x x e lnx x e x x =--+=--+，由于()00010x h x e x =-=，得001xx e =，再对001xx e =两边取对数可得：00ln 0x x +=所以()0000min ln 21023xF x x e x x =--+=-+=，所以3a ≤即实数a 的取值范围3a ≤【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法22．（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（2）14【详解】(1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数), 则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=,直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则l 的直角坐标方程20x y -+=;(2)直线l 的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线C :22(1)4x y ++=, 化简得2230t t -=, 设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t , 则122t t +123t t =-,所以12121212121111|||||t tt t PA PB t t t t t t +-+=+==()2121212414t t t t t t +-=.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大. 23．（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为1-12212535215x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或 解得()2,3x ∈- 所以不等式的解集为()2,3- （2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+ 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-， 即1a ≥或3a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.。