工具变量 两阶段最小二乘

6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
2 −1 2 SX = n ( X − X ) , ∑ ji j j i =1 n n
j = 1,2
2 −1 SX = n ∑i=1 ( X ji − X j )ui , j = 1,2 j ,u 2 −1 SX = n ∑i=1 ( X 1i − X 1 )( X 2i − X 2 ) 1,X 2 n
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
Ø 定义1：如果存在变量 ，满足 Z Cov ( Z , u ) = 0 （1）与 u 不相关 Cov ( Z , X ) ≠ 0 （2）与 X 相关 Z X为 称 的工具变量，也称工具 (instrument)。
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
总体矩条件：
Cov(Z,u ) = E ( Zu ) = E[(Y − β 0 − β1 X ) Z ] = 0 E(u ) = E(Y − β 0 − β1 X ) = 0
类比出样本矩条件：
n n
−1
∑ (Y
i =1 n i =1
n
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y = β0 + β1 X1 + !β r X r + βr +1 X r +1 + ! + βk X k + u
同பைடு நூலகம்元情形一样，总体矩条件：
Cov ( Z l , u ) = E( Z l u ) = E[ Z l (Y − β 0 − β1 X 1 − ! − β k X k )] = 0, l = 1,!, r Cov ( X m , u ) = E( X mu ) = E[ X m (Y − β 0 − β1 X 1 − ! − β k X k )] = 0, m = r + 1,!, k
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
模型： Y = β0 + β1 X1 + β2 X 2 + ! + βk X k + u 若 Cov( X r , u) ≠ 0 则 X r 为内生自变量。 • 存在内生自变量时，OLS估计不再有一致性
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
假设检验： 统计量
t β1 ≡
ˆ β 1 IV S1IV
给定误差项服从正态分布，则 t β1 ~ t (n − 2) 若没给定分布，大样本情况下服从标准正态分布。
工具变量估计法
一元线性回归模型
例子6.2 已婚女性小时工资 直接OLS：
ln(wage) = − 0.185+ 0.109 educ
( −1.000) ( 7.785)
i =1 n
( Z i − Z )(Yi − Y )
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
u 结论2：工具变量估计的性质 （1）工具变量估计是一致估计 （2）工具变量估计具有渐进正态分布
Z
X
u
Y
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
u 结论3：OLS估计和工具变量估计 一元线性回归模型的自变量为外生时， OLS估计可看做以自变量本身为工具的工具变量估 计。 例子6.1 气温与冷饮消费（续） Coldr = β + β AirCd + u
6.2 工具变量估计方法
6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量 Y = β0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + u
Z1 、 X1 为内生变量， X 2 和 Z2 X X 3 为外生变量， 为 1 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： 第一阶段（first stage）：以内生变量为因变量， 所有外生变量为自变量做回归 X1 = α 0 + α1Z1 + α 2 Z 2 + α3 X 2 + α 4 X 3 + v 得拟合值
ˆ 只要 ρ X , X ≠ 0 β 2 敛到 。
1 2
2 σ X Cov ( X 2 , u ) − ρ X , X Cov ( X 1 , u ) ˆ β2 − β2 → 2 [σ X σ X (1 − ρ X , X )]
1 2 1 1 2 1 2
，
β2 不以概率收
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
fathedu 作工具变量：
ln(wage) = − 0.441+ 0.059 educ
( 0.989 ) (1.686 )
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y = β0 + β1 X1 + !β r X r + βr +1 X r +1 + ! + βk X k + u
定义2：如果存在变量 Zl ，满足 Cov (Zl , u) = 0 （1）与 u 不相关 Cov ( Z l , X l ) ≠ 0 （2）与 X l 相关 Zl X为 l = 1,!, r 称 的工具变量，也称工 l 具 ， 。
类比原则得样本矩条件，可解得参数估计。
工具变量估计法
多元线性回归模型
Y = β0 + β1 X1 + !β r X r + βr +1 X r +1 + ! + βk X k + u
u 结论4：工具变量估计的性质 p ˆ β ⎯ ⎯→ β jIV （1） jIV 2 ˆ n ( β − β ) ~ N ( 0 , σ （2） ˆ ) jIV jIV (a) β 2 ˆ σβ j= 0,1,!, k β 其中 为 的方差， ˆ jIV
0 1
House
用住房面积
作为工具变量
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
方差估计：若 Var (u | Z ) = E(u 2 | Z ) = σ 2 2 ˆ σ S2 = n β 2 2 ˆ Z ,X ( X − X ) ρ ∑i=1 i n 1 其中， σ ˆ2 = ˆ2 u
ˆ =α ˆ0 + α ˆ1Z1 + α ˆ2Z2 + α ˆ3 X 2 + α ˆ4 X 3 X 1
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量 Y = β0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + u
Z1 、 X1 为内生变量， X 2 和 Z2 X X 3 为外生变量， 为 1 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： ˆ X1作为 X 第二阶段（second stage）：将 1 Y = β0 + 的工具变量，对模型 β1 X1 + β2 X 2 + β3 X 3 + u 实施工具变量估计
u 结论1：OLS估计的不一致性 （1）线性回归模型内生自变量回归系数的 OLS估计不是一致估计； （2）如果和内生自变量相关，外生自变量回 归系数的OLS估计不是一致估计
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX = β + du / dX
ˆ 是对 β + du / dX 的估计。 β
jIV
jIV
工具变量估计法
多元线性回归模型 例子6.3 在职男性工资
log( wage ) = β 0 + β1exper + β 2exper + β 3edu + βX + ε 由于能力变量的缺失，导致经验和教育都具内 生性，因此Kling用居住地附近是否有四年制大学 （虚拟变量）作为 edu 的工具变量，以年龄和年 2 exper exper 龄的平方作为 和 的工具变量
i
ˆ −β ˆ X )Z = 0 −β 0 1 i i
−1
ˆ −β ˆX )=0 ( Y − β ∑ i 0 1 i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
ˆ =Y −β ˆ β 0 IV 1IV ˆ β
1IV
∑ = ∑
n
( Z − Z )( X − X ) i i i =1
工具变量估计法
EViews操作
例子6.2 已婚女性小时工资（续） log( wage ) = β 0 + β1exper + β 2exper 2 + β 3edu + u
工具变量估计法
EViews操作
例子6.2 已婚女性小时工资（续） log( wage ) = β 0 + β1exper + β 2exper 2 + β 3edu + u 点击选择按钮（Op>ons）对参数估计协方差矩 阵的估计方法进行选择，本例采用的是横截面数据， 因此采用怀特异方差一致的协方差矩阵估计。