(9)12.9两阶段最小二乘法
最小二乘法概述
最小二乘法一、简介最小二乘法，又称最小平方法，是一种数学技术。
它通过最小误差的平方和寻找数据函数的最佳匹配。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系bx a y +=，对其进行)2(>n n 次观测而获得n 对数据。
若将这n 对数据代入方程求解a ,b 之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法,其基本思想就是寻找“最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策，不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于数学，这并非夸张之辞。
统计学应用的几个分支如相关分析、回归分析、方差分析和线性模型理论等，其关键都在于最小二乘法的应用不少现代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来，作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策，如回归分析中一系列修正最小二乘法而产生的估计方法等就是最好的例子。
二、创立思想勒让德在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法创立了最小二乘法；高斯由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。
最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真实的状态。
这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
三、原理设一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,现用近似曲线)(x y ϕ=拟合这组数据,“拟合得最好”的标准是所选择的()x ϕ在i x 处的函数值()i x ϕ(1,2,,)i n = 与i y (1,2,,)i n = 相差很小,即偏差（也称残差）()i i x y ϕ-(1,2,,)i n = 都很小.一种方法是使偏差之和()1ni i i x y ϕ=⎡⎤⎣⎦∑－很小来保证每个偏差都很小.但偏差有正有负,在求和的时候可能相互抵消.为了避免这种情况,还可使偏差的绝对值之和()1||ni i i x y ϕ=-∑为最小.但这个式子中有绝对值符号,不便于分析讨论.由于任何实数的平方都是正数或零,因而我们可选择使“偏差平方和21ni i i x y ϕ=-∑［（）］最小”的原则来保证每个偏差的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y =()x ϕ.这种“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则,而按最小二乘法原则拟合曲线的方法称为最小二乘法或称最小二乘曲线拟合法.一般而言,所求得的拟合函数可以使不同的函数类,拟合曲线()x ϕ都是由m 个线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…, ()m x ϕ的线性组合而成,即()()()()1122m m x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++…)1(-<n m ,其中1a ，2a ，…，m a 为待定系数.线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…()m x ϕ,称为基函数,常用的基函数有: 多项式：1,x , 2x ,…,m x ;三角函数： sin x ,sin 2x ,…,sin mx ;指数函数：x x x m e e e λλλ,,,21 ,x λ２ｅ,…,x λｍｅ.最小二乘法又称曲线拟合,所谓“ 拟合” ,即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点,只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势,它的实质是离散情况下的最小平方逼近.四、运用曲线拟合做最小二乘法 1 一元线性拟合已知实测到的一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,求作这组数据所成的一元线性关系式.设线性关系式为y a bx =+,求出a 和b 即可.法一：即要满足则）（令,0,0,,12=∂∂=∂∂--=∑=bsa sb a bx a y s ni i i ,则,a b 要满足s a ∂∂＝0,sb∂∂＝0.即 11()()ni i i n i i ii sy a bx a s y a bx x b==∂⎧--⎪⎪∂⎨∂⎪--⎪∂⎩∑∑＝－2＝0＝－2＝0化简得112111n n i i i i nn ni i i i i i i b a x y n n a x b x x y =====⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑∑∑∑１＋＝＋＝ 从中解出1112211111n n n i i i ii i i n n i i i i n n i ii i n x y x yb n x x b a y x n n =======⎧⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑－＝－＝－ （1） 法二：将i x ,i y 代入y a bx =+得矛盾方程组1122n y a bx y a bx y a bx n=+⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ (2) 令A =12111n x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,B =12n y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则（2）式可写成b B A a ⎛=⎫⎪⎝⎭,则对应的正规方程组为TTa b A B A A ⎛=⎫ ⎪⎝⎭,所以a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1()T TA A AB -,其中A 称为结构矩阵,B 称为数据矩阵,T A A 称为信息矩阵,TA B 称为常数矩阵.2 多元线性拟合设变量y 与n 个变量1x ,2x ,…,n x （1n ≥）内在联系是线性的,即有如下关系式∑=+=nj j j x a a y 10,设j x 的第i 次测量值为ij x ,对应的函数值为i y (1,2,,)i m = ,则偏差平方和为s ='220111()()mm ni i i i ij i i j y y y a a x ===-=--∑∑∑,为了使s 取最小值得正规方程组011001111011202020m n i j ij i j m n i j ij i i j m n i j ij in i j ns y a a x a s y a a x x a s y a a x x a ======⎧∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪⎪∂⎨⎝⎭⎪⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑ （3） 即011101111n m mij j i j i i mn m mik ij ik jik i i j i i ma x a y x a x x a x y =======⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑1,2,,k n = . （4） 将实验数据(,)i i x y 代入（4）式,即得m a a a ,,,10 .3 指数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用指数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式bxy ae =（,a b 为待定系数）.对上式两端取自然对数可得：ln ln y a bx =+ （9）令Y =ln y ,0ln b a =,则（9）式可转化为一元线性函数形式0Y b bx =+,此时将指数函数拟合转化成了一元线性拟合,利用一元线性拟合中的两种方法均可求出0b 和b ,继而根据0b a e =可求出a ,从而得出因变量y 与自变量x 之间的函数关系式0b bx bx y ae e +==4 对数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用对数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式ln y a b x =+(0)x >（,a b 为待定系数）.0b >时,y 随x 增大而增大,先快后慢;0b <时,y 随x 增大而减小,先快后慢.当以y 和ln x 绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用对数函数描述y 与x 之间的非线性关系,式中的b 和a 分别为斜率和截距.这时令X =ln x ,就可以利用一元线性拟合的方法来求解.更一般的对数函数还可设为y =()ln a b x k ++,式中k 为一常量.五 举例例1 使电流通过2Ω的电阻,用伏特表测量电阻两端的电压V .测得数据如下表：t I /A1 2 4 6 8 10 t V /V1.83.78.212.015.820.2试用最小二乘法建立I 与V 之间的一元经验公式（有效数字保留到小数点后第3位）. 解：可取一次线性关系式V a bI =+作为I 与V 之间的一元经验公式. 将数据代入得矛盾方程组1.82 3.748.2612.0815.81020.2a b a b a b a b a b a b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎩ 令1112141618110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1.83.78.212.015.820.2B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则上述矛盾方程组可写成矩阵形式0a A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此得出其正规方程组0T T a A A A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,将数据代入即得63161.7031221442.4a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解之得0.212.032a b =-⎧⎨=⎩,故所求经验公式为0.2152.V I =-+. 例 2 在在开发一种抗过敏性的新药时,要对不同剂量的药效进行实验.10名患者各服用了该新药的一个特定的剂量.药物消失时立即纪录.观测值列于下表中.x 是剂量,y 是症状消除持续的日数.用7个不同的剂量, 其中3个剂量重复给两名患者.试给出y 与x 之间的一元经验公式(保留3位有效数字).1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ /i x mg334566788959/i y d9 5 12 9 14 16 22 18 24 22 1512i x 9 9 16 25 36 36 49 64 64 81 389i i x y271548458496154144192198 1003解：可设y 与x 之间的经验公式为y a bx =+. 由上表可知,101i i x =∑59=,101i i y =∑151=,101i i i x y =∑1003=,1021i i x =∑389=,2101i i x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑3481= 再由（1）式可求得,1010101112101021110101003591512.7410389348110i i i ii i i i i i i x y x y b x x =====-⨯-⨯===⨯-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑10101111 2.7415159 1.0710101010i i i i b a y x ===-=⨯-⨯=-∑∑所以y 与x 之间的经验公式为 1.07 2.74y x =-+.最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定的规律，拟合成一条曲线来反映所给数据特点。
最小二乘法的概念(一)
最小二乘法的概念(一)最小二乘法概述什么是最小二乘法•最小二乘法是一种统计学中经常使用的数据拟合方法。
•它的主要目的是通过最小化误差平方和，找到最佳的参数估计。
原理•最小二乘法基于观测数据与模型预测值之间的残差。
•残差是观测值与拟合值之间的差异。
•最小二乘法通过调整模型参数，使残差平方和最小化。
•在最小二乘法中，通常假设残差满足正态分布。
基本步骤1.确定待拟合的数据集。
2.选择一个适当的数学模型来描述数据的关系。
3.使用最小二乘法求解模型的参数。
4.评估模型的拟合程度和参数估计的置信度。
5.如果模型不满足要求，可能需要修改模型或者调整数据集。
应用领域•最小二乘法可以应用于多个领域，例如经济学、金融学、计量学、统计学等。
•在经济学中，最小二乘法可以用来估计需求曲线、供给曲线等。
•在金融学中，可以使用最小二乘法来拟合股价走势或评估风险模型。
•在计量学和统计学中，最小二乘法是线性回归模型的基础。
优缺点优点•直观而简单，易于理解和实现。
•结果具有统计性质，可以进行假设检验。
•可以用于建立数学模型和预测未来值。
缺点•对离群值敏感，可能会导致参数估计的偏差。
•对于非线性模型拟合效果较差。
•假设模型满足线性和正态分布的要求。
总结最小二乘法是一种常用的数据拟合技术，通过最小化误差平方和来求取最佳的参数估计。
它可以应用于经济学、金融学、计量学等领域，并具有直观简单、易于理解的优点。
然而，它对离群值敏感，并对非线性模型的拟合效果较差。
因此，在实际应用中需要谨慎选择合适的模型和数据。
第一组 二阶段最小二乘讲义
第一组二阶段最小二乘讲义2021-2021学年高级计量经济学分组名单第一组：潘琳、王超、倪远栋、叶寅、李畅、吴超、卿剑、李珊、刘春梅、王巍、马哲光、俞力群、田纪华题目：二阶段最小二乘法（2SLS）内容：适用的情况（或条件）估计原理步骤实例二阶段最小二乘计量方法讲义整理1.引例（引出问题和方法）例一：有关工资收入和教育水平、个人能力之间的关系问题考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题。
一个简单的模型为：log(wage)??0??1educ??2abil?e, （1）其中e是误差项。
在某些假定下，如何用诸如IQ的代理变量代替能力，从而通过以下回归可得到一致性估计量log(wage) 对 educ, IQ 进行回归然而，假定不能得到适当的代理变量（或它不具备足以获取一致性估计量所需的性质）。
这样一来，我们将abil放入误差项中，留下来的就是简单的回归模型：log(wage)??0??1educ?u, （2）其中u包含了abil。
当然，可以用OLS估计此方程，但是，如果educ与abil （即educ与随机误差项u）相关，即educ为内生解释变量，则用OLS估计得到的结果将是?1的有偏、非一致性估计量。
我们把简单回归模型写成：y??0??1x?u, （3）其中我们认为x与u相关：Cov(x,u)?0.此时，假如我们能找到一个变量z，满足两个条件：一是与变量x存在高度相关关系，即Cov(z,x)?0.；二是与随机扰动项u不存在相关关系，即Cov(z,u)?0.；从遗漏变量的角度看，这意味着z应当对y无偏效应，也不应当与其它影响y的因素相关，此时变量z就称作为变量x的工具变量（IV），则我们就利用工具变量z可以根据上述方程（3）来进行估计，得到参数的无偏的一致估计，如劳动经济学家已在工资方程中使用的家庭背景变量作为教育的IV。
例如，母亲的教育（motheduc）与孩子的教育是正相关的，这一点通过收集劳动者数据样本并做educ对motheduc的简单回归便可以看出来，因此，motheduc满足相关性条件，但是，母亲的教育也可能与孩子的能力相关（通过母亲的能力和可能通过孩子幼年所受的教养的质量）。
最小二乘法的基本原理
最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计参数。
它的基本原理是通过最小化实际观测值与理论值之间的差异来找到最优的拟合曲线或者参数估计。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学、工程学等。
首先，让我们来看一下最小二乘法的基本概念。
在最小二乘法中，我们通常会有一组观测数据，我们希望找到一个函数或者模型来描述这些数据。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2,y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)来拟合这些数据。
最小二乘法的目标就是找到一个函数f(x)，使得所有数据点到f(x)的距离之和最小。
为了实现这一目标，我们需要定义一个衡量拟合程度的指标。
通常情况下，我们会使用残差平方和作为衡量指标。
残差指的是每个观测数据点的实际值与拟合值之间的差异，残差平方和则是所有残差的平方之和。
最小二乘法的核心思想就是通过最小化残差平方和来找到最优的拟合函数。
在实际操作中，我们可以通过求解偏导数为0的方程组来得到最小二乘法的解析解，也可以利用数值计算方法来求解。
无论采用哪种方法，最终得到的拟合函数都是使得残差平方和最小的函数。
最小二乘法的优点在于它具有较好的数学性质和稳定性。
它对异常值具有一定的鲁棒性，能够有效地减小异常值对拟合结果的影响。
另外，最小二乘法还可以用于估计参数，例如在线性回归模型中，最小二乘法可以用来估计回归系数。
然而，最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对数据的分布和误差的性质有一定的要求，如果数据不满足最小二乘法的假设条件，拟合结果可能会出现偏差。
其次，最小二乘法在处理大规模数据时，计算量较大，效率较低。
总的来说，最小二乘法是一种简单而有效的数据拟合和参数估计方法。
它的基本原理清晰易懂，应用范围广泛。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的拟合模型和方法，以达到最佳的拟合效果和参数估计结果。
最小二乘法的基本步骤
最小二乘法的基本步骤最小二乘法是一种常见的数据处理方法，主要用于寻找最优解。
在实际应用中，最小二乘法广泛应用于数据拟合、回归分析、参数估计等方面。
本文将介绍最小二乘法的基本步骤及其应用，以帮助读者更好地掌握该方法。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法是利用已知数据的信息，通过求解估计值和实际值之间的差的平方和的最小值，来寻找最优解的方法。
在这个过程中，我们通常需要确定一个或多个参数，使我们得到的拟合结果与实际值的误差最小。
这就是最小二乘法的基本原理。
二、最小二乘法的基本步骤最小二乘法包括以下的基本步骤：1. 确定模型首先，在最小二乘法中，我们需要确定需要拟合的模型的形式。
例如，在线性回归中，我们选择y = kx + b来描述因变量y和自变量x之间的关系，其中k和b就是需要估计的参数。
在确定估计模型后，我们就可以开始对数据进行拟合。
2. 确定误差函数在确定模型后，我们需要确定一个误差函数来衡量估计值与实际值之间的差异。
通常，误差函数可选择为平方误差函数，其计算公式为：E = Σ(yi - f(xi))^2（i=1,2,…,n）其中，yi为实际值，f(xi)为估计值，n为样本数。
3. 求解参数求解参数是最小二乘法的核心步骤。
在这一步中，我们需要通过最小化误差函数来求解参数。
对于线性回归问题，我们可以通过解析解或迭代优化方法求解。
在解析解法中，我们可以直接给出参数的求解公式，例如在二元线性回归中，参数的求解公式为：k = ((nΣxy) - (Σx)(Σy)) / ((nΣx^2) - (Σx)^2)b = (Σy - kΣx) / n其中，x和y分别为自变量和因变量的观测值，Σ表示求和符号，n为样本数。
4. 拟合数据在求解出参数后，我们可以通过估计模型得到拟合的结果，并将其与实际值进行比较。
如果误差较小，我们就可以认为模型的拟合结果是较为准确的。
三、最小二乘法的应用最小二乘法在实际应用中具有广泛的应用。
最小二乘法简介PPT课件
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
两阶段最小二乘法的回归方程
两阶段最小二乘法的回归方程标题：探讨两阶段最小二乘法的回归方程在统计学中，两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）是一种用于估计结构方程模型的方法。
它通常用于解决内生性问题，即自变量与误差项之间存在相关性的情况。
本文将介绍两阶段最小二乘法的基本原理、应用场景以及其在回归分析中的具体作用。
1. 两阶段最小二乘法的基本原理两阶段最小二乘法是一种利用工具变量（Instrumental Variables, IV）来消除内生性问题的方法。
在回归分析中，当自变量与误差项存在相关性时，传统的最小二乘法估计会产生偏误，因此需要使用工具变量来解决这一问题。
两阶段最小二乘法的基本原理是通过两个阶段的回归分析来消除内生性，并得到无偏的估计结果。
2. 两阶段最小二乘法的应用场景两阶段最小二乘法通常用于经济学、社会学等领域的研究中。
在实际应用中，当研究者面临内生性问题时，可以利用工具变量来进行两阶段最小二乘法估计。
在研究收入对教育水平的影响时，由于收入与家庭背景等因素存在内生性，可以使用父母教育水平作为工具变量来消除内生性问题。
3. 两阶段最小二乘法在回归分析中的作用在回归分析中，两阶段最小二乘法可以有效解决内生性问题，得到无偏的估计结果。
通过两个阶段的回归分析，首先利用工具变量与内生自变量的相关性来估计内生变量的预测值，然后再将预测值作为自变量进行普通的最小二乘法回归分析。
这样可以得到消除内生性影响的回归方程，并得到准确的参数估计结果。
总结回顾通过本文的介绍，我们对两阶段最小二乘法的基本原理、应用场景以及在回归分析中的作用有了深入的了解。
两阶段最小二乘法可以有效解决内生性问题，对于实证研究具有重要的意义。
在实际应用中，研究者需要根据具体问题选取合适的工具变量，并进行两阶段最小二乘法估计，以得到无偏的估计结果。
个人观点和理解在实际研究中，内生性问题是经常会遇到的挑战之一，而两阶段最小二乘法为我们提供了一种有效的解决方案。
二阶最小二乘法的概念
二阶最小二乘法的概念二阶最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合二次曲线的参数。
在统计学和数据分析中，我们经常需要通过拟合曲线来描述数据之间的关系。
而二阶最小二乘法就是一种优化算法，它能够找到最佳的曲线参数，使得拟合结果与实际数据的残差最小化。
首先，我们需要了解什么是最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化观测值与拟合值之间的差异来找到最佳的拟合曲线。
这种方法可用于线性和非线性回归模型。
而二阶最小二乘法则是在最小二乘法的基础上，进一步优化了二次曲线的拟合效果。
二阶最小二乘法的核心思想是利用二次函数来拟合数据，通过调整二次函数的参数，使得拟合曲线与实际数据的误差最小。
一般来说，二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c其中，a、b和c为待求的参数，x和y为已知的数据点。
我们的目标是找到最佳的参数a、b和c，使得拟合曲线与实际数据的残差最小。
二阶最小二乘法的求解过程可以通过最小二乘法的线性化思想来实现。
首先，我们将二次函数进行线性化变换，得到一个与参数a、b 和c相关的线性方程。
然后，通过求解线性方程组，可以得到最佳的参数估计值。
在实际应用中，我们通常使用计算机算法来自动求解二阶最小二乘法。
这些算法利用数值优化方法，通过迭代计算来寻找最佳的参数估计值。
最常用的算法之一是高斯牛顿法，它结合了最小二乘法和牛顿法的思想，能够高效地求解二阶最小二乘问题。
二阶最小二乘法在许多领域都有广泛的应用，例如工程建模、经济预测和机器学习等。
通过拟合二次曲线，我们可以更好地理解数据之间的关系，从而进行预测、分析和决策。
总之，二阶最小二乘法是一种重要的数学方法，通过优化二次曲线的拟合效果，能够更好地描述和分析数据之间的关系。
它在统计学和数据分析中扮演着重要的角色，为我们解决实际问题提供了有力的工具。
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ˆ Qt = β 0 + β 1 P t + β 2 W t +
u∗ t 2
(12.9.11)
其中 Pt 的数值由第一阶段的OLS估计式(12.9.10)算 ˆ 出(见表12.9.1)。 再用OLS法分别对模型(12.9.11)中每个方程进行估计， 得出模型(12.9.11)的2SLS估计式，如图12.9.2和图12.9.3 所示：
y1t = Π 11 x1t + Π 12 x 2t + v1t y 2t = Π 21 x1t + Π 22 x 2t + v 2t
(12.9.2)
对约简型的每个方程应用OLS法，得
ˆ ˆ ˆ y1t = Π 11 x1t + Π 12 x 2t ˆ ˆ ˆ y 2t = Π 21 x1t + Π 22 x 2t
(12.9.3)
于是有
ˆ y1t = y1t + ε 1t ˆ y 2t = y 2t + ε 2t
(12.9.4)
其中ε1t,ε2t分别为v1t，v2t的OLS估计量。 第二阶段 将(12.9.4)代入被估计的结构方程(12.9.1)的右边的 内生变量：
ˆ y1t = β 2 y 2t + γ 1 x1t + ε
Qt = α 0 + α 1 Pt + α 2 Y t + u1t Qt = β 0 + β 1 Pt + β 2 W t + u 2t
(12.9.8)
可以证明两个方程皆可恰好识别。样本数据列表于 表12.9.1。 第一阶段： 写出约简式： Pt＝Π10 + Π11Yt + Π12Wt + v1t (12.9.9)
(12.9.3)算出。由于这个方法是在二个阶段分别应用 最小二乘法，故叫做二阶段最小二乘法。
在实际应用二阶段最小二乘法时，第一阶段对约简型
ˆ 方程应用OLS法只需求出我们所需要的 y it，并不需
要求出相应的εit的值。第二阶段只需用代替所估计 方程右边的yit即可应用OLS法，只不过这里的ε*it已 不是原来uit罢了。 综上所述，二阶段最小二乘法第一阶段的任务是产生 一个工具变量。第二阶段的任务是通过一种特殊形式 的工具变量法得出结构参数的一致估计量。
一个很自然的想法是，如果模型中每个内生说明变量 的工具变量都在前定变量中选取，那么工具变量的最 普遍的形式便是模型中所有前定变量的线性组合，也 就是我们可以利用间接最小二乘法将约简型方程估计 式作为工具变量。 这就解决了选择工具变量的唯一性和合理性的问题。 所谓合理就是指工具变量与它所代表的内生说明变量 相关性最强。
二阶段最小二乘法(2SLS法) §12.9 二阶段最小二乘法 法 一、2SLS法的基本思想 法的基本思想 工具变量法对于恰好识别的结构方程是有效的。但 对过度识别方程虽然能够给出过度识别结构方程的 参数估计，但这种方法不是有效的。其原因在于选 择工具变量的任意性和失去了未被选用的前定变量 所提供的信息。 那么如何解决在模型中选取前定变量来构造内生说 明变量的工具变量呢?
图12.9.4和图12.9.5的结果与图12.9.2和图12.9.3结 果除了方差计算外，参数估计基本一样。
2SLS法的参数估计量是非无偏，但是一致性。
二、二阶段最小二乘法的步骤 二阶段最小二乘法的步骤 设有结构模型
y1t = β 2 y 2t + γ 1 x1t + u1t y 2t = β 1 y1t + γ 2 x 2t + u 2t
(12.9.1) 其中y1、y2是内生变量，x１、x 2是外生变量。 第一阶段，写出结构模型(12.9.1)对应的约简型
三、应用举例 用2SLS法估计一个农产品供需模型中的结构参数
D Qt = α 0 + α 1 P t + α 2 Y t + u1t S Qt = β 0 + β 1 Pt + β 2 W t + u 2t D S Qt = Qt = Qt
(12.9.7)
其中内生变量 Q D , Q S , Pt分别代表需求量，供给量 t t 和价格；外生变量Yt,Wt分别代表收入和气候条件。 把(12.9.7)模型改写成：
图12.9.2
图12.9.3
ˆ 图12.9.2和图12.9.3中P1即为模型中的 Pt 。
ˆ D = 182.7687 + 4.377937 Pt − 30.46207Y t ˆ Qt
( 0.590071) ( 4.429756)
ˆ ˆ Q t = −2.726769 + 0.214952 Pt + 0.252610W t
∗ 1t
ˆ y 2t = β 1 y1t + γ 2 x2t + ε ∗ t 2
其中
(12.9.５)
ε = β 2 ε 2t + u1t ∗ ε 2t = β 1ε 1t + u 2t
∗ 1t
对模型(12.9.5)中每一个方程分别应用OLS法，得出 结构参数的估计值，便是二阶段最小二乘估计量。
ˆ 在计算时需要用到的估计值 y1t 和 y 2t ，应通过 ˆ
对方程(12.9.9)应用OLS法，得P的估计量的约简方 程，如图12.9.1所示：
图12.9.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ Pt = −44.55828 + 7.317362Y t + 0.060680W t
(12.9.10)
第二阶段：
ˆ 将(12.9.10)中的 Pt 代替模型(12.9.8)中的变量Pt：
∗ ˆ Qt = α 0 + α 1 Pt + α 2 Y t + u1t
S ( 0.065321) ( 0.036734)
(12.9.12)
在EViews软件中，二阶段最小二乘法，选择工具变 量Y、W可以直接应用TSLS来实现，对模型(12.9.8) 应用TSLS结果如图12.9.4和图12.9.5所示：
图12.9.4
同样方法可以估计第二个方程：
图12.9.5