计算机图形学简明教程
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计算机图形学基础教程
在计算机图形学中，样条曲线是指 由多项式曲线段连接而成的曲线，在每 段的边界处满足特定的连续性条件，而 样条曲面则可用两组正交样条曲线来描 述。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数 方程和参数方程表示。
首先看一下直线的表示形式：已知直线 的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2 （x2，y2）,直线的显式方程表示为：
px[13]=180;py[13]=0;
px[14]=225;py[14]=71;
px[15]=270;py[15]=100;
px[16]=315;py[16]=71;
px[17]=360;py[17]=0;
}
void CTestView::DrawPoint()//绘制型值点 {
CClientDC dc(this); CPen NewPen,*OldPen; CBrush NewBrush,*OldBrush; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,255,0)); OldPen=dc.SelectObject(&NewPen); NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0)); OldBrush=dc.SelectObject(&NewBrush); for(int i=1;i<N;i++) {
图7-1 汽车的曲面
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条 绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如 弹性细木条）通过各型值点，其它地方 自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得 到样条曲线（Spline Curve)。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数 方程和参数方程表示。
首先看一下直线的表示形式：已知直线 的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2 （x2，y2）,直线的显式方程表示为：
px[13]=180;py[13]=0;
px[14]=225;py[14]=71;
px[15]=270;py[15]=100;
px[16]=315;py[16]=71;
px[17]=360;py[17]=0;
}
void CTestView::DrawPoint()//绘制型值点 {
CClientDC dc(this); CPen NewPen,*OldPen; CBrush NewBrush,*OldBrush; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,255,0)); OldPen=dc.SelectObject(&NewPen); NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0)); OldBrush=dc.SelectObject(&NewBrush); for(int i=1;i<N;i++) {
图7-1 汽车的曲面
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条 绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如 弹性细木条）通过各型值点，其它地方 自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得 到样条曲线（Spline Curve)。
计算机图形学简明教程_第7章
y
注意选取适当的边界盒： 不可太小，也不可太大。 一种简单的求边界盒的方法： 计算多边形顶点坐标的最大值和 最小值得到（即采用矩形边界盒）
x z
边界盒应用原则
A边界盒不相交：在Oxy平面投影的边界盒，两个边界盒不
相交，所以两个多边形不相交。 B 边界盒相交：相交的情况可分为两种，投影相交或投影 不相交。无论哪种情况都需要做进一步的 处理，以判断两物体的投影是否相交。
7.1.1
边界盒
7.1.2
3
后向面消除 投影规范化
7.1.3
4
边界盒 ：
物体的边界盒是指能够包含该物体的一个简单的几何形状， 如矩形，圆，长方体等。 采用边界盒在消隐中的好处：
可避免不必要的裁剪运算，避免在物体或它们的投影之间进
行不必要的比较运算。
图7.4 两个物 体 投 影 在 xy 平面，包围 投影的边界 盒为矩形
此射影变换可由下式定义
x xc ( x xc ) y yc ( y yc ) z Az B zc z zc zc z zc zc z
如果对的射影变换是线 性的，则不改变视见体 内各表面的前后位置关 系可以通过不改变视见 体的前后平面 z=zf和z＝ zb，的前后位置关系实现， 把这两个条件代入左式， 得：
y
4 1 z 2 3 x 要消隐的多边形 4
1 2
3
x
算法描述
Step6：内部表中多边形的按前后顺序排好序后，接下来是对外部表中 的各多边形进行排序。对外部表中各多边形的排序和对内部表中各 多边形的处理方法相同，即把外部表中第一个多边形作为裁剪多边 形(假定外部表中的多边形也是按原来的多边形次序排序)，对外部 表中的其它多边形作裁剪并确定遮挡关系，这一过程又形成新的外 部表。裁剪过程要重复到外部表中不再有多边形为止。
《计算机图形学》课件第一章
2. 模式识别（Pattern Recognition 图形信息输入计算机后， 先对它进行特征提取等预处 理， 然后用统计判定方法或语法分析方法对图形做出识别， 最后由计算机按照使用需求给出图形的分类或描述， 这就 是模式识别。 邮政自动分拣、 中西文字符和工程图纸自动 阅读等都是模式识别技术的应用实例。 模式识别研究怎样 分析和识别输入的图形， 以便找出其中蕴涵的内在联系或 抽象模型。
到能够展示某些期望特征的新图像。
图像处理、 模式识别、 计算机图形学、 计算几何和分 形几何这些学科都已有四十余年的历史了。 但长期以来， 它们基本上是以相互独立的形式各自发展、 成长的。 到了 20世纪80年代， 由于光栅图形显示器的广泛使用， 以及大 量复杂的应用课题的研究需要， 这几门学科的相互关系和 共同技术引起了人们越来越大的兴趣， 其学科界限日益模 糊。 从计算机软硬件的角度来看， 起核心作用的是图形显 示技术。
其后， MIT发展了APT(Automatically Programmed Tools) 数控加工自动编程语言， 这是目前国际上最为通用的加工 编程工具。 整个20世纪50年代， 使用的都是电子管计算机， 用机器语言编程。 计算机仍以科学计算为主， 为之配置的 图形设备仅具有输出功能， 计算机图形学处于被动式的图 形处理阶段。
（4）图形信息的存储、 检索与交换技术。 例如， 图 形信息的各种机内外表示方法、 组织形式、存取技术、 图 形数据库的管理、 图形信息的通信等。
（5） 人机交互与用户接口技术。 例如， 新型定位设 备、 选择设备等的研发， 各种交互技术如构造技术、 命令 技术、 选择技术、 响应技术等的研究， 以及用户模型、 命 令语言、 反馈方法、 窗口系统等用户接口技术的研究等。
计算机图形学基础教程
计算机图形学基础教程第一章：引言计算机图形学是研究计算机处理和生成图像的一门学科，它涵盖了从数学、计算机科学到视觉感知等多个领域。
本教程将介绍计算机图形学的基本原理和技术，并通过实例演示来帮助读者理解和应用这些知识。
第二章：矢量图形矢量图形是计算机图形学中重要的概念之一。
本章将介绍矢量图形的定义、特点以及其在计算机图形学中的应用。
我们将学习如何使用数学表示矢量图形，如何进行矢量图形的变换和组合等。
第三章：三维图形的表示与变换三维图形的表示与变换是计算机图形学中的核心问题之一。
本章将介绍三维图形的表示方法，包括顶点表示和多边形表示，并讨论如何进行三维图形的变换，如旋转、平移、缩放等。
第四章：光照模型与渲染技术光照模型和渲染技术是实现真实感图形的重要手段。
本章将介绍光照模型的基本原理，如漫反射、镜面反射等，并讨论如何利用光照模型和渲染技术来实现真实感图形的效果。
第五章：图形管线与渲染流程图形管线是计算机图形学中的一个重要概念，它描述了图形数据如何从输入到输出的过程。
本章将介绍图形管线的基本原理和流程，并讨论图形数据的处理过程，如顶点处理、光栅化、片元处理等。
第六章：纹理映射与贴图技术纹理映射和贴图技术是计算机图形学中常用的技术之一。
本章将介绍纹理映射的原理和方法，包括纹理坐标的计算、纹理过滤、纹理混合等，并讨论如何利用纹理映射和贴图技术来增强图形的真实感。
第七章：几何建模与曲面设计几何建模和曲面设计是计算机图形学中用于创建和编辑三维模型的技术。
本章将介绍几何建模的基本原理和方法，包括点、线、面的描述，以及曲线和曲面的表示与构造等。
第八章：动画与模拟动画和模拟是计算机图形学中用于呈现动态场景的重要手段。
本章将介绍动画和模拟的基本原理和技术，包括关键帧动画、插值动画、物理模拟等，并讨论如何利用动画和模拟来实现逼真的动态效果。
第九章：图形学应用与未来发展计算机图形学的应用广泛，涵盖了游戏、电影、虚拟现实、计算机辅助设计等多个领域。
计算机图形学基础教程PPT课件
真实感绘制的主要任务是模拟真实物体的物理属性，简单 的说就是物体的形状，光学性质，表面的纹理和粗糙程度， 以及物体间的相对位置，遮挡关系等等。
经典的真实感图形学
光照模型
• 简单光照模型 • 局部光照模型 • 整体光照模型
绘制方法
• 光线跟踪 • 辐射度
加速算法及其他
• 包围体树、自适应八叉树等 • 阴影算法、纹理合成
Xfrog3.0生成的挪威云杉
1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH 年会， 并取得了巨大的成功
图形学的杂志和会议
会议：Siggraph， Eurograph， Pacific Graphics
Computer Graphics International，
Graphics Interface
杂志: ACM Transaction on Graphics
基于多层阴影翼的软影绘制
研究热点
真实感图形实时绘制
• 物体网格模型的面片简化，LOD, Occlusion culling
• 吴建华的牛头ห้องสมุดไป่ตู้
• 基于图象的绘制、基于Vedio绘制 • 画中游
画中游
Video from HKUST:
野外自然景物的模拟：山、水、云、树、草、火等
清 华 山 水
1999
1964年MIT的教授Steven A. Coons提出了超限插值的 新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面。
• 58年提出“CAD”概念 • 图形学最高奖以他名字命名。
70年代
光栅图形学迅速发展
• 区域填充、裁剪、消隐等基本图形概念、及其相应算法 纷纷诞生
图形软件标准化
• 1974年，ACM SIGGRAPH的与ACM成立图形标准化委 员会，制定“核心图形系统”（Core Graphics System）
经典的真实感图形学
光照模型
• 简单光照模型 • 局部光照模型 • 整体光照模型
绘制方法
• 光线跟踪 • 辐射度
加速算法及其他
• 包围体树、自适应八叉树等 • 阴影算法、纹理合成
Xfrog3.0生成的挪威云杉
1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH 年会， 并取得了巨大的成功
图形学的杂志和会议
会议：Siggraph， Eurograph， Pacific Graphics
Computer Graphics International，
Graphics Interface
杂志: ACM Transaction on Graphics
基于多层阴影翼的软影绘制
研究热点
真实感图形实时绘制
• 物体网格模型的面片简化，LOD, Occlusion culling
• 吴建华的牛头ห้องสมุดไป่ตู้
• 基于图象的绘制、基于Vedio绘制 • 画中游
画中游
Video from HKUST:
野外自然景物的模拟：山、水、云、树、草、火等
清 华 山 水
1999
1964年MIT的教授Steven A. Coons提出了超限插值的 新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面。
• 58年提出“CAD”概念 • 图形学最高奖以他名字命名。
70年代
光栅图形学迅速发展
• 区域填充、裁剪、消隐等基本图形概念、及其相应算法 纷纷诞生
图形软件标准化
• 1974年，ACM SIGGRAPH的与ACM成立图形标准化委 员会，制定“核心图形系统”（Core Graphics System）
计算机图形学入门教程
计算机图形学入门教程近年来，计算机图形学已经成为IT领域中备受关注和追求的技术。
它涉及到如何使用计算机生成、处理和显示图像的方法和技巧。
本文将带您深入了解计算机图形学的入门知识，并介绍其应用领域和学习路径。
一、介绍计算机图形学计算机图形学是研究计算机处理和生成图像的学科。
它主要涵盖了三个方面的内容：图像的表示和存储、图像的处理和图像的显示。
图像的表示和存储是指将图像转化为计算机能够识别和处理的数据形式，常见的表示方法有点、线、多边形和三维模型等。
图像的处理包括对图像进行增强、变换和合成等操作，常用的处理技术有图像滤波、边缘检测和图像重建等。
图像的显示则是指将经过处理的图像以可视化的方式呈现给用户，主要包括图像的渲染、光照和纹理等技术。
二、应用领域计算机图形学在各个领域都有广泛的应用。
在娱乐产业中，计算机图形学被用于电影、游戏和动画等制作，提供了逼真的图像和动态效果。
在设计领域，图形学技术可以帮助设计师在计算机上绘制和编辑图像，提高设计效率。
在医学领域，计算机图形学可以用于医学图像的重建和分析，辅助医生进行疾病诊断。
在建筑领域，图形学技术可以帮助建筑师设计和展示建筑模型，提供直观的效果图。
此外，计算机图形学还应用于虚拟现实、计算机辅助教育和数字艺术等领域。
三、学习路径想要学习计算机图形学，首先需要掌握相关的数学知识和计算机基础。
线性代数、微积分和概率论等数学课程是计算机图形学的基础理论。
计算机基础课程包括数据结构、算法和计算机图形学的编程语言等。
在学习过程中，建议结合实际案例和项目进行练习，锻炼自己的实践能力。
学习计算机图形学的过程中，可以选择一些经典教材和学习资源。
《计算机图形学原理与实践》是一本经典的教材，详细介绍了图形学的基本原理和应用技术。
此外，还可以参考一些在线教程和开放课程平台上提供的学习资料，如Coursera和MIT OpenCourseWare等。
在学习过程中，还可以进行相关的实践项目。
计算机图形学简明教程_第4章
计算机处理图形的过程
视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分 图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形 区域。一般是一个四棱台或四棱柱 。 窗口:视见体投影到 投影平面 投影平面上形成的一 V′ U′ 窗口 个矩形 X′ Y′ 视口：在投影平面上 Z 远平面 形成X′Y′U′V′。 X Y 近平面 为了在屏幕或绘图纸 上指定显示图形的位 视口 置，需要在其上定义 视点 屏幕 一个矩形，该矩形称 图4.5 视见体、窗口和视口 为视口。
U
(2)矢量的数乘 K是常数如k大于0,新矢量 与原矢量方向相同,否则相 反其关系式如下:
图4.2 矢量的加法
k u x k U k u y k u z
4.1.2 矢量-矢量的模、单位矢量
(3)矢量的模 设三维空间的一组基如： 矢量u可表示为：
0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
计算机图形学简明教程
4.2 图形显示中的基本概念
计算机处理图形的过程
计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：
图形的数字化 图形操作 图形输出
1、图形数字化（图形数字建模）
为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数字 化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也是以 数字的形式进行加工和处理的。 坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使显 示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标系。
投影
对窗口 剪 裁 图4.6 图形的显示流程
窗口至视 口的变换
显示或 绘 图
计算机图形学简明教程
4.3 几 何 变 换
模型变换说明
观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变， 我们会看到不同的画面。
计算机图形学基础教程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算机图形学的定义
计算机图形学的发展历程
计算机图形学开始萌芽，当时的计算机只能显示简单的字符和线条。
1950年代
随着计算机硬件和软件技术的进步，计算机图形学开始进入快速发展阶段，出现了许多重要的技术和算法。
1970年代
计算机图形学进入商业应用阶段，开始广泛应用于电影、游戏、广告等领域。
1980年代
DirectX编程实践
总结词：WebGL是一种基于OpenGL ES的JavaScript API，用于在Web浏览器中实现3D图形渲染。详细描述：WebGL可以在浏览器中创建高性能的3D图形应用，适用于开发各种类型的可视化应用，如科学、工程、娱乐等领域的在线展示。编程实践学习WebGL的基本概念和架构。掌握WebGL的渲染流程和基本操作。学习WebGL中的着色器和纹理映射的使用。通过实践案例，掌握WebGL在Web应用开发中的应用。
比较两者的优缺点，以及在高性能计算中的应用。
01
02
03
VR硬件与软件
介绍如Oculus Rift、HTC Vive等主流虚拟现实硬件和相关软件。
AR硬件与软件
介绍如Google Glass、ARKit等增强现实硬件和软件平台。
VR/AR应用场景
探讨虚拟现实和增强现实在游戏、教育、医疗等领域的应用。
虚拟现实与增强现实技术
05
计算机图形学实践案例
总结词：OpenGL是一种跨平台的图形编程API，适用于开发高性能的2D和3D图形应用。详细描述：OpenGL提供了一套丰富的图形渲染功能，包括建模、材质、光照、纹理、动画等，开发者可以使用OpenGL进行低级别的图形渲染和控制。编程实践学习OpenGL的基本概念和架构。掌握OpenGL的渲染流程和基本操作。学习OpenGL中的着色器和缓冲区的使用。通过实践案例，掌握OpenGL在游戏、科学可视化等领域的应用。
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计算机图形学简明教程
第四章 变换和裁剪
综述
本章的目的：
1、用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方 式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如 平移、放缩、旋转等。
2、如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显 示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉
主要章节
4.1 变换的数学基础 4.2 图形显示中的基本概念 4.3 几何变换 4.4 裁剪
AB(aijbij)44 a a a4 3 21 1 1 b b b3 4 21 1 1
a22b22 a32b32 a42b42
a23b23 a33b33 a43b43
a24b24 a a4 34 4 b b3 44 4
4.1.3 矩阵－矩阵数乘和乘法
（2）矩阵的数乘 是指任意的实数k与A的每个元素相乘,即
4.3.1 基本变换－平移
❖点(x′,y′,z′)由点(x, y, z)在x, y和z轴方向分别 移动距离Δx, Δy和Δz得到。两点坐标间的关系
为
x′=x+Δx
y′=y+Δy (4.1)
z′=z+Δz 其矩阵形式为
x 1 0 0x x y 0 1 0yy z 0 0 1z z
4.3.1 基本变换－放大和缩小
25 10 6 0
B
3
1 1 0
5 2 1 0
0
0 0 1
25106 01 2 4 0 1 0 0 0
BA
3
1 1 02 5 7 00 1 0 0
5 2 1 01 0 5 0 0 0 1 0
0
0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
计算机图形学简明教程
4.2 图形显示中的基本概念
– 定理：矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为0。
例如：
1 2 4 0
A
2
5
7
0
1 0 5 0
0
0
0
1
1 2 4 025106 0 1 0 0 0 AB 2 5 7 0 3 1 1 00 1 0 0
1 0 5 0 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
计算机处理图形的过程
近平面
Yp 窗口坐标系
近平面
世界坐标系 Y y2
x2
z2
y1 X
Z
z1 x1
模型坐标系
窗口
Xp 屏幕坐标系
世界坐标系 的三维变换
视口
投影
对窗口 剪裁
窗口至视 口的变换
图4.6 图形的显示流程
显示或 绘图
计算机图形学简明教程
4.3 几 何 变 换
模型变换说明
❖ 观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变， 我们会看到不同的画面。
k ux
k U
k
u
y
k u z
4.1.2 矢量-矢量的模、单位矢量
(3)矢量的模 设三维空间的一组基如：
1 0 0 e1 0,e2 1,e3 0
0 0 1
矢量u可表示为：
ux
U
uy
uxe1
uye2
uze3
uz
矢量的模指矢量的长度定义为： U ux2uy2uz2
(4)单位矢量
也就是说两个互相垂直的矢量(矢量正交)的点乘为0
4.1.2 矢量-矢量的叉乘
(6)矢量的叉乘
矢量的叉乘表示为UV,它构
i jk
成了一个新矢量.其中i,j,k分 UVux uy uz b1ib2jb3k
别为ox,oy,oz轴的单位向量.
vx vy vz
b 1 u y v z v y u x ,b 2 v x u z u x v z ,b 3 u x v y v x u y
轴的方向(Ax,Ay,Az)。
▪ 首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和（Ax,Ay,Az)
的指向一致.
▪ 先把要作旋转变换的对象从坐
k a11 k a12 k a13 k a14
k A k a21
k a22
k a23
k
a2
4
（3）矩阵的乘法
k k
a3 a4
1 1
k a32 k a42
k a33 k a43
k k
a3 a4
4 4
矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘.设A为
m*n矩阵,B为n*p矩阵,c为乘积矩阵,则c为m*p阶阵.
面。把世界坐标系中的图形变换到观察坐标系中，从
而可大大简化投影变换。
计算机处理图形的过程
▪ 视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分 图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形 区域。一般是一个四棱台或四棱柱 。
▪ 窗口:视见体投影到 投影平面上形成的一 个矩形
▪ 视口：在投影平面上
形成X′Y′U′V′。
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
★设有两个4*4矩阵:A=(aij)4*4,B=(bij)4*4
（1）矩阵的加法
– 两个矩阵的阶数(行数和列数)相同时，矩阵对应位置的 元素相加得到的矩阵称为矩阵的和,记作A+B。
a11b11 a12b12 a13b13 a14b14
叉乘的图形如图4.4,性质如下: (1). UVUVsin
(2).矢量 U×V垂直于矢量U 和V, 三矢量的方向遵从右手系。
U×V V
θh U
图4.4 U×V的模
4.1.3 矩阵－矩阵定义和加法
★定义:m*n阶矩阵A定义为：
★矩阵A也记为Am*n或(aij)m*n,当 m=n时称为n阶矩阵或n阶方阵.
计算机图形学简明教程
4.1节 变换的数学基础
p(x, y)
4.1.1 点和距离
一点 p(x,y,z) 在坐标系中的坐标，
就是该点在坐标轴上的垂直投 影 ,(图4.1.二维平面上的点p(x,y)y
在x,y轴上的投影).
p (x,y)
设三维空间中的两个点 p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2) 则两点之间的距离为:
▪ 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 由pivot规定的相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 然后再对每以一图点形按中照心式为中(4心.3的)作缩变放换. ▪ 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩
x 图4.1二维点的坐标
|p 1 p 2 |(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2
4.1.2 矢量
定义:矢量是一个n元组，在坐标系中它对应于n维空 间的一个点，这个点 可以代表物体在空间的位置， 也可以代表其运动状态等。
★矢量和 ★矢量的数乘 ★矢量的模 ★单位矢量 ★矢量的点乘 ★矢量的叉乘
n
cij ail blj l 1
4.1.3 矩阵－单位矩阵和矩阵的转置
（4）单位矩阵
– n阶矩阵主对角线元素均为1, – 其余各元素均为0, – 该矩阵为n阶单位矩阵,记为In.
（5）矩阵的转置
1 0 0 0
I4
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
– 把一个矩阵的行、列互换得到的矩阵，记为AT
设u的单位矢量为 则：
U
UU U
4.1.2 矢量-矢量的点乘
(5)矢量的点乘
矢量 U和 V的点乘表示为 UV .定义如下：
U Vuxvxuyvyuzvz
夹角的余弦定义如下：
cos U V
U V
U
点乘的几何意义如图4.3所示
θ
U V0 U V
由以上可得点乘的如下性质:
V
图4.3 U·V即U在V上的投影乘以V 的模
x2
y1
观察坐标系
Zv
z2
X
oxyz
Z
z1
x1 模型坐标系
▪ 观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需
要从不同角度对图形进行观察，需要产生不同角度的
视图，如果在世界坐标系中产生不同角度的视图，投
影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可根据视图所
在的投影平面建立一个新的坐标系，称为观察坐标系，
使世界坐标系中的任意投影平面为观察坐标系中的平
4.3.1 基本变换－旋转
同理： 绕y和x轴的旋转变换公式分别为
x cos 0 sinx
y 0 1 0 y
z sin 0 cos z
和
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
4.3.1 基本变换－旋转
❖ 绕过原点的轴旋转
▪ 绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根
❖设点(x, y, z)经缩放变换后得点(x′,y′,z′)。两 点坐标间的关系为
x sx x y sy y z sz z
( 4.2)
x sx
y
0
z 0
0 0x sy 0 y 0 sz z
(4.3)
图4.7 放缩
Hale Waihona Puke 4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 为了使缩放以变图换形后中心的为图中形心仍的在缩原放位置附近，可另 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp).
4.3.1 基本变换－旋转
❖设给定点的坐标为（x, y, z）= (rcos , rsin , z)， 它绕z轴旋转α角后，可得点(x′, y′, z′)
第四章 变换和裁剪
综述
本章的目的：
1、用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方 式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如 平移、放缩、旋转等。
2、如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显 示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉
主要章节
4.1 变换的数学基础 4.2 图形显示中的基本概念 4.3 几何变换 4.4 裁剪
AB(aijbij)44 a a a4 3 21 1 1 b b b3 4 21 1 1
a22b22 a32b32 a42b42
a23b23 a33b33 a43b43
a24b24 a a4 34 4 b b3 44 4
4.1.3 矩阵－矩阵数乘和乘法
（2）矩阵的数乘 是指任意的实数k与A的每个元素相乘,即
4.3.1 基本变换－平移
❖点(x′,y′,z′)由点(x, y, z)在x, y和z轴方向分别 移动距离Δx, Δy和Δz得到。两点坐标间的关系
为
x′=x+Δx
y′=y+Δy (4.1)
z′=z+Δz 其矩阵形式为
x 1 0 0x x y 0 1 0yy z 0 0 1z z
4.3.1 基本变换－放大和缩小
25 10 6 0
B
3
1 1 0
5 2 1 0
0
0 0 1
25106 01 2 4 0 1 0 0 0
BA
3
1 1 02 5 7 00 1 0 0
5 2 1 01 0 5 0 0 0 1 0
0
0 0 10 0 0 1 0 0 0 1
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4.2 图形显示中的基本概念
– 定理：矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为0。
例如：
1 2 4 0
A
2
5
7
0
1 0 5 0
0
0
0
1
1 2 4 025106 0 1 0 0 0 AB 2 5 7 0 3 1 1 00 1 0 0
1 0 5 0 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
计算机处理图形的过程
近平面
Yp 窗口坐标系
近平面
世界坐标系 Y y2
x2
z2
y1 X
Z
z1 x1
模型坐标系
窗口
Xp 屏幕坐标系
世界坐标系 的三维变换
视口
投影
对窗口 剪裁
窗口至视 口的变换
图4.6 图形的显示流程
显示或 绘图
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4.3 几 何 变 换
模型变换说明
❖ 观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变， 我们会看到不同的画面。
k ux
k U
k
u
y
k u z
4.1.2 矢量-矢量的模、单位矢量
(3)矢量的模 设三维空间的一组基如：
1 0 0 e1 0,e2 1,e3 0
0 0 1
矢量u可表示为：
ux
U
uy
uxe1
uye2
uze3
uz
矢量的模指矢量的长度定义为： U ux2uy2uz2
(4)单位矢量
也就是说两个互相垂直的矢量(矢量正交)的点乘为0
4.1.2 矢量-矢量的叉乘
(6)矢量的叉乘
矢量的叉乘表示为UV,它构
i jk
成了一个新矢量.其中i,j,k分 UVux uy uz b1ib2jb3k
别为ox,oy,oz轴的单位向量.
vx vy vz
b 1 u y v z v y u x ,b 2 v x u z u x v z ,b 3 u x v y v x u y
轴的方向(Ax,Ay,Az)。
▪ 首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和（Ax,Ay,Az)
的指向一致.
▪ 先把要作旋转变换的对象从坐
k a11 k a12 k a13 k a14
k A k a21
k a22
k a23
k
a2
4
（3）矩阵的乘法
k k
a3 a4
1 1
k a32 k a42
k a33 k a43
k k
a3 a4
4 4
矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘.设A为
m*n矩阵,B为n*p矩阵,c为乘积矩阵,则c为m*p阶阵.
面。把世界坐标系中的图形变换到观察坐标系中，从
而可大大简化投影变换。
计算机处理图形的过程
▪ 视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分 图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形 区域。一般是一个四棱台或四棱柱 。
▪ 窗口:视见体投影到 投影平面上形成的一 个矩形
▪ 视口：在投影平面上
形成X′Y′U′V′。
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
★设有两个4*4矩阵:A=(aij)4*4,B=(bij)4*4
（1）矩阵的加法
– 两个矩阵的阶数(行数和列数)相同时，矩阵对应位置的 元素相加得到的矩阵称为矩阵的和,记作A+B。
a11b11 a12b12 a13b13 a14b14
叉乘的图形如图4.4,性质如下: (1). UVUVsin
(2).矢量 U×V垂直于矢量U 和V, 三矢量的方向遵从右手系。
U×V V
θh U
图4.4 U×V的模
4.1.3 矩阵－矩阵定义和加法
★定义:m*n阶矩阵A定义为：
★矩阵A也记为Am*n或(aij)m*n,当 m=n时称为n阶矩阵或n阶方阵.
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4.1节 变换的数学基础
p(x, y)
4.1.1 点和距离
一点 p(x,y,z) 在坐标系中的坐标，
就是该点在坐标轴上的垂直投 影 ,(图4.1.二维平面上的点p(x,y)y
在x,y轴上的投影).
p (x,y)
设三维空间中的两个点 p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2) 则两点之间的距离为:
▪ 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 由pivot规定的相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 然后再对每以一图点形按中照心式为中(4心.3的)作缩变放换. ▪ 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩
x 图4.1二维点的坐标
|p 1 p 2 |(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2
4.1.2 矢量
定义:矢量是一个n元组，在坐标系中它对应于n维空 间的一个点，这个点 可以代表物体在空间的位置， 也可以代表其运动状态等。
★矢量和 ★矢量的数乘 ★矢量的模 ★单位矢量 ★矢量的点乘 ★矢量的叉乘
n
cij ail blj l 1
4.1.3 矩阵－单位矩阵和矩阵的转置
（4）单位矩阵
– n阶矩阵主对角线元素均为1, – 其余各元素均为0, – 该矩阵为n阶单位矩阵,记为In.
（5）矩阵的转置
1 0 0 0
I4
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
– 把一个矩阵的行、列互换得到的矩阵，记为AT
设u的单位矢量为 则：
U
UU U
4.1.2 矢量-矢量的点乘
(5)矢量的点乘
矢量 U和 V的点乘表示为 UV .定义如下：
U Vuxvxuyvyuzvz
夹角的余弦定义如下：
cos U V
U V
U
点乘的几何意义如图4.3所示
θ
U V0 U V
由以上可得点乘的如下性质:
V
图4.3 U·V即U在V上的投影乘以V 的模
x2
y1
观察坐标系
Zv
z2
X
oxyz
Z
z1
x1 模型坐标系
▪ 观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需
要从不同角度对图形进行观察，需要产生不同角度的
视图，如果在世界坐标系中产生不同角度的视图，投
影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可根据视图所
在的投影平面建立一个新的坐标系，称为观察坐标系，
使世界坐标系中的任意投影平面为观察坐标系中的平
4.3.1 基本变换－旋转
同理： 绕y和x轴的旋转变换公式分别为
x cos 0 sinx
y 0 1 0 y
z sin 0 cos z
和
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
4.3.1 基本变换－旋转
❖ 绕过原点的轴旋转
▪ 绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根
❖设点(x, y, z)经缩放变换后得点(x′,y′,z′)。两 点坐标间的关系为
x sx x y sy y z sz z
( 4.2)
x sx
y
0
z 0
0 0x sy 0 y 0 sz z
(4.3)
图4.7 放缩
Hale Waihona Puke 4.3.1 基本变换－放大和缩小
❖ 以图形中心为中心的缩放变换
▪ 为了使缩放以变图换形后中心的为图中形心仍的在缩原放位置附近，可另 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp).
4.3.1 基本变换－旋转
❖设给定点的坐标为（x, y, z）= (rcos , rsin , z)， 它绕z轴旋转α角后，可得点(x′, y′, z′)