模糊数学建模方法

约束条件中不考虑伸缩指标时目标函数的最优解Z 约束条件中不考虑伸缩指标时目标函数的最优解 1， 约束条件中完全放开时目标函数的最优解Z 约束条件中完全放开时目标函数的最优解 2，则目标函数 max(min)CX转化为普通的约束为 转化为普通的约束为
t 0 ( x ) − ( Z 2 − Z1 )λ ≥ (或 ≤ ) Z1
第二步， 第二步， 模糊约束转化为普通约束 a) 当第 个模糊约束为 i(x)≥[bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 时 ti(x) -diλ≥bi-di; b) 当第 个模糊约束为 i(x) ≤ [bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 时 ti(x) +diλ≤ bi+di; c) 当第 个模糊约束为 i(x) = [bi ,di]时,现将 i(x) = [bi ,di]转化成 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 现将t 时 现将 转化成 两个模糊约束t 然后按a)和 处理 两个模糊约束 i(x) ≥[bi ,di]和ti(x) ≤ [bi ,di], 然后按 和b)处理 和
目标函数的隶属函数为： 目标函数的隶属函数为：
0 G( x) = (t0 ( x) − z1 ) d0 1
结合约束条件的隶属函数： 结合约束条件的隶属函数：
t0 ( x) ≤ z1 z1 <t0 ( x) ≤ z2 t0 ( x) > z2
1 Di ( x) = 1 − ( ti ( x) − bi ) di 0
的最优解， 的最优解。 设Z1是(1)的最优解，设Z2是(2)的最优解。 的最优解 的最优解 目标函数的弹性可表示为Z 目标函数的弹性可表示为 1≤Z=t0(x)≤ Z2 d0 = Z2- Z1 ＞0为目标函数的伸缩指标，d0也 为目标函数的伸缩指标， 为目标函数的伸缩指标 可由决策人确定。 可由决策人确定。
max Z = λ ti ( x) + di λ ≤ bi + di (i = 1,2,L, m) t0 ( x) − (z2 − z1 )λ ≥ z1 λ ≥ 0, x ≥ 0 ( j = 1,2,L, n) j
模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤： 模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤：
ti (x) O bi bi+ di
目标函数的模糊化： 目标函数的模糊化： 先求普通线性规划问题
max Z = t0 ( x) ti ( x) ≤ bi , i = 1,Lm (1) x ≥ 0
max Z = t0 ( x) ti ( x) ≤ bi +di , i = 1,Lm (2) x ≥ 0
max z = 7 x1 + 3 x2 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 x1 ≤ 400 s .t . x2 ≤ 250 解得z1=3250,x1=400, x2=150 解得 , x , x ≥ 0. 1 2 max z = 7 x1 + 3 x2 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 + 50 x1 ≤ 400 + 5 s .t . x2 ≤ 250 + 5 x , x ≥ 0. 解得z 解得 2=3337.5,x1=405, x2=167.5 , 1 2
2、普通线性规划 、 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的。 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的。 其约束条件和目标函数都是确定的
max Z = c1 x1 + c2 x2 + Lcn xn = t0 x） （ a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn ≤ b1 t1( x) ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn ≤ b2 ∆ t2 ( x) ≤ b2 ⇒LL LL a x + a x + L+ a x ≤ b t ( x) ≤ b mn n m m m1 1 m2 2 n x ≥ 0 xj ( j = 1,2,Ln) ≥ 0
因此甲403套，乙159套，能获得最大利润： 套 因此甲 套 能获得最大利润：
* * 万元， z = 7 x1 + 3 x2 = 3293.75 万元，
比普通规划问题利润提高43.75万元 万元 比普通规划问题利润提高
模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤： 模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤：
第一步， 第一步， 目标函数转化为普通约束
(1) (2) (3)
根据实际情况，假设约束条件( )( )(3) )(2)( 根据实际情况，假设约束条件(1)( )( )的伸 缩系数分别为d 元， 套， 套， 缩系数分别为 1=50(元)，d2=5(套)，d3=5 (套)，为 将目标函数模糊化，解经典线性规划问题： 将目标函数模糊化，解经典线性规划问题：
暑期集训
模糊数学的建模方法
主要内容
模糊线性规划 模糊综合评判 模糊决策
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1. 模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的隶属函 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 上的模糊子集 称为 它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 数，它表示 对A的隶属程度 的点x称为 的过渡点， 使A(x) = 0.5的点 称为 的过渡点，此点最具模糊 的点 称为A的过渡点 性. 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经典子集， 只取0或 时 模糊子集A就是经典子集 就是经典子集， 当映射 只取 就是它的特征函数. 而A(x)就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集 就是它的特征函数 的特殊情形. 的特殊情形
x∈ X
则模糊规划转化为普通规划问题
max Z = λ 1 − (ti ( x) − bi ) di ≥ λ (t0 ( x) − z1 ) d0 ≥ λ λ ≥ 0, x ≥ 0 j (i = 1,2,L, m) ( j = 1,2,L, n)
max Z = λ 1 − (ti ( x) − bi ) di ≥ λ (t0 ( x) − z1 ) d0 ≥ λ λ ≥ 0, x ≥ 0 j (i = 1,2,L, m) ( j = 1,2,L, n)
就必须降低D(x). Z1，就必须降低
ti ( x) ≤ bi bi < ti ( x) ≤ bi + di ti ( x) > bi + di
知：当D(x)=1时,G(x)=0，要提高目标函数值大于 时 ，
令λ= D(x)∧ G(x) ，有
max( D( x ) ∧ G ( x ))
x∈ X
= max{ λ | D( x ) ≥ λ , G ( x ) ≥ λ , λ ∈ [0,1]}
约束条件的模糊化： 约束条件的模糊化：
1 Di ( x) = 1 − ( ti ( x) − bi ) di 0
其中d 为伸缩指标。 其中 i为伸缩指标。 图形如右图
ti ( x) ≤ bi bi < ti ( x) ≤ bi + di ti ( x) > bi + di
Di (x)
某企业根据市场信息及自身能力， 例1 某企业根据市场信息及自身能力，准备开 发甲、乙两种系列产品。 发甲、乙两种系列产品。甲种系列产品最多大约 能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250 能生产 套 乙种系列产品最多大约能生产 据测算，甲种产品每套成本3万元 万元， 套。据测算，甲种产品每套成本 万元，每套获纯 利润7万元 乙种系列产品每套成本2万元 万元； 万元， 利润 万元；乙种系列产品每套成本 万元，每套 获纯利润3万元 生产甲、 万元。 获纯利润3万元。生产甲、乙两种系列产品的资金 投入大约不能超过1500万元。在上述条件下，如 万元。 投入大约不能超过 万元 在上述条件下， 何安排两种系列产品的生产， 何安排两种系列产品的生产，才能使企业获利最 大？ 乙两种系列产品生产量分别为x 解：甲、乙两种系列产品生产量分别为 1,x2，则
将原问题转化为普通的线性规划问题： 将原问题转化为普通的线性规划问题： 线性规划问题
max λ 3 x1 + 2 x2 + 50λ ≤ 1500 + 50 x1 + 5λ ≤ 400 + 5 s .t . x2 + 5λ ≤ 250 + 5 7 x + 3 x − 87.5λ ≥ 3250 2 1 λ , x1 , x2 ≥ 0
简记为： 简记为：
% ti ( x) ≤ bi , i = 1,2Lm x ≥ 0
设普通线性规划的标准形式为
max f = t0 ( x) (1) ti ( x) ≤ bi s.t . x≥0
(bi , bi + di ) 内的某一个值，这里的 内的某一个值，这里的di＞0，它是决策人根据实际问题 ， 选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线性规划 伸缩指标. 模糊线性规划。 选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划。
请注意模糊线性规划( )与普通线性规划( ) 请注意模糊线性规划(2)与普通线性规划(3) ti ( x) ≤ [bi , di ] s.t . x ≥ 0
ax m f = t0 ( x) (3) ti ( x) ≤ bi + di s.t . x ≥ 0
1. 约束条件的模糊 .
max z = 7 x1 + 3 x2 % 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 % x1 ≤ 400 s .t . % x2 ≤ 250 x , x ≥ 0. 1 2
(1) (2) (3)
一般地， 一般地，
max Z = c1 x1 + c2 x2 +Lcn xn % a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn ≤ b1 % a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn ≤ b2 LL a x + a x +L+ a x ≤ b % m mn n m1 1 m2 2 xj ( j = 1,2,Ln) ≥ 0 max Z = t0 ( x)