圆周角定理
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角6个定理
圆周角6个定理
圆周角定理是指在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
该定理也称为圆周角定理或圆心角定理。
除此之外，还有以下五个圆周角定理:
1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 相等的圆周角所对的弧也相等。
3. 半圆所对的圆周角是直角。
4. 90 度的圆周角所对的弦是直径。
5. 在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
这些圆周角定理对于解决几何问题非常有用，例如可以用同弧所对的圆周角相等来证明等腰三角形的判定定理。
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
圆周角定理及推论
4.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交 DC于F．求证：∠AMD=∠FMC．
3．提示：连接MB．因为AB是⊙O的直径，所以 提示： 提示 ∠AMB=∠
从而∠AMD=∠FMC．
5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一 条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F， DB交AC于G．求证：AF=FG．
2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 如图， 中 、 垂直相交于点 如图 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度 ，求证： ＋ ＝ 度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＋ ＝ ∠ ＝2∠2+2∠ABD ∠ ∠ ＝2（∠2+∠ABD） （ ∠ ） ＝2 ×900 ＝1800
3.如图，在梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°，以A为圆心 ，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点， 并交BA延长线与G，求弧BF的度数
练习
求圆中角X的度数
120° O A
.
B A
70° x
O X
.
推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，他们所对的弧一定 相等。
推论2
直径（半圆）所对的圆周角是 直角
推论3
如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三 角形是直角三角形
圆周角 定理及推论
圆周角定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
几何语言：
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
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圆周⾓定理
圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半。
这⼀定理叫做圆周⾓定理。
该定理反映的是与的关系。
已知在⊙O中，∠BOC与圆周⾓∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆⼼O在∠BAC的⼀边上时，即A、O、B在同⼀直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（）
∵∠BOC是△AOC的
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆⼼O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等⾓）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外⾓
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个内⾓的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC。
圆周角定理及其推论
1 圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．2 三、苏州市中考例举1、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是2、如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为3、如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45° ②AC=AB ③AE BE = ④CE ·AB=2BD 2．4、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T(1)求证AK=MT ；(2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK=BD 时，求证：BN AC BP BM=．。
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第二十四章圆
24.1.4圆周角
阜康市二中鲁斌
一、教材内容：人教版九年级上册第二十四章圆第四课时垂直于圆周角教学设计
二、教材分析：
《圆周角》是人教版九年级上册数学教材《圆》这一章中的重要一节，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理，学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。
因此让学生多角度、多层次地理解并三、教学目标：
1. 理解圆周角的概念.探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理，解决简单问题。
2. 在探索圆周角的过程中，培养动手操作、自主探索与合作交流的能力，体会分情况逐一证明的必要性。
3. 在互相交流的过程中，培养解决数学问题的能力，激发学习数学的兴趣.
四、教学重点难点
重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系.
难点：应用圆周角定理解决简单问题
五、学情分析：
在此之前，学生已经掌握了圆心角的定义，对圆心角、弧、弦的关系有了认识，因此在学习圆周角的定义时，学生会对圆内的又一类角很有兴致，同时圆周角的定义是类比圆心角得到的，让学生体会类比思想的重要性，而圆周角定理的证明用到了完全归纳法，分为三种情况证明，对于学生有些难度。
六、教学过程：
（一）、创设情境引入新知出示多媒体课件：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行
无人防守的射门训练，甲、乙两名运动员分别在C、
D两处，他们都说在自己所在位置对球门AB的张
角大，你认为他们谁说的对？
（甲对球门AB的张角为∠C乙对球门AB的张角为∠D）
问题∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗？(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。
) 他们有什么共同特点？
(①角的顶点在圆上②角的两边都与圆相交).
设计意图:联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望,把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中
问题你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫圆周角
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交
设计意图：让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.
练习1：如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。
小结：
判断要点：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交
问题如图，任取一段，那么它所对的圆心角有几个？那弧AB
所对的圆周角有多少个呢？
一条弧所对的圆心角只有一个，一条弧所对的圆周角有无数个。
（任取优弧上一点，连接的两个端点即为所对的一个圆周角）
（二）那么今天我们就来研究一下，所对的圆周角与它所对的圆心角
之间的关系.
量一量： 测量下面图中
所对的圆心角和一个圆周角的度数。
所对的圆周角∠ =______°
所对的圆心角∠ =______°
图（1） 设计意图:学生亲手度量，进行实验、探究、得出结论,激发学生求知欲望。
问题：
1.观察测量结果你有什么发现？
2.你得出了什么猜想？
猜想：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.怎样验证你的猜想呢？
方法1：几何画板直观演示
在验证过程中，
首先，拖动C 点的位置，圆周角与圆心角的度数不变.
然后，拖动A 点的位置，改变圆心角的大小，圆周角的度数也随之改变，并且是比值永远是0.5得到猜想的正确性
方法2 你能不能利用几何推理来证明你的猜想呢？
在证明之前，先要将我们所要证明的命题转化为数学语言。
分析出猜想的已知和求证 已知：所对的圆周角为∠ACB ， 所对的圆心角为∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB. 分析图形：
再次利用几何画板，移动C 点的位置，提醒学生观察圆心与圆周角的位置关系，得到以下
三种图形.
圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况：
①圆心在圆周角一条边上
②圆心在圆周角内
③圆心在圆周角外
2
1
(1)证明圆心在圆周角边上的情况：
证明：∵OC=OB,
∴∠C=∠B.
又 ∵∠AOB=∠C+∠B,
∴∠C=∠AOB. 分析证明过程中所用的到条件： ①直径（过圆周角顶点的直径） ②等腰三角形 ③三角形外角定理 引导学生用以上三点知识证明下面的两种情况。
给学生时间讨论以下两种情况的证明，教师巡视，提醒学生构造条件
(2)证明圆心在圆周角内部的情况：
学生一时难以找到证明的途径，引导学生将图形②通过添加过圆周角顶点C 的直径转化为图形①解决.
证明： 过圆心角顶点C 作圆O 的直径CD ，利用（1）的结论
∠1=
∠2.∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4, 即：∠ACB=
∠AOB.
（3）证明圆心在圆周角外部的情况：
证明：过圆心角顶点C 作圆O 的直径CD.
利用（1）的结论
∠1=∠2.∠BCD=∠BOD. ∴∠BCD-∠1=
∠BOD-∠2, 即：∠ABC=
∠AOB. 2
12121212
121212
121212
1
O A B C 小结：指出这种将一般转换为特殊的思维是转化思想，是今后学习常用到的方法.
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
符号：
所对的圆周角为∠ACB ， 所对的圆心角为∠AOB
∴∠ACB=
∠AOB. 练习2.填空 (1)已知：如图，若圆心角∠BOC 的度数为100°，则圆周角∠BAC 的度数为____________.
(2) 已知：如图，点A 、P 、B 是⊙O 上的三点，若∠APB=25°，则∠AOB 的度数为___________.
（3） 已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为__________.
（4）已知：如图，在⊙O 中，∠B=90°，则∠COB 的度数为________.
（5）若的度数为80°，则所对的圆心角是_________度，所对的圆周角是_______度。
设计意图：利用本节课所学的内容解决问题，同时巩固本节课所学的内容。
练习3：回到课前的问题。
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈射门训练，甲、乙两名运动员分别在C 、 D 两处，他们都说在自己所在位置对球门AB 的张角大，你认为他们谁说的对？
解：由圆周角定理可知：
总结：一般情况下，圆周角的问题可以转化为它同弧所对的圆心角的问题
来解决。
小结：
①圆周角的定义②圆周角定理数学思想：①类比思想②分类思想③转化思想
2
1AOB C ∠=∠21AOB D ∠=∠2
1D C ∠=∠∴。