垂径定理及垂径定理
第十讲 垂径定理及其推论
第十讲 垂径定理及其推论一、知识要点回顾：1、圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
2、垂径定理： 文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且_______________________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
3、垂径定理的推论： 。
符号语言： ∵ ∴二、例题讲析：用垂径定理解决问题例1、已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径。
例2：如图，过点B 、C 的⊙O 的圆心在等腰三角形的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径。
例3：如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB 的长.例4：如图，某地有一圆弧开拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。
现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？三、巩固练习B ACD O M _B _A _O _垂径定理的推论中的条件要特别注意。
B A E D O CC BD OA 1．判断对错：（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。
（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。
（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。
（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。
（ ）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。
（ ）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。
（ ）8、垂直于弦的直线必经过圆心。
2、已知如右图：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则BC =____，AC =____ ；CE=______ 3、 已知：AB 为⊙O 的弦，⊙O 的直径为26cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求弦AB 的长。
2.11垂径模型
垂径模型一、三种常见的类型：1、类型一：垂径定理。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：∵弦CD⊥直径AB 于点E∴CE=ED,弧AC=弧AD,弧CB=弧DB.说明：垂径定理的证明比较简单，理论依据就是圆的对称性，因此可以根据圆的对称性或等腰三角形（连CO、DO）的对称性来证明。
垂径定理的应用非常广泛，主要结构是Rt△CEO,借助勾股定理来进行计算，求弦长CD、半径CO 或者弦心距OE。
2、类型二：垂径定理推论。
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：∵AB 为直径，CE=ED∴CD⊥AB,弧AC=弧AD,弧CB=弧DB.说明：垂径定理的推论特别要注意的是已知条件中平分弦是有限制的，必须是非直径弦。
理论依据依然是圆的对称性。
垂径定理推论的应用也非常广泛，与垂径定理的结构完全相同，只是有一个条件不同而已。
3、类型三：垂径定理外延。
知二推三：一条直线，以下五个条件中，只要已知其中任意两个，则另外三个全部成立。
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
说明：（1）①+②→③④⑤就是垂径定理；①+③（非直径）→②④⑤就是垂径定理推论；（2）知二推三共有10种，除垂径定理及推论外，还有8种，常见的还有两种：一是已知①⑤；二是已知②③（相当于弦的垂直平分线）。
二、垂径模型的综合应用及延伸：1、已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=15cm ，OM ：OC=3：5。
求弦AB 的长。
分析：先求OM、OA；再利用勾股定理求半弦AM 长；最后再利用垂径定理求出弦AB 的长。
说明：此题为模型一垂径定理的直接应用。
2、已知：如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C、D 两点，AC 与BD 相等吗?为什么?分析：题目已知中有圆心、弦，这就告诉我们还缺少垂线就可用垂径定理；于是作垂线，在大圆和小圆中分别用垂径定理，两式相减可得到AC=BD。
证明垂径定理和垂径定理的推论
证明垂径定理和垂径定理的推论1. 什么是垂径定理？嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在几何界特别重要的概念——垂径定理。
说到这，很多同学可能会想：“这是什么鬼东西？”别急，听我慢慢给你捋一捋。
简单来说，垂径定理就是在一个圆里，如果你从圆心往外画一条垂直于圆周的直线，这条线与圆的交点就是我们所说的“垂径”。
这听起来简单吧？但其实这背后蕴藏着很多神奇的数学秘密。
1.1 定理的具体内容那么，垂径定理的具体内容是什么呢？在一个圆中，假设我们有一个点P，假如我们从这个点出发，往圆心画一条直线，直到它碰到圆周，我们叫这个点为A。
接下来，点P到点A的直线垂直于点A到圆心的直线。
那么根据垂径定理，我们就知道这条线段就是一个垂径！是不是觉得这个定理挺神奇的？我觉得它就像一把打开几何大门的钥匙，让我们看到了一个崭新的世界。
1.2 实际应用好啦，别光听我唠叨，咱们说说这玩意儿有什么用。
你可能会问：“我这辈子也不会用到几何啊！”可是，谁能说得准呢？比如说你要设计一个游乐场，想把过山车的轨道设计得又稳又安全，垂径定理可是可以帮你确保轨道的结构强度哦！所以，别小看这些数学定理，它们就像是我们生活中的隐形助手，时时刻刻在为我们服务。
2. 垂径定理的证明说完了定理，接下来就是那个让人头疼的——证明！别担心，我会把它说得简单易懂。
首先，我们可以画一个圆，标记出圆心O，以及任意的点A和P。
然后，从点P出发，画一条垂直于OA的直线，设它与圆交于点B。
根据几何的性质，我们知道，点B 到点O的距离等于点A到点O的距离，这样一来，我们就能证明这两条线段的关系。
2.1 证明的细节我们接下来用一些三角形的性质来帮忙。
设O是圆心，OA是半径，PB是我们所说的垂径。
根据三角形的性质，三角形OAP和三角形OBP是相似的，因为它们有一个公共角OAP和一个直角。
这就意味着它们的对应边成比例，从而可以得出PB的长度与OA是相等的。
啊哈，证明完成了！是不是觉得其实也没那么难？2.2 证明的意义证明完毕之后，咱们再来思考一下这个定理的意义。
初中数学常见的命题和定理垂径定理
初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。
下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。
一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。
简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。
二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。
这是基本的几何定理，无需证明。
2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。
连接AC和BC两条线段。
假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。
那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。
根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。
由此可知，∠ACB必须是直角。
三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。
通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。
1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。
这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。
2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。
当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。
四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。
2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。
垂径定理的应用
CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
初中数学圆的定理
垂径定理垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如右图，直径DC 垂直于弦AB ，则AE=EB ，劣弧AD 等于劣弧BD ，等弧CAD= 优弧CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线，在下列5 条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦（不是直径）4.垂直于弦5.经过圆心数学证明编辑如图，在⊙ O 中，DC 为直径，AB 是弦，AB ⊥DC 于点E，AB、CD 交于E，求证：AE=BE ，弧AC= 弧BC ，弧AD= 弧BD证明图示连接 OA 、 OB 分别交⊙ O 于 点 A 、点 B∵OA 、OB 是⊙O 的半径∴ OA=OB∴△ OAB 是等腰三角形∵AB ⊥DC∴ AE=BE ，∠ AOE= ∠BOE （等腰三角形的三线合一 性 质）∴弧 AD=弧 BD ，∠AOC= ∠BOC ∴弧 AC= 弧 BC推导定理 编辑 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 , 并且平原本命题，其中 CD 垂直于直线 AB分这条弦所对的两段弧。
几何语言：因为 DC 是直径， AE=EB ，所以直径 DC 垂直于弦 AB ，劣弧 AD 等于劣弧 BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论二：弦的 垂直平分线 经过圆心 ,并且平分这条弦所对的弧。
几何语言： 因为 DC 垂直 AB ，AE=EB ，所以 DC 是圆的直径， 劣弧 AD 等于劣弧BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦 弧。
推论四：在同圆或者 等圆 中 ,两条平行弦所夹的弧相等。
韦达定理韦达定理( Viete theorem )为 解析几何 中的一个定理，说明了一元 n 次方程中根和 系数 之 间的关系。
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
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垂径定理及圆周角
一、关于垂径定理
例题1、（2013•舟山）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ）
【变式练习】1（2013•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ）
【变式练习】2、（2013•温州）如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）
例题2、（2013•潍坊）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ）
【变式练习-相似】1、如图．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AD 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则DE
CE 等于（ ）
【变式练习】2（2013•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=2
1∠BOD，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】3在半径为13的⊙O 中，弦AB∥CD，弦AB 和CD 的距离为7，若AB=24，则CD 的长为（ ）
例题3、如图，以M （-5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于
A 、
B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于
C 、
D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于
E 、
F ，则EF 的长（ ）
【变式练习】1、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）
【变式练习】2如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长为
二、关于圆周角、圆心角：
【例题1】如图， 弧AB 是半圆，O 为AB 中点，C 、D 两点在弧AB 上，且AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若弧CD=62°，则弧AD 的度数为（ ）
【变式练习1】如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC，则AD 的长为（ ）
【变式练习2】如图，△ABC 的外接圆上，AB ，BC ，CA 三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC ，直线AB 的平行线，且交弧BC 于E ，F 两点，则∠EDF 的度数为（ ）
【例题2】（2012•淄博）如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC=3，则DE=___________．
【变式练习1】（2013•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是_______．
【变式练习2】（2012•玉林）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN=CO 时，∠NMB 的度数是
【例题3】（2013•德阳）如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：⊙O 半径为
25 ，tan ∠ABC=4
3，则CQ 的最大值是（ ）
【变式练习1】（2012•兰州）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为（）
【变式练习2】如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB 于点M，则sin∠CBD的值等于（）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
【变式练习3】如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧线、AN 的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
【课堂作业】
1、如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（）
2、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=______。
3、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD=___。
4、在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）
5、如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
6、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且CD=24 m ，OE⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE=12/13
14、（1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
7、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，OM=3
1 ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）
8、（2010•仙桃）如图，半圆O 的直径AB=7，两弦AC 、BD 相交于点E ，弦CD=2
7，且BD=5，则DE 等于（ ）
9、（2010•鄂州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 交AB 于点D ．E 是OB 上的一点，直线CE 与⊙O 交于点F ，连接AF 交直线CD 于点G ，AC=22，则AG •AF 是（ ）
10、（2009•山西）如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（ ）。