函数的平均变化率教案

§1.1 导 数

1.1.1 函数的平均变化率

【学习要求】

1．理解并掌握平均变化率的概念．

2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

填一填：知识要点、记下疑难点

1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商

f x 0＋Δx －f x 0Δx

＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．

2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx

＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．

探究点一 函数的平均变化率

问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C

之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直

线的斜率来量化．

如用比值y C －y B x C －x B

近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为

6.5－3.53－0

＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为

11－8.612－6

＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？

答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线

y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )

的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．

x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．

跟踪训练1

如图是函数y ＝f (x )的图象，则：

(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．

解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32

，－1≤x ≤1x ＋1，1

所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0

＝3－322＝34. 答案 (1)12 (2)34

探究点二 求函数的平均变化率

例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：

(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．

解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为

f 3－f 13－1＝32－122

＝4； (2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为

f 2－f 12－1＝22－121

＝3； 3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为

f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1

＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001

＝2.001. 小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．

解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0

＝－3， 自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3m n －m

＝－3. 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？

答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用

例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间

t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？

解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，

则s 1t 0－s 10t 0

， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．

小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．

跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25

(万元/月)． 所以乙的经营成果比甲的好．

1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为

__－9 ________．

解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1

＝