中考数学全效复习：第4课时 因式分解
中考数学复习 第四讲 因式分解含详细参考答案
第四讲 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （2013•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（2013•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练 5．（2013•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】7．2(31)3x --8．（2013•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+91．D2．（2013•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）2．C3．（2013•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（2013•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（2013•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（2013•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（2013•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（2013•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（2013•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（2013•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（2013•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（2013•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（2013•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（2013•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（2013•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（2013•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（2013•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
中考数学专题复习课件第4讲因式分解.ppt
【答案】D
5．(2010·眉山)把代数式 mx2－6mx＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( ) A．m(x＋3)2 B．m(x＋3)(x－3) C．m(x－4)2 D．m(x－3)2
【解析】mx2－6mx＋9m＝m(x2－6x＋9)＝m(x－3)2.
三、解答题(共 40 分)
21．因式分解．(每小题 4 分，共 24 分) (1)(2010·杭州)m3－4m； (2)(2010·宜宾)2a2－4a＋2； (3)(2009 中考变式题)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2； (4)(2011 中考预测题)(a＋1)(a－1)－8； (5)(2009 中考变式题)a3＋ab2－2a2b； (6)(2011 中考预测题)16x4－81.
19．(2009 中考变式题)9x2－6x＋________＝(3x－1)2. 【解析】9x2－6x＋1＝(3x－1)2. 【答案】1
20．(2011 中考预测题)分解因式：－x3－2x2－x＝______. 【解析】－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2. 【答案】－x(x＋1)2
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．
(2009·太原)(1)下列各式中，能用公式法分解因式的是( )
A．x2＋4y2
B．a2＋a＋12
【解析】ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a式分解错误的是( ) A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
广西中考数学总复习课件(第4课时因式分解)
7．若x2＋4x－4的值为0，则3x2＋12x－5的值是__7______．
8．若16(a－b)2＋M＋25是完全平方式，则M＝_±__4_0_(_a_-_b．)
9．若x＋y＝4，x2＋y2＝6，则xy＝__5______．
10．若x2－ax－15＝(x＋1)(x－15)，求a的值．
答案：a＝14
第4课时 因式分解
第4课时 因式分解
4．已知
x，y
15
是二元一次方程组x2－x＋2y4＝y＝3，5 的解，则代数式
x2－4y2 的值为__2______．
第4课时 因式分解
5．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值等于 _7_或__－__1__．
6．已知1＋x＋x2＋…＋x2013＋x2014＝1，则x2015＝_0_或__－__1__.
第4课时 因式分解
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是 (D )
A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x) C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1 5．把代数式2x2－18分解因式，结果正确的是( C ) A．2(x2－9) B．2(x－3)2 C．2(x＋3)(x－3) D．2(x＋9)(x－9)
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版九年级中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共23张PPT)
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步考虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
12.[教材原题]分解因式:
(1) (a b)2 4ab a b)2
(6) p(a2 b2 ) q(a2 b2 ) ( p q)(a2 b2 ).
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 4:31:16 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
解:原式 (102 92)(102 92)
194 10
1 940 ；
(2) 39.82 2 39.8 49.8 49.82 .
解:原式 (39.8 49.8)2
(10)2
100 .
点悟: 运用公式法分解因式的关键是要弄清两个公式的形式 和特点,两个公式中的字母可以表示任何数、单项式 或多项式.
【考点 3】公式法因式分解
2015年广西中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共24张PPT)
1 4
1 － 2
4 4 ．若 xm － yn ＝ (x＋ y2)(x － y2)(x2 ＋ y4) ，则 m ＝ ________ ，n
＝________ ． 8
第4课时
因式分解
5．在多项式m2＋n2，－a2－b2，x4＋4y2，－4s2＋9t4中，可
第4课时
因式分解
变式题1
[2014·陇南] 分解因式：2a2－4a＋2＝
________ 2(a－1)2．
变式题2 分解因式：3x6－3x2＝_____________________ ． 3x2(x2＋1)(x＋1)(x－1)
第4课时
因式分解
┃聚焦广西中考┃ 1．[2014·玉林] 下面的多项式在实数范围内能因式分解的 是( D ) A．x2 ＋y B．x2 －y D．x2－2x＋1
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
3．下列因式分解正确的是( C )
A．x2－y2＝(x－y)2 B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy－x＝x(y－1)
D．2x＋y＝2(x＋y)
第4课时
因式分解
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是
( D )
A．x2 －1 B．x(x－2)＋(2－x) D．x2＋2x＋1
第4课时
因式分解
┃考向互动探究┃
类型题展
► 例1 类型之一 提公因式法
分解因式：x2－3x＝________．
[答案] x(x－3)
[考点] 提取公因式． [分析] 公因式是x，直接提取x即可．
第4课时 因式分解
►
例2
类型之二
《中考数学复习》 课时4 因式分解
求长方形的面积．
解析 本题要由条件a2＋ab－2b2＝7确定整数a与b的值，可将等式左边进行因
式分解，等式右边进行因数分解，从而确定每一个因式的值．
解 因为 a2＋ab－2b2＝7， 所以(a＋2b)(a－b)＝1×7 或(a＋2b)(a－b)＝(－1)×(－7)． 由于 a 与 b 都是线段长，所以 a＋2b>0
解析 a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)，故选C.
1
2
3
10
中考大一轮复习讲义◆ 数学
点对点训练 5. (2012·泉州)因式分解：x2－5x＝___x_(x_－__5_)_____． 6. (2012·广州)分解因式：a2－8a＝____6_a_(_a_－__8_) __．
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
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中考大一轮复习讲义◆ 数学 知识结构梳理
分解因式的概念 因式分解分解因式的方法一 二提 套
3
夯实基本 知已知彼
1 2 3
中考大一轮复习讲义◆ 数学
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 把一个多项式化成________的形式，这种变形叫做把这个多项式因
1
解： (x－2)2
2
3
16
式分解，也叫做把这个多项式________．
注意：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形．(2)因式分解是恒
等变形，因此可以用整式乘法来检验．
考核要求：(1)知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别．(2)会鉴
别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法．
2. 因式分解的方法
(1)________________ ． (2)________________ ． (3)______x4－4，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公 式进行因式分解．需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，不可半途而
中考数学复习《分解因式》教学课件
【预测5】 图(1)是边长为(a＋b)的正方形，将图(1)中的阴 影部分拼成图(2)的形状，由此能验证的式子是 ( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab
C．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
D．(a－b)2＋2ab＝a2＋b2 解析 图 1 中大正方形的面积为(a＋b)2，图 1 的中间空白部 分的正方形的边长为 a2＋b2，所以它的面积为 a2＋b2，所 以图 1 中阴影部分的面积可表示为：(a＋b)2－(a2＋b2)；图 2 是对角线长分别为 2a 和 2b 的菱形，面积为12×2a×2b＝2ab. 答案 B
【预测4】 已知实数a，b满足a＋b＝3，ab＝1.求代数式 a2b＋ab2的值． 解 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×3＝3.
对接点四：拼图与因式分解
常考角度：通过图形的变化验证代数式的变化，培养数形
结合的思想．
甲图中阴影部分面积 【例题 4】 (2013·杭州)如图，设 k＝乙图中阴影部分面积(a＞
【即时应用1】 把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是
()
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
答案 A
因式分解的基本方法 1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝_m_(_a_＋__b_＋__c_)； 2．运用公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝_(_a_＋__b_)(_a_－__b_)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a_±__b_)_2．
解析 A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6右边不是整式积的形式， 故不是分解因式，故本选项错误； B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)是整式积的形式，且左右两 边相等，故是分解因式，故本选项正确； C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6是整式的乘法，故不是分解 因式，故本选项错误； D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故本选项错误． 答案 B
2020—2021学年人教版九年级中考数学总复习课件第4课时因式分解
2020/9/14
【考点1】因式分解的概念
把一个 多项式 化成几个整式的 积 的形 概念 式.这样的式子变形叫做这个多项式的因式
分解,也叫把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法都是多项式的恒等变形 关系 ,它们互为逆运算.
25
D
解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下: ∴△ABC是等腰三角形；
C
【考点2】提公因式法因式分解 因数或因式
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步ห้องสมุดไป่ตู้虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
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第4课时 因式分解
分)
一、选择题(每题5分,共20分)
1．[2019·无锡]分解因式4x 2－y 2的结果是( )
A ．(4x ＋y)(4x －y)
B ．4(x ＋y)(x －y)
C ．(2x ＋y)(2x －y)
D ．2(x ＋y)(x －y)
2．[2019·泸州]把2a 2－8分解因式,结果正确的是( )
A ．2(a 2－4)
B ．2(a －2)2
C ．2(a ＋2)(a －2)
D ．2(a ＋2)2
3．[2019·原创]把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式,得(x ＋1)(x －3),则a,b 的值分别是(
) A ．2,3 B ．－2,－3
C ．－2,3
D ．2,－3
4．已知14m 2＋14n 2＝n －m －2,则1m －1n 的值等于 ( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－14
二、填空题(每题5分,共25分)
5．[2019·黄冈]分解因式：3x 2－27y 2＝________________.
6．[2018·株洲]分解因式：a 2(a －b)－4(a －b)＝________________.
7．[2019·广州]分解因式：x 2y ＋2xy ＋y ＝________________.
8．[2019·金华]当x ＝1,y ＝－13时,代数式x 2＋2xy ＋y 2的值是____________．
9．[2019·徐州]若a ＝b ＋2,则代数式a 2－2ab ＋b 2的值为________．
三、解答题(共25分)
10．(10分)[2018·大庆]已知：x 2－y 2＝12,x ＋y ＝3,求2x 2－2xy 的值．
11．(15分)[2018·临安区]阅读下列题目的解题过程：
已知a,b,c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判断△ABC 的形状．
解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,(A)
∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．(B)
∴c 2＝a 2＋b 2.(C)
∴△ABC 是直角三角形．
问：(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
(2)错误的原因：_______________________________；
(3)本题正确的结论为：___________________________.
分)
12．(5分)[2018·黄冈]若a －1a ＝6,则a 2＋1a 2的值为________． 13．(10分)[2017·大庆]已知非零实数a,b 满足a ＋b ＝3,1a ＋1b ＝32
,求代数式a 2b ＋ab 2的值．
分)
14．(15分)[2017·河北]【发现】 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
【验证】 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32
的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个数为n,写出这五个连续整数的平方和,并说明其是5的倍数．
【延伸】 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
参考答案
1．C 2.C 3.B 4.C 5.3(x ＋3y)(x －3y)
6．(a －b)(a ＋2)(a －2) 7.y(x ＋1)2 8.49
9．4
10．28 11.(1)C (2)没有考虑a ＝b 的情况
(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
12．8 13.6
14．【验证】(1)3倍 (2)略 【延伸】任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2,理由略
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