高等数学-习题答案-方明亮-第十一章

高等数学方明亮版第十一章答案习 题 11-11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）23d tan 3sin 1d ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭y y t t t t ； （2）(76)d ()d 0-++=x y x x y y ；（3）2()20''''-+=x y yy x ； （4）422()0'''''++=xy y x y ．解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x ，而右边＝22(5)x 210=x =左边，所以25=y x 是2'=xy y 的解．（2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，所以3sin 4cos =-y x x 是所给微分方程0''+=y y 的解．（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入所给微分方程的左边，得左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边），所以2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解． （4）对ln()=y xy 的两边关于x 求导，得1''=+y y x y， 即 ''=+xyy y xy ． 再对x 求导，得2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ，即 2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，所以ln()=y xy 是所给微分方程2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y 的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ； （2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，01='=x y ． 解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得220525=-=-C所以，所求函数为2225-=y x ．（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将00==x y ，01='=x y 分别代入212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，得10=C ，21=C ，所以，所求函数为2e =x y x ．4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足2e 9e 0λλλ-=x x ，即 2(9)e 0λλ-=x ．而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2y Cx C =+； （2）()tan y x x C =+； （3）12e e x x xy C C -=+； （4）212()y C C x -=．解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程． （1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得'=y C ，代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为2()''+=y xy y ．（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，即2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ． 而tan()=+yx C x，故所求的微分方程为2⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭y y y x x x x ，化简得22'=++xy y x y ．（3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得12e e -'+=-x x y xy C C ，两边再对x 求导，得12e e -''''++=+x x y y xy C C ，这样便可得所求的微分方程为2'''+=xy y xy ．（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得122()'-⋅=y C y C ，将212()-=y C C x代入上式，并化简得12'=-xy y C ，对上式两边再对x 求导，得22''''+=y xy y ，故所求的微分方程为20'''+=xy y ．习 题 11-21．求下列微分方程的通解或特解：（1）ln 0xy y y '-=； （2）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=； （3）22()y xy y y '''-=+； （4）(1)d ()d 0x y x y xy y ++-=； （5）23yy xy x '=-，01x y==； （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，16x y=π=． 解 （1）分离变量，得11d d ln =y x y y x， 两端积分，得ln(ln )ln ln =+y x C ，即ln =y Cx ，所以原方程的通解为e =Cx y ．注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；但这些±号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得cos cos d d sin sin =-y xy x y x， 两端积分，得ln(sin )ln(sin )ln =-+y x C ，即ln(sin sin )ln ⋅=y x C ，故原方程的通解为sin sin ⋅=y x C ．（3）原方程可化成2d (1)2d -+=yx y x， 分离变量，得212d d 1=-+y x y x ， 两端积分，得 12ln(1)-=-+-x C y，即12ln(1)=++y x C是原方程的通解．（4）分离变量，得d d 11=+-y x y x y x ， 两边积分，得ln(1)ln(1)ln -+=+-+y y x x C ，即e (1)(1)y x C y x -=+-是原方程的通解．（5）分离变量，得2d d 31=-y y x x y ，两端积分，得2211ln(31)ln 62-=+y x C ， 即211262(31)ex y C -=．由定解条件01==x y ，知16(31)-=C ，即162=C ，故所求特解为21112662(31)2x y e-=，即223312e -=x y ．（6）将方程两边同除以2(3)sin 0+≠x y ，得22cos d d 03sin +=+x yx y x y， 两端积分，得122cos d d 3sin +=+⎰⎰x yx y C x y ，积分后得2ln(3)ln(sin )ln ++=x y C （其中1ln =C C ），从而有2(3)sin +=x y C ，代入初始条件16=π=x y，得 4sin26π==C ． 因此，所求方程满足初始条件的特解为2(3)sin 2+=x y ，即2arcsi 3n2y x =+． 2．一曲线过点0(2,3)M 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．解 设曲线的方程为()y y x =，过点(,)M x y 的切线与x 轴和y 轴的交点分别为(2,0)A x 及(0,2)B y ，则点(,)M x y 就是该切线AB 的中点．于是有22'=-yy x ，即xy y '=-，且(2)3=y ， 分离变量后，有11d d =-y x y x， 积分得ln ln ln =-y C x ，即=C y x． 由定解条件23==x y ，有6=C ，故6=y x为所求的曲线．3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v =（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v =（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k ），问子弹穿过木板的时间．解 依题意有2d d =-vmkv t ，0200==t v ， 即21d d -=kv t v m， 两端积分得，10.02=+=+k kt C t C v m （其中20克＝0.02千克）， 代入定解条件0200==t v ，得1200=C ， 故有200100001=+v kt ．设子弹穿过木板的时间为T 秒，则02000.1d 100001=+⎰Tt kt 0200ln(100001)10000=+Tkt k 1ln(100001)50=+kT k， 又已知=t T 时，180==v v 米/秒，于是20080100001=+kT ，从而，0.00015=kT ，为此有0.1ln(1.51)500.00015=+⨯T，所以0.10.0075ln 2.5=⨯T 0.000750.00080.9162≈=（秒）， 故子弹穿过木板运动持续了0.0008=T （秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）0xy y '-=； （2）22()d d 0x y x xy y +-=； （3）332()d 3d 0x y x xy y +-=； （4）(12e )d 2e (1)d 0xx yyx x y y++-=；（5）22d d yx xy y x=-，11x y ==； （6）22(3)d 2d 0y x y xy x -+=， 01x y==．解 （1）原方程变形，得'=+y y x令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为'+=u xu u ，分离变量，得1d =u x x ，两端积分得ln(ln ln +=+u x C ，即u Cx ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为2y Cx ．（2）原方程变形，得22d d +=y x y x xy，即21d d x xy y xy ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．令=y u x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为21+'+=u u xu u， 即1d d =u u x x，两端积分，得211ln 2=+u x C ， 将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为22(2ln )=+y x x C （其中12=C C ）．（3）原方程变形，得332d d 3+=y x y x xy ，即32d 1()d 3()+=y y x x y x ， 令=y ux ，有d d d d =+y uu x x x，则原方程可进一步化为 32d 1d 3++=u u u x x u， 即3231d d 12u u x u x=-， 两端积分，得311ln(12)ln ln 22--=-u x C ， 即23(12)-=x u C ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为332-=x y Cx ．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以xy为变量的函数，故令=xu y，即=x uy ，有d d d d =+x uu yy y，则原方程可化为 d ()(12e )2e (1)0d +++-=u u uu y u y， 整理并分离变量，得2e 11d d 2e +=-+u u u y u y， 两端积分，得ln(2e )ln ln +=-+u u y C ，即2e +=u C u y． 将=xu y代入上式并整理，得原方程的通解为2e +=x yy x C ．（5）原方程可化为2d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y y y x x x ． 令=y u x，有d d d d =+y uu x x x，则原方程可进一步化为 2d d +=-uu x u u x，即211d d -=u x u x， 两端积分，得1ln =+x C u， 将=y u x代入上式，得ln =+xx C y， 代入初始条件11==x y，得1ln11=-=C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为1ln =+xy x． （6）原方程可写成22d 1320d -+=x x x y y y．令=x u y，即=x uy ，有d d d d =+x uu y y y ，则原方程成为2d 132()0d -++=uu u u y y，分离变量，得221d d 1=-u u y u y， 两端积分，得2ln(1)ln ln -=+u y C ，即21-=u Cy ，代入=xu y并整理，得通解223-=x y Cy ．由初始条件01==x y，得1=-C ．于是所求特解为322=-y y x ．5．设有连结原点O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程．解 设曲线弧的方程为()=y y x ，依题意有201()d ()2-=⎰xy x x xy x x ，上式两端对x 求导，11()()()222'--=y x y x xy x x ， 即得微分方程4'=-yy x，令=y u x ，有d d d d =+y uu x x x，则微分方程可化为d 4d +=-u u x u x ，即d 4d =-u x x，积分得4ln =-+u x C ，因=yu x，故有(4ln )=-+y x x C ．又因曲线过点(1,1)A ，故1=C ．于是得曲线弧的方程是(14ln )=+y x x ．6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）(1)d (41)d 0--++-=x y x y x y ； （2）()d (334)d 0+++-=x y x x y y ． 解 （1）原方程可写成d 1d 41-++=+-y x y x y x ， 令10410x y y x --=+-=⎧⎨⎩，解得交点为1=x ，0=y ．作坐标平移变换1=+x X ，=y Y ，有d d d d d(1)d ==+y Y Y x X X， 所以原方程可进一步化为d d 4-=+Y Y XX Y X（*）这是齐次方程．设=Y u X ，则=Y uX ，d d d d =+Y u u X X X，于是（*）式可化为 1d d 41Y Y X Y X X-=⋅+， 即d 1d 41-+=+u u u XX u ， 变量分离，得2411d d 41+=-+u u X u X， 两端积分，得2111ln(41)arctan(2)ln 22++=-+u u X C ， 即22ln (41)arctan(2)⎡⎤++=⎣⎦X u u C 1(2)=C C ，将1==-Y yu X x 代入上式，得原方程的通解为 222ln 4(1)arctan1⎡⎤+-+=⎣⎦-yy x C x ． （2）原方程可写成d d 43()+=-+y x yx x y ， 该方程属于d ()d =++yf ax by c x类型，一般可令=++u ax by c ． 令=+u x y ，有d d 1d d =-y ux x，则原方程可化为d 1d 43-=-u ux u， 即34d 2d 2-=-u u x u ， 积分得32ln 22+-=+u u x C ，将=+u x y 代入上式，得原方程的通解为32ln 2+++-=x y x y C ．习 题 11-31．求下列微分方程的通解：（1）22e -'+=x y xy x ； （2）23'-=xy y x ； （3）d tan 5d -=yxy x； （4）1ln '+=y y x x ； （5）2(6)d 2d 0-+=y x y y x ； （6）d 32d ρρθ+=． 解（1）()d ()d e ()e d -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰p x x p x x y q x x C ()222d 2d e e e d e d ---⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x x x x x x x C x x C 2221e e 2--=+x x C x ．（2）原方程可化为3'-=y y x x， 故通解为33d d 3321e e d ---⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰x x x x y x x C x C Cx x x ． （3）原方程可化为d cos 5cos d sin sin -=y x xy x x x， 故通解为cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x x y x C x25cos sin d sin 5sin ⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦⎰x x x C C x x ． （4）所给方程的通解为()11d d ln ln 1e e d ln d ln -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰x xx x x x y x C x x C x 1(ln )ln ln -=-+=+C xx x x C x x x． （5）方程可化为2d 6d 2-=x x y y y， 即d 31d 2-=-x x y y y ， 故通解为33d d 1e e d 2-⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰y y yyx y y C3211d 2⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰y y C y312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y C y ．（6） ()3d 3d 33e 2e d e 2e d θθθθρθθ--⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰C C 33322e e e 33θθθ--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭C C ． 2．求下列微分方程的特解：（1）d tan sec d yy x x x -=，00x y ==； （2）cos d cot 5e d +=x y y x x ，24π==-x y ；（3）23d 231d y xy x x -+=，10x y ==．解（1）tan d tan d e sec e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x x x x y x x C ()lncos lncos e sec e d -=+⎰xx x x C ()1sec cos d cos =⋅+⎰x x x C x cos +=x Cx， 代入初始条件0,0==x y ，得0=C ．故所求特解为cos =xy x． （2） cot d cot d cos e 5e e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x x x x x y x C ()cos 15e sin d sin =⋅+⎰x x x C x ()cos 15e sin =-+x C x， 代入初始条件,42π==-x y ，得1C =，故所求特解为cos 15e sin -=xy x， 即cos sin 5e 1+=x y x ．（3） 332323d d ee d ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x xx x x x y x C 22113ln 3ln e e d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x C 222211113332e 11e d ee d 2--⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰x x x x x x C x C x x2221133311e e e 22x x x x x C Cx -⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入初始条件1,0==x y ，得12e=-C ，故所求特解为 21311e 2-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭x x y ． 3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y ．解 设曲线方程为()=y y x ，依题意有2'=+y x y ，即2'-=y y x ．从而()d de 2e d e 2e d --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x x xy x x C x x Ce (2e 2e )22e --=--+=--+x x x x x C x C ．由0=x ，0=y ，得2=C ．故所求曲线的方程为2(e 1)=--x y x ．4．设曲线积分2()d [2()]d +-⎰L yf x x xf x x y 在右半平面（0>x ）内与路径无关，其中()f x 可导，且(1)1=f ，求()f x ．解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有2[2()][()]0∂-∂-=∂∂xf x x yf x x y，即2()2()2()0'+--=f x xf x x f x ．记()=y f x ，即得微分方程及初始条件为112'+=y y x，11==x y ． 于是，)11d d22e e d -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x C x C23⎫==+⎪⎭C x 代入初始条件1,1==x y ，得13=C ，从而有2()3=f x x ． 5．求下列伯努利方程的通解：（1）2d d +=yx y xy x； （2）42323'+=y y x y x ；（3）4d 11(12)d 33+=-y y x y x ； （4）3d [(1ln )]d 0-++=x y y xy x x ．解（1）方程可以化为21d 11d --+=y y y x x． 令1-=z y ，则2d d d d -=-z y y x x ，即2d d d d -=-y zy x x．代入上面的方程，得d 11d -+=z z x x， 即d 11d -=-z z x x， 其通解为11d de (e )d ln -⎛⎫⎰⎰=-+=- ⎪⎝⎭⎰x xx x z x C Cx x x ，所以原方程的通解为1ln =-Cx x x y． （2）原方程化为41233d 23d --+=y y y x x x ． 令13-=z y ，则43d 1d d 3d -=-z y y x x ，即43d d 3d d -=-y zy x x．代入上面的方程，得 2d 233d -+=z z x x x， 即2d 2d 3-=-z z x x x， 其通解为22d d 233e (e )d -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x xz x x C2433()d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x C273337⎛⎫=- ⎪⎝⎭x C x ．所以原方程的通解为12733337-=-yCx x ．（3）原方程化为4311(12)33--'+=-y y y x ．令3-=z y ，则43-''=-z y y ，于是原方程化为21z x z '-=-，其通解为d d 21e ()e d e ()e 21d x x x x z x C x x x C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣--⎦⎰⎰ e (21)e 21e -⎡⎤=--+=--+⎣⎦x x xx C x C ，所以原方程的通解为321e -=--+x y x C ．（4）原方程化为31(1ln )'-=+y y x y x ，即3211ln --'-=+y y y x x． 令2-=z y ，则32-''=-z y y ，则原方程化为22(1ln )'+=-+z z x x， 其通解为22d de 2(1ln )e d -⎡⎤⎰⎰=-++⎢⎥⎣⎦⎰x xx x z x x C222(1ln )d -⎡⎤=-++⎣⎦⎰x x x x C 233221(1ln )d 33-⎡⎤=-++⋅+⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x C x 23322(1ln )39-⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦x x x x C222(1ln )39-=-+++x x x Cx ， 所以原方程的通解为2222(1ln )39--=-+++y x x x Cx ，或写成233242ln 93=--+x x x x C y ． 习 题 11-41．求下列全微分方程的通解：（1）21d ()d 02xy x x y y ++=； （2）3222(36)d (46)d 0x xy x y x y y +++=；（3）223423d d 0x y x x y y y -+=．解 （1）易知，=P xy ，21()2=+Q x y ．因为∂∂==∂∂P Qx y x， 所以原给定的方程为全微分方程．而2001(,)0d ()d 2=++⎰⎰xyu x y x x y y 22221111()2224=+=+x y y x y y ，故所求方程的通解为221124+=x y y C ． （2）易知，2236=+P x xy ，3246=+Q y x y ．因为12∂∂==∂∂P Qxy y x， 所以原给定的方程为全微分方程．而2320(,)3d (46)d =++⎰⎰xyu x y x x y x y y34223=++x y x y ，故所求方程的通解为34223++=x y x y C ．（3）易知，32=xP y，2243-=y x Q y ．因为46∂∂=-=∂∂P x Qy y x， 在0≠y 的区域内为全微分方程，故2240111(,)2d 3d ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰x y u x y x x x y yy 231222311yx y y x y x y ⎡⎤-+⎢-=⎥⎣⎦+=+． 所求方程的通解为22131-+=x y C y ，（或223-=x y C y ）， 即223-=x y Cy ．2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1）2()d d 0+=-x y x y x ； （2）22(3)d (13)d 0y x y x xy y -+-=． 解（1）用21x 乘方程，便得到了全微分方程211d d 0⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y x y x x ， 即2d d d d 0-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭y x x y y x x x x ． 故通解为-=yx C x． （2）原方程可化为232d 3d d 3d 0xy x y x y xy y -+-=即232d d 3(d d )0xy x y y x xy y +-+=用21y 乘方程，便得到了全微分方程 21d d 3(d d )0+-+=x x y y x x y y，211d d 3d()02⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xy y ， 211d 302⎛⎫--= ⎪⎝⎭x xy y ，故原方程的通解为21132--=x xy C y． 3．用积分因子法解下列一阶线性方程：（1）24ln xy y x '+=； （2）tan y y x x '-=． 解 （1）将原方程写成24ln '+=xy y x x， 此方程两端乘以2d 2e μ⎰==xx x 后变成224ln '+=x y xy x x ， 即2()4ln '=x y x x ，两端积分，得2224ln d 2ln ==-+⎰x y x x x x x x C ，故原方程的通解为22ln 1=-+Cy x x ．（2）方程两端乘以tan d e cos μ-⎰==x xx ，则方程变为cos sin cos '-=y x y x x x ，即(cos )cos '=y x x x ，两端积分，得cos cos d sin cos ==++⎰y x x x x x x x C ，故原方程的通解为tan 1cos =++Cy x x x． 习 题 11-51．求下列微分方程的通解：（1）211y x ''=+； （2）e x y x '''=； （3）(5)(4)10y y x-=．解（1）1121d arctan 1'=+=++⎰y x C x C x ，()12arctan d =++⎰y x C x C 2121arctan ln(1)2=-+++x x x C x C ．（2）11e d e e ''=+=-+⎰x x x y x x C x C ，1212(e e )d e 2e '=-++=-++⎰x x x x y x C x C x C x C ， 123(e 2e )d =-+++⎰x x y x C x C x C 2123e 3e 2=-+++x x C x x C x C ． （作为最后的结果，这里12C 也可以直接写成1C ）． （3）令(4)=z y ，则有d 10d -=z z x x，可知=z Cx ，从而有 44d d =yCx x ， 再逐次积分，即得原方程的通解53212345=++++y C x C x C x C x C ．2．求下列微分方程的通解：（1）y y x '''=+； （2）0xy y '''+=； （3）310y y ''-=； （4）()3y y y ''''=+．解 （1）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为'-=p p x ．利用一阶线性方程的求解公式，得()d d 11e e d eed --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x xxp x x C x x C()11e e e 1e --=--+=--+x x x x x C x C ． 即11e x p x C =--+，再积分，得通解21121(1e )d e 2x x y x C x x x C C =--+=--++⎰．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为0'+=xp p ，分离变量，得d d =-p x p x， 积分得11ln ln ln =+p C x，即1=C p x， 再积分，得通解112d ln ==+⎰C y x C x C x． （3）令'=y p ，则d d ''=py py，且原方程化为 3d 10d -=py p y， 分离变量，得31d d =p p y y ， 积分得2121=-+p C y ， 故'===y p 再分离变量，得d =±x ．由于||sgn()=y y ysgn()d =±⎰y x，即12sgn(=±+y C x C ，两边平方，得()221121-=+C y C x C ．（4）令'=y p ，则d d ''=p y py ，且原方程化为3d d =+pp p p y ，即 2d (1)0d ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦p p p y 若0≡p ，则≡y C ．≡y C 是原方程的解，但不是通解．若0≡p ，由于p 的连续性，必在x 的某区间有0≠p ．于是2d (1)0d -+=pp y， 分离变量，得2d d 1=+py p， 积分得1arctan =-p y C ，即()1tan =-p y C ，亦即()1cot d d -=y C y x ．积分得()12ln sin ln -=+y C x C ．即()12sin e -=x y C C ，也可写成()21arcsin e =+x y C C ．由于当20=C 时，1=y C ，故前面所得的解≡y C 也包含在这个通解之内． 3．求下列初值问题的解：（1）sin ''=+y x x ，(0)1=y ，(0)2'=-y ； （2）2(1)2'''+=x y xy ，(0)1=y ，(0)3'=y ； （3）2e y y ''=，(0)0=y ，(0)0'=y ； （4）()21'''+=y y ，(0)0=y ，(0)0'=y ．解 （1）易知，211cos 2'=-+y x x C ，3121sin 6=-++y x x C x C ，由初值条件(0)2'=-y ，知1201-=-+C ，得11=-C ；由(0)1=y ，知21000=-++C ，得21=C ．故特解为31sin 16=--+y x x x ． （2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为2(1)2'+=x p xp ，变量分离，得212d d 1=+x p x p x ， 两端积分，得21(1)'==+y p C x ，再两端积分，得3121()3=++y C x x C ，由初值条件(0)3y '=，有213(10)=+C ，解得，13=C ，由初值条件(0)1y =，有22113(00)3=+⋅+C解得，21=C ，故所给初值条件的微分方程的特解为331=++y x x ．（3）令'=y p ，则d d ''=py py ，且原方程化为 2d e d y p p y=，即2d e d y p p y =， 积分得，22111e 22yp C =+， 代入初始条件(0)0=y ，(0)0y '=，得112C =-，从而有22111e 222y p =-，即22e 1y p =-， 亦即'=y 分离变量后积分d=±⎰x，即d-=⎰yx，得2arcsin(e)-=+y x C，代入初始条件(0)0y=，得2π=2C．于是得符合所给初值条件的特解为e sin-π⎛⎫= ⎪2⎝⎭y x，即lncos lnsec=-=y x x．（4）令'=y p，则dd''=py py，且原方程化为2d1d+=pp py，分离变量，得2d d1=-pp yp，两端积分，得211ln(1)2--=+p y C，代入初始条件(0)0y=，(0)0y'=，得1=C．从而，21ln(1)2=--y p，即'==y p再分离变量，得d=±y x d=±yy x 两端积分，得2arch(e)=±+y x C，代入初始条件(0)0=y ，得20=C ，从而有满足所给初始条件的特解为arch(e )=±y x ，即e ch()ch()=±=y x x或写成ln ch()=y x ．4．试求''=y x 的经过点(0,1)M 且在此点与直线112=+y x 相切的积分曲线． 解 由于直线112=+y x 在(0,1)M 处的切线斜率为12，依题设知，所求积分曲线是初值问题''=y x ，01==x y ，012='=x y 的解．由''=y x ，积分得2112'=+y x C ， 再积分，得21216=++y x C x C ， 代入初始条件01==x y ，012='=x y ，解得112=C ，21=C ， 于是所求积分曲线的方程为211162=++y x x ． 5．对任意的0>x ，曲线()=y f x 上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于1()d ⎰xf t t x ，求()f x 的表达式． 解 设曲线的方程为()=y f x ，其中()=y f x 有二阶导数，则在点(,())M x f x 处的切线方程为()()()'-=-Y f x f x X x ，令0=X ，知切线在y 轴上的截距为()()'=-Y f x xf x ，据题意，有1()d ()()'=-⎰x f t t f x xf x x ，即20()()()d '-=⎰x xf x x f x f t t ． 两端求导，得2()()2()()()''''+--=f x xf x xf x x f x f x ，即[]()()0,'''+=x f x xf x已知0>x ，故有()()0,'''+=f x xf x令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为d 0,d +=pp xx分离变量，得11d d =-p x p x， 两端积分，得1ln ln ln =-p C x ，即1'==C y p x． 再对两端积分，得12ln =+y C x C ，即12()ln =+f x C x C ．习 题 11-61．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的．（1）e x ，e x -； （2）23sin x ，21cos x -； （3）cos2x ，sin 2x ； （4）ln x x ，ln x ． 解 （1）因为1e x y =，2e x y -=满足：212e e exx x y y -==≠常数， 所以函数组e x ，e x -是线性无关的．（2）因为213sin y x =，221cos y x =-满足：21223sin 31cos y x y x==-， 所以函数组23sin x ，21cos -x 是线性相关的．（3）因为1cos2y x =，2sin 2y x =满足：12cos2cot 2sin 2y x x y x==≠常数， 所以函数组cos2x ，sin 2x 是线性无关的．（4）因为1ln y x x =，2ln y x =满足：12ln ln y x x x y x==≠常数， 所以函数组ln x x ，ln x 是线性无关的．2．验证1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解，并写出该方程的通解．证明 由1cos y x ω=，得1sin y x ωω'=-，21cos y x ωω''=-； 由2sin y x ω=，得1cos y x ωω'=，21sin y x ωω''=-． 可见，2sin 0i y x ωω''+= (1,2)i =，故1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解．又因为12cot y x y ω=≠常数，故1cos y x ω=与2sin y x ω=线性无关．于是所给方程的通解为1212cos sin y y y C x C x ωω=+=+．3．验证21e x y =及22e x y x =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解，并写出该方程的通解．证明 由21e x y =，得212e x y x '=，221(24)e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，232(64)e x y x x ''=+． 因为2222221114(42)(24)e 42e (42)e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=； 22223222224(42)(64)e 4(12)e (42)e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-⋅++-= 所以21e x y =及22e x y x =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解．又因为21y x y =≠常数，故21e x y =与22e x y x =线性无关，于是所给方程的通解为 21212()e x y y y C C x =+=+．4．若13y =，223y x =+，22e 3x y x =++都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=（()0f x ≠）当()P x ，()Q x ，()f x 都是连续函数时，求此方程的通解．解 因为221y y x -=，32e x y y -=，所以2x 及e x 都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=对应齐次方程的特解．又因为32221e xy y y y x -=≠-常数，所以21y y -与32y y -线性无关．因此，所给方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的通解为212e 3x y C x C =++．习 题 11-71．求下列微分方程的通解．（1）40'''-=y y ； （2）3100'''--=y y y ； （3）960'''++=y y y ； （4）0''+=y y ；（5）6250'''-+=y y y ； （6）(4)5360''+-=y y y ． 解 （1）所给方程对应的特征方程为240r r -=，解之，得10r =，24r =，所以原方程的通解为412e x y C C =+．（2）所给方程对应的特征方程为23100r r --=解之，得15r =，22r =-，所以原方程的通解为5212e e x x y C C -=+．（3）所给方程对应的特征方程为29610r r ++=解之，得1213r r ==-，所以原方程的通解为1312()ex y C C x -=+．（4）所给方程对应的特征方程为210r +=，解之，得1i r =，2i r =-，所以原方程的通解为12cos sin y C x C x =+．（5）所给方程对应的特征方程为26250r r -+=，解之，得134i r =-，234i r =+，所以原方程的通解为312e (cos 4sin 4)x y C x C x =+．（6）所给方程对应的特征方程为425360r r +-=，即22(9)(4)0r r +-=解之，得1,22r =±，3,43i r =±， 所以原方程的通解为221234e e cos3sin3x x y C C C x C x -=+++．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00430,6,10==''''-+===x x y y y y y ； （2）00440,2,0==''''++===x x y y y y y ； （3）00250,2,5=='''+===x x y y y y ； （4）004130,0,3==''''-+===x x y y y y y ． 解 （1）所给方程对应的特征方程为2430r r -+=，解之，得11r =，23r =，所以原方程的通解为312e e x x y C C =+，从而，312e 3e x x y C C '=+，代入初始条件006,10x x y y =='==，得12126,310,C C C C +=⎧⎨+=⎩ 解得，124,2,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为34e 2e x x y =+．（2）所给方程对应的特征方程为24410r r ++=，解之，得1,212r =-，所以原方程的通解为1212()ex y C C x -=+，从而，12211221211e ee 22x x x C C C x y ----'=-， 代入初始条件002,0x x y y =='==，得1122,10,2C C C =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为12(2)ex y x -=+．（3）所给方程对应的特征方程为2250r +=，解之，得1,25i r =±，所以原方程的通解为12cos5sin5y C x C x =+，从而，125sin55cos5y C x C x '=-+，代入初始条件002,5x x y y =='==，得122,55,C C =⎧⎨=⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2cos5sin5y x x =+．（4）所给方程对应的特征方程为24130r r -+=，解之，得1,223i r =±，所以原方程的通解为212e (cos3sin 3)x y C x C x =+，从而，21221e [(23)cos3(23)sin3]x y C C x C C x '=++-，代入初始条件000,3x x y y =='==，得1120,233,C C C =⎧⎨+=⎩ 解得，120,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2e sin3x y x =．3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．解 设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设在时刻t ，点A 的位置为()x x t =，此时它受到的恢复力的大小为21000||gV g R x ρ=π排水（R 是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有21000mx g R x ''=-π，其中m 是浮筒的质量．记221000g R mωπ=，则得微分方程20x x ω''+=．解其对应的特征方程220r ω+=，得1,2i r ω=±，故12cos sin sin()x C t C t A t ωωωϕ=+=+，A 1sin C Aϕ=． 由于振动周期22T ωπ==，故ω=π，即221000g R mπ=π， 从中解出浮筒的质量为21000195gR m =≈π（千克）． 习 题 11-81．求下列微分方程的特解*y 的形式（不必求出待定系数）． （1）2331''-=+y y x ； （2）y y x '''+=；（3）2e '''-+=x y y y ； （4）23e -'''--=x y y y ；（5）32e '''-+=xy y y x ； （6）22(3)e '''-=+-x y y x x ； （7）276e sin '''++=x y y y x ； （8）245e sin x y y y x '''-+=； （9）2222e cos '''-+=x y y y x x ； （10）22e sin x y y y x x '''-+=． 解 （1）2()31f x x =+是e ()λx m P x 型（其中，2()31m P x x =+，0λ=），对应齐次方程的特征方程为230r -=．易知，0λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2y Ax Bx C =++ （这里A 、B 和C 为待定系数）．（2）()f x x =是e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，0λ=），对应齐次方程的特征方程为20r r +=．易知，0λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()y x Ax B Ax Bx =+=+ （这里A 和B 为待定系数）．（3）()e x f x =是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2210r r -+=，易知，1λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*2e x y Ax = （其中A 为待定系数）．（4）()e x f x -=是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为2230r r --=，易知，1λ=-是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*e x y Ax -= （其中A 为待定系数）．（5）()e x f x x =是e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2320r r -+=，易知，1λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+ （其中A 和B 为待定系数）． （6）2()(3)e x f x x x =+-是e ()λx m P x 型（其中，2()3m P x x x =+-，1λ=），对应齐次方程的特征方程为220r r -=，易知，1λ=是不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2()e x y Ax Bx C =++ （其中A 、B 和C 为待定系数）．（7）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2760r r ++=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e (cos sin )x y A x B x =+ （其中A 、B 为待定系数）．（8）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为 2450r r -+=，易知，i 2i λω+=+是特征方程的根，所以应设其特解为 *2e [cos sin )]x y x A x B x =+ （其中A 和B 为待定系数）．（9）2()2e cos x f x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()2l P x x =，()0n P x =）．对应齐次方程的特征方程为 2220r r -+=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [()cos ()sin )]x y Ax B x Cx D x =+++ （其中A 、B 、C 和D 为待定系数）． （10）()e sin x f x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中1λ=，1ω=，()0l P x =，()n P x x =）．对应齐次方程的特征方程为 2220r r -+=，易知，i 1i λω±=±是特征方程的根，所以应设其特解为[]*2e ()cos ()sin )x y x Ax B x Cx D x =+++ （其中A 、B 、C 和D 为待定系数）． 2．求下列各微分方程的通解．（1）22e '''+-=x y y y ； （2）323e -'''++=x y y y x ； （3）369(1)e '''-+=+x y y y x ; （4）e cos ''+=+x y y x ． 解 （1）()2e x f x =是e ()λx m P x 型（其中，()2m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2210r r +-=，解得112r =，21r =-， 故对应齐次方程的通解为1212e e x x Y C C -=+．因为1λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*e x y A =，代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=．消去e x ，有1A =，即*e x y =，故原方程的通解为1*212e e e x x x y Y y C C -=+=++．（2）()3e x f x x -=是e ()λx m P x 型（其中，()3m P x x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为2320r r ++=，解得11r =-，22r =-，故对应齐次方程的通解为212e e x x Y C C --=+．因为1λ=-是特征方程的单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx --=+=+，代入原方程并消去e x -，得2(2)3Ax A B x ++=．比较系数，得32A =，3B =-， 即*233e 2x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故原方程的通解为*22123e e 3e 2x x x y Y y C C x x ---⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭．（3）3()(1)e x f x x =+是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x x =+，3λ=），对应齐次方程的特征方程为2690r r -+=，解得1,23r =， 故对应齐次方程的通解为312()e x Y C C x =+．因为3λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*23323()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+，代入原方程并消去e x ，得621Ax B x +=+．比较系数，得16A =，12B =，。