必修4三角函数：弧度制

4．弧度与角度的互化
角度化弧度 360° ＝ 2π rad 180° ＝ π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
180 π ° 1° ＝ 180 rad≈0.017 1 rad＝ π ≈57.30°
45 rad
5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
π xx＝α＋k·，k∈Z 2 .
在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
[对点训练] 以弧度为单位，写出终边落在直线 y＝－x 上的角的集合．
解：在 0 到 2π 范围内，终边落在直线 y＝－x 上的角有两个，即 3 7 3 π 和 π，所有与 π 终边相同的角构成的集合为 S1＝ 4 4 4
与 β1 有相同终边的角是－612° 和－252° ； π 1 β2＝－ ＝－ ×180° ＝－60° ， 3 3 设 γ＝k· 360° －60° (k∈Z)， 则由－720° ≤k· 360° －60° <0° (k∈Z)， 得 k＝－1 或 k＝0， ∴在－720° ～0° 范围内， 与 β2 有相同终边的角是－60° 和－420° .
弧度制
【知识梳理】
1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． 1 ②1 度的角：周角的 360 作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数 ， 负角的弧度数是一个 负数 ， 零角的弧度数是 0 . 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
度 弧度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
6.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数 扇形的弧长
παR l＝ 180
α 为弧度数 lห้องสมุดไป่ตู้ αR
1 1 2 S＝ 2lR ＝ 2αR
[类题通法] 用弧度制表示角应关注的三点 (1)用弧度表示区域角， 实质是角度表示区域角在弧度制下的 应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一． (2)在表示角的集合时， 可以先写出一周范围(如－π～π， 0～ 2π)内的角，再加上 2kπ，k∈Z. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k ∈ Z} ； 终 边 在 相 互 垂 直 的 两 直 线 上 的 角 的 集 合 可 以 合 并 为
3 αα＝ π＋2kπ，k∈Z 4
7 ， 所有与 π 终边相同的角构成的集合为 4
3 ＝αα＝ π＋2k＋1π，k∈Z 4
7 S2＝ α α＝4π＋2kπ，k∈Z
，
3 ∴终边落在直线 y＝－x 上的角的集合为 S＝S1∪S2＝αα＝ π＋ 4 nπ，n∈Z.
2 π αR 扇形的面积 S＝ 360
【常考题型】
[例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
2π (1)72° ；(2)－300° ；(3)2；(4)－ . 9 π 2π [解] (1)72° ＝72× ＝ ； 180 5
π 5π (2)－300° ＝－300× ＝－ ； 180 3
180 360 (3)2＝2× π ° ＝ π ° ； 2π 180 2π (4)－ ＝－ 9 × π ° ＝－40° . 9
[例 3]
用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内
(不包括边界)的角的集合．
[解]
(1)如图①， 330° 角的终边与－ 30° 角的终边相同，
π 将－30° 化为弧度，即－ ， 6 π 5π 而 75° ＝75× ＝ ， 180 12 ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
π 5π θ2kπ－ <θ<2kπ＋ ，k∈Z 6 12
【练习反馈】
1．下列命题中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B．1° 的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 360 2π C．1 rad 的角比 1° 的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选 D
根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B
[类题通法] 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝ π 180° 是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度 180 180 数× ＝度数． π
[对点训练] 3π π 已知 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ ，β2＝－ . 5 3 (1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在－720° ～0° 范围内，找出 与它们有相同终边的所有角．
4．把角－690° 化为 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 ________．
π 23 解析：法一：－690° ＝－ 690×180 ＝－ π. 6
23 π π ∵－ π＝－4π＋ ，∴－690° ＝－4π＋ . 6 6 6 法二：－690° ＝－2×360° ＋30° ， π 则－690° ＝－4π＋ . 6 π 答案：－4π＋ 6
.
π 7π (2)如图②，∵ 30° ＝ ，210° ＝ ，这两个角的终边所在 6 6 π 的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋ ，k∈Z， 6
π 又终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋ ，k∈Z， 2 从而终边落在阴影部分内 ( 不包括边界 ) 的角的集合为
π π θkπ＋ <θ<kπ＋ ，k∈Z 6 2 .
180 的角是 π ° ≈57.30° ，故
是正确的；1 rad
C 也是正确的；
无论是用角度制还是用弧度制度量角， 角的大小都与圆的半 径无关，故 D 错误．
2．角 α
5π 的终边落在区间－3π，－ 2 内，则角
α 所在的象
限是(
) B．第二象限 D．第四象限
A．第一象限 C．第三象限
5． 一个扇形的面积为 1， 周长为 4， 求圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2R＋l＝4. 1 1 根据扇形面积公式 S＝ lR，得 1＝ l· R. 2 2 2R＋l＝4， 联立1 解得 R＝1，l＝2， l· R＝1. 2 l 2 ∴α＝R＝ ＝2. 1
解析：选 C
5 －3π 的终边在 x 轴的非正半轴上，－ π 2
的终边在 y 轴的非正半轴上，故角 α 为第三象限角．
11π 3．－135° 化为弧度为________， 化为角度为________． 3
π 3 解析：－135° ＝－135× ＝－ π； 180 4 11 11 π＝ ×180° ＝660° . 3 3 3 答案：－ π 660° 4
[答案]
(2)[解]
4 cm 2
设扇形的弧长为 l，由题意得 2πR＝2R＋l，
l 所以 l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是R＝2(π－1)， 1 扇形的面积是 Rl＝(π－1)R2. 2
[类题通法] 弧度制下涉及扇形问题的攻略 1 1 2 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝ lr＝ |α|r (其中 2 2 l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α 是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算， 关键是先分析题目已知哪些量求哪些量， 然后灵活运用弧长 公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意： 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提 是 α 为弧度．
570π 19π 解：(1)α1＝－570° ＝－ ＝－ ， 180 6 750π 25π α2＝750° ＝ ＝ . 180 6 19π 5π ∵α1＝－ ＝－2×2π＋ ， 6 6 25π π α2＝ ＝2×2π＋ ， 6 6 ∴α1 是第二象限角，α2 是第一象限角．
3π 3 (2)β1＝ ＝ ×180° ＝108° ， 5 5 设 θ＝ k· 360° ＋108° (k∈Z)， 则由－720° ≤θ<0° ， 得－720° ≤ k· 360° ＋108° <0° (k∈Z)， 解得 k＝－2 或 k＝－1， ∴在－720° ～0° 范围内，
[例 2]
(1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形
的面积为________． (2)已知一半径为 R 的扇形， 它的周长等于所在圆的周长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？ (1)[解析] 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心
角为 2 rad，依据弧长公式可得 l＝2r，从而扇形的周长为 l ＋2r＝4r＝8，解得 r＝2，则 l＝4. 1 1 故扇形的面积 S＝ rl＝ ×2×4＝4 cm2. 2 2
[对点训练] 已知扇形的周长是 30 cm， 当它的半径和圆心角各取什么值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为 α(0<α<2π)，半径为 r，面积为 S， 弧长为 l，则 l＋2r＝30，故 l＝30－2r，
15 2 225 1 1 2 从而 S ＝ lr ＝ (30 － 2r)r ＝－ r ＋ 15r ＝－ r－ 2 ＋ 2 2 4 15 15 所以， 当 r＝ cm 时， α＝2， 扇形面积最大， π＋1<r<15， 2 225 最大面积为 cm2. 4