高中数学必修4第一章_三角函数知识点

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1第一章 三角函数知识点
1、角的定义：
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。

第一象限角的集合为22,2k k k παπαπ⎧⎫
<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第二象限角的集合为22,2k k k π
απαππ⎧⎫
+
<<+∈Z ⎨⎬⎩
⎭
第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ⎧⎫
+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ⎧⎫
+
<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
终边在x 轴上的角的集合为
{},k k ααπ=∈Z
终边在y 轴上的角的集合为,2k k π
α
απ⎧⎫=+
∈Z ⎨⎬⎩
⎭
终边在坐标轴上的角的集合为,2k k πα
α⎧⎫=
∈Z ⎨⎬⎩
⎭
3、与角α终边相同的角的集合为{}2,k k ββπα=+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴
的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n
α
终边所落在
的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=。

7、弧度制与角度制的换算公式：
180********.3180π
ππ⎛⎫
===≈ ⎪⎝⎭
，， 8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，
半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，211
22
S lr r α==。

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P
的坐标是(),x y ，它与原点的距离是
()
0r r =>，则sin y
r
α=
，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠。

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 。

（如图） 12、同角三角函数的基本关系：
()222222(1)sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-
sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛
⎫=== ⎪⎝
⎭(2)
13、三角函数的诱导公式：
三角函数值等于
的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数
名不变，符号看象限
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三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限
14、(1)函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
()sin y x ωϕ=+的图象；
再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

(2)函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；
再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

(3)函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质：
①振幅：A ；②周期：2T π
ω=；③频率：12f T ω
π
==；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ。

(4)函数()sin y A x B ωϕ=++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则
()max min 12A y y =
-，()max min 12B y y =+，()21122
T
x x x x =-<。

sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域
R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域 []1,1-
[]1,1-
R
最值 当22
x k π
π=+
()k ∈Z 时，
max 1y =；当22
x k π
π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数
奇函数
单调性
在2,22
2k k π
πππ⎡
⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在
32,222k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称中心 ()(),0k k π∈Z
(),02k k ππ⎛
⎫+∈Z
⎪⎝⎭ (),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
对称轴 ()2
x k k π
π=+
∈Z
()
x k k π=∈Z
无对称轴
.
函 数
性
质。