人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制习题
2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章 (三角函数)本章小结课件(共83张PPT)
1 2
)2
=
3 2
;
如果 a 是第二象限角,
cos(2p -a)= -
3 2
.
10.
已知 sin(p +a ) (1) cos(2p-a);
=
-
12(,2)计ta算n(:a-7p).
解:
由
sin( p
+a
)
=
-
1 2
得
sina
=
1 2
,
知 a 是第一、二象限角.
(2) tan(a-7p) = tana,
1- (-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
本章内容
1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用 第一章 小结
本章小结
知识要点 复习参考题 自我检测题
1. 正角, 负角, 象限角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
全品作业本-高中-数学-必修4-RJA(1-64)
全品作业本高中数学必修4新课标（RJA）目录课时作业第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角1．1．2 弧度制1．2 任意角的三角函数1．2．1 任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用1．2．2 同角三角函数的基本关系1．3 三角函数的诱导公式►滚动习题（一）[范围1．1〜1．3]1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质1．4．3 正切函数的性质与图像1．5 函数y=A sin（ωx+φ）的图像第1课时函数y=A sin（ωx+φ）的图像第2课时函数y=A sin（ωx+φ）的性质1．6 三角函数模型的简单应用►滚动习题（二）[范围1．1~1．6]第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1．1 向量的物理背景与概念2．1．2 向量的几何表示2．1．3 相等向量与共线向量2．2 平面向量的线性运算2．2．1 向量加法运算及其几何意义2．2．2 向量减法运算及其几何意义2．2．3 向量数乘运算及其几何意义2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1 平面向量基本定理2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3．3 平面向量的坐标运算2．3．4 平面向量共线的坐标表示2．4 平面向屋的数量积2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2．5 平面向量应用举例2．5．1 平面几何中的向量方法2．5．2 向量在物理中的应用举例►滚动习题（三）[范围2.1~2.5]第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1 两角差的余弦公式3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式►滚动习题（四）[范围3．1]3．2 简单的三角恒等变换第1课时三角函数式的化简与求值第2课时三角函数公式的应用►滚动习题（五）[范围3．1〜3．2]参考答案综合测评单元知识测评（一）[第一章]卷1单元知识测评（二）[第二章] 卷3单元知识测评（三）[第三章]卷5模块结业测评（一）卷7模块结业测评（二）卷9参考答案卷提分攻略（本部分另附单本）第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角攻略1 判定角的终边所在象限的方法1．1．2 弧度制攻略2 弧度制下的扇形问题1．2 任意角的三角函数1．2．1 任意角的三角函数攻略3 三角函数线的巧用1．2．2 同角三角函数的基本关系攻略4 “平方关系”的应用方法1．3 三角函数的诱导公式攻略5 “诱导公式”的应用方法攻略6 三角函数的诱导公式面面观1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像攻略7 含绝对值的三角函数的图像画法及应用1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质攻略8 三角函数性质的综合应用题型1．4．3 正切函数的性质与图像攻略9 正切函数的图像应用剖析1．5 函数y=A sin（ωx+φ）的图像攻略10 求函数y=A sin（ωx+φ）+k解析式中ω，φ的方法攻略11 三角函数图像的平移和伸缩1．6 三角函数模型的简单应用攻略12 三角函数的应用类型剖析第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1．1 向量的物理背景与概念2．1．2 向量的几何表示2．1．3 相等向量与共线向量攻略13 平面向量入门易错点导析2．2 平面向量的线性运算2．2．1 向量加法运算及其几何意义攻略14 向量加法的多边形法则及应用2．2．2 向量减法运算及其几何意义攻略15 向量加减法法则的应用2．2．3 向量数乘运算及其几何意义攻略16 平面向量中三角形面积比问题的求解技巧2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1 平面向量基本定理2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示攻略17 定理也玩“升级”2．3．3 平面向量的坐标运算攻略18 向量计算坐标化解题能力能升华2．3．4 平面向量共线的坐标表示攻略19 善用“x1y2－x2y1=0”巧解题2．4 平面向量的数量积2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角攻略20 “盘点”向量数量积应用类型攻略21 数量积应用易错“点击2．5 平面向量应用举例2．5．1 平面几何中的向量方法2．5．2 向量在物理中的应用举例攻略22 直线的方向向量和法向量的应用攻略23 向量在平面几何和物理中的应用第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1 两角差的余弦公式攻略24 已知三角函数值求角3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式攻略25 三角函数问题中怎样“缩角”3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式攻略26 二倍角公式的“8种变化”3．2 简单的三角恒等变换攻略27 —道三角求值题的解法探索攻略28 三角变换的技巧与方法整合参考答案第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．1．1 任意角基础巩固1．不相等的角的终边（）A．—定不同B．必定相同C．不一定不相同D．以上都不对【答案】C2．已知角α，β的终边相同，则α－β的终边在（）A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A3．若α=k•180°+45°，k∈Z，则角α的终边在（）A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【答案】A【解析】当2()k n n Z=∈时,36045,=︒+︒∈，α为第一象限角；当a n n Zk n n Z=+∈时，360225,21()=︒+︒∈，a为第三象限角.a n n Z4．已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角【答案】C【解析】由题意知090︒<<︒，所以02180a︒<<︒a5．若角α满足180°<α<360°，角5α与α的终边相同，则α=___270°_______．能力提升6．[2014·湖南五市十校期中]与1303°终边相同的角是（）A．763°B．493°C．－137°D．－47°【答案】C【解析】1303°= 360°+943°= 360°× 2 + 583°= 360°×3 + 223°= 360°× 4+（-137°)7．若A ={α|α=k ·360°，k ∈Z }，B ={α|α=k ·180°，k ∈Z }，C ={α|α=k ·90°，k ∈Z }，则下列关系中正确的是（ ） A ．A =B =C B ．A =B ∩C C ．A ∪B =C D ．A B C ⊆⊆【答案】D【解析】∵ 90,90,90C B A ︒∈︒∉︒∉, ∴选项 A ，C 错误.∵180,180,180C B A ︒∈︒∈︒∉，∴选项B 错误.8．[2015·深圳高级中学期中]如图1-1-1所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α| k ·360°－45°≤α≤k ·360°+120°，k ∈Z }D ．{α| k ·360°+120°≤α≤k ·360°+315°，k ∈Z } 【答案】C9．如果角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（ ） A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 【答案】C【解析】 根据题意，知3602360180,k a k k Z ︒<<︒+︒∈,∴18018090,k a k k Z ︒<<︒+︒∈.当2()k n n Z =∈时，36036090,n a n n Z ︒<<︒+︒∈，则α是第一象限角；当21()k n n Z =+∈时，360180360270,n a n n Z ︒+︒<<︒+︒∈，则 α是第三象限角.故α为第一或第三象限角.10．若角α与角β的终边关于y 轴对称，且在x 轴的上方，则α与β的关系是__________． 【答案】(21)180,a k k Z β=+︒-∈【解析】 当,(0,180)a β︒︒时，a +β=180°，即a =180°-β，所以当a ，β的终边均在x 轴的上方时，有a =k •360°+180°-β=(2k +1)•180°-β,k ∈Z .11．[2014·济南一中月考]在平面直角坐标系中，下列说法正确的是__________．（1）第一象限的角一定是锐角；（2）终边相同的角一定相等；（3）相等的角，终边一定相同；（4）小于90°的角一定是锐角；（5）钝角的终边在第二象限；（6）终边在直线3y x =上的角表示为k ×360°+60°，k ∈Z ． 【答案】(3)(5)【解析】第一象限的角还可能是负角或大于90°的角，（1)错；终边相同的角相差360°的整数倍，（2)错；（3)正确；小于90°的角还可能是负角，（4)错；（5)正确；终边在直线y =上的角表示为k ×360°+60°，k ∈Z .或k ×360°+240°，k ∈Z ，（6)错.12．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，则角α=__________．【答案】40°或80°【解析】因为锐角α的10倍的终边与角α的终边相同，所以10a =a + k •360°, k ∈Z ，解得 a = k •40°, k ∈Z .又α为锐角，所以a =40°或80°.13．若角α的终边落在直线x +y =0上，求在[－360°，360°]内的所有满足条件的角α． 【答案】解：若角α的终边落在第二象限，则a =135°+ k ×360°，k ∈Z ； 若角α的终边落在第四象限，则a =315°+ k ×360°，k ∈Z . ∴终边落在直线x +y =0上的角α的集合为{}{}{}135360,315360,135180,a a k k Z a a k k Z a a k k Z =︒+⨯︒∈=︒+⨯︒∈==︒+⨯︒∈.令-360°≤135°+k ×180°≤360°,得{}2,1,0,1k ∈--，∴满足条件的α为-225°，-45°，135°,315°.14．[2014•沈阳铁路实验中学期末]已知α，β为锐角，且α+β的终边与－280°的终边相同，α－β的终边与670°的终边相同，求角α，β． 【答案】 解：由题意得a +β=-280°+k •360°=(k -1)•360°+80°（k ∈Z )，a -β=670°+ k •360°=(k +2)•360°-50°（k ∈Z ).又a ，β都为锐角，∴0°＜a +β＜180°, - 90°＜a -β＜90°， ∴a +β= 80°，a -β=-50°，∴a =15°，β= 65°. 难点突破15．已知A ={α|α=k ·360°+45°，k ∈Z }，B ={β|β=k ·360°+135°，k ∈Z }，则A ∪B =__________．【答案】 {}180(1)45,k a a k k Z=︒+-︒∈【解析】∵{}{}36045,218045,A a a k k Z a a k k Z ==︒+︒∈==︒+︒∈， {}{}360135,(21)18045,B k k Z k k Z ββββ==︒+︒∈==+︒-︒∈，∴{}180(1)45,k AB a a k k Z ==︒+-︒∈.16．[2014•嘉兴一中期中]若α是第三象限角，则3α是第几象限角？ 【答案】解:α是第三象限角，∴k •360°+180°<a < k •360°+270°，k ∈Z ，∴1206012090,3ak k k Z ︒+︒<<︒+︒∈. ①当k = 3n ，n ∈Z 时，3606036090,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈； ②当k =3n +1，n ∈Z 时, 360180360210,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈； ③当k = 3n +2，n ∈Z 时，360300360330,3an n n Z ︒+︒<<︒+︒∈.∴3a是第一或第三或第四象限角. 1．2．2 弧度制 基础巩固 1．将－300°化为弧度是（ ） A ．4πrad 3- B ．5πrad 3-C ．7πrad 4-D ．7πrad6- 【答案】B2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则（ ）A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积变为原来的2倍D ．扇形的圆心角变为原来的2倍 【答案】B3．已知集合A ={α| 2k π≤α≤（2k +1）π，k ∈Z }，B ={α|－4≤α≤4}，A ∩B 等于（ ） A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α| 0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} 【答案】D4．若三角形三内角的弧度数之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是__________． 【答案】 415π，3π，25π【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x ，5x ，6x ，则有 4x + 5x +6x = π，解得15x π=，∴三内角的弧度数分别为415π，3π，25π.5．（1）若θ∈（0，π），且θ与7θ的终边相同，则θ=__________． （2）设α=－2，则α的终边在第__________象限．【答案】 (1)3π或23π（2)三 【解析】(1)由题意得7θ=2kπ+θ(k ∈Z )，∴()3k k Z πθ=∈.又(0,),3πθπθ∈=或23π. (2)-2=-2π+2π-2，∴322,2πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故α为第三象限角.能力提升6．与角π6-终边相同的角是（ ）A ．5π6 B ．π3C ．11π6D ．2π3 【答案】C7．[2015•福建清流一中模拟]半径为10cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）A ．2B ．2°C ．2πD ．10 【答案】A【解析】设弧所对的圆心角为a ，由题知21(10)1002a ⨯=，解得a =2.8．集合ππππ,42k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤所表示的角的范围（用阴影表示）是（ ）【答案】C【解析】当k =2m ，m ∈Z 时，22,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈；当k =2m +1，m ∈Z 时，5322,42m a m m Z ππππ+≤≤+∈.故选C . 9．[2014•西安一中期末]已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin2 【答案】B【解析】由题知半径为1sin1,所以弧长为2sin1. 10．在直径为10厘米的轮子上有一长为6厘米的弦，P 为弦的中点，若轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒后P 转过的弧长为__________．【答案】100厘米 【解析】P 到圆心O 的距离22534OP -=（厘米），所以P 转过的弧长为25×4 = 100(厘米）.11．[2014•盐城中学期末]已知扇形的周长是4cm ，则当扇形的面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是__________．【答案】2【解析】设此扇形的圆心角为a ，半径为r ，弧长为l ，则2r +l =4，则扇形的面积2211(42)2(1)122S rl r r r r r ==-=-+=--+,•••当 r =l 时，S 最大，这时l = 4-2r =2，从而221l a r ===.12．[2014•九江外国语学校月考]一个半径大于2的扇形，其周长C =10，面积S =6，求这个扇形的半径r 和圆心角α的弧度数． 【答案】解：由 C =2r +ra =10，得102r a r -=，将上式代入2162S ar ==,得 r 2-5r +6 =0, ∴r =3(r =2舍去)，∴10243r a r -==.13．若弓形的弧所对的圆心角为π3，弓形的弦长为2cm ，求弓形的面积． 【答案】解：如图所示，r =AB =2cm ，∴2343(cm )4OAB S ∆=⨯=，2212S 2(cm )233OAB ππ∆=⨯⨯=扇形，∴22=3(cm )3OABOAB S S S π∆∆-=-弓形扇形难点突破14．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，则圆心角的弧度数为__________，弦长AB =__________ cm ．【答案】2 2sin 1 【解析】设扇形的半径为r cm ,弧长为 l cm ,圆心角为a ，则11,224,lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得1,2,r l =⎧⎨=⎩∴圆心角2la r==. 如图所示，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则ZAOH =I , ∠AOH =1，∴AH =1·sin 1=sin 1 (cm ) , ∴ AB = 2sin 1 cm . 15．[2015．陕西兴平秦岭中学期中]（1）已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径r =6，求弧长l 及扇形的面积S ．（2）已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】 解：（1)因为21203a π=︒=，所以2643l ar ππ==⨯=，11461222S lr ππ==⨯⨯=.(2)设弧长为l ,半径为r ，圆心角为a ，由题知l +2r =20，所以l = 20-2r ，所以202l ra r r-==， 所以扇形的面积2221120210(5)2522r S lr r r r r r-===-+=--+，故当r =5时，S 取得最大值，最大值为25，这时2022l r a r r-===.1．2 任意角的三角函数 1．2．1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数 基础巩固1．角α的终边经过点P （－b ，4），且，则b 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．±3D ．5 【答案】 A2．下列三角函数值的符号判断错误的是（ ） A ．sin165° >0 B ．cos280°>0C ．tan170°>0D ．tan310°<0 【答案】 C3．点A （sin 2015°，cos 2015°）在直角坐标平面上位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 C【解析】sin 2015°=sin 215°＜0，cos 2015°=cos 215°＜0，故选C .4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线y = 2x （x ≤0）上，则 cos θ的值为（ ）A ．B ．C D 【答案】 A【解析】在角θ的终边上取点P ( -1, -2)，则r OP ==cosθ=.5．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点12⎛- ⎝⎭，2α∈[0,2π），则tan α= _ _________【解析】由题知角2a 的终边在第二象限，tan 2a =又2a ∈[0,2π]，所以223a π=，得3a π=，所以tan a =能力提升6．[2014·浏阳一中模拟]若π02α-<<，则点（tan α，cos α）位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B【解析】α是第四象限的角，所以tanα＜0，cosα＞0，所以点（tanα, cosα）在第二象限.7．[2015·嘉兴一中期中]若3sin5α=，4cos5α=-，则在角α终边上的点是（）A．（－4,3）B．（3，－4）C．（4，－3）D．（－3,4）【答案】 A【解析】由a的两个三角函数值，可知a的终边在第二象限，排除B，C.又3 sin5a=，4cos5a=-，故选A.8．已知角α的终边上一点的坐标为ππsin,cos66⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（）A．11π6B．5π6C．π3D．π6【答案】C【解析】cos62tan1sin62aππ===故角α的最小正值为3π.9．[2014·九江七校期中联考]已知角α的终边经过点P（－1,3），则2sinα+cosα=（）ABC．D．【答案】A【解析】由三角函数的定义知sin a=cos a==所以2sin cosa a+10．给出下列三角函数：①sin（－1000°）；②cos（－2200°）；③tan（－10）；④7πsin cosπ1017tanπ9．其中结果为负值的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】sin (-1000°)=sin 80°＞0；cos （-2200°）=cos 320°＞0；tan （-10）＜0；77sincos sin 10101717tan tan 99πππππ=-，易知7sin 010π>，17tan 09π<，故7sin 10017tan 9ππ->.故选C . 11．点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2+y 2=0逆时针方向运动π3到达Q 点，则Q 点的坐标为__________．【答案】12⎛ ⎝⎭【解析】根据题意得cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12Q ⎛ ⎝⎭.12．（1）已知角α的终边经过点P （4, －3），求2sin α+cos α的值．（2）已知角α的终边经过点P （4a , －3a ）（a ≠0），求2sin α+cos α的值． 【答案】解：⑴∵5r =，∴3sin 5y a r ==-，4cos 5x a r ==，∴6422sin cos 555a a +=-+=-.（2）∵5r a ， 当a ＞0时，r =5a ，∴33sin 55a a a -==-，44cos 55a a a ==， ∴6422sin cos 555a a +=-+=-.当a ＜0时，r =-5a ，∴33sin 55a a a -==-，44cos 55a a a ==--， ∴6422sin cos 555a a +=-=-. 13．已知角α的终边经过点P （x,（x ≠0），且cos α=，求sin α，tan α的值 【答案】解：∵(,0)P x x ≠，∴P到原点的距离r =又cos a =，∴cos a x ==. ∵0x ≠，∴x =r =当x =P点的坐标为，∴sin a =tan a =；当x =P点的坐标为(，∴sin a =tan a =；难点突破14．[2014·巴东一中月考]若α为第三象限角，则sincos 22sincos22αααα+的值为（ ）A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 【答案】A【解析】∵α为第三象限角，∴2a为第二或第四象限角. 当2a 为第二象限角时，y =1-1=0；当2a为第四象限角时，y =-1+1=0. 15．已知sin α<0，tan α>0． （1）求角α的集合； （2）求2α终边所在的象限； （3）试判断tan sin cos 222ααα的符号．【答案】解：（1)由sin α＜0，知角α的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合；由tan α＞0,知角α的终边可能位于第一或第三象限.故角α的终边只能在第三象限，所以角α的集合为3(21)2,2a k a k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. (2)由3(21)2,2k a k k Z πππ+<<+∈，得3,224a k k k Z ππππ+<<+∈，故2a的终边在第二或第四象限. (3)当2a 为第二象限角时，tan 02a <，sin 02a>，cos 02a <，所以tan sin cos 222a a a的符号为正.当2a 为第四象限角时，tan 02a <，sin 02a<，cos 02a >，所以tan sin cos 222a a a的符号为正.因此，tan sin cos 222a a a的符号为正.第2课时 三角函数线及其应用 基础巩固1．如图1-2-1所示，在单位圆中，角α的正弦线和正切线分别为（ ）A ．PM ，A T ''B ．MP ，A T ''C ．MP ，ATD ．PM ，AT 【答案】C2．在[0，2π]上，满足1sin 2x ≥的x 的取值范围为（ ）A ．π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B3．已知α角（0<α<2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则α的值为（ ）A ．π4或3π4 B ．5π4或7π4C ．π4或5π4 D ．π4或7π4 【答案】C4．比较大小：sin1__________πsin 3．（填“>”或“<”）【答案】 ＜ 【解析】由0132ππ<<<及单位圆中的三角函数线知，sin1sin3π=.5．不等式3tan 0α>的解集是__________． 【答案】 (,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭[解析]不等式的解集如图所示（阴影部分），∴(,62a k a k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭.能力提升6．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（ ）A ．sin1> sin1.2> sin1.5B ．sin1>> sin1.2C ．sin1.5> sin1.2> sin1D ．sin1.2> sin1> sin1.5 【答案】C【解析】∵1,1.2,1.5 均在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内，正弦线在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内随a 的增大而逐渐增大，∴sin1.5＞sin 1.2＞sin 1，故选C .7．[2015·深圳高级中学期中]若ππ42θ<<，则下列不等式中成立的是（ ） A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ> tan θ> sin θC ．sin θ> tan θ> cos θD ．tan θ> sin θ> cos θ 【答案】D【解析】 作出角θ的三角函数线（如图所示），易知 AT ＞MP ＞OM ，即 tanθ＞sinθ＞cosθ.8．依据三角函数线，作出如下判断：①π7πsin sin 66=；②ππcos cos 44⎛⎫-= ⎪⎝⎭；③π3πtan tan 85>；④3π4πsin sin55>． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】6π的终边与单位圆的交点在第一象限，sin 06π>；76π的终边与单位圆的交点在第三象限，7sin 06π<，故①不正确. ,44ππ-的终边与单位圆的交点关于x 轴对称，故余弦值相等，故②正确. 8π的正切值大于0，35π的正切值小于0，故③正确.易知④正确.故正确的有3个.9．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin α+cos α B ．tan α+sin α C ．sin α－cos αD ．sin α－tan α 【答案】B【解析】 如图所示，作出a 的三角函数线，sin α=MP ,tan α=AT ，由图易知 sin α+tan α＜0.10．[2015·福建清流一中测试]已知|cos θ|=－cos θ且tan θ <0，则 lg （sin θ－cos θ）_________0．（填“>”或“<”）【答案】＞ 【解析】由cos cos θθ=-，得cosθ≤0.又 tanθ＜0，∴角θ的终边在第二象限，∴sinθ＞0,cosθ＜0.又由三角函数线可知sinθ-cosθ＞1，∴lg (sinθ-cosθ)＞O .11．已知|cos θ|≤|sin θ|，则θ的取值范围是_________．【答案】3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ [解析]若cos sin θθ=，则θ角的终边落在直线y =x 或y =-x 上,所以满足cos sin θθ≤的θ角的终边落在如图所示的阴影部分，所以3,44k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 12．[2015•吉林普通高中期末]设θ是第二象限角，试比较sin 2θ，cos2θ，tan2θ的大小．【答案】.解: θ是第二象限角，即22()2k k k Z ππθππ+<<+∈，故()422k k k Z πθπππ+<<+∈.当22()422k k k Z πθπππ+<<+∈时，cossintan222θθθ<<；当5322()422k k k Z πθπππ+<<+∈时，sin cos tan 222θθθ<<.13．若π02α<<，证明： （1）sin α+cos α>1；（2）sin α<α<tan α．【答案】 证明：（1)在如图所示的单位圆中，∵02a π<<，1OP =，∴sin α=MP ,cosα=OM .又在△OPM 中，有1MP OM OP +>=，∴sin α+cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设AP 的长为l AP ， ∵OAP OAP OAT S S S ∆∆∆<<扇形，∴111222AP OA MP l OA OA AT <<，∴AP MP l AT <<，即sin tan a a a <<.难点突破14．[2015•天水秦安二中期末]已知α∈（0，π），且sin α+cos α=m （0<m <1），则sin α－cos α的符号为_________（填“正”或“负”）．【答案】 正 【解析】若02a π<<，则如图所示，在单位圆中，OM =cos α，MP =sin α.又在△OPM 中，有1MP OM OP +>=，∴sin cos 1a a +>. 若2a π=，则sin cos 1a a +=.又0＜m ＜1，故,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 0a a ->.15．求函数()212cos ln sin f x x x ⎛=-- ⎝⎭的定义域． 【答案】解：由题意，自变量x 应满足不等式组12cos 0,sin 0,x x -≥⎧⎪⎨>⎪⎩即sin 21cos .2x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩因为sin x 的解集为322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，1cos 2x ≤ 的解集为522,33x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，所以所求定义域为322,34x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 1．2．2 同角三角函数的基本关系基础巩固1．[2014•广东中山五校联考]已知4cos 5α=-，且α为第二象限角，则tan α的值等于（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 【答案】D2．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x +a = 0的两根，则实数a 的值为（ ） A ．65 B ．56- C ．34 D ．43 【答案】B3．已知sinθ·tan θ<0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 【答案】B【解析】2sin sin sin tan sin 0cos cos θθθθθθθ==<，即cos 0θ<，因此角θ是第二或第三象限角.4．若α是三角形的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则这个三角形为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 【答案】D 【解析】由2sin cos 3a a +=，得412sin cos 9a a +=，∴52sin cos 9a a =-，∴α为钝角.故该三角形为钝角三角形.5．若2sin cos 13sin 2cos αααα+=-，则tan α的值为__________．【答案】3【解析】由2sin cos 2tan 113sin 2cos 3tan 2a a a a a a ++==--，解得 tan α=3.能力提升6．已知tan θ=2，则sin 2θ+sin θcos θ－2cos 2θ=（ ）A ．43-B ． 54C ．34-D ．45 【答案】D【解析】∵ tanθ=2，∴2222222222sin sin cos 2cos tan tan 22224sin sin cos 2cos sin cos tan 1215θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-====+++.7．若3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，其中π,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m 的值为（ ）A ．0B ． 8C ．0或8D ． 无法确定 【答案】B【解析】因为 sin 2θ+cos 2θ=1,所以m 2-6m +9+16-16m +4m 2=m 2+10m +25，即m 2-8m =0,所以m =0 或m = 8.当 m =0时，3sin 5θ=-，与,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦矛盾，故m =8.8．已知tan α=m ，α是第二或第三象限角，则sin α的值等于（ ）AB ．C ．D ．【答案】D【解析】∵tan α=m ，∴222222cos sin 11tan 1cos cos a a a m a a ++===+，∴221cos =1a m +.又α是第二或第三象限角，∴cos =a ，故21sin tan cos =()1a a a m m =-==+. 9．[2015·湖南师大附中月考]若角α的终边落在直线x +y =0上，则的值为（ ）A．2 B．－2 C．－2或2 D．0【答案】D【解析】∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角.sinsincos cosaaa a=+，∴当角α为第二象限角时，sin sin=0cos cosa aa a-+=原式；当角α为第四象限角时，sin sin=0cos cosa aa a-+=原式.故选D.10．[2015·重庆青木关中学月考]已知α为第二象限角，则cos sin=__________．【答案】0【解析】∵α是第二象限角，∴11 =cos sin sin cos sin0cos sina aa a==+=-原式11．若cos2sinαα+=，则tan =__________．【答案】2【解析】由22cos2sinsin cos1,a aa a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得sincosaa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12．化简下列各式：（1（2【答案】解：（1cos40===︒.(2)cos40sin40cos40sin401cos40sin40cos40sin40︒-︒︒-︒====︒-︒︒-︒13．已知1sin cos5ββ+=，且0<β<π．（1）求sinβ－cosβ的值；（2）求sinβ，cosβ，tanβ的值．【答案】解：（1）由1sin cos5ββ+=及sin2β+cos2β=1,知242sin cos25ββ=.又由0＜β＜π，知sinβ＞0，∴cosβ＜0，故7sin cos5ββ-==.(2)由1sin cos5ββ+=及7sin cos5ββ-=，得4sin5β=，3cos5β=-，∴sin4tancos3βββ==-.难点突破14．[2014·西安第一中学期末]已知关于x的方程)2210x x m-+=的两根分别为sinθ和cosθ，θ∈（0,2π），则m的值为__________，θ的值为__________．3π或6π【解析】由韦达定理知sin cossin cos2mθθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,②，由①式可知1+2sin cos1θθ=+，∴sin cosθθ=2m=.∴m=当m=221)0x x-=.解得1x=，212x=.又∵θ∈（0,2π），∴sin1cos2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或1sin2cosθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴3πθ=或6π.15．[2015·重庆青木关中学月考]证明：（1）221cos sin cossin cossin cos tan1αααααααα-+-=+--；（2）（2－cos2α）（2+tan2α）=（1+2 tan2α）（2－sin2α）．【答案】证明：（1）22222222222sin sin cos sin sin cos=sin sin cossin cos sin cos1cos cossin cos sin cossin cossin cos sin cos sin cosa a a a a aa a aa a a aa aa a a aa aa a a a a a++-=-=------==+=---左边右边∴原式成立.(2)∵左边=4+2tan2a-2cos2a-sin2a=2+2tan2a+2sin2a-sin2a=2+tan2a+sin2a，右边=(1+2tan2a)(1+cos2a)=1+2tan2a+cos2a+2sin2a=2+2tan2a+sin2a,∴左边=右边，故原式成立.1．3 三角函数的诱导公式 基础巩固1．[2014·衡水第十四中学期末]sin570°的值是（ ） A ．12 B ． 12-C D ． 【答案】B【解析】1sin570sin(360210)sin 210sin(18030)sin302︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=-. 2．若()1cos π2α-=-，则cos （－2π－α）的值为（ ）A ．12B ．C ．12-D ． 12±【答案】A【解析】因为1cos()cos 2a a π-=-=-，所以1cos 2a =-，所以1cos(2)cos()cos 2a a a π--=-==. 3．已知f （x ）= sin x ，下列式中成立的是（ ） A ． f （x+π）=sin x B ． f （2π－x ）= sin xC ．πcos 2f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ． f （π－x ）=－f （x ）【答案】C【解析】()sin()sin f x x x ππ+=+=-， (2)sin(2)sin f x x x ππ-=-=-，()sin()sin()cos 222f x x x x πππ-=-=--=-，()sin()sin ()f x x x f x ππ-=-==，故选C .4．已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．12-C D ． 【答案】C【解析】3sin()sin ()sin()444a a a ππππ⎡⎤-=-+=+=⎢⎥⎣⎦. 5．已知5cos 13α=-，且α是第二象限角，则tan （2π－α）=__________． 【答案】125【解析】由α是第二象限角，得12sin 13a =，所以sin 12tan cos 5a a a ==-，所以12tan(2)tan 5a a π-=-=. 能力提升6． 给出下列三角函数：①4sin ππ3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②πcos 2π6n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；③πsin 2π3n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；④()πcos 21π6n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦；⑤()πsin 21π3n ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（n ∈Z ）其中函数值与πsin3的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】当n 为偶数时，4sin()sin 33n πππ+=-，∴①不对，故排除A ，B ，D ，故选C .7． [2015 •南昌二中月考] 已知f （cos x ）=cos3x ，则f （sin30°）的值为（ ） A ．0 B ．1C ．－1 D【答案】C【解析】∵(cos )cos3f x x =，∴(sin30)(cos60)cos1801f f ︒=︒=︒=-. 8．[2014 •宁波效实中学期末]若α是第二象限角，且()1tan π2α-=，则3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．【答案】D 【解析】 因为3cos()sin 02a a π-=-<，所以排除A ，C .由1tan()2a π-=，得1tan 2a =-，所以排除B ，故选D . 9．已知n 为整数，化简()()sin πcos πn n αα++所得的结果是（ ）A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α 【答案】C【解析】 当n =2k (k ∈Z )时，sin(2)sin =tan cos(2)cos k a aa k a aππ+==+原式；当n =2k +1(k ∈Z )时，sin(2)sin()sin =tan cos(2)cos()cos k a a aa k a a aππππππ+++-==+++-原式.故选C .10．[2014 •西安第一中学期末] 25π25π25πsin cos tan 634⎛⎫++-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】0 【解析】 25252511sincos tan()sin cos tan 1063463422ππππππ++-=+-=+-=. 11．已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】 23-【解析】 22sin sin sin cos 3262663a a a a ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 12．[2015•江西新余四中测试]（1）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （—3，4），求()πcos πcos 2αα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．（2）若tan β=3，求222sin 2sin cos 2sin cos βββββ++的值．【答案】 解：(1)由题意知4sin 5a =，3cos 5a =-，所以341cos()cos()cos sin 2555a a a a ππ-++=--=-=-.(2) 22222sin 2sin cos tan 2tan 96152sin cos 2tan 129119ββββββββ+++===++⨯+.13．[2014•盐城中学期末]已知△A 1B 1C 1，的三个内角A 1，B 1，C 1的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角A 2，B 2，C 2的正弦值．（1）试判断△A 1B 1C 1，是否为锐角三角形；（2）试借助诱导公式证明△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角．【答案】解：（1)由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,即cosA 1＞0, cosB 1＞0,cosC 1＞0,所以△A 1B 1C 1一定是锐角三角形. (2)证明：由题意可知211sin cos sin()2A A A π==-，211sin cos sin()2B B B π==-，211sin cos sin()2C C C π==-.若A 2,B 2,C 2全为锐角，则2221111113()()()()22222A B C A B C A B C πππππ++=-+-+-=-++=，不合题意.又A 2,B 2,C 2均不可能为直角，且满足A 2+B 2+C 2=π, 所以△A 2B 2C 2中必有一个角为钝角. 难点突破14．[2015•湖北重点中学月考]已知角α的终边上一点的坐标为5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．5π6 B ．5π3C ．11π6 D ．2π3 【答案】B【解析】 因为51sinsin()sin 6662ππππ=-==，5coscos()cos 666ππππ=-=-=，所以点55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在第四象限.又5cos6tan 5sin6a ππ==53π. 15．已知()()()π3cos cos 2πsin π223sin πsin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且31cos π25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求f （α）的值．【答案】 解：（1）sin cos()sin 2sin cos cos ()cos sin cos sin()sin 2a a a a a a f a a a a a a πππ⎡⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦===--⎛⎫++ ⎪⎝⎭.（2）由31cos 25a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin 5a -=，即1sin 5a =-.又α是第三象限角，所以cos a ==，所以()cos f a a =-滚动习题（一）[范围1．1~1．3] （时间：45分钟 分值：100分）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小都无关； ④若sin α=sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】 A2．sin2cos3tan4的值（ ） A ．小于0 B ．大于0C ．等于0D ．不存在 【答案】 A【解析】∵sin 2＞0，cos 3＜0,tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ） A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2 【答案】 B【解析】2725π︒=，∴212=20=80()25S ππ⨯⨯2扇形cm .4．[2015•中山杨仙逸中学模拟]若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．1tan A【答案】 A【解析】△ABC 的内角的取值范围是(0,π),故一定取正值的是sinA . 5．[2015•山西大学附中月考]若sin αtan α<0，且cos 0tan αα<，则角α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】 C【解析】由sin αtan α＜0，知sin α,tan α异号，则α是第二或第三象限角；由cos 0tan aa<，知cos α，tan α异号，则α是第三或第四象限角.所以α是第三象限角. 6．已知()()()()sin πcos 2πcos πtan f ααααα--=--，则31π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．13-C ．12-D ．13 【答案】C【解析】 因为sin cos sin ()cos cos tan tan a a af a a a a a===--，所以31311cos cos 10cos 3332f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．[2014•嘉峪关一中期中]若α∈[0,2π]sin cos αα=-，则α∈（ ）A ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 sin cos sin cos a a a a +=-，所以sin α≥0,cos α≤0，所以,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）8．[2014·西安第一中学期中]已知sin x =，则x 的集合为_________． 【答案】22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭【解析】 当x 时第一象限角时，2,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭；当x 是第二象限角时，22,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭.所以满足sin x =的x 的集合为22,2,33x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. 9．f （x ）=a sin （πx +α）+ b cos （πx +β）+4（a ，b ，α，β均为非零实数），若f （2014）=6，则f （2015）=_________．【答案】2【解析】 (2014)sin(2014)cos(2014)4sin cos 46f a a b a a b ππββ=++++=++=，∴sin cos 2a b β+=，∴(2015)sin(2015)cos(2015)4sin cos 42f a a b a a b ππββ=++++=--+=.10．[2015·盐城中学月考]若()1cos π3α+=-，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】13【解析】由1cos()3a π+=-，得1cos 3a =，所以1sin()cos 23a a π-==.11．已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭25πcos πsin 66αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．【答案】【解析】∵5cos cos cos 666a a a ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2212sin 1cos 16633a a ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2==3原式.三、解答题（本大题共3小题，共45分）12．（15分）已知角α的终边经过点P （－3cos θ，4cos θ），其中π2π,2ππ2k k θ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（k∈Z ），求角α的正弦、余弦和正切值．【答案】解：∵()2k ,2k k Z 2π⎛⎫θ∈π+π+π∈ ⎪⎝⎭，∴cosθ＜0，∴点P 在第四象限.∵x=-3cosθ，y=4cosθ，∴r 5cos 5cos ==θ=-θ，∴434sin ,cos ,tan 553α=-α=α=-.13．（15分）是否存在ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，β∈（0，π），使等式()πsin 3π2αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()παβ-=+同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：假设存在角,αβ满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧==②①,cos 2cos 3,sin 2sin βαβα∴sin 2α+3cos 2α=2.∴21sin 2α=，∴sin α=.∵,22ππ⎛⎫α∈- ⎪⎝⎭，∴4πα=±当4πα=时，由②式知cos β=，又β∈（0，π），∴6πβ=，此时①式成立；当4πα=-时，由②式知cos β，又β∈（0，π），∴6πβ=，此时①式不成立，故舍去. ∴存在,46ππα=β=满足条件.14．（15分）[2015·深圳高级中学期中]已知tan α和cos α是关于x 的方程5x 2－mx +4=0的两根，且α是第二象限角． （1）求tan α及m 的值；（2）求2222sin sin cos 3cos 1sin ααααα-⋅++的值．【答案】解：（1）由已知，得tan αcos α=45，∴sin α=45.又α是第二象限角，∴3cos 5α=-，∴4tan 3α=-.又m 29tan cos 515α+α==-，∴29m 3=-.（2）由（1）得4tan 3α=-，∴222222sin sin cos 3cos 2tan tan 3711sin 2tan 141α-α⋅α+αα-α+==+αα+.1．4 三角函数的图像与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像 基础巩固1．用“五点法”作y =2sin 2x 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3【答案】B2．函数y =1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是（ ）【答案】B。
人教A版高中数学必修四任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式
任意角和弧度制任意角的三角函数诱导公式1.时钟经过1小时，时针转过了 A.6πB.6π- C.12π D.12π- 2.以下各角中与020角终边相同的角是A.0340-B.0340C.0018020,k k z ⋅+∈D.0036020,k k z ⋅-∈3.已知θ是锐角，那么2θ是A.第一象限的角B.第二象限的角C.小于0180的正角D.第一或第二象限的角4．把01125-化为)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式是 A.46ππ-- B.476ππ+- C.48ππ-- D.478ππ+- 5.如果角θ的终边过点(1,3)P -，则cos θ的值为A.10B.10-C.10D.10- 6．如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列三角函数值的符号判断不正确的是A ．0sin1650>B ．0cos 2800>C ．0tan1700>D ．0tan 3100<8．在0360-~0360范围内与0390终边相同的角为 ．9.0sin 600的值是 .10.化简：sin()cos()sin()cos()22παπαππαα+-+-= .11.已知角θ的终边上一点(,2)(0)P x x -≠，且cos 3x θ=，求sin θ和tan θ的值.12．已知角α的终边在第二象限且3sin 5α=． （1）求tan α的值；（2）求cos sin()3cos()sin()2απαπαα+--+-的值． 13.已知tan 3α=，求下列各式的值.（1）sin cos sin cos αααα+-； （2）22sin sin cos 2cos αααα--.14．若α是锐角，则角()k k Z απ+∈所在象限是A ．一或二B ．一或三C ．二或三D ．二或四15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 16.将0300-化为弧度为 A.43π- B.53π- C.76π- D.74π- 17．已知tan 3α=，且sin 0α<，那么则cos α的值是 A ．110B ．110-C． 18．已知1sin cos 8αα=，且(0,)2πα∈，则sin cos αα+= . 19．7cos()6π-= ． 20．若1cos 3α=，则3sin()2πα-= ． 21.求值：（1）sin tan tan cos tan cos 336642ππππππ+-；（2）sin cos tan 034a b c ππ⋅+⋅+⋅22．已知角θ的终边上有一点()P m，且sin θ=．求θcos 与θtan 的值.． 23．已知tan 2α=，求：（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+； （2）sin cos αα⋅； （3）22sin 1α+.24．已知α为第三象限角，3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f α；（2）若31cos()25πα-=，求()f α的值． 25已知1tan tan αα，是关于x 的方程2x kx -+230k -=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值1.B2.A3.C4.D5.C6.D7.C8.0330-,0309.11.当x =2sin 3θ=-，tan θ=当x =2sin 3θ=-，tan θ=12.（1）4cos 5α=-，3tan 4α=-（2）1613.（1）2（2）25．．13- 21.(1)2；22.（1）711；（2）25；（3）13524．（1）cos α-；（2）5-25．解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±Q ，而παπ273<<，则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，cos sin αα∴+=。
高一数学必修四第一章课后练习
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角:
(1)-54°18′(2)395°8′(3)-1190°30′.
5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来：
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
练习：
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
练习：
2.你认为我们应当如何利用函数的1.4.3正切函数的性质与图像
练习:
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
练习：
3.作一个以5cm为单位长度的圆，然后分别作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
4.你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
1.2.2同角三角函数的基本关系
练习：
1.3三角函数的诱导公式
练习：
4.填表：
1.4三角函数的图像与性质
5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）.
6.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数.
1.2.1任意角的三角函数
练习：
3.填表：
角
角 的弧度数
sin
cos
tan
练习：
1.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质？
第一章三角函数
1.1.1任意角
练习
1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．（口答）今天是星期三，那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？
高中数学：三角函数 1.1任意角和弧度制 (3)
1.1.2 弧度制一、知识点1.角的度量：（1）角度制：把 规定为1度的角，记作1 ，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2）弧度制： 叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
这种用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度制。
2.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ．零角的弧度数是 ．3.若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则=α 。
这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
4.角度和弧度的互化：=0180 rad =01 rad ≈ rad =rad 1 ≈5.角与实数的对应关系：在弧度制下， 与 之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的实数（即 ）与它对应;反过来，每一个实数也都有（即 ）与它对应。
6.扇形弧长公式：=l =扇形面积公式：=S = 。
二、例题知识点一 ： 弧度制定义1.下列各命题中，真命题是（ ）A.一弧度就是一度的圆心角所对的弧 B .一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D .一弧度是长度等于半径的弧岁对的圆心角，它是角的一种度量单位2. 在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对知识点二： 角度制与弧度制的互化3.把下列角表示为另一种形式：（1）0300- （2）π58 （3）031120' （4）π125- （5） '15564. 把π411-表示成)(2Z k k ∈+πθ的形式，使θ最小的θ的值是（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.43π 5. 把下列各角化成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，并指出它们是第几象限角（1）01500- （2）01485- （3）π2004 (4)6-6. 将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是 （ ） A.3π B.3π- C.5π D.5π-7. 经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转过 度， 弧度。
数学必修4第一章三角函数
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5³360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k²360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k²360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k²360°-1840°≤360°.∴1480°≤k²360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k²360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k²360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k²180°≤α≤90°+k²180°,k∈Z}.(2){α|k²360°-45°≤α≤k²360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°³2 4=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4³25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°²cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0. 1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1 f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k²360°+212 5°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5³4A=20A=20³10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6³6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|. ∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα. 17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.。
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高中数学学习材料唐玲出品参考答案第一章 三角函数§1．1 任意角和弧度制 §1．1．1 任意角【小试身手、轻松过关】5、B6、D7、D8、{}372,12,348,708--【基础训练、锋芒初显】9、D 10、B 11、D 12、C 13、191与169-；14、{}Z k k ∈+⋅=,135360|αα；15、 120与 30016、（1）∵150360210+-=-，∴与 210-终边相同的角的集合为{}Z k k ∈+⋅=,150360| αα。
其中最小正角为 150，最大负角为210-。
（2）∵'233153605'371484+⋅-=-，∴与731484'- 终边相同的角的集合为{}Z k k ∈+⋅=,'23315360| αα， 其中最小正角为'23315 ，最大负角为'3744-。
17、B【举一反三、能力拓展】18、(1){}{}4536090360,180360225360,k k k Zk k k Z αααα+⋅≤≤+⋅∈+⋅≤≤+⋅∈(2) {}{}90360150360,240360360360,k k k Z k k k Z αααα+⋅≤≤+⋅∈+⋅≤≤+⋅∈(3) {}904590,k k k Z αα⋅≤≤+⋅∈ 19、∵180********+⋅<<+⋅k k α，∴90180245180+⋅<<+⋅k k α；当k 为偶数时，2α在第一象限，当k 为奇数时，2α在第三象限； 即：2α为第一或第三象限角。
∵360360221803602+⋅<<+⋅k k α， ∴α2的终边在下半平面。
20、∵ α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k ∈Z ，∴ ，k ∈Z 。
1)当k ＝3n 时，则有 ，n ∈Z∴ 是第一象限角。
必修四数学 第1讲教师版 任意角和弧度制及任意角的三角函数
课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数个性化教学辅导教案第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角和零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦函数， 记作sin α＝yx 叫作α的余弦函数，记作cos α＝xyx叫作α的正切函数， 记作tan α＝yx各象限符号Ⅰ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ－＋－三角函 数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线1．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.2．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 3．(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．(必修4 P 5练习T 4改编)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则－2 017°6′8″的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵－2 017°6′8″＝142°53′52″－6×360°， 142°53′52″是第二象限角，故选B.2．(必修4 P 15练习T 6改编)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由sin θ<0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x 轴的非负半轴重合，故θ在第四象限．3．(必修4 P 15练习T 2改编)已知θ的终边过点P (12，－5)，则cos θ的值为( )A.1213B ．－513C ．－125D ．－512解析：选A.x ＝12，y ＝－5，∴r ＝x 2＋y 2＝13， ∴cos θ＝x r ＝1213.4．(必修4 P 15练习T 3改编)下列结果及其表示正确的有____________(填上所有正确的序号)． ①sin 90°＋cos 90°＝1；②cos π＋tan π＝1；③sin 270°＋tan 2π＝1；④cos 0°＋tan 0°＝1.解析：sin 90°＋cos 90°＝1＋0＝1；cos π＋tan π＝－1＋0＝－1；sin 270°＋tan 2π＝－1＋0＝－1；cos 0°＋tan 0°＝1＋0＝1.所以正确的是①④.答案：①④5．(必修4 P 10A 组T 10改编)扇形弧长为20 cm ，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得 r ＝20100π180＝36π， ∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.答案：360π象限角与终边相同的角(1)[判断三角函数值的符号]若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0(2)[与α终边相同的角]与2 017°的终边相同，且在[0°，360°)内的角是________． [解析] (1)∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，故选C.(2)∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在[0°，360°)内终边与2 017°的终边相同的角是217°. [答案] (1)C (2)217°(1)表示区间角的三个步骤：①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(2)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置时，先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.故选B.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B.法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.三角函数的定义已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45[解析] 设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.[答案] B用定义法求三角函数值的两种情况：①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．1．设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35B ．－35C ．45D ．－45解析：选B.设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a ，3a )，a <0，∴r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝|5a |＝－5a . ∴sin α＝3a r ＝－35.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45B ．－45C.35D ．－35解析：选D.因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.扇形的弧长与面积已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l ，面积为S . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10(cm)，α＝2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：①明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)；②求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量； ③周长L 为定值，当圆心角α＝2弧度时，扇形面积S 取得最大值S max ＝L 216.1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B.∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 2．已知扇形的周长为10，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.14B ．12C ．1D ．2解析：选B.设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.3．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长为( ) A ．2sin 1 B ．2cos 1 C ．sin 1 D ．cos 1解析：选A.设圆的半径为 r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．一、选择题1．(必修4 P 21A 组T 4(1)改编)a sin 0°＋b cos 90°＋c tan 180°等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．a ＋bD ．0解析：选D.原式＝a ×0＋b ×0＋c ×0＝0.故选D.答案： 3 三、解答题6．(必修4 P 10A 组T 6改编)已知x ∈R ，求使sin x >cos x 成立的x 的取值范围．解：在[0，2π)区间内，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时，sin x >cos x ，∴使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .一、选择题1．已知角α的终边经过点(4，－3)，则cos α＝( ) A.45B ．35C ．－35D ．－45[导学号35950243] 解析：选A.由三角函数的定义知cos α＝442＋（－3）2＝45. 2．若cos θ＝35，sin θ＝－45，则角θ的终边所在直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x －4y ＝0D ．4x －3y ＝0[导学号35950244] 解析：选B.依题意，得tan θ＝sin θcos θ＝－43，因此所求直线的斜率是－43，其方程是y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0，故选B.3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[导学号35950245] 解析：选B.因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B.4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，3] B ．(－2，3) C ．[－2，3)D ．[－2，3][导学号35950246] 解析：选A.由cos α≤0，sin α>0，可知角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 5．已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6B ．5π3C.11π6 D ．2π3[导学号35950247] 解析：选B.因为sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32， 所以点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限． 又因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选B. 6．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．8[导学号35950248] 解析：选A.设半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4.故扇形的圆心角的弧度数为α＝l r＝1或4. 7．若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( )A ．α＋β＝π2B ．α＋β＝⎝⎛⎭⎫2k ＋12π(k ∈Z ) C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π，(k ∈Z )[导学号35950249] 解析：选D.如图所示，设0<α′<π，0<β ′<π，分别是和α，β终边相同的角，则由α′和β ′的终边关于y 轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同角可得α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )．8．已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( )A ．1B ． 2 C.3D ．2[导学号35950250] 解析：选D.∵t >0，∴tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．故选D. 9．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内，α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π[导学号35950251] 解析：选B.由已知得sin α－cos α>0，tan α>0，故在[0，2π]内α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.故选B.10．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m ，3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝( )A.35B ．45 C.25 D ．－45[导学号35950252] 解析：选C.由已知可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.故选C. 11．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m ＝( ) A ．4B ．14C ．－14D ．－4[导学号35950253] 解析：选D.由题意得sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，所以m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15，即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4. 12.如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若弧AB 等分△PBO 的面积，且∠AOB ＝α，则( )A ．tan α＝αB ．tan α＝2αC ．sin α＝2cos αD ．2sin α＝cos α[导学号35950254] 解析：选B.设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △PBO 中，PB ＝r tan α，△PBO 的面积为12r ×r tan α，由题意得12r ×r tan α＝2×12αr 2，∴tan α＝2α，故选B. 二、填空题13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [导学号35950255] 解析：因为P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y2＝－255，解得y ＝－8. 答案：－814．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z ，B ＝{}x |4－x 2≥0，则A ∩B ＝________． [导学号35950256] 解析：如图所示，集合A 表示终边落在阴影部分的角的集合(不包括y 轴)B ＝{x |4－x 2≥0}＝{x |－2≤x ≤2}，而π3<2<23π，－2π3<－2<－π2， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x <－π2或π3≤x <π2. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x <－π2或π3≤x <π2 15．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________．[导学号35950257] 解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)16．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．[导学号35950258] 解析：设圆的半径为r ，则它外切正三角形的边长为23r ，所以这段弧所对的圆心角的弧度数为α＝23r r＝2 3.。
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任意角和弧度制练习题
一、选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ）
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是
（ )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D.｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
6.终边落在X轴上的角的集合是（ ）
Α.{ α|α=k·360°,K∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }
C.{ α|α=k·180°,K∈Z } D.{ α|α=k·180°+90°,K∈Z }
7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角
8.下列结论中正确的是( )
A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角
C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
9．下列命题中的真命题是 （ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．Zkk,90360|=Zkk,90180|
10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系
是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
11.若α是第一象限的角，则-2是( )
A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角
C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
12.集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在( )
A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上
C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上
13.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )
A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称
C.关于直线y=x对称 D.关于y轴对称
14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90°
C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60°
15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
A．2 B．1sin2 C．1sin2 D．2sin
16．一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）
A．70 cm B．670 cm C．(3425)cm D．35 cm
17．180°－α与α的终边（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对
18．设集合M={α|α=k，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π}，则M∩N等于（）
A．{－3,} B．{－4,7}
C．{－4,107,3,} D．{07,03 }
19．某扇形的面积为12cm，它的周长为4cm，那么该扇形圆心角的度数为（ ）
A．2° B．2 C．4° D．4
20．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（ ）
A．（344） cm2 B．（344 ）cm2
C．（348）cm2 D．（328） cm2
21．设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)k，k∈Z}那么下列
结论中正确的是（ ）
A．M=N B．MN C．NM D．MN且NM
二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）
22. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为
____________________．
23．与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．
24．若角α是第三象限角，则2角的终边在 ,2α角的终边
在______________.
25. 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．
26．已知是第二象限角，且,4|2|则的范围是 .
27. 在0o与360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限
角？（1）120o （2）640o （3）95012o
28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2，求它的内切圆的面积
29．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大
面积是多少？
答案:
1.B 2.D 3.D 4.D 5.D
6.C 7.B 8.C 9.D 10.B
11.D 12.C 13.B 14.A 15.B
16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C
22.
试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个
落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.
23.
1991=360*5+191=360*6-169
与1991°终边相同的最小正角是（191）,绝对值最小的角是（169）
24.
这里有一个技巧,就是把每个象限两等分（求角的几等分,就把每个象限几等分）,就是
沿原点对折,给这八个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这里出现三的区域
是第二象限和第四象限 （看原来的那个角在第几象限,这里就找出现几的区域）,所以答案
就是第二象限和第四象限,你多练几次,就知道了.第二问的话,因为180度+2kπ=
25. 角α与角β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k∈Z，
故答案为：（1）α=π-β+2kπ，（k∈z）；（2）α=π+β+2kπ，（k∈z）．
26. 第二象限角为2kπ+π∕2﹤a﹤2kπ+π,又由绝对值≤4得,-6≤a≤2.
k=0时,π∕2﹤a﹤π,满足范围；
k=1时,-3/2 π﹤a﹤-π,满足范围.k取其他值时不成立,故a的取值范围为
]2,2(),23(
27. （1）-120度=-360度+240度 所以0度到360度的范围内 240度和-120度
终边相同 在第三象限
（2）640度=360度+280度 所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相
同 在第四象限
（3）-990度12分=-360度×3+89度48分 所以0度到360度的范围内 89度48
分和-990度12分终边相同 在第一象限
28.
设扇形和内切圆的半径分别为R，r．
由2π＝
π
3
R，解得R=6．
∵3r=R=6，∴r=2．
∴S=4π
29.25.
设半径=x,则弧长为20-2x
扇形面积
=1/2*半径*弧长
=1/2*x*(20-2x)
=-x²+10x
对称轴是x=5
∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米
弧长为=10cm
圆心角=弧长/半径=10/5=2 rad