高中数学必修4北师大版 弧度制 学案1
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制学案 北师大版必修4
§3 弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°.(4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋7π4，k ∈Z . (3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而3π2<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋(8π－20)，k ∈Z }．7．直径为20 cm 的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积． (1)4π3；(2)165°.解 (1)l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π(cm)，S ＝12|α|·r 2＝12×43π×102＝2003π(cm 2)．(2)165°＝π180×165 rad＝1112π rad.∴l ＝|α|·r ＝1112π×10＝556π(cm)．S ＝12l ·r ＝12×556π×10＝2756π(cm 2)． 能力提升8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143πC.718π D ．－718π解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.答案 B9．如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A.12(2－sin 1cos 1)R 2B.12R 2sin 1cos 1 C.12R 2 D ．(1－sin 1cos 1)R 2解析 ∵l ＝4R －2R ＝2R ，∴α＝l R＝2.∵S 弓形＝S 扇形－S △＝12|α|R 2－12(2R sin α2)·(R cos α2)＝12×2×R 2－R 2sin 1·cos 1＝R 2(1－sin 1cos 1)． 答案 D10．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在． 答案 (－32π，－π)∪(π2，2]11．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________________.解析 α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π.综上，α＝73π或103π.答案 73π或103π12．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.13．(选做题)如图所示，点A 以逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．解 经过2分钟，点A 转过2θ的角，经过14分钟，点A 转过14θ的角． 由已知π＜2θ＜3π2得π2＜θ＜3π4，且14θ＝2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π7，k ∈Z .即π2＜k π7＜3π4，72＜k ＜214，k ＝4或5. k ＝4时，θ＝4π7；k ＝5时，θ＝5π7.。
(北师大版)高中数学必修四：1.3《弧度制》教案(1)
§3 弧度制一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、过程与方法：通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、情感态度与价值观：通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教法在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教法:探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．（二）、探究新知1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—12(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。
【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 Word版含答案
§3 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[学问链接]1．学校几何争辩过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的1360作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫作角度制，在学校有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． (3)角的弧度数的计算假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值． 跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角． 解 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． 解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大为a 216.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，假如已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12 radD ．－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2 cm 2 C ．π cm 2D ．3π cm 2答案 B解析 ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1. 4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是其次象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析 ∵α是其次象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、力量提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是肯定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2 rad 时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
北师大版必修4 1.3 弧度制 学案
§3弧度制Q 情景引入ing jing yin ru节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节，用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1852米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表示．由此看来，同样是速度问题，有两种不同的单位计量方法．那么数学中的角，是否也有多种不同的度量制呢？学完本节内容你就明白了．X 新知导学in zhi dao xue 1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角，称为__1弧度的角__，它的单位符号是__rad__，读作__弧度__.这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)360°＝__2π__rad，__180°__＝πrad.1°＝__π180__rad≈0.01745rad，__1__rad＝(180π)°≈57°18′＝57.30°.(2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__π6____π4____π3__π2__2π3____3π4____5π6__π__3π2____2π__一般地，任一正角的弧度数都是一个__正数__；任一负角的弧度数都是一个__负数__；零角的弧度数是__0__.设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度数通常也用α来表示，由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满足：|α|＝__l r__，即l＝__|α|r__.这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积．4．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位 类别 α为角度制 α为弧度制 扇形弧长 l ＝__|α|πr 180__l ＝__|α|r __ 扇形的面积S ＝__|α|πr 2360__S ＝__12lr __＝__12|α|r 2__范的？角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π6(k ∈Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π3(k ∈Z )．(2)角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.角度制用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制Y 预习自测u xi zi ce1．圆的一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( A ) A ．π3B ．π6C ．1D ．π[解析] ∵弦长与圆的半径长相等， ∴弦所对的圆心角为π3弧度．2．若α＝－3，则角α的终边在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵－π<－3<－π2，∴角α的终边在第三象限． 3．下列结论不正确的是( D ) A ．π3rad ＝60°B ．10°＝π18radC ．36°＝π5radD ．5π8rad ＝115°[解析]5π8rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以选项D 错误． 4．2π5化成角度为__72°__.[解析]2π5＝2π5·180°π＝72°. 5．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__25π3 cm__.[解析] 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨弧度制的概念典例1 下列命题中，正确的命题是__①③④__.①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．[思路分析] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．[解析] 对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝360°360，1＝2π2π，所以①正确； 对于③，由弧度制规定知πrad ＝180°，故③正确． 『规律总结』 弧度与角度的概念的区别与联系区别(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度等于半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位 [解析] 根据弧度定义知选D ． 命题方向2 ⇨弧度与角度的互化典例2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． [思路分析] 实现角度和弧度之间互化的桥梁是180°＝πrad ，因此1°＝π180rad,1rad ＝(180π)°. [解析] (1)α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5rad ＝3π5×(180π)°＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°≤β<0°的元素是： 108°－2×360°＝－612°， 108°－1×360°＝－252°，∴－720°～0°之间与β1有相同终边的角有－612°和－252°. β2＝－π3rad ＝－π3×(180π)°＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }． T 中适合－720°≤β<0°的元素是： －60°－1×360°＝－420°， －60°－0×360°＝－60°，∴－720°～0°之间与β2有相同终边的角有－420°和－60°.『规律总结』 弧度制与角度制都可以表示角，应用时要注意统一，不要混用． 〔跟踪练习2〕把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数． (1)7π12； (2)－13π6； (3)1125°； (4)－225°.[分析] 角度与弧度的互化要抓住π rad ＝180°. [解析] (1)7π12＝712×180°＝105°.(2)－13π6＝－136×180°＝－390°. (3)1125°＝1125×π180＝25π4.(4)－225°＝－225×π180＝－5π4.命题方向3 ⇨用弧度制表示角的集合典例3 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[思路分析] 先把角度化成弧度，然后分析边界角的大小，写出阴影区域的不等式关系，最后写成集合的形式．[解析] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12.∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }．(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z }．『规律总结』 解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界．〔跟踪练习3〕如图所示，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合．[分析] 可以先确定0～2π内适合条件的角的集合，再扩充到终边相同的角． [解析] (1)在区间[－π，π)上与角4π3的终边相同的角为－2π3，故所求角的集合为{α|2k π－2π3<α<2k π＋π6，k ∈Z }． (2)所求角的集合为{α|2k π≤α≤2k π＋π3，或2k π＋2π3≤α≤2k π＋π，k ∈Z }．X 学科核心素养ue ke he xin su yang弧长公式与面积公式的应用典例4 (1)已知在圆中，1rad 的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长；(2)扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求它的圆心角和弦AB 的长． [思路分析] 先由题意画图，再根据半径、弦心距以及弦的一半构成的直角三角形求解． [解析] (1)如图(1)所示，由圆心O 向弦AB 作垂线，垂足为C ，则C 为AB 的中点． ∵∠AOB ＝1 rad ，AB ＝2，∴∠AOC ＝12rad ，AC ＝1.在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OA ，即OA ＝1sin 12，故AB ︵ 的长为l ＝1sin 12.(2)如图(2)所示，设AB ︵的长为l ，OA ＝r ，则l ＝4－2r . ∵S 扇形＝12lr ，∴12(4－2r )·r ＝1，解得r ＝1，∴l ＝2.设∠AOB 的弧度数为α，则α＝lr ＝2rad.过O 作OH ⊥AB 于H ， 则AB ＝2AH ＝2r sin 1＝2sin 1，∴扇形OAB 的圆心角为2rad ，弦AB 的长为2sin 1 cm.『规律总结』 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12|α|R 2(其中l 是扇形弧长，α是扇形圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．〔跟踪练习4〕已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，故l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当r ＝10 cm 时，扇形面积最大，最大面积为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)． Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi角度和弧度混用致错典例5 将－1125°化成2k π＋α(k ∈Z )的形式，且使|α|最小．[错解] ∵－1125°＝－45°－1080°， ∴－1125°＝－6π－45°.[辨析] 学习了弧度制后，表示角的时候，应根据角α的单位来决定后一项的单位，也就是说，两项所采用的单位制必须一致，不能出现π3＋k ·360°或60°＋2k π这一类混用弧度制和角度制的写法．[正解] ∵－1125°＝－45°－1080°， ∴－1125°＝－3×360°－45°＝－6π－π4.〔跟踪练习5〕将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( D ) A ．－π4－8πB ．74π－8πC ．π4－10πD ．74π－10π[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π rad ＝360°，315°＝74πrad.故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．在不等圆中1rad 的圆心角所对的是( D ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1rad 的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D ．2．－10π3转化为角度是( B )A ．－300°B ．－600°C ．－900°D ．－1200°[解析] ∵1 rad ＝(180π)°，∴－10π3＝－(180π×10π3)°＝－600°.3．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为( C )A ．π3B ．23πC ．3D ．2 [解析] 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，弧长等于3R 的圆心角的弧度数为α＝3RR＝3，故选C．4．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为__120__平方步．[解析]由题意：S＝14·l·(2r)＝1 2lr＝12×20×12＝120.。
2020-2021学年数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 Word版含解析
§3弧度制知识点一度量角的单位制及弧度数计算[填一填] 1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．弧度数的计算[答一答]1．“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？ 提示：不是.1弧度是指角的大小． 2．“2 rad ”的角终边在第几象限？提示：2 rad>π2 rad ，且2 rad<π rad ，故2 rad 的角终边在第二象限． 知识点二 角度与弧度互化及扇形面积[填一填]3．角度与弧度的互化4．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则[答一答]3．终边落在x轴负半轴上的角可以表示为α＝k·360°＋π(k∈Z)．这样表示对吗？提示：不对．角度制和弧度制都可以用来表示角，但表示角时不可混用，故可以表示为α＝k·360°＋180°(k∈Z)或α＝2kπ＋π(k∈Z)．4．30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？提示：30°＝π6rad,120°是30°的4倍，其弧度数为π6×4＝2π3rad．1．对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样，π rad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．2．对弧度数计算公式的说明我们常用α＝lr来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝lr.3．角度制与弧度制换算时应注意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆．4．角度制与弧度制换算的要点类型一弧度制与角度制的互化【例1】(1)18°＝________rad；(2)67°30′＝________rad；(3)310π rad＝________度；(4)2 rad＝________度．【思路探究】直接运用角度和弧度的换算公式转换即可．【解析】(1)18°＝π180×18＝π10(rad)．(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π(rad)． (3)310π rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310π×180π°＝54°. (4)2 rad ≈2×57.3°＝114.6°.【★答案★】 (1)π10 (2)38π (3)54 (4)114.6规律方法 在角度与弧度相互转化时，应抓住关系式：(1)度数×π180＝弧度数；(2)弧度数×180°π＝度数．同时，我们要熟记一些特殊角的弧度数．(1)把－1 200°化成弧度；(2)把－5π12化成度． 解析：(1)－1 200°＝－1 200×π180＝－20π3. (2)－5π12＝(－5π12×180π)°＝－75°. 类型二 弧度制与终边相同的角的问题【例2】 把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角：(1)－53π3；(2)2 010°. 【思路探究】将所给角化成2k π＋α的形式→判断α是第几象限角→得到所给角是第几象限角【解】 (1)－53π3＝－18π＋π3，而π3是第一象限角，所以－53π3是第一象限角．(2)2 010°＝5×360°＋210°＝10π＋7π6，而7π6是第三象限角，所以2 010°是第三象限角．规律方法 在进行“弧度”与“角度”的互化时，若无特别要求，切不可进行近似计算，也不必将π化为小数．注意角度制和弧度制不得混用，如α＝2k π＋60°，k ∈Z ，β＝k ·360°＋π4，k ∈Z 都是不正确的写法．(1)－150°的弧度数是( A ) A ．－5π6 B ．4π3 C ．－2π3D ．－3π4(2)8π5弧度化为角度是( C ) A ．278° B ．280° C ．288°D ．318°解析：(1)∵1°＝π180 rad ， ∴－150°＝－150×π180＝－5π6.(2)∵1 rad ＝180°π，∴8π5＝8π5×180°π＝288°. 类型三 弧长与扇形面积公式的应用【例3】 已知扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？【思路探究】 先用R 表示半径，再依据S ＝12lR 建立扇形面积S 与半径R 之间的函数关系，利用二次函数求最大值．【解】 设扇形的半径是R ，弧长是l ，由已知条件可知：l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R .由0<l <2πR ，得0<20－2R <2πR . ∴10π＋1<R <10. 扇形的面积为S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25(10π＋1<R <10)，当R ＝5时，S 最大，此时l ＝10，α＝lR ＝2.规律方法 当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值；其求法是把面积S 转化为关于R 的二次函数，但要注明R 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πR .本题若改为扇形面积为25cm 2，也可以求扇形周长的最小值．(1)已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2 rad ，则扇形的面积为( D )A ．2B ．3C ．6D ．9(2)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 (3)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是( C )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 解析：(1)∵S 扇＝12lR ，R ＝l α＝62＝3，∴S扇＝12×6×3＝9.∴选D．(2)设半径为R，弧长为l，则2R＋l＝8，①12lR＝4，②由①②解得R＝2，l＝4.∵α＝lR＝42＝2.∴选B．(3)如图，设∠ACB＝2，AB＝2，过点C作CO⊥AB于点O，则由题知α＝1，OA＝1，∵sinα＝OAAC＝1R，∴R＝1sin1，又∵2α＝l R，∴l＝2αR＝2·1sin1＝2sin1.故选C．类型四综合应用【例4】如图，已知一长为 3 cm，宽为1 cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木板底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【思路探究】解题关键是分析出点A运动产生的轨迹．【解】 AA 1︵所在的圆半径是2cm ，圆心角为π2； A 1 A2︵所在圆的半径是1cm ，圆心角是π2； A 2 A 3︵所在圆的半径是3cm ，圆心角是π3， 所以点A 走过的路程是3段圆弧之和， 即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(cm)． 3段弧所在扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(cm 2)． 规律方法 弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．在一般的时钟上，自零时开始到分钟与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?解：解法一：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x rad ，则分针转过了(2π＋x )rad ，而时针走1 rad 相当于经过6πh ＝360πmin ，分针走1 rad 相当于经过30πmin ，故有360πx ＝30π(2π＋x )，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)．解法二：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．——易错警示——对终边相同的区间角理解不到位致误【例5】 已知π4＋2k π<α<3π4＋2k π，2k π<β<π4＋2k π，其中k ∈Z ，求α＋β的范围．【错解】 由已知两式左右分别相加，可得π4＋4k π<α＋β<π＋4k π，k ∈Z .【正解】 ∵π4＋2k 1π<α<3π4＋2k 1π，k 1∈Z ， 2k 2π<β<π4＋2k 2π，k 2∈Z ，∴π4＋2(k 1＋k 2)π<α＋β<π＋2(k 1＋k 2)π. 又∵k 1，k 2∈Z ，∴存在整数k ，使得k ＝k 1＋k 2， ∴π4＋2k π<α＋β<π＋2k π，k ∈Z .【错解分析】 错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位，误以为两式中的k 表示相同的整数．由于两式所表示的角是k 分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集，故两式中的k 不一定相等，可用k 1，k 2替换加以区别，然后利用不等式的性质进行求解．【防范措施】 含有k π的角的说明①关于含有k π的角的集合求交集、并集时，每个集合都有一定的周期规律，认清k π的系数确定周期，不要漏角或添角．②关于含有k π的角，求组合角时不能简单相加减．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z )，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)．解：(1)由于α的弧度数为π180×1 690＝169π18，又169π18＝8π＋2518π，∴α＝4·2π＋2518π(k ＝4，β＝25π18)．(2)由－4π<2k π＋25π18<－2π(k ∈Z )，得k ＝－2， ∴θ＝－4π＋25π18＝－4718π.一、选择题1．将分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( A ) A ．π3 B ．π6 C ．－π3D ．－π6解析：拨慢分针是逆时针方向． 2．下列命题中，错误命题是( D )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是错误命题．其他A 、B、C 均为正确命题．∴应选D ．3．在半径为2 cm 的圆中，若有条弧长为π3 cm ，则它所对的圆心角为( A )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6. 二、填空题4.如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵的长为43π.解析：连接AO ，OB ， 因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，又OA ＝OB ， 所以△AOB 为等边三角形， 故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3×r ＝4π3.5．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是－5π6rad ．解析：与2 010°角终边相同的角为β＝k ·360°＋2 010°； 令k ＝－6，得β＝－150°，化成弧度即为所求． 三、解答题6．用弧度制表示顶点在原点，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界，如图所示)．解析：(1)如题图(1)中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图(2)中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－34π.而135°＝135×π180＝34π， ∴终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制学案 北师大版必修4
1.3 弧度制1．度量角的单位制 (1)角度制规定周角的______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制． (2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为__________，它的单位符号是______，读作______．这种以______作单位度量角的单位制，叫作弧度制．预习交流1角α＝3这种表达方式正确吗？ 2．弧度数的计算预习交流2(1)扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，则圆心角的弧度数是__________． (2)一条弦的长度等于圆半径的12，则这条弦的圆心角的弧度数是( )． A.π6 B.π3 C.12D ．以上都不对 3．角度与弧度的互化预习交流3填空．(记住下面一些特殊角的度数与弧度数的互化) 度 0° 15° ____ ____ 60° 75° 90° ____ 135° 弧度 ________π6 π4________π2 2π3 ____ 度 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 360° 弧度____π7π6____4π3____5π37π42π设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则预习交流4(1)在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？(2)圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的弧长为______cm ，面积为______cm 2.答案：1．(1)1360(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度预习交流1：提示：正确．角α＝3表示3弧度的角，这里将“弧度”省略了． 2．正数 负数 0预习交流2：(1)32(2)D预习交流3：30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π24.|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12|α|r 2预习交流4：(1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． (2)π2 3π21．角度制与弧度制的互化(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度；(3)将8化成度．思路分析：(1)先把112°30′化成度，再利用1°＝π180 rad 进行换算；(2)直接利用1rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°进行换算．把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5.1.角度与弧度的互化．(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad. 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度即可．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．2．用弧度表示终边相同的角及区域角已知角α＝2 005°，(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．思路分析：(1)先将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，再根据β与α的终边相同来判断．(2)由－5π≤β＋2k π＜0求出k 的取值再代入．已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．(1)用弧度表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．②然后根据区间范围讨论k 的值．③最后把k 的值代入β的一般形式求出． (3)判断角所在的象限对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断．对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过比较α与π2，π，3π2的大小估计出角所在的象限．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．思路分析：先把角度化成弧度，然后分析边界角的大小，写出阴影区域的不等式关系，最后写成集合的形式．用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界．3．弧长公式及扇形面积公式的应用已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．思路分析：根据S ＝12lR 建立扇形面积S 与R 之间的函数关系，利用二次函数求最大值．如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)»AB 的长； (2)弓形ACB 的面积．(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，R ，l ，S 中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．答案：活动与探究1：解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8；(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°； (3)8≈8×57.30°＝458.40°.迁移与应用：解：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180 rad ＝3π8rad ；(2)810°＝810×π180 rad ＝9π2 rad ；(3)108°＝108×π180 rad ＝3π5 rad ；(4)135°＝135×π180 rad ＝3π4rad ；(5)7π rad＝7×180°＝1 260°；(6)－5π2 rad ＝－52×180°＝－450°；(7)23π4 rad ＝234×180°＝1 035°；(8)－4π5 rad ＝－45×180°＝－144°.活动与探究2：解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π＜41π36＜3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z .由－5π≤2k π＋41π36＜0，可得－52－4172≤k ＜－4172.∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.迁移与应用：解：∵角α的终边与π3的终边相同，∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )．∴α3＝23k π＋π9(k ∈Z )．又∵0≤α3＜2π，∴0≤23k π＋π9＜2π(k ∈Z )．当k ＝0时，α3＝π9，在[0,2π)内；当k ＝1时，α3＝7π9，在[0,2π)内；当k ＝2时，α3＝13π9，在[0,2π)内．∴在[0,2π)内，角α3的值有三个，即π9，7π9，13π9.活动与探究3：解：(1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z }．(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴{θ|2k π－3π4＜θ＜2k π＋3π4，k ∈Z }．迁移与应用：解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π3≤α≤2k π＋π6，k ∈Z .(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋2π3，k ∈Z .活动与探究4：解：设扇形的弧长为l ，半径为R ， 则l ＋2R ＝30.∴l ＝30－2R .由0＜l ＜2πR ， 得0＜30－2R ＜2πR ，∴15π＋1＜R ＜15.∴S ＝12lR ＝12(30－2R )R＝－R 2＋15R＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<R <15. ∴当R ＝152∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1，15时，S 最大＝2254. 此时l ＝30－2R ＝15，α＝l R ＝15152＝2.故当R ＝152，α＝2 rad 时，扇形面积最大为2254.迁移与应用：解：(1)因为120°=12021803ππ=，所以l=6×23π =4π，即»AB 的长为4π.(2)S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，取AB 中点D ，连接OD ，则S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×6sin 30°＝9 3.所以S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. 所以弓形ACB 的面积为12π－93.1．下列说法中，错误的是( )．A ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 2．半径为π cm，圆心角为120°的弧长为( )． A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23cm 3．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )． A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π44．(1)300°化为弧度是________； (2)－5π6化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．答案：1．A2．D 解析：∵120°＝2π3，∴l ＝|α|·r ＝2π3×π＝2π23(cm)．3．D 解析：－1 485°＝－1 800°＋315°＝－10π＋7π4.4．(1)5π3(2)－150°(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π≤α≤5π4＋2k π，k ∈Z5．解：设扇形的弧长为l ，它所在圆的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2.消去l 得r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．。
北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.3弧度制 (2)
三角函数1.3 弧度制自主学习一、教学目标：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
二、教学重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
三、教学难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
四、知识引导1.角度值：我们把周角的3601规定为1度的角。
弧度制：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，其中正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
2.角度和弧度直接的互化180°＝πrad ，360°＝2πrad1°＝180π≈0．01745rad ，1rad ＝（π180）°≈57.30°＝57°18’。
3.弧度制下扇形的弧长和面积L=|α|r 22121:R lR S α==扇形面积公式 对点讲练新课引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度： 2360；180；1801()57.305718rad ；180( )n n ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．6．特殊角的弧度ll r r弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．知识点一角度值与弧度制的转化例1．把45°化成弧度。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制学案 北师大版必修4(2021年整理)
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1。
3 弧度制知识梳理1。
弧度制(1）定义:以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.（2）度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角。
（3）记法:弧度单位用符号“rad”表示，或用弧度两个字表示。
在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.2。
弧度制与角度制的换算（1）换算公式：1 rad=（π180）°，1°=180πrad 。
（2）特殊角的弧度数 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°弧度0 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度 π 67π 45π 34π 23π 35π 47π 611π 2π3.弧度制下的公式如图1—3-1所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数.图1—3-1(1)弧度数公式：｜α｜=r1； （2）弧长公式：l=｜α｜r ；（3)扇形面积公式:S=21lr=21|α｜r 2.知识导学学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求能通过弧度来认识任意角。
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§3 弧度制
1．度量角的单位制 (1)角度制
规定周角的______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制． (2)弧度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为__________，它的单位符号是______，读作______．这种以______作单位度量角的单位制，叫作弧度制．
预习交流1
角α＝3这种表达方式正确吗？ 2．弧度数的计算
预习交流2
(1)扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，则圆心角的弧度数是__________． (2)一条弦的长度等于圆半径的
1
2
，则这条弦的圆心角的弧度数是( )． A.π6 B.π3 C.1
2 D ．以上都不对 3．角度与弧度的互化
预习交流3
填空．(记住下面一些特殊角的度数与弧度数的互化)
设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则
预习交流4
(1)在弧度制下的扇形面积公式S ＝1
2lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
(2)圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的弧长为______cm ，面积为______cm 2.
答案：1．(1)1
360
(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度
预习交流1：提示：正确．角α＝3表示3弧度的角，这里将“弧度”省略了． 2．正数 负数 0
预习交流2：(1)3
2
(2)D
预习交流3：30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π
2
4.|α|πr 180 |α|r |α|πr 2
360 12lr 12
|α|r 2 预习交流4：(1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． (2)π2 3π2
1．角度制与弧度制的互化
(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π
12
化成度；(3)将8化成度．
思路分析：(1)先把112°30′化成度，再利用1°＝π
180 rad 进行换算；(2)直接利用1 rad
＝⎝⎛⎭⎫180π°
≈57.30°进行换算．
把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．
(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π
5
.
1.角度与弧度的互化．
(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π
180
rad ， 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫
180π°
进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则 α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π
180
rad. 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π
180
rad 化为弧度即可．
以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．
2．用弧度表示终边相同的角及区域角
已知角α＝2 005°，
(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
思路分析：(1)先将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，再根据β与α的终边相同来判断．
(2)由－5π≤β＋2k π＜0求出k 的取值再代入．
已知角α的终边与π3的终边相同，求角α
3
在[0,2π)内的值．
(1)用弧度表示终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，
k ∈Z }，这里α应为弧度数．
(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．
②然后根据区间范围讨论k 的值．
③最后把k 的值代入β的一般形式求出． (3)判断角所在的象限
对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断．对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过比较α与π2，π，3π
2的大小估计出角所在的象限．
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
思路分析：先把角度化成弧度，然后分析边界角的大小，写出阴影区域的不等式关系，最后写成集合的形式．
用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．
解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪
些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界．
3．弧长公式及扇形面积公式的应用
已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求。