(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件新人教B版
②当B≠ 时,利用数轴可知:
p＋1 2p－1，
－2 p＋1， 解得2≤p≤3. 综2p合－①1 ②5，得实数p的取值范围是(-∞,3]. 答案:(-∞,3]
【思想方法指导】 关于集合关系的讨论
(1)先将不含参数的集合求出. (2)对于含参数的集合,先讨论是否为 ,当不是 时再比较端点的大小,特别 注意是否包含端点. (3)分析端点关系时,常借助数轴,直观且准确.
5.(必修1P24自测与评估T2改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合 M∪N的子集的个数为________. 【解析】由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个). 答案:64
思想方法 分类讨论思想在集合中的应用 典例 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},若集合B={x|p+1≤x≤2p-1},且B⊆A,则实 数p的取值范围为________. 【解析】由x2-3x-10≤0, 解得-2≤x≤5, 所以A={x|-2≤x≤5}. B⊆A,则有 ①当B= 时,有p+1>2p-1,即p<2.
序号
易错警示
1 忽略了对空集的讨论
2
对集合的表示方法认识不够,忽略 代表元素
3
对元素的三特性重视不够,忽略互 异性
4 对于集合的运算掌握不熟练
典题索引 考点三、角度3T2
考点一、T1,4
考点一、T3 考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(必修1P13练习AT1改编)若集合P={x∈N|x≤ 2021 }，a=2 2 ，则 ( )
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何集合都至少有两个子集. ( ) (2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( ) (3)若{x2,x}={-1,1},则x=-1. ( ) (4)若A∩B=A∩C,则B=C. ( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P
D.a∉P
【解析】选D.因为a=2 2不是自然数，而集合P是不大于 2021 的自然数构成的 集合，所以a∉P.
2.(必修1P17练习AT4改编)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|0<x≤4},则A∪B=
()
A.[-1,4]
B.(0,3]ຫໍສະໝຸດ C.(-1,0]∪(1,4]
D.{x|0<x<2}
【解析】选B.因为集合B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},所以A∩(∁RB)={x|0<x<1}.
4.(必修1P16例1改编)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3}
B.{5}
C.{3,5}
D.{1,2,3,4,5,7}
【解析】选C.A∩B={3,5}.
提示:(1)×.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的. (2)×.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即 B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等. (3)√. (4)×.当A= 时,B,C可为任意集合.
【易错点索引】
(3)常用的数集：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A是B的子集，记作_A_⊆__B_(或_B_⊇__A_). (2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A， 则称A是B的真子集，记作_A___B_或_B___A_. (3)相等：如果A⊆B，并且__B_⊆_A_，则A=B.
3.集合的基本运算 A∪B= _{_x_|_x_∈__A_，__或__x_∈__B_}_. A∩B= _{_x_|_x_∈__A_，__且__x_∈__B_}_. ∁UA= _{_x_|_x_∈__U_，__且__x_∉_A_}_.
【常用结论】 (1)A∪B=A⇔B⊆A，A∩B=A⇔A⊆B. (2)A∩A=A，A∩ = . (3)A∪A=A，A∪ =A. (4)A∩(∁UA)= ，A∪(∁UA)=U，∁U(∁UA)=A. (5)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空 真子集个数为2n-2.
D.[-1,0]∪(1,4]
【解析】选A.A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},故A∪B=[-1,4].
3.(必修1P19练习BT3改编)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},
则A∩(∁R B)= A.{x|0<x≤1}
() B.{x|0<x<1}
C.{x|1≤x<2}
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.集合的相关概念 (1)元素与集合的两种关系：属于，记为_∈__；不属于，记为_∉_. (2)集合的三种表示方法：_列__举__法__、_描__述__法__、_图__示__法__.
【迁移应用】 已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是 ________. 【解析】因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程 ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.当a=0时,A={0}符合题意;当a≠0时,要满足题意, 需有Δ=4-4a2=0,即a=±1.综上所述,a=0或a=±1. 答案:0或±1
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合与集合的运算公开课课件省市一等奖完整版
方法 3 与集合有关的新概念问题的解题策略
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运 用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的 情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义 新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 解此类题的一般思路: 1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义. 2.利用学过的数学知识进行逻辑推理. 3.对选项进行筛选、验证、定论. 例4 (2016浙江名校协作体测试,8)在n元数集S={a1,a2,…,an}中,设x(S)=
A∩A=A A∪A=A ∁U⌀=U
3.两个常用结论 A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=B⇔A⊆B. 4.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是⑧ 2n ; (2)A的真子集个数是⑨ 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是⑩ 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .
⑥ A⫋B(或B⫌A)
集合相等
集合A与集合B中元素相同,那么 A=B 就说集合A与集合B相等
Venn图表示
考点二 集合的运算
1.集合间的运算
名称
自然语言描述
ห้องสมุดไป่ตู้
符号语言表示
并集
对于两个给定集合A、B,由所有 属于集合A或属于集合B的元素 组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集 补集
对于两个给定集合A、B,由所有 属于集合A且属于集合B的元素 组成的集合
集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同 的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
集合与其中元素的排列顺序无关,如{a,b,c}与{b,c,a}是相同的集合.这个特性通 常被用来判断两个集合的关系
第1章 第1讲集合的概念与运算-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共45张PPT
第一章 集合与常用逻辑用语
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[解析] (1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选 C．
(2)∵集合 A＝{x|x＝sin n3π，n∈Z}＝{0， 23，－ 23}，且 B⊆A，∴集合 B 的个 数为 23＝8，故选 C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
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(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N
＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD )
A．M＝N
B．N⊆M
C．M＝∁RN
D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若 A⊆B，则 m 的取值范
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(3)若 a＋2＝1，则 a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则 a＝0 或－
2，当 a＝0 时，A＝{2,1,3}，当 a＝－2 时，A＝{0,1,1}，不合题意；若 a2＋3a＋3＝1，
则 a＝－1 或－2，显然都不合题意；因此 a＝0，所以 2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得 a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1 解
A．(－1,1)
B．(1,2)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
[解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
第一章 集合与常用逻辑用语
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6． (2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B
高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合课件 文 北师大版
(2)已知
a∈R，b∈R，若a，ab，1
＝{a2，a＋b,0}，则
a2
016＋b2
106＝
____1____。
【解析】 由已知得ab＝0 及 a≠0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a
＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a
＝－1，故 a2 016＋b2 016＝1。
_Z_
• (4)集合的表示方法
__Q___
• ①___________；②___________；③Venn图法。
列举法
描述法
实数集 __R__
关• 系2．集表合示 间的基本文关字语系言
集合 间 的 基 本 关 系
子集 真子集
相等
集合A中任何一个元素都是集合B 的元素
集合A是集合B的子集，并且B中 至少有一个元素不属于A
• 【规律方法】 (1)研究集合问题，一定要抓 住元素，看元素应满足的属性，对于含有字 母的集合，在求出字母的值后，要注意检验 集合的元素是否满足互异性。
• (2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一 个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出 方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互 异性。
变式训练 1 (1)已知集合 A＝{x| x∈Z，且2－3 x∈Z}，则集合 A 中的元
• 解析 正确。
√
• [练一练]
• 1．(2015·广东卷)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝ 0}，则M∩N＝( )
• A．{1,4}
B．{－1，－4}
• C．{0}
D．∅
解析 由题意知集合M＝{－4，－1}，N＝{4,1}，M和N没有相同 的元素，故M∩N＝∅。
2021届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念及其运算课件文北师大版
元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，直线 y
＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2.
答案：B
2．将例 2 改为集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素 0 和 1.则 a 的值为________． 解析：0 和 1 为方程 x2＋ax＝0 的两根． ∴0＋1＝－a，∴a＝－1. 答案：－1
(4)五个特定的集合： 集合 自然数集 符号 ___N_____
正整数集 _N__＋_或__N__*
整数集 有理数集 实数集 ___Z____ ___Q____ ____R___
2.集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
相等 子集
集合 A 与集合 B 中的所有元素 ___相__同_____
A 中任意一个元素均为 B 中的元素
[四基自测] 1．(基础点：元素与集合的关系)若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论 中正确的是( )
A．{a}⊆A C．{a}∈A 答案：D
B．a⊆A D．a∉A
2．(基础点：补集运算)已知集合 A＝{x|x2－16＜0}，则∁RA＝( )
A．{x|x≥±4}
B．{x|－4＜x＜4}
的值为( ) A.13或－12 C.13或－12或 0 答案：D
B．－13或12 D．－13或12或 0
2．已知集合 A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且 A∩B＝B，则实
数 m 的取值范围为( )
A．[－1，2)
B．[－1，3]
C．[2，＋∞)
2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合课件文北师大版
3．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝ ________.
课前自主回顾
1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 ． (2)元素与集合的关系是 属于 或不属于，用符号∈ 或 ∉ 表示． (3)集合的表示方法： 列举法 、 描述法 、Venn 图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数
有理数
正整数集 整数集
集
集
符号
N
N*(或 N＋) Z
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．
()
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．
()
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.
()
(4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)×
第一节 集合
[最新考纲] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具 体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与 交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合 中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用 Venn 图 表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
Q
实数集 R
2.集合间的基本关系
关系
表示
文字语言
符号语言
记法
基本 关系
子集
集合 A 的元素都是集
x∈A⇒x∈B A
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第1章 集合与常用逻辑用语 1-1
据此可知 M 中的元素个数为 7.
(2)由题意，当 a＝1，b＝1 时，a＋b＝2；当 a＝1，b＝0 时，a＋b＝1；当 a＝1，b ＝－1 时，a＋b＝0；当 a＝－1，b＝1 时，a＋b＝0；当 a＝－1，b＝0 时，a＋b＝－1； 当 a＝－1，b＝－1 时，a＋b＝－2.因此集合 C＝{2，1，0，－1，－2}，共有 5 个元素．故 选 D.
[强化训练 1.1] (2019 年河北衡水中学四调)设 A，B 是全集 I＝{1，2，3，4}的子集，
A＝{1，2}，则满足 A⊆B 的 B 的个数是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：满足条件的集合 B 可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，
所以满足 A⊆B 的 B 的个数是 4.故选 B.
4．集合问题中的两个易错点：集合的含义；集合的表示． (1)给出命题：①0∈{0}；②∅∈{0}．其中真命题的序号是________． (2)已知集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则 A∩B＝________， A∩C＝________．
解析：(1)根据元素与集合的关系、集合与集合的关系得之． (2)集合 A 是函数 y＝x2 的定义域，即 A＝R，集合 B 是函数 y＝x2 的值域，即 B＝[0， ＋∞)，所以 A∩B＝[0，＋∞)．集合 C 是满足方程 y＝x2 的实数(x，y)的集合，也可以看 作是函数 y＝x2 的图象上的点集合，因此 A∩C＝∅. 答案：(1)① (2)[0，＋∞) ∅
【答案】 (1)C (2)D 【反思·升华】 (1)求解含参的集合问题应注意集合元素的确定性、互异性和无序性． (2)利用集合的定义及性质解决问题的思路 ①解决集合问题要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”；②用 描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集 合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．
2021版新高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案
第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件。
1．集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＊(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且存在x∈B，x∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅,∅⊆A∅3。
集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}A∩B＝｛x|x∈A,且x∈B｝∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}(1）并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A;A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅;A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。
（3）补集的性质:A∪(∁U A）＝U;A∩(∁U A）＝∅．(4)∁U（∁U A）＝A;∁U(A∪B）＝(∁U A）∩（∁U B)；∁U（A∩B）＝（∁U A）∪(∁U B）．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）｛x|y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1｝＝{(x，y）｜y＝x2＋1}．( ）（2）若｛x2，1｝＝｛0，1}，则x＝0，1。
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第一章集合与常用逻辑用语学案
第一章2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第一章集合与常用逻辑用语学案第1课时集合的概念了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中把握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________．答案：{1，2}解析：∵ x2－3x＋2＝0，∴ x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不能够是______________．答案：0和1解析：由 x2＝x可解得x＝0或x＝1.3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________．答案：7解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个．4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}．若A⊆B，则m的取值范畴是____________．答案：[3，＋∞)解析：A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B在数轴上表示(图略)，可得m≥3.5. (必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________．答案：0或1解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，现在，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.1. 集合：一样地，一定范畴内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(1) 若a 是集合A 的元素，记作a∈A；若b 不是集合A 的元素，记作b ∉A. (2) 集合中元素的特点：确定性、互异性、 无序性．确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情形必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于那个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复显现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示那个集合元素的一样符号及取值(或变化)范畴，再画一条竖线，在竖线后写出那个集合中元素所具有的共同特点．注意：列举法与描述法各有优点，应该依照具体问题确定采纳哪种表示法，要注意，一样集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采纳列举法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当专门注意空集是一个专门而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N *或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：假如集合A 中的每一个元素差不多上集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．② 真包含关系：假如A ⊆B ，同时A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：假如两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素差不多上B 中的元素且B 中的元素差不多上A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 简单关系 ① A ⊆A ； ② ∅⊆A ；③ 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；④ 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝0，2n －2，n ≥1个．[备课札记]1 集合的差不多概念1 已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1.若－3∈A，试求实数a 的值． 解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.现在集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，现在集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.变式训练已知集合A 中有且仅有三个数1，0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a ＝－1.2 集合间的差不多关系2 已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}≠∅.若B ⊆A ，求实数a ，b 的值．解：∵ B ⊆A ，A ＝{－1，1}，B ≠∅，∴ B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}．若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，现在a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a×1＋b ＝0，现在a ＝2，b ＝1.若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，12－a×1＋b ＝0，现在a ＝0，b ＝－1.综上所述，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A., 3) 已知集合M ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，N ＝{a ，aq ，aq 2}(a 为非零常数)．若M ＝N ，求q 的值．解：由题意，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq ，a ＋2d ＝aq 2，则a(q －1)2＝0，q ＝1(a≠0)．然而q ＝1与集合中元素的互异性矛盾，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq 2，a ＋2d ＝aq ⇒a(q －1)(2q ＋1)＝0.因为a≠0，q ≠1，因此q ＝－12.故所求q 的值为－12.变式训练已知A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，B ⊆A ，求m 的取值范畴．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ，即m<2；当m ＋1＝2m －1，即m ＝2时，B ＝{3}，满足B ⊆A ，即m ＝2；当m ＋1<2m －1，即m>2时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2<m≤3.综上，得m≤3.备选变式（教师专享）一个含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，1，b a ，也可表示为{a ＋b ，0，a 2}，则a 2 018＋b2 018＝________．答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，同时集合还需满足确定性、互异性、无序性，因此b a ＝0，得b ＝0，现在{a ，1，0}＝{a ，0，a 2}，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，故a ＝－1，因此a 2 018＋b 2 018＝1., 3 依照集合的关系求参数的取值范畴), 4) 已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范畴．解：B ⊆A 可分为B A 和B ＝A 两种情形，易知A ＝{0，－4}．(1) 当A ＝B ＝{0，－4}时，∵ 0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧16－8（a ＋1）＋a 2－1＝0，a 2－1＝0， ∴ a ＝1.(2) 当B A 时，有B≠∅或B ＝∅.① 当B≠∅时，B ＝{0}或B ＝{－4}，∴ 方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，∴ a ＝－1，∴ B ＝{0}满足条件．② 当B ＝∅时，Δ<0，∴ a<－1.综上，所求实数a 的取值范畴是a≤－1或a ＝1. 变式训练已知集合A ＝{x|－2≤x≤a}，B ＝{y|y ＝2x ＋3，x ∈A}，C ＝{z|z ＝x 2，x∈A}，且C ⊆B ，求正数a 的取值范畴．解：B ＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0<a≤2时，C ＝{x|0≤x≤4}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥4，即a≥12，即12≤a ≤2；当a>2时，C ＝{x|0≤x≤a 2}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥a 2，即 2<a≤3.综上，得 12≤a ≤3.备选变式（教师专享）设集合A ＝{1，2，3，…，10}，求集合A 的所有非空子集元素的和．解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋…＋10)×29＝28 160.1. (2020·溧阳中学周练)已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案：6解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，如此的集合共有6个．2. 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为________________________________________________________________________．答案：2解析：直截了当解方程组可得两组解，即A∩B 的元素个数为2.3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素是－1，12，2，因此具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. (2021·溧阳中学月考)若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集至多有两个，则实数a 的取值范畴是________．答案：{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：若集合A 的子集只有两个，则A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴ a ＝98.故a ＝0或98.若集合A 的子集只有一个，则A ＝∅，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，a ≠0，解得a>98，故实数a 的取值范畴是{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.5. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x|0<x<5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案：4解析： 用列举法表示集合A ，B ，依照集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴ A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，∴ 满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．, 1. 遗忘空集致误)典例 若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|ax ＋1＝0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．易错分析：从集合的关系看，N ⊆M ，则N ＝∅或N≠∅，易遗忘N ＝∅的情形． 解析：M ＝{－3，2}．当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足N ⊆M 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12专门提醒：(1) 依照集合间的关系求参数的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特点；(2) 在解答本题时，一是不要忽略对空集的讨论，如a ＝0时，N ＝∅；二是注意对字母的讨论，如－1a能够为－3或2.一定要注意分类讨论，幸免漏解．1. (2020·溧阳中学期初)已知集合A ＝{2＋a ，a}，B ＝{－1，1，3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是________．答案：1解析：易知a>0.当a ＝1时，A ＝{1，3}，B ＝{－1，1，3}，满足题意；当a ＝3时，A ＝{3，2＋3}，B ＝{－1，1，3}，不满足题意．因此实数a 的值为1.2. 若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉A ，则实数a 的取值范畴是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，因此2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，因此3∉A 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x∈A，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________．答案：10解析：由x －y∈A 及A ＝{1，2，3，4，5}得x>y.当y ＝1时，x 可取2，3，4，5，有4个；当y ＝2时，x 可取3，4，5，有3个；当y ＝3时，x 可取4，5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．1. 研究一个集合，第一要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制条件，即有何属性，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．关于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情形．3. 判定两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中查找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中查找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图关心分析．第2课时集合的差不多运算(对应学生用书(文)、(理)4～5页)明白得两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，明白得给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用Venn图表示集合的关系及运算．① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中确实是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用Venn图表示集合的关系及运算；关于数集有时也能够用数轴表示．1. (必修1P13练习1改编)设集合A＝{平行四边形}，B＝{对角线相等的四边形}，则A∩B ＝________．答案：{矩形}解析：对角线相等的平行四边形为矩形．2. (必修1P13练习3改编)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，则A∪B＝________.答案：[－1，＋∞)解析：依题意知A＝[－1，＋∞)，B＝[7，＋∞)，因此A∪B＝[－1，＋∞)．3. (必修1P9练习2改编)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{x|x≤1}，B＝{－2，0，2}，则∁U(A∩B)＝__________．答案：{－1，1，2}解析：∵ A∩B＝{－2，0}∴∁U(A∩B)＝{－1，1，2}．4. (必修1P10习题4改编)已知集合A＝{0，2，4，6}，∁U A＝{－1，1，－3，3}，∁U B＝{－1，0，2}，则集合B＝__________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A＝{－1，1，－3，3}，∴ U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B＝{－1，0，2}，∴ B＝{1，4，6，－3，3}．5. (必修1P14习题10改编)设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有__________个．答案：3解析：全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，∴∁U(A∩B)＝{3，5，8}，∴∁U(A∩B)中的元素共有3个．1. 集合的运算(1) 交集：由所有属于A且属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3) 全集：假如集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么那个集合就能够看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合差不多上那个集合的子集．(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A 的补集，记作∁S A，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A∩B＝B∩A，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A∩B＝A ⇔A ⊆B. (2) A∪B＝B∪A，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. (3) ∁S (∁S A)＝A ，∁S ∅＝S ， (∁S A )∪(∁S B)＝∁S (A∩B)， (∁S A )∩(∁S B)＝∁S (A∪B)．[备课札记], 1 集合的运算), 1) 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≥1，B ＝{y|y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }．(1) 求A ，B ；(2) 求A∪B，A ∩(∁R B)．解：(1) 由1x ≥1，得1x －1＝1－xx≥0，即x(x －1)≤0且x≠0，解得0<x≤1，因此A ＝(0，1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2) 因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，因此A∪B＝(0，＋∞)，A ∩(∁R B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 变式训练已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，且A∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解：∵ A＝{1，2}，B ＝{x|(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A∪B＝A ，∴ B ⊆A. ∴ a －1＝2⇒a ＝3(现在A ＝B)， 或a －1＝1⇒a ＝2(现在B ＝{1})．由A∩C＝C ⇒C ⊆A ，从而C ＝A 或C ＝∅(当C ＝{1}或C ＝{2}时，可检验不符合题意)． 当C ＝A 时，m ＝3；当C ＝∅时，Δ＝m 2－8<0⇒－22<m<2 2.综上可知a ＝2或a ＝3，m ＝3或－22<m<2 2. 备选变式（教师专享）已知两个正整数集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 21，a 22，a 23，a 24}，其中a 1<a 2<a 3<a 4.若A∩B ＝{a 1，a 4}，且a 1＋a 4＝10，且A∪B 的所有元素之和是124，求集合A ，B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要依照“交、并”的意义及元素的差不多性质解决，注意“正整数”那个条件的运用．解：∵ 1≤a 1<a 2<a 3<a 4，∴ a 21<a 22<a 23<a 24，∵ A ∩B ＝{a 1，a 4}，∴ 只可能有a 1＝a 21⇒a 1＝1，而a 1＋a 4＝10，∴ a 4＝9，∴ a 24≠a 4.(1) 若a 22＝a 4，则a 2＝3，∴ A ∪B ＝{1，3，a 3，9，a 23，81}，∴ a 3＋a 23＋94＝124⇒a 3＝5；(2) 若a 23＝a 4，则a 3＝3，同样可得a 2＝5>a 3，与条件矛盾，不合题意． 综上，A ＝{1，3，5，9}，B ＝{1，9，25，81}．, 2 依照集合的运算求参数的取值范畴), 2) 设A ＝{x|a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A∩B≠∅； (2) A∩B＝A ；(3) A∪(∁R B)＝∁R B. 解：(1) A∩B≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3，∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2，∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅.(2) ∵ A∩B＝A ，∴ A ⊆B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a≤2.变式训练设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1) 当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B；(2) 若(∁R A )∩B＝B ，求实数a 的取值范畴．解：(1) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x≤3.当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．(2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<12或x>3. 当(∁R A )∩B＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B＝∅. ① 当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；② 当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a<0.综上可得，a 的取值范畴是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≥－14.备选变式（教师专享）设集合A ＝{x|x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范畴． 解：(解法1)命题⇔方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0至少有一个负实数根，设M ＝{m|关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0两根均为非负实数}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（－2m －3）≥0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m≤－32，∴ M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－2≤m≤－32.设全集U ＝{m|Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m≤－32，∴ m 的取值范畴是∁U M ＝{m|m<－2}．(解法2)命题⇔方程的小根x ＝1－－2m －3<0 ⇒－2m －3>1⇒－2m －3>1⇒m<－2., 3 集合的综合应用), 3) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －5x ＋1≤0，B ＝{x|x 2－2x －m<0}． (1) 当m ＝3时，求A∩(∁R B)；(2) 若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：因为x －5x ＋1≤0，因此－1<x≤5，因此A ＝{x|－1<x≤5}．(1) 当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}， 则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}， 因此A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2) 因为A ＝{x|－1<x≤5}，A ∩B ＝{x|－1<x<4}，因此有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 现在B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝1，x ∈R ，y ∈R ，B ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋2，x ∈R ，y ∈R }，若A∩B＝∅，求实数a 的值．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝ax ＋2得(1－a)x ＝1，当a ＝1时，方程组无解；当a≠1时，x ＝11－a ，若11－a ＝2，即a ＝12，现在x ＝2为增根，因此方程组也无解． 从而a ＝1或a ＝12时，A ∩B ＝∅.反思：本题也可利用数形结合方法解．, 4 与集合运算有关的新定义问题), 4) 定义集合运算A*B ＝{x|x∈A，或x∈B，但x ∉A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A*B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A*B)*A ＝{1，2，5，6，7}． 变式训练(必修1P 14习题13改编)设A ，B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x ∉A ∩B}．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x}，则A×B＝__________．答案：(－∞，3)解析：集合A 即为函数f(x)＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x≥0⇒x ≤0或x≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数g(x)＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A×B＝(－∞，3)．备选变式（教师专享）(2020·洪泽中学单元卷)关于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x|x ∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)，记A ＝{y|y ≥0}，B ＝{x|－3≤x≤3}，则A*B ＝________．答案：[－3，0)∪(3，＋∞) 解析：由题意知，A －B ＝{x|x ＞3}，B －A ＝{x|－3≤x＜0}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．反思：本题考查集合的运算新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情形，要求考生在阅读明白得的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义一种运算A －B ＝{x|x∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)达到考查集合运算的目的．1. (2020·四川雅安中学月考)已知M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M∩N＝________．答案：[0，1]解析：由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y≤1，即N ＝[－1，1]，则M∩N ＝[0，1]．2. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}．若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__________． 答案：2解析：A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2. 3. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪(∁U B)＝__________． 答案：{1，2，5}解析：∵ ∁U B ＝{1，5}，∴ A ∪(∁U B)＝{1，2，5}．4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A∩B，则集合C 的子集的个数为__________．答案：8解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8.5. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为__________．答案：1解析：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由 a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1., 2. 集合关系不能转化)典例 设A ＝{(x ，y)|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y)|4x 2＋2x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋b}，是否存在k ，b ∈N ，使得(A∪B)∩C＝∅，并证明你的结论．易错分析：难点在于对集合关系的不明白得，对题目所给出的条件不能认清事实上质内涵，因而可能感受无从下手．解：∵ (A∪B)∩C＝∅， ∴ A∩C＝∅且B∩C＝∅.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b ，∴ k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0. ∵ A ∩C ＝∅，∴ Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1 ①.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0.∵ B ∩C ＝∅，∴ Δ2＝(1－k)2－4(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0，从而8b<20，即b<2.5 ②.由①②及b∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1<0，k 2－2k －3<0，∴k ＝1.故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A∪B)∩C＝∅.专门提醒：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C＝∅转化为A∩C＝∅且B∩C＝∅.要能够借助Venn 图充分明白得集合的交、并、补之间的关系及熟练转化．1. (2020·遂宁射洪中学入学考试)设集合U ＝{x|x ＜5，x ∈N *}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝________．答案：{1，4}解析：集合U ＝{x|x<5，x ∈N *}＝{1，2，3，4}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，则∁U M ＝{1，4}．2. 设集合A ＝{x∈R |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A∩B＝________．答案：{3}解析：∵ A＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x∈Z |x>2}，∴ A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．3. 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则m 的值是________．答案：1或2解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B＝∅，得B ⊆A.∵ 方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴ B ≠∅. ∴ B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ① 若B ＝{－1}，则m ＝1；② 若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴ B ≠{－2}；③ 若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴ m 的值是1或2.4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名 同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞赛，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．依照题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍旧是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 关于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集； (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范畴时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：第一明确集合的元素的意义，它是如何样类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，依旧表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6～8页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；明白得必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判定必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不作要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题：________________________________________________________________________.答案：若ab≠0，则a≠02. 原命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个．答案：13. (改编题)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的____________条件．答案：充分不必要解析：a＝3时，A＝{1，3}，明显A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.因此a＝3是A⊆B的充分不必要条件．4. (改编题)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1 对称的充要条件是____________．答案：m＝－2解析：已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．因此函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.5. (改编题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则綈p为__________．答案：∀x∈R，x2＋x－1≥0解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.1. 四种命题及其关系(1) 四种命题①假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题；②假如一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，那个命题叫做原命题的否命题；③假如一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，那个命题叫做原命题的逆否命题．命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 假如p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 假如p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q.(3) 假如p⇒q，q⇒/__p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 假如q⇒p，p⇒/__q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 假如p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．①或：两个简单命题至少一个成立.②且：两个简单命题都成立.③非：对一个命题的否定．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)[备课札记], 1 四种命题及其相互关系), 1) (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为______________；(2) (2020·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x 2>0”的否定是________________．(3) 命题“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是________命题．(选填“真”或“假”)答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b －1 (2) ∀x<0，有x 2≤0 (3) 真解析：(3) 专门可能许多同学会认为它是假命题(缘故m ＝0时明显方程有根)，事实上不然，由x 2＋x －m ＝0没有实根可推得m<－14，而⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<－14是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m≤0，故原命题为真．事实上，用逆否命题专门容易判定它是真命题．【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．变式训练下列命题中不是真命题的是__________．(填序号) ① “若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题；② “若x 2＋y 2≠0，则x, y 不全为零”的否命题；③ “∃x ∈R ，使x 2＋1>3x”的否定；④ “若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题． 答案：③解析：①中命题的逆命题为若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R ，使x 2－3x ＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x 2＋x －m ＝0有实根⇔Δ＝1＋4m≥0⇒m ≥－14⇒若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③.备选变式（教师专享）命题“若x ，y 差不多上偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是____________________________________．答案：若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不差不多上偶数解析：由于“x，y 差不多上偶数”的否定表达是“x，y 不差不多上偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不差不多上偶数”., 2 充分条件和必要条件)●典型示例, 2) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．p ：x∈A，q ：x∈B，同时p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范畴．【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m 的不等式→求出实数m 的范畴【规范解答】 解： 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴ y min ＝716，y max ＝2.∴ y∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|716≤y≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x≥1－m 2，B ＝{x|x≥1－m 2}．∵ 命题p 是命题q 的充分条件，∴ A ⊆B.∴ 1－m 2≤716，解得m≥34或m≤－34.∴ 实数m 的取值范畴是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 【精要点评】 本例涉及参数问题，直截了当解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一样地，在涉及字母参数的取值范畴的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．●总结归纳充要关系的几种判定方法(1) 定义法：直截了当判定若p 则q 、若q 则p 的真假．(2) 等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，关于条件或结论是否定形式的命题，一样运用等价法．(3) 利用集合间的包含关系判定：设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．●题组练透1. “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.2. 已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)＜0，假如p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范畴是____________．答案：(2，＋∞)解析：由q ：(x ＋1)(2－x)＜0，得x ＜－1或x ＞2，又p 是q 的充分不必要条件，因此k ＞2，即实数k 的取值范畴是(2，＋∞)．3. 设n∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________． 答案：3或4解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.4. 若命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则綈p ：__________________．答案：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，同时将命题的结论进行否定．因此命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0”．, 3 逻辑联结词), 3) 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范畴是____________．答案：[2，＋∞)解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m ≤－2或m≥2，即m≥2. 变式训练已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a 的取值范畴是____________．答案：[e ，4]解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p ，q 差不多上真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a≥e ；由∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.备选变式（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x∈Z ，若“p∧q”与“綈q”差不多上假命题，求x 的值． 解：∵ 綈q 假，∴ q 真．又p∧q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6＜x 2－x ＜6，x ∈Z ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1，0，1，2., 4 全称命题与。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合科市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
则(
)
A．A＝B
B．A∩B＝Ø
C．A B
D．B A
[解析] ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴B A.
[答案] D
11/61
4．(2016·北京东城期末统测)已知集合 A＝{x|0<x<2}，B
＝{x|(x－1)(x＋1)>0}，则 A∪B＝(
)
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
1)·(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝(
)
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{－1，0，1，2，3}
[解析] ∵B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，
∴A∪B＝{0，1，2，3}．
[答案] C
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3．(2015·重庆卷)已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，
{x|ax＋1＝0}，若 S⊆P，则实数 a 的取值组成的集合是(
)
1 A.3 C.13，－12
B．－12 D．0，13，－12
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[解析] 由题意得，P＝{－3，2}． 当 a＝0 时，S＝Ø，满足 S⊆P； 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解为 x＝－1a， 为满足 S⊆P，可使－1a＝－3，或－1a＝2， 即 a＝13，或 a＝－12. 故所求集合为0，13，－12. [答案] D
B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设 U＝R，则 A∩(∁UB)等于(
)
A．[3，＋∞)
B．(－1，0]解析] 解不等式|x－1|<2 得－1<x<3，所以 A＝{x|－
1<x<3}．要使函数 y＝lg(x2＋x)有意义，须 x2＋x>0，解得 x<
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：________，________， ________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A ＝B(5)card(A )＋card(B )－card(A ∩B ) card(U )－card(A )－card(B )＋card(A ∩B )(2015·安徽)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解：∵∁U B ＝{1，5，6}，∴A ∩(∁U B )＝{1}．故选B .(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1)D ．(－∞，1]解：∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝[0，1]．故选A .(2015·全国Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知得B ＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{－1，0}．故选A .已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解：根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素．故填3.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解：A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，则其对称轴x ＝a ＞0，由对称性知，若A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0， 得34≤a ＜43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43.类型一 集合的概念(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解：由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解； 当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故选A .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝－32.故填－32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解：令x ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x ＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z ，即集合中有6个元素．故选B .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得b a＝0及a ≠0，∴b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，∴a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5， 解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5， 可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， ∴A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ∩B ＝∅，∴当B ＝∅时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件； 当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三 集合的运算(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D ．(－∞，1] 解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13， ∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.故填－1，1.【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x|12<2x<4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}解：∵A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，∴∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x <4＝{x |－1<x <2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．故选B .(2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3}D ．{1，2，3}解：∵M ∩N ＝{1}，∴log 3a ＝1，即a ＝3，∴b ＝1.∴M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D .(3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解：|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，由A ∩B ＝∅知，a ＋1≤1或a －1≥5，解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2015·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：A ∩B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D .2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}，∴M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D .4．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C . 5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥－14. 11．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系， 得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.(2015·杭州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）＜0.(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2－9x ＋14<0}＝(2，7)， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2)当a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅. 又A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，①当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；②当a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，109，B ⊆A 不成立；③当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a ＋1，或a ＝1，a ≠1，解得1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}．。