二次函数求最值的例题,如何求二次函数的最值的方法及练习题与答案
二次函数与幂函数典型例题(含答案)
二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。
y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3?x1＋x2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】?设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；当a＜0时，解得a∈?；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y min＝－1.综上，g(a)＝。
二次函数的极值问题
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250 元。
例题:学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用 长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个花圃垂直的 一边为x米. （1）平行于墙的一边为y米，直接写出y与x之间的函数关系 及自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大， 并求这个最大值； （3）当这个花圃园的面积不小于88平米时，（结合图像）直 接写出x的取值范围。
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时 可获得最大利润为6250元.
2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于 800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价 x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图). (1)根据图象,求y与x的函数关系式; (2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数 关系式; (3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大 利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 由4 y 7 x x 15. 得, y . 4 2 2 x 15 7 x x x
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=-2x2+440x+158400 …… =-2(x-110)2+182600 所以,当x=110时,y有最大值182600 ……
二次函数求几何最值
二次函数求几何最值类型1：勾股定理【例题1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，CB ＝5，点D 是CB 边上的一个动点，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90°，得到线段DE ，连接BE ，则线段BE 的最小值为____________．．（提示：一线三垂直全等＋线段最值，，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，则DF ＝AC ＝3，EF ＝CD ，设CD ＝EF ＝x ，则FB ＝5－3－x ＝2－x ，在Rt △EFB 中，BE 2＝x 2＋(2－x )2＝2(x －1)2＋2≥2） 【例题2】如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD 、△CBE 都是等边三角形，M 、N 分别是CD 、BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为___________．（提示：连接CN ，则∠ECN ＝30°，∴∠MCN ＝90°，设AC ＝2x ，则BC ＝4－2x ，∴CM＝x ，CN－x )，∴MN 2＝x 2＋3(2－x )2＝4(x －32)2＋3≥3）类型2：全等三角形【例题3】如图，D 为等边△ABC 边BC 上的一动点，AB ＝2，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，则△CDE 的面积最大值为___________．．（提示：手拉手全等，法1，二次函数求最值，过点D 作DG ⊥CE 的延长线于点G ，易证△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，设BD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝2－x ，∴DG(2－x )，∴S △CDE ＝12·x(2－x )(x －1)2；法2ABD ≌△ACE （SAS ），∴S 四边形ADCEE ＝S △ADC AD ⊥BC 时，△ADECDE ）【例题4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝，D 为边AB 上一动点（B 除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为___________．ABCDEFED CBAABCD EM NNMED CBAFEDCBA【答案】8．（提示：弦图＋12345模型，AH，∴tan∠ABH＝12，∴CN＝4，BN＝8，设BD＝x，则DN＝8－x，∴EN＝8－x，∴S△BDE＝12x(8－x)＝－12(x－4)2＋8≤8）【例题5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、BF．若AB＝6，BC＝8，则当△BEF的面积最大时，BF的长为___________．．（提示：一线三垂直全等，AG＝GB＝3，GD＝HF＝4，设AE＝x，则EG＝DH＝3－x，EB＝6－x，∴GH＝x＋1，∴S△BEF＝12(6－x)(x＋1)＝－12(x－52)2＋498≤498，当x＝52时，BI＝GH＝7 2，∵IF＝4－3＝1，∴BF）类型3：相似三角形【例题6】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，∠ABC＝60°，E、F分别是AD、CD上的动点，且∠BEF＝120°，则DF的最大值为____________．【答案】32．（提示：一线三等角相似，设AE＝x，DF＝y，则ED＝6－x，∵△ABE∽△DEF，∴66x＝xy，化简得y＝－16(x－3)2＋32≤32）AB CDEFNMHEBDAFCAB CDEFIHGFEDCBAFE DCBA【例题7】如图，在边长为6的菱形ABCD 中，AC 为其对角线，∠ABC ＝60°，点M 、N 分别是边BC 、CD 上的动点，且MB ＝NC ，连接AM 、AN 、MN ，MN 交AC 于点P ，则点P 到直线CD 的距离的最大值为___________．．（提示：一线三等角相似，问题转化为求CP 的最小值，设BM ＝x ，则MC ＝6－x ，∵△ABM ∽△MCP ，∴66x -＝x CP ，∴CP ＝16x (6－x )＝－16(x －3)2＋32≤32）【例题8】如图，正方形ABCD 的边长是4，P 为BC 上的动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交CD 于点Q ，连接AQ ，则AQ 的最小值为____________．【答案】5．（提示：一线三直角相似，设BP ＝x ，则PC ＝4－x ，∴QC ＝(4)4x x -，∴DQ ＝4－(4)4x x-＝14(x －2)2＋3≥3，∴当BP ＝2时，DQ 有最小值3，此时AQ 有最小值5）【例题9】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以BD 为斜边作Rt △BDE ，使∠BDE ＝30°，∠BED ＝90°，连接CE ，则△CDE 面积的最大值为__________．．（提示：手拉手相似，△BAD ∽△BCE ，∴∠BCE ＝∠A ＝30°，过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，设CM ＝x ，则CE ＝2x ，EM，CD ＝4－4x ，）NMPDCB A A BCDPQ ABCE【例题10】如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的动点，过点D 分别作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ，已知△ABC 的面积为1，则四边形BEDF 面积的最大值为____________．【答案】12．（提示：设数法＋A 字相似，设AG ＝1，BC ＝2，则BF ＝x ，则ED ＝x ，FC ＝2－x ，∵ED ∥BC ，∴AH ＝12x ，∴HG ＝1－12x ，∴S 梯形BEDF ＝12(x ＋x )(1－12x )＝－12(x －1)2＋12≤12）类型4：转化问题【例题11】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ．（1）若BE，则正方形CEFG 的面积为___________； （2）连接DF 、DG ，则△DFG 面积的最小值为___________．【答案】（1）5；（2）1.5．（提示：转化法，（1）当BE时，AE ＝ED ＝1，∴CE；（2）设ED ＝x ，则CE 2＝x 2＋22，∴S △DFG ＝12S □ECGF －S △EDC ＝12(x 2＋22)－12×2x ＝12(x －1)2＋32≥32）ABC DEFHGF EDCBAABCDEFG。
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题【例题精讲】题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.【拓展练习】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.练习一【例题精讲】若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．【拓展练习】题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．练习二金题精讲题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．【拓展练习】题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．讲义参考答案【例题精讲】答案：3--0或2或4【拓展练习】答案：(1) 2y=-;(2) (2);(3)8练习一答案【例题精讲】答案：a =【拓展练习】答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为32，最小值为-3.详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=2kk1-，x1x2=k+2k1-，∴2k•2kk1-=4•k+2k1-，解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-12)2+32，且-1≤x≤1，由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=12时，y最大=32.∴y的最大值为32，最小值为-3.练习二答案课后练习详解【例题精讲】答案：2或-5．详解：配方y=(x+a)2-1，函数的对称轴为直线x= -a，顶点坐标为(-a，-1)．①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，函数最小值为-1，不合题意；②当-a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；③当-a＞3即a＜-3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，解得a= -5．∴实数a的值为2或-5．【拓展练习】答案：有最大值，为8.详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.∴最大值为8.。
微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)
微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】 题型一：定轴定区间型 题型二：动轴定区间型 题型三：定轴动区间型 题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数 【典型例题】 题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式． （2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】 一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（ ）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（ ）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（ ） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（ ） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（ ）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（ ）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（ ）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
二次函数的最值问题(含答案)
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
求二次函数的最值(含答案)
求二次函数的最值【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴ 当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．课后自我检测1．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．2．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．3．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．4．求函数3y =5．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？6．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．7．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．8．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．9．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．10．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。