概率论第二章习题

第二章 事件与概率

1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少

解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则

42)(,52)(121==A A P A P ，2

1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

利用乘法公式，所求的概率为

()()()()

12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30

1121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则

()7

68/78/6)()(===A P AB P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，

显然B A ⊃，则 ()

1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 22/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为

)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1

21/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，则

()

,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为

)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1

2/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())

1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m .

4、袋中有a 只黑球，b 只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 )

()(b a a A P += 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

b

a b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙 取球的情况共有四种，由全概率公式得

)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=

2

1)1)((22)1)(()1(-+-⋅-+++-+-⋅-++-=b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2

)1)(()1(21)1)((-+⋅-++-+-+-⋅-+++b a b b a b a a a b a b b a b a ab b

a b b a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。

解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0Λ=i 。则10

1)(=i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10Λ=-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j

9,8,7,6=j 。由全概率公式得欲求的概率为

∑===

=90356.045

16)|()()(i i i A B P A P B P . 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α只白球，β只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，

然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少

解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得

)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=

221122221222222222

a a a

b b a a b a b a b C C

c C C c C c c C C C C ααβαβαβ+++++++++++=++. 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从

第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少 解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1Λ=。则

)()(,)(11b a b A P b a a A P +=+=

. 一般设)()(b a a A P k +=，则)

()(b a b A P k +=，得 )()()|()()|()(111b a a A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=

+=+++. 由数学归纳法得 )()(b a a A P N +=

8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分

被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为，，，若已击中两弹，求击落飞机的概率。

解：设A 1={飞机第一部分中两弹}，A 2={飞机第二部分中两弹}，A 3={飞机第一部分仅中一弹}，A 4={其它情况}，则

.),(4321Ω=+++≠=A A A A j i A A j i φ

.04.02.02.0)(,01.01.01.0)(21=⨯==⨯=A P A P

A 3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，

18.01.07.01.02.07.01.02.01.0)(3=⨯+⨯+⨯+⨯=A P ，

.77.0)]()()([1)(3214=++-=A P A P A P A P

设B={飞机被击落}，则 .0)|(),

3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i

由全概率公式得∑==

41

)()|()(i i i A P A B P B P .23.018.004.001.0=++= 错误算法： 3()0.10.20.10.70.09P A =⨯+⨯=，

设B={飞机被击落}，则 .0)|(),

3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i

由全概率公式得∑==41

)()|()(i i

i A P A B P B P 0.010.040.090.14.=++= 原因是忽略了飞机中弹的次序。