人教版八年级下册第十七章数学课件：17.1.1勾股定理
图1-1
图1-2
勾股定理（1）
看 一 看
什我 角 作 相 么们 三 客 传 ？也 角 ， 来形发 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯 你同面去 能学反朋 发们映友 现，直家 2500
（1）观察图2-1
C A B 图2-1 A B
9 正方形A中含有个小方格， 即A的面积是 9 个单位面积。
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较 长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》 作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数学 家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图” ，它标志着中国古代的数学成就.
（2）你能发现
A B
图3-1
C
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来， 人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明 了的证明，就把 这一证法称为 “总统证法”．
Байду номын сангаас
b
A
b
∵ S梯 形 AB CD= a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵S梯 形 AB CD=S AED +S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比较上面二式得 c2=a2+b2
C
正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图2-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3 3 18 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
c
2 2 2 a +b =c
猜想两直角边a、b与斜边c之间的关系？
(毕达哥拉斯定理) 直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方.
勾股定理
弦 c
股 b
a 勾
┏
2 2 2 a +b =c
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图， 取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
2 c 大正方形的面积可以表示为； 1 2 也可以表示为 (b a ) 4 ab 2 c ∵c2= 2-2ab+a2+2ab =b b =a2+b2
A.3米B.4米C.5米D.6米
３ ４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为() A A.50米B.120米C.100米D.130米
A
130
?
C
120
B
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
1 4 4 3 1 2
A B
图3-1
C
C
25 （面积单位）
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？
对比两个图形,你能直接观 察验证出勾股定理吗？
b a b a c c c b c a a b a a b c a c
b a b b
提示：图中的两个大正方形面积相等吗？
两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？
空白部分的面积呢？那剩余的
小结
①本节课学到了什么数学知识？ ②你了解了勾股定理的发现方法了吗？ ③你还有什么困惑？
4 2 X=____________
x 62 22 32 4 2
x
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为() C
a c b a b
a
a
b
c
∴a2+b2=c2
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为；
也可以表示为 b a b c c a a a
C2
∵(a+b)2=
C2
b
c
b c
a2+2ab+b2=2ab+c2
∴a2+b2=c2
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
24m
9m
?
c
a b
c a
b
1 (b a) 4 ab c 2 2
2
b 2ab a 2ab c
2 2
2
a b c
2 2
2
a b c c b
1 (a b) c 4 ab 2
2 2
a
a b c
2 2
2
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。 • 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
C A B 图2-1 A B 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
把C“补”成边长为6的正 方形面积的一半
C A B 图2-1 A B
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
C
图2-2
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
1
E
a
B
CED
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
做一做：
A
625 P
225 P的面积=______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15
C
400
6 2
合集下载
人教版八年级数学下册17.1.1勾股定理-课件PPT
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1.下列说法中,正确的是（ C ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为 直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
勾股定理 注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指来自是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
THANKS！
新课导入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾 股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么 他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文 化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
1×3×4＝6.
2
本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面
积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，
面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
定理．
总结：
以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、 等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3 , 即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版数学八年级下册第十七章第一节第一课时《勾股定理》课件(22张)
2500年前，古希腊著名数学家 毕达哥拉斯非常善于观察和思 考，经常能从平淡的生活现象 中发现数学问题.
灿若寒星
有一次他在朋友家做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面
中隐藏着深刻的道理
观察：图中两个
小正方形与大正
方形的面积之间
有什么关系？
灿若寒星
如果直角三角形两直角边
分别为a,b,斜边为c
ab
c
思考：直角三角形三 边之间有什么关系？
D
C
解：连结AC，在Rt△ABC
中,∠B=90°,根据勾股定理,
AC2=AB2+BC2=12+22=5
2m ∴AC 5
＞2.2m
A 1m B
答：薄木板能从门框内通过。
灿若寒星
试一试
如图，一个2.5m长的梯子AB,斜靠在竖 直的墙AO上，AO的距离为2.4m,
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m， A 那么梯子的底端B也外移0.4m吗？
0.4
C
2.4
2.5
┏
OB
D
？
灿若寒星
感受数学之美
图中，所有的四边形
都是正方形，所有的 A
三角形都是直角三角
形，正方形M,N的面 B 积的和是_____1.00
M
N
欣赏美丽的勾股树
100
灿若寒星
灿若寒星
一份自豪 身为中国人 一种思想 数形结合
一次探索
特殊到一般
一个定理
勾股定理
灿若寒星
灿若寒星
A
2、Rt△AOB中∠AOB=90°
若AB=2.5,AO=2.4,求BO
灿若寒星
O
B
②
①？
Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，能否求ຫໍສະໝຸດ 灿若寒A星 B的长？解决问题
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
初中数学 人教版八年级下册 17.1勾股定理 课件
A 解：设这个三角形为ABC，
高为AD，设BD为X，则
AB为（16-X）， 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
8 B XD C
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
3、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝
３,则BC的长为
B 4
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2b2c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
1.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
16
x
20
82+x2=172
162+x2=202
x 172 82 15 x 202 162 12
x 12
52+122=x2 x 52 122 13
2.图中已知数据表示面积，求表示边的未知 数x、y的值.
9 16
144 169
①
②
3.已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
第十七章 勾股定理
17-1 课时1 勾股定理 课时2 勾股定理的应用
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探 索过程。
运用勾股定理进行计算和解决有关问题。
勾股定理（课时1）
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。 你能发现A、B、C面积之间有什么 数量关系吗？
高为AD，设BD为X，则
AB为（16-X）， 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
8 B XD C
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
3、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝
３,则BC的长为
B 4
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2b2c2
ac
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
1.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
16
x
20
82+x2=172
162+x2=202
x 172 82 15 x 202 162 12
x 12
52+122=x2 x 52 122 13
2.图中已知数据表示面积，求表示边的未知 数x、y的值.
9 16
144 169
①
②
3.已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
第十七章 勾股定理
17-1 课时1 勾股定理 课时2 勾股定理的应用
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探 索过程。
运用勾股定理进行计算和解决有关问题。
勾股定理（课时1）
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。 你能发现A、B、C面积之间有什么 数量关系吗？
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》课件
(2)据勾股定理得
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
八年级数学人教版下册17.1.1勾股定理课件
勾股定理
合作探究
新知1 勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦 勾
股 图1
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
2. 在 Rt△ABC 中，斜边长 BC＝3，则 AB2＋AC2＋BC2 的值为
(A) A. 18
B. 9
C. 6
D. 无法计算
3. (中考·滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为 AB 边上的高， CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则 CD 等于( C )
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
A．42
B．32
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
8. 如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
合作探究
新知1 勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦 勾
股 图1
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
2. 在 Rt△ABC 中，斜边长 BC＝3，则 AB2＋AC2＋BC2 的值为
(A) A. 18
B. 9
C. 6
D. 无法计算
3. (中考·滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为 AB 边上的高， CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则 CD 等于( C )
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
A．42
B．32
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
8. 如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
人教版八年级数学下册课件：17.1勾股定理--1.1 勾股定理
命题1：如果直角三角形
两直角边长分别为a和b， 斜边长为c,则：
9
知识点一：勾股定理
新知归纳
命题1的证明方法有很多，我们先 来看看我国古人赵爽的证法.
10
知识点一：勾股定理
新知归纳
c ba
b a
a
勾股定理
11
知识点一：勾股定理
新知归纳
在Rt∆ABC中，∠C=90º， 由勾股定理得：
12
知识点一：勾股定理
利用勾股定 理求出AD的 长，再计算 三角形面积.
22
知识点二：勾股定理与图形的面积
学以致用
5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB=20m， BC＝15m，CD＝7m，求四边形ABCD的面积.
23
知识点二：勾股定理与图形的面积
合作探究
先独立完成导学案互动探究3、4，再同桌相互 交流，最后小组交流；
重点难点 重点:探索并证明勾股定理.
难点:用勾股定理解决一些简单问题.
3
知识点一：勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯在一次朋友家做客时，发现 朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量 关系.我们也来观察一下地面的图案， 看看能从中发现什么数量关系.
古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家.
证法举例
a
c
b
cb a
美国总统的证明
伽菲尔德 ——美国 第二十任 总统
13
知识点一：勾股定理
学以致用
1.已知如图S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
则S5 =
，S6 =
，S7 =
.
14
知识点一：勾股定理
学以致用
两直角边长分别为a和b， 斜边长为c,则：
9
知识点一：勾股定理
新知归纳
命题1的证明方法有很多，我们先 来看看我国古人赵爽的证法.
10
知识点一：勾股定理
新知归纳
c ba
b a
a
勾股定理
11
知识点一：勾股定理
新知归纳
在Rt∆ABC中，∠C=90º， 由勾股定理得：
12
知识点一：勾股定理
利用勾股定 理求出AD的 长，再计算 三角形面积.
22
知识点二：勾股定理与图形的面积
学以致用
5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB=20m， BC＝15m，CD＝7m，求四边形ABCD的面积.
23
知识点二：勾股定理与图形的面积
合作探究
先独立完成导学案互动探究3、4，再同桌相互 交流，最后小组交流；
重点难点 重点:探索并证明勾股定理.
难点:用勾股定理解决一些简单问题.
3
知识点一：勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯在一次朋友家做客时，发现 朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量 关系.我们也来观察一下地面的图案， 看看能从中发现什么数量关系.
古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家.
证法举例
a
c
b
cb a
美国总统的证明
伽菲尔德 ——美国 第二十任 总统
13
知识点一：勾股定理
学以致用
1.已知如图S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
则S5 =
，S6 =
，S7 =
.
14
知识点一：勾股定理
学以致用
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图