概率论考核作业综合测试题完整版
概率论考核作业（综合测试题）完整版
概率论考核作业（综合测试题）完整版综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是( D ).A.P (A -B )=P (A )-P (B )B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).A.18 B. 16 C. 14 D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120 B. 160C. 15D. 125.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ).A. 0()1f x ≤≤B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=?D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===，且0b >，则参数b的值为( D ).A.12 B. 13 C. 15D. 1 8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). A.1 B.2 C.1.5 D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110ii X X ==∑~( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ 是来自X 的样本，又12311?42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).A. 1B.14 C. 12 D. 13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论考试题和答案
概率论考试题和答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个选项是正确的？A. P(X > 0) = 0.5B. P(X < 0) = 0.5C. P(X = 0) = 0.5D. P(|X| > 1) = 0.5答案：A2. 如果随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于：A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A3. 假设随机变量X和Y是独立的，且X服从正态分布N(0,1)，Y服从正态分布N(1,4)，那么Z = X + Y的期望值E(Z)是：A. 1B. 0C. 2D. 4答案：A4. 对于二项分布B(n, p)，其方差Var(X)是：A. npB. np(1-p)C. nD. p答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：(a+b)/26. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么X的标准差是_________。
答案：σ7. 对于参数为p的伯努利分布，其方差Var(X)是_________。
答案：p(1-p)8. 如果随机变量X服从指数分布Exp(λ)，那么X的期望值E(X)是_________。
答案：1/λ三、计算题（每题15分，共30分）9. 已知随机变量X服从正态分布N(2, 4)，求P(X < 0)。
答案：因为X服从正态分布N(2, 4)，所以X的均值μ=2，方差σ^2=4，标准差σ=2。
我们需要求P(X < 0)，即求标准正态分布下，Z < (0-2)/2 = -1的概率。
根据标准正态分布表，P(Z < -1) ≈ 0.1587。
所以，P(X < 0) ≈ 0.1587。
10. 假设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求E(X)和Var(X)。
答案：因为X服从泊松分布，所以E(X) = λ = 2，Var(X) = λ = 2。
概率论综合练习题1及参考答案
概率论综合练习题1一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________. 3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N - 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A.2~(0,1)4/5X N - B. 2~(0,1)X N - C. 2~(0,1)16X N - D. 2~(0,1)5/4X N - 二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.2. 设随机变量X 的分布律为X-2 1 2 P0.1 0.7 α （1）求常数α；（2）求()E X ;（3）求 ()D X ; (4)求X 的分布函数()F x .3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x . 三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B -2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩ 其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY . .3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8)2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.概率论综合练习题1参考解答一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________. 【解析】()()(|)0.40.70.28P AB P A P B A ==⨯=, ()()()()0.40.60.280.72P A B P A P B P AB =+-=+-=.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________.【解析】(P 甲盒中无球）(P =球2个球放在了乙、丙、丁三盒中）22390.5625416===.3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N -【解析】(3)134E X Y -=+=,(3)913637D X Y DX DY -=+=+=,即3~(4,37)X Y N -,选A. 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.【解析】358()488a E a μμμμμμ+=++==，即38a =.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A. 2~(0,1)4/5X N -B. 2~(0,1)X N -C. 2~(0,1)16X N -D. 2~(0,1)5/4X N - 【解析】25~(2,)16X N ,则252~(0,)16X N -，2~(0,1)5/4X N -，应选D .二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.【解】分别记乘火车、汽车、轮船、飞机为,,,A B C D ,记迟到为E ,则()()P E P AE BE CE DE =()(|)()(|)()(|)()(|)P A P E A P B P E B P C P E C P D P E D =+++1230.20.30.40.10535=⨯+⨯+⨯+⨯36120.487525===;()0.25(|)()0.4812P BE P B E P E ===.2.【解】(1)由0.10.71α++=得0.2α=； (2)20.110.720.20.9EX =-⨯+⨯+⨯=; (3)240.110.740.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=, 21.90.9 1.09DX =-=;(4)分布函数：0,20.1,21()0.8,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤⎩.3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x .【解】(1)由1012k kxdx ==⎰得，2k =； (2)120223EX x dx ==⎰;(3) 11.50.51{0.5 1.5}22010.250.75P X xdx dx <≤=+=-=⎰⎰；(4) 02010100,0()()()02,010201,1xxx xdt x F x P X x f t dt dt tdt x x dt tdt dt x -∞-∞-∞-∞⎧=<⎪⎪=≤==+=≤<⎨⎪⎪++=≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B - 【解】()()()()0.30.40.10.6P A B P A P B P AB =+-=+-=;()()()()0.40.10.3P B A P B AB P B P AB -=-=-=-=; ()1()10.60.42(|)1()10.40.63()P AB P A B P A B P B P B --=====--.2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY .【解】(1)00,0()(,)0,0X x y xxdy x f x f x y dy dy e dy e x +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪+=≥⎩⎰⎰⎰⎰； 0000,0()(,)00,0Y y y yy dx y f y f x y dx dx e dx dx ye y +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪++=≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰； (2) ,X Y 不相互独立，因为在{(,)|0,}x y x y x >>内(,)()()X Y f x y f y f x ≠；(3)3000013!()(,)322y y y y x x y y xE XY xy f x y dxdy xye dxdy ye dy xdx y e dy +∞+∞----∞<<+∞>-∞<<+∞>=⨯=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.【解】23220022()233x x EX x x dx ααααααα⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰，令EX X =得α的矩估计量3X α=.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率. 【解】分别记所取两数为x 和y ，则“两数之差小于25”=“||0.4x y -<”，（图中深色部分）(P 两数之差小于25)(||0.4)P x y =-<21120.60.642=-⨯⨯=.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8) 2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】【解】00:100H μμ==; 10:H μμ≠. 检验统计量X Z =，当0H 成立时，100~(0,1)1/3X Z N -=,拒绝域 190.025100{(,,)|1.96}1/3x W x x z -=>=,而1005.11/3x W -=-∈,即在显著性水平0.05α=下，认为每包平均重量与100公斤有显著差异(不足100公斤).2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.【解】由42222(24)(0)0.3P X σσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ=Φ-Φ=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得20.8σ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭， 2222(0)10.2X P X P σσσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ-=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
概率论综合练习题2及参考答案
概率论综合练习2：一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【 】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.53.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【 】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示).5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y 相互独立，下列随机变量服从2χ分布的是【 】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【 】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率. 2.a EX DX 3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩. (1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个， 求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 三、计算题（36%）1.(,)X Y ()P X Y =2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.0251.96z=，0.025(8) 2.306t=.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.概率论综合练习题2参考解答一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.【解析】()()()()0.7()0.3P A B P A AB P A P AB P AB -=-=-=-=,解得 ()0.4P AB =. 2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【 】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.5 【解析】由,A B 相互独立，可得()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ====0.6，应选B. 3.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【 】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由密度函数的性质()0f x ≥及()cos 1If x dx xdx +∞-∞==⎰⎰可知，A 正确，选项B,C,D 错误.4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示). 【解析】~(1,2)Z X Y N =--~(0,1)N =,(0)12P Z P P P >=>=>=-≤5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y χ分布的是【 】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +【解析】由~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ~(0,1)N , 所以，222~(2)2Y X χ+，应选B.6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【 】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++【解析】容易计算四个选项中的估计量的数学期望均为μ(即都是μ的无偏估计)，而22122()242X X D σσ+==,22223245()399X X D σσσ++==, 22213395()4168X X D σσσ++==,221233()393X X X D σσ++==,应选D.二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率.【解】记1A ——乘火车，2A ——乘船，3A ——乘汽车， 4A ——乘飞机，B ——迟到. (1) 1234()()P B P A B A B A B A B =()1234()()()P A B P A B P A B P A B =+++11223344()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++1110.30.20.10.404312=⨯+⨯+⨯+⨯ 1.80.1512==, (2) 1111()()(|)0.30.25(|)0.5()()0.15P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.2.设随机变量X 的分布律如下标所示：X0 1 2 3 Pa 0.2 0.3 0.1 (1)求a 的值； (2)求EX ； (3)求DX . 【解】(1) 10.20.30.10.4a =---=；(2) 00.410.220.330.1 1.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=;(3) 200.410.240.390.1 2.3EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 222() 2.3 1.1 1.09DX EX EX =-=-=.3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩.(1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个， 求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 【解】(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得 21000100011000A A A dx x x +∞+∞=-==⎰,解得1000A =; (2) 220002000100010001(2000)2P X dx x x +∞+∞>==-=⎰； (3) 设Y 为4个部件中寿命大于2000小时的个数，则~(4,0.5)Y B ,(P 任取4个，至少有一个寿命2000)>1(P =-4个的寿命都小于2000)441151(0)10.511616P Y C =-==-=-=. 三、计算题（36%）1. 设,X Y 相互独立，其分布律分别为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 P0.3 0.4 0.3 (1) 求(,)X Y 的联合分布律； (2) 求()P X Y =.【解】(1)由,X Y 的独立性及各自的边缘分布律可得(,)X Y 的联合分布律:Y X1 2 3 ()i P X x = 1 0.09 0.12 0.09 0.3 2 0.15 0.20 0.15 0.5 3 0.06 0.08 0.06 0.2 ()j P Y y = 0.3 0.4 0.3 1 (2) ()(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.090.20.060.35=++=. 2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由. 【解】（1）边缘密度：166(1),01()(,)0,xX xdy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧⎪=-≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰，2063,01()(,)0,y Y xdx y y f y f x y dx other +∞-∞⎧⎪=≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰； (2) 在0,01x y y <<<<内，2(,)6()()18(1)X Y f x y x f x f y xy x =≠=-，所以，,X Y 不相互独立.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.【解】(1) 5186127133884345335x ++++==，0011xt EX xe dx te dt λλλλ+∞+∞--===⎰⎰，由EX X =得λ的矩估计量1X λ=，矩估计值11533x λ==； (2) i X 的密度函数为：,0()0,0i x i i ie xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,2,,i n =似然函数：12()1()()n x x x n n L f x f x e λλ-+++==，10,0n x x >>，对数似然函数：1ln ln ni i L n x λλ==-∑，令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑得 11nii nxxλ===∑，即λ的最大似然估计值为1533x λ==.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X 服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？ 【注】上侧分位点0.025 1.96z =，0.025(8) 2.306t =. 【解】0:72H μ=;1:72H μ≠ 当0H 成立时，检验统计量72~(8)/9X T t S -=，拒绝域：0.025{||(8) 2.306}W t t =>=， 由61820668.66793x ==≈， 4.583s =得检验统计量T 的值 2.1820t =-W ∉,因此，在显著性水平0.05α=之下认为患者的脉搏次数与正常人没有显著差异.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.【解】记误差变量为X ,则~(0.5,0.5)X U -, 0.50.502EX -+==, 2[0.5(0.5)]11212DX --==, 11200,,X X 为来自总体X 的样本，据独立同分布中心极限定理，得11200X X ++近似服从(0,100)N , 11(||10)(1010)n n P X X P X X ++<=-<++<111010()(11)10101010n nX X X X P P ++++=-<<=-<<(1)(1)2(1)1≈Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.20.841310.6826。
概率论综合测试题a卷
综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、设A,B,C 为随机事件，1()()(),()()0,4P A P B P C P AB P BC ===== 1(),8P AC =则A,B,C 至少出现一个的概率为 . 2、袋中有7 只红球，5只白球，不放回地陆续取3只，则顺序为红、白、红的概率p = .3、在n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含第一行、第一列元素11a 的概率为8,9则此行列式的阶数n = .4、设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .5、设两个相互独立的事件A B 和都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .二、选择题（每小题4分，共20分）1、设,A B 是样本空间S 中的随机事件，则()()A B A B 表示 [ ]. (A) 不可能事件 (B) ,A B 恰有一个发生(C) 必然事件 (D) ,A B 不同时发生2、对于任意二事件A 和B ，与A B B =不等价的是[ ] . (A) A B ⊂ (B) B A ⊂ (C) AB =∅ (D) AB =∅3、设,A B 为任意两个事件，且,()0,A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是 [ ].(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤(C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥4、设n 张奖券中含m 张有奖奖券，k 个人购买，每人一张，其中至少有1个人中奖的概率是[ ].(A) k n m C (B) 1k n m k n C C -- (C) 11k m n m k n C C C -- (D) 1i k m k i nC C =∑ 5、设,,A B C 三个事件两两相互独立，则,,A B C 相互独立的充要条件是 [ ].(A) A BC 与独立 (B) AB A C 与独立 (C) AC BC 与独立 (D) AB AC 与独立 三、解答题（60分）1、（6分）有n 个人，每个人都以同样的概率1N被分配在N （n N ≤）个房间，试求“某个指定房间中恰有()m m N ≤个人”这一事件A 的概率.2、(12分)某国经济可能面临三个问题：1A =“高通胀”， 2A =“高失业”， 2A =“低增长”，假设123P()0.12,P()0.07,P()0.05A A A ===12P()0.13,A A =13P()A A =0.14,23P()0.10A A =，123()0.01,P A A A =求：（1）该国不出现高通胀的概率；（2）该国同时面临高通胀、高失业的概率；（3）该国出现滞涨（即低增长且高通胀）的概率；（4）该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率；（5）该国至少出现两个问题的概率；（6）该国最多出现两个问题的概率.3、（8分）一个家庭中有两个小孩，（1）已知其中有一个是女孩，求另一个也是女孩的概率；（2）已知第一胎是女孩，求第二胎也是女孩的概率.4、（12分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲买一箱玻璃杯，而顾客开箱随机地查看4只；若无次品则买下，否则退回.试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率.5、(14分) 设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份，5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.四、（8分）设,A B 使任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：()()P B A P B A =是事件,A B 独立的充分必要条件.综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、设事件,,A B C 都是某个随机试验中的随机事件，事件E 表示,,A B C 至少有一个发生，则对E 的构造正确的有 个.(A) AB C (B) ABC Ω- (C) ()[()]A B C C A B -- (D) ABC ABC ABC2、设A,B 为随机事件， ()0.7,()0.3,P A P A B =-=则P()=AB .3、一间宿舍内住有6位同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一月份的概率为.4、在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为__________. 5、事件,A B 相互独立，已知()0.4,()0.7,P A P A B ==则()P B A = .二、选择题（20分） 1、以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[ ] .(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2、假设,B A ⊂则下列命题正确的是 [ ].（A ）()1()P AB P A =- （B ） ()()()P A B P A P B -=-（C ） ()()P B A P B = （D ）()()P A B P A =3、设,A B 为随机事件，且()0,()1,P B P A B >=则必有 [ ].(A) ()()P AB P A > (B) ()()P A B P B > (C) ()()P A B P A = (D) ()()P A B P B =4、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X 中任取一个数，记为Y ，则 {2}P Y == [ ].（A ）14 （B ）1348 （C ）38 （D ）35485、将一枚硬币独立地掷两次：1{}A =掷第一次出现正面，2{A =掷第二次出现 }正面，3{}A =正、反面各出现一次，4{}A =正面出现两次，则事件 [ ]. (A) 123A A A ，，相互独立 (B) 234A A A ，，相互独立(C) 123A A A ，，两两独立 (D) 234A A A ，，两两独立三、计算题（60分）1、（10分）设,A B 是两个事件，且()()0.9,()0.5,P A P B P A B +=+=求：()().P AB P AB +2、（10分）口袋中有两个5角，三个2角，五个1角的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过1元的概率.3、（10分）甲、乙两人独自地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.60.5和，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.4、（10分）无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“A ”时，收到“A ”、“不清”和“B ”的概率分别是0.7,0.20.1和；当发出信号“B ”时，收到“B ”、“不清”和“A ”的概率分别是0.9,0.10.和 假设发报台发出信号A 与B 的频繁程度是3:2,问收到“不清”时，求原发信号是“A ”的概率5、（12分）在n 只袋中有4个白球，6个黑球，而另一袋中有5个白球5个黑球，今从这1n +只袋中任选一袋，从中随即取出两球，都是白球，在这种情况下，有5个黑球和3个白球留在选出的袋中的概率是17，求.n 四、（8分）设,,A B C 三事件相互独立，证明：,,AB AB A B 分别与C 相互独立.。
(完整word版)概率论试题及答案
试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。
随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。
答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。
答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。
答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。
答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。
答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。
假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。
答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
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综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是( D ).A.P (A -B )=P (A )-P (B )B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A.18 B. 16 C. 14 D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120 B. 160 C. 15 D. 125.设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=⎰D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===，且0b >，则参数b的值为( D ).A.12B. 13C. 15 D. 18.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). A.1 B.2 C.1.5 D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110ii X X ==∑~( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)XN X X X μσ是来自X 的样本，又12311ˆ42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).A. 1B.14 C. 12D. 13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.已知121(),(),()433P A P B P C ===，且事件C ,B ,A 相互独立，则事件A ，B ，C 至少有一个事件发生的概率为 6.12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是____0.6_______.13.设随机变量X 的概率分布为)(x F 为X 的分布函数，则(2)F = 0.6 .14. 设X 服从泊松分布，且3=EX ，则其概率分布律为33(),0,1,2,...!k P X k e k k -=== .15.设随机变量X 的密度函数为22,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,则E (2X +3) = 4 .16.设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为2221(,),2x yf x y e π+-= (,)x y -∞<<+∞.则(X , Y )关于X 的边缘密度函数()X f x =22()x x --∞<<+∞ . 17.设随机变量X 与Y 相互独立，且1()0.5,(1)0.3,2P X P Y ≤=≤=则1(,1)2P X Y ≤≤= 0.15 .18.已知,4,1,0.5X Y DX DY ρ===，则D (X -Y )= 3 . 19.设X 的期望EX 与方差DX 都存在，请写出切比晓夫不等式2(||)DX P X EX εε-≥≤ 2(||)1DXP X EX εε-<≥- .20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 0.816 . (附：0(1.33)0.908Φ=)21.设随机变量X 与Y 相互独立，且22(3),(5)XY χχ，则随机变量53XYF (3，5) .22.设总体X 服从泊松分布P (5)，12,,,n X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值，则E X = 5 .23.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则θ的矩估计为_____2_____ .24.设总体),(~2σμN X ，其中202σσ=已知，样本12,,,n X X X 来自总体X ，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为22[,]X X αα+.25.在单边假设检验中，原假设为00:H μμ≤，则备择假设为H 1：10:H μμ> .三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.设A ，B 为随机事件，()0.3,(|)0.4,(|)0.5P A P B A P A B ===，求()P AB 及()P A B +..解：()()(|)0.30.40.12P AB P A P B A ==⨯=；由(|)0.5P A B =得：(|)10.50.5P A B =-=，而()(|)()P AB P A B P B =，故 ()0.12()0.24(|)0.5P AB P B P A B ===.从而()()()()0.30.240.120.42.P A B P A P B P AB +=+-=+-=27.设总体0()0x e x X f x λλ-⎧>=⎨⎩～其它，其中参数0λ>未知，),,,(21n X X X是来自X 的样本，求参数λ的极大似然估计. 解：设样本观测值0,1,2,...,.i x i n >=则 似然函数111()()niii nnx x ni i i L f x eeλλλλλ=--==∑===∏∏取对数ln 得：1ln ()ln ni i L n x λλλ==-⋅∑，令1ln ()0ni i d L n x d λλλ==-=∑，解得λ的极大似然估计为11ˆnii nxxλ===∑.或λ的极大似然估计量为1ˆX λ=.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.设随机变量X 的密度函数为1,022()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：(1)X 的分布函数F (x )；(2)1(1)2P X -<≤；(3) E (2X +1)及DX .解：(1)当x <0时，F (x )=0. 当02x ≤<时，2011()()24xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰. 当2x ≥时，221()()012xx F x f t dt tdt dt -∞==+=⎰⎰⎰.所以，X 的分布函数为： 20,01(),0241,2x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩.(2)1(1)2P X -<≤=111()(1)0.21616F F --=-=或1(1)2P X -<≤=11221011().216f t dt tdt -==⎰⎰(3)因为22014()23EX xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰222301()22EX x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰所以，11(21)213E X EX +=+=； 222()9DX EX EX =-=.29.二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为(1)求X 与Y 的边缘分布；(2)判断X 与Y 是否独立? (3)求X 与Y 的协方差),(Y X Cov .(1)因为(0)0.3,(1)0.7P X P X ====,(0)0.4,(1)0.2,(2)0.4P Y P Y P Y ======,所以，边缘分布分别为：(2)因为(0,0)0.2P X Y ===,而(0)(0)0.30.40.12P X P Y ===⨯=,(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==,所以X 与Y 不独立；(3)计算得：0.7,1,()0.9EX EY E XY ===,所以(,)()Cov X Y E XY EXEY =-=0.9-0.7=0.2.五、应用题（10分）30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X 服从正态分布N (570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力， 计算得平均折断力为575.2，在检验水平0.05α=下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570？ (0.025 1.96u =)解：一个正态总体，总体方差28σ=已知，检验01:570:570H H μμ=≠对检验统计量为~(01).X U N =，检验水平=0.05α临界值为0.0521.96u =得拒绝域：|u |>1.96.计算统计量的值：575.2570575.2,|| 2.6 1.962x u -===>所以拒绝H 0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.概率论与数理统计（经管类）综合试题二（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.某射手向一目标射击3次，i A 表示“第i 次击中目标”，i =1,2,3，则事件“至 少击中一次”的正确表示为 ( A ). A. 123A A A B. 123A A A C. 123A A A D. 123A A A2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为 ( C ). A.12 B. 13 C. 14D. 153. 设随机事件A 与B 相互对立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则有 (C ).A. A 与B 独立B. ()()P A P B >C. )()(B P A P =D. ()()P A P B =4. 设随机变量X 的概率分布为则(10)P X -≤≤= ( B ). A. 0.3 B. 0.8 C. 0.5 D. 15. 已知随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其他10)(2x ax x f ，则a = (D ).A. 0B. 1C. 2D. 36.已知随机变量X 服从二项分布，且44.14.2==DX EX ，，则二项分布中的参数n ,p 的值分别为 ( B ).A.6.04==p n ，B.4.06==p n ，C.3.08==p n ，D.1.024==p n ，7. 设随机变量X 服从正态分布N (1，4)，Y 服从[0，4]上的均匀分布，则E (2X+Y )=(D ).A. 1B. 2C. 3D. 48. 设随机变量X 的概率分布为则D (X +1)= CA. 0B. 0.36C. 0.64D. 19. 设总体~(1,4)X N ，(X 1，X 2，…，X n ) 是取自总体X 的样本(1)n >，221111()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑，分别为样本均值和样本方差，则有 B A.~(0,1)X N 4B.~(1,)X N n22C.(1)~()n S n χ- 1D.~(1)X t n S-- 10. 对总体X 进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值x 为BA. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。