北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十二 抛物线

高中数学高考综合复习专题二十二抛物线

一、知识网络

二、高考考点

1.抛物线定义的应用；

2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；

3.抛物线的焦点弦引出的问题；

4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；

5.抛物线与三角形（或四边形）问题。

三、知识要点

（一）定义与推论

1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.

这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.

2.推论：抛物线的焦点半径公式

设为抛物线上任意一点，则

设为抛物线上任意一点，则

其它情形从略。

（二）标准方程与几何性质

1.标准方程

设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：

①

②

③

④

认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.

其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；

一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；

一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.

2.几何性质

对于抛物线

（1）范围：这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；

（2）对称性：关于x轴对称轴为这条抛物线的轴.

认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）

（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）

（4）离心率：（抛物线主要共性之二）

（三）挖掘与引申

1.抛物线方程的统一形式

（1）

顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为

，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；

焦点，准线；

顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为

，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；

焦点，准线；

（2）

顶点在，对称轴垂直y轴的抛物线方程为：

，其焦点参数；

顶点在，对称轴垂直x轴的抛物线方程为：

，其焦点参数；

2.抛物线的焦点弦

设且PQ为抛物线的一条经过焦点的弦.

（1）弦端点同名坐标的关系

（课本P119）

（推导上述命题的副产品：，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式

（Ⅰ）（课本P118例3引申）。

（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为，则

故有：

（3）的面积公式：

；

（4）焦点半径与的关系

（定值）

（5）平行与垂直关系的其它定值结论

请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。

（四）直线与抛物线

直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：

直线与抛物线交于不同两点

直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；

直线与抛物线不相交

四、抛物线经典例题

例1、

（1）抛物线的焦点坐标为；

（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为；

（3）经过抛物线的对称轴上一点作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为.

分析：

（1）将抛物线方程化为标准方程切入

当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；

当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；

∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为.

（2）这里.注意到焦点半径在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。

①注意到点A在x轴下方，因此，

（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为，则①

又点A在抛物线上，则②

∴由①，②得：

或

∴由①得：p=9或p=1

∴抛物线方程为：或

（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为，

则，且

仿（Ⅰ）解得p=1或p=9

∴抛物线方程为或

（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为，

则，∴p=4

∴此时抛物线方程为

于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为或或.

（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级

经过抛物线的对称轴上一定点作抛物线的弦AB，若设，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。

设弦AB所直线方程为①

由①与联立，消去x ：

∴②

∴③

（Ⅱ）应用上述结论，当a=p，时，由②得

∴B的纵坐标为—4p

例2 、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线方程.

分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

解：注意到抛物线开口大小的不确定性

（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得

∴

∴，解得p=2或p=6。

注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛

物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。

（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N，，