算法设计与分析(一)
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案，本次实验成绩按百分制计，完成各小题的得分如下，每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
（30分）2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
（30分）3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
（40分）提交结果：算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数：";cin>>n;cout<<"请输入数据：";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列："<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：从以下题目中任选一题完成，要求应用递归与分治策略设计解决方案。
算法设计与分析黄丽韵版
算法设计与分析黄丽韵版（1）用计算机求解问题的步骤：1、问题分析2、数学模型建立3、算法设计与选择4、算法指标5、算法分析6、算法实现7、程序调试8、结果整理文档编制（2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程（3）算法的三要素1、操作2、控制结构3、数据结构算法具有以下5个属性：有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。
不存在二义性。
只有一个入口和一个出可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。
输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。
输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。
算法设计的质量指标：正确性：算法应满足具体问题的需求；可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解：健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。
效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。
一般这两者与问题的规模有关。
经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。
迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代模型。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案(1)
算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案习题11. 图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。
七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图 1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入：一个起点输出：相同的点1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。
请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1 m=n图1.7 七桥问题2.2 n=r2.3 r=m-n3 输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。
要求分别给出伪代码和C++描述。
//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#include <iostream>using namespace std;int partions(int b[],int low,int high){int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第1章课后习题答案
第一章课后习题
姓名：赵文浩 学号：16111204082 班级：2016 级计算机科学与技术
1-4 证明等式 gcd(m,n)=gcd(n mod m, m) 对每对正整数 m 和 n，m>0 都成立。
1-13 写一个递归算法和一个迭代算法计算二项式系数：
#include<stdio.h> int Coef_recursive(int n,int m);//递归算法 int Coef_iteration(int n,int m);//迭代算法 int Factorial(int n);//计算 n 的阶乘 int main() { int n,m;
1-12 试用归纳法证明程序 1-7 的排列产生器算法的正确性。
证明：主函数中，程序调用 perm(a,0,n)，实现排列产生器。 ① 当 n=1 时，即数组 a 中仅包含一个元素。函数内 k=0，与(n-1)=0 相等，因此函 数内仅执行 if(k==n-1)下的 for 语句块，且只执行一次。即将 a 数组中的一个元 素输出，实现了对一个元素的全排列。因此当 n=1 时，程序是显然正确的； ② 我们假设程序对于 n=k-1 仍能够满足条件， 将 k-1 个元素的全排列产生并输出； ③ 当 n=k 时，程序执行 else 下语句块的内容。首先执行 swap(a[0],a[0])，然后执 行 Perm(a,1,n)，根据假设②可知，该语句能够产生以 a[0]为第一个元素，余下 (k-1)个元素的全排列； 然后再次执行 swap(a[0],a[0])， 并进行下一次循环。 此时 i=1， 即在本次循环中， 先执行 swap(a[0],a[1])， 将第二个元素与第一个元素互换， 下面执行 Perm(a,1,n)， 根据假设②可知， 该语句产生以 a[1]为第一个元素， 余下(k-1)个元素的全排列； 以此类推，该循环每一次将各个元素调到首位，通过执行语句 Perm(a,1,n)以及 基于假设②，能够实现产生 k 个元素的全排列。 因此 n=k 时，程序仍满足条件。 ④ 综上所述，该排列器产生算法是正确的，证毕。
算法设计与分析王红梅第1章绪论
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}
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算法设计与分析
⑷ 伪代码——算法语言
伪代码（Pseudocode）：介于自然语言和 程序设计语言之间的方法，它采用某一程序 设计语言的基本语法，操作指令可以结合自 然语言来设计。
优点：表达能力强，抽象性强，容易理解
使用方法：7 ± 2
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欧几里德算法
1. r = m % n; 2. 循环直到 r 等于0
2.1 m = n; 2.2 n = r; 2.3 r = m % n; 3. 输出 n ;
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算法设计与分析
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算法设计与分析
1.1.4 算法设计的一般过程
1．理解问题
2．预测所有可能的输入
3. 在精确解和近似解间做选择
算法设计与分析
1.1 算法的基本概念
1.1.1 为什么要学习算法 1.1.2 算法及其重要特性 1.1.3 算法的描述方法 1.1.4 算法设计的一般过程 1.1.5 重要的问题类型
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算法设计与分析
1.1.1 为什么要学习算法
理由1：算法——程序的灵魂
➢ 问题的求解过程：
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算法设计与分析
#include <iostream.h>
int CommonFactor(int m, int n)
欧
{ int r=m % n;
几
while (r!=0)
里
{ m=n;
德
n=r;
算
r=m % n; }
算法设计与分析
算法设计与分析算法设计是计算机科学重要的研究方向之一。
其核心目的是在给定的计算机问题下，设计出一种能够高效完成任务的算法。
在算法设计的过程中，需要考虑多种因素，如算法的正确性、可理解性、可维护性、可移植性以及算法的时间和空间复杂度等。
常用的算法设计策略包括贪心算法、动态规划算法、回溯算法、分治算法等多种。
算法的正确性是算法设计的首要考虑因素之一。
如果一个算法不能够正确地解决问题，那么它的时间复杂度和空间复杂度再低也没有用处。
一般来说，算法的正确性可以通过数学证明来进行验证。
根据不同的算法类型，其正确性验证需要应用不同的证明方法。
时间复杂度和空间复杂度也是算法设计的关键考虑因素。
通常，一个算法的时间复杂度越低，运行时间就越短。
同样地，一个算法的空间复杂度越低，需要占用的内存就越少。
时间复杂度和空间复杂度之间通常是矛盾的，因此需要在两者之间做出权衡。
常用的算法比较基准是时间复杂度，时间复杂度大致可以分为常数阶、对数阶、线性阶、平方阶、立方阶等多个级别，并且可能还存在更高阶的时间复杂度。
在算法设计之后，需要进行算法的分析。
算法分析通常包括平均时间复杂度、最坏时间复杂度和最好时间复杂度的分析。
平均时间复杂度指的是在一组随机输入下的平均运行时间，通常是指输入数据分布的随机分布；最坏时间复杂度指的是运行时间的上界，通常是指特殊的输入情况时，算法运行时间达到最大值；最好时间复杂度指的是算法在最理想情况下的运行时间，通常指输入数据已经有序的情况下的运行时间。
除此之外，尚有许多其他因素需要考虑，例如算法的可扩展性、可移植性、可维护性、可复用性等。
其中的可扩展性指的是算法能够处理的数据规模的大小，通常需要根据不同的数据规模进行不同的优化；可移植性指的是算法能够运行在不同的计算机体系结构之上；可维护性指的是算法在输出结果有问题时，能够容易地找到错误所在并进行修改；可复用性指的是算法能够被其他程序员或其他算法模块所复用。
计算机算法设计与分析(第5版)第1章
算法渐近复杂性
• T(n) , as n ; • (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; • t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 • 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶
问题求解(Problem Solving)
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略
设计算法 证明正确性
分析算法 设计程序
算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
算法的时间复杂性
项留下的主项。它比T(n) 简单。
渐近分析的记号
• 在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。 • （1）渐近上界记号O • O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
0 f(n) cg(n) } • （2）渐近下界记号 • (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
• Tavg(n) = p(I )T (I ) size(I )n
•
for x > -1,
x ln(1 x) x 1 x
•
for any a > 0,
Hale Waihona Puke log b nlim
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The Art of Computer Programming, Donald E.Knuth.
Volume 1-3, Second Edition.
Data Structures, Algorithms, and Applications in
C++(Part 3) Sartaj Sahni, China Machine Press
与算法学习相关的内容
五个方面：设计、表示、证明、分析、测试
1）设计：构思算法的处理规则，创造性的活动。
2）表示：用语言把算法描述出来。类计算机语言、伪代码 （SPARKS语言、类C语言）、流程图、自然语言等 3）证明：证明算法的正确性。 正 确 性：对合法输入能得出正确的答案。 算法证明：证明算法的正确性，与语言无关 程序证明：证明程序的正确性(理论证明，程序逻辑)
举个例子：排序 问题描述：将一组数按从小到大的顺序整理有序 基本思想：小的数往前排，大的数往后排 怎么排？算法
冒泡排序 选择排序 归并排序 快速排序 堆排序 Shell排序 …
每种算法都是一组特定的规则， 规定了一种处理数据的运算方法
问题：既然每种方法都可以实现排序之目的，何必费 心研究这么多排序算法？
算法设计与分析
2013.4
王多强 华中科技大学计算机学院 dqwang@
写在讲课前
一、什么是算法
算法就是计算的方法。 数· 学
数：1，2，3，4，… 学：偶数、质数、微积分…之数的学问 算：加、减、乘、除 法：何时、何处用何计算之算的方法
算· 法
写在讲课前（续）
课程内容：
基本概念：算法的定义、性质、
分析算法的基本方法等 分治策略（Divide and conquer）
贪心方法（Greedy method）
动态规划（Dynamic Programming） 图算法（Graph Algorithms） 回溯与分枝限界 ……
专题
综合实践
本课程需要的基础
数据结构
etc.
一、算法基础
参考资料：
《计算机算法基础》 第二章
《 Introduction to algorithms 》
Chapter 1、 Chapter 3
1.1 算法的定义及特性
1. 什么是算法？
如数字、计算一样，算法是一个基本概念。
算法是解一确定类问题的任意一种特殊的方法。
在计算机科学中，算法是使用计算机解一类问题的精确、 有效方法的代名词；
四、头疼的事：算法太多了，学不过来
是的，千万的问题、万千的算法。都学过来是不可能
的。甚至专一门已经很了不起。
学习算法设计与分析的策略、技术和方法，把握解决
问题的规律，为设计更复杂、更有效的算法奠定基础。 需要同学们不断学习，深入思考，创新设计。
五、算法的学习过程：痛苦并快乐着
1.枯燥的过程
算法，更在于对算法设计方法的掌握上。只有深入理解
算法设计的策略、技术和方法，才能在面对新问题时创
造出新的算法。
算法学习要做到：
深入理解算法设计的一般规律、技术和方法 灵活运用现有的算法解决实际问题 在改造客观世界的过程中，运用学到的知识创造新 的算法，解决新的问题
2. 算法的五个重要特性
的算法奠定基础
1.2 分析算法基础
1. 分析算法的目的
•算法选择的需要：对同一个问题可以设计不同的算法，不
同算法的时间和空间特性是不同的
•算法优化的需要：有没有可以改进的地方，以使算法工作得 更好？ 分析算法的目的在于：通过对算法的分析了解算法的性能， 1）可以在解决同一问题的不同算法之间比较性能的好坏，从而
华中科技大学出版社
Introduction to algorithms, Thomas H. Cormen,etc., third edition, The MIT Press.
Algorithm Design，Michael T. Goodrich 算法设计与分析，王晓东，清华大学出版社
其它参考书
确定性、能行性、输入、输出、有穷性
1）确定性：算法使用的每种运算必须要有确切的 定义，不能有二义性。 例：不符合确定性的运算 5/0 将6或7与x相加 未赋值变量参与运算
2）能行性
算法中有待实现的运算都是基本的运算， 原理上每种运算都能由人用纸和笔在“有限” 的时间内完成。 例：整数的算术运算是“能行”的
上述设计思路对吗？
如何实现？
SPARKS语言算法描述： procedure INSERTIONSORT(A,n) A(0)←-∞ for i←2 to n do item←A(i); j←i-1 while item<A(j) do A(j+1)←A(j); j←j-1; repeat A(j+1) ←item; repeat end INSERTIONSORT //将item插入到正确的位置上 //比item大的元素往后移一位 //继续往前查找 //A[0]做监视哨 //从第二个元素开始循环 //将A[i]放到临时变量item中 //从后往前查找当前元素的插入位置
A(j+1) ←item;
▽将item插入到正确的位置上
基于上述算法，思考：
这个算法描述正确吗？ 能行、确定、输入、输出、有穷？ 正确性证明
运算得快吗？
使用了多少内存？
时间复杂度分析
空间复杂度分析
进一步我们需要回答：
它能够应用到那些领域？ 要做深入进一步分析
利用不同语言实现需要那些技巧?
三、为什么要学习算法
1. 编程序的需要
任何程序都需要算法。 the core of computer science
程序 = 数据结构 + 算法
2. 改造世界的需要
世界上还有很多很多的问题等待你解决，有无数的程序等待 你去编。
3. 国家综合实力的体现（大）
从软实力的角度，算法是国家科技生产力的核心。是国家综 合实力的体现。
繁&烦：学习一个算法如同做一道数学题，多了呢？
ACM ICPC的训练过程：乐于其中
2.智慧的积累
方法的掌握、技术的升华
3.理论的贡献
算法成就或在于理论的贡献，而不仅仅是技术的提高。
如何成就好算法：好思想+好技术
六、好算法
从理论的角度说，好算法应该有较低的时间复杂度（ 高速）和空间复杂度（低耗），但好的算法还要依靠好的 算法实现，需要理论与技术、技巧的结合才能最终实现好 的算法。 从应用的角度说，能有效地解决问题的算法都是好算 法——不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫；不管A算法、B 算法，能解决问题就是好算法（实用了点）。
二、算法分析
了解算法的性能：
算法速度：快还是慢？如何衡量？怎么比较？ 空间使用量(计算机算法*)：大还是小？如何衡 量？怎么比较？
其它方面的性质等。
实例分析：
排序算法的理论分析：（略）
编程序测试
1.冒泡排序真的很慢吗？
数据集元素个数：10、20、1000、10000…
Hale Waihona Puke 2.快速和归并排序都是O(nlogn)的时间复杂度， 到底谁更快一点呢？原因是什么？ 3.冒泡排序会不会比快速排序快？ 来自于实测的结论：可能。
算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定
类型问题的一系列运算。
对算法概念的理解
算法由运算组成
算术运算、逻辑运算、赋值运算、过程调用
算法有其特殊性
解决不同问题的算法是不相同的，有没有一个万能的算法？
算法是有穷的计算过程
静态上：规则/运算/语句的数量有穷 动态上：计算过程/计算时间有限
我们已经接触过的算法：
其一：就像玩智力游戏，人们乐衷于寻找不同的方法解决 各种各样的问题。 其二：研究的需要，算法和算法间是有区别的，我们有必 要去研究，去分析。
性质不同：稳定、不稳定 性能不同：速度、空间 适用场合不同
其三，应用的需求，问题有千百万种，没有万能的算法适 合所有的应用。需要我们找出算法的设计规律，并 设计出解决问题的新算法 怎么选择：根据性能、结合需求、综合选择 如何了解每种算法的性能？算法的分析
一个例子：插入分类
输入：n个元素存放在数组A中：A[1]~A[n]，无序
输出：按照从小到大的顺序重新整理的有序数组A
插入分类算法的设计思想：
1. 将第一个元素（A[1]）看作只有一个元素的有序子序列； 2. 置循环 i=2 to n，将A[i]插入到由A[1]~A[i-1]元素组成的有 序子序列中。 思考问题：
分类（排序）算法：将已知的n个元素按照关键值大小的非增 /非降顺序重新排列。如：冒泡排序、插
入排序、归并排序
查找算法：从已知的元素集合中找出满足要求的一个或一组 元素。如：顺序查找、二分查找、第k小元素 图算法： 在已知的图中找出满足某些性质的结点或边。 如：最短路径算法、最小成本生成树
思考：
我们学会了解决一个个具体问题的算法，那么在 这些算法的设计中有没有一些共性的东西？有没 有可以总结出来的规律、规则和方法？这些规律、 规则和方法对于其它算法的设计有没有指导意义？
能不能找到一些算法设计的一般策略、技术和方 法？
算法：求解问题的一组规则
检索问题 排序问题 路径问题 最优化问题 遍历问题 … 分治策略 贪心策略 动态规划 检索 回溯 分枝限界
发现
规则的设计
指导
设计策略