人教版【教案】 公式法——平方差公式
人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
平方差公式教学设计
平方差公式教学设计作为一位杰出的教职工，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。
如何把教学设计做到重点突出呢？以下是小编精心整理的平方差公式教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。
平方差公式教学设计1一、设计思想本节课是围绕“引导学生有效预习”的课题设计的，通过预设的问题引发学生思考，在学生的预习基础上回答相关的问题，产生对整式的乘法、提公因式法和公式法的对比。
让学生充分自主的对知识产生探究，同时利用数形结合的思想验证平方差公式；再通过质疑的方式加深对平方差公式结构特征的认识，有助于让学生在应用平方差公式行分解因式时注意到它的前提条件；通过例题练习的巩固，让学生把握教材，吃透教材，让学生更加熟练、准确，起到强化、巩固的作用，让学生领会换元的思想，达到初步发展学生综合应用的能力。
二、教材分析本节课是运用提公因式法后公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。
它是整式乘法的平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。
在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。
明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善交流的良好学习惯。
三、学情分析本课程所教授的学生程度相对较好，学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，本节课是整式乘法的平方差公式的逆向应用，学生在前一阶段的学习中掌握效果较好，为本节课的教学奠定了良好的基础。
同时初二的数学教学以“引导学生有效预习”为小课题，学生已经建立较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
但是学生的预习与课堂的学习仍需要教师的合理引导和有效掌握，对一些相对落后的学生来说应注重突出重点，分析透彻，所以在教学时充分考虑到学生已经掌握平方差公式的前提，通过问题引发学生思考，提高学生兴趣入手，培养学生的自主探索，合作交流的能力，在轻松的氛围中完成教学任务，从而增强学好数学的愿望与信心四、教学目标（一）知识与技能1．掌握运用平方差公式分解因式的方法。
平方差公式
平方差公式的教学设一、内容和内容解析本节教学内容是人教版八年级上册第十五章乘法公式第一节，平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，是由一般到特殊的范例,它为后面的利用公式法分解因式及一元二次方程奠定了基础。
这节内容是平方差公式的推导及运用，教材先从几个多项式的乘法入手，归纳出平方差公式，体现了一般到特殊的思维过程；然后用几何图形面积的求解对公式进行了验证，体现了数形结合的思想；最后是对平方差公式的运用，起到举一反三的作用。
这节内容不仅仅教会了学生用平方差公式对多项式乘法进行计算，同时还能提高学生自主学习能力，并且进一步教会了学生一定的数学思想和方法。
因此，本节课的重点是平方差公式及其运用，难点是平方差公式的结构特征及其灵活运用。
二、目标及目标解1、经历探索平方差公式的过程。
学生在计算中感知、发现问题，并尝试归纳结论，从而培养学生自主探究能力。
2、掌握平方差公式的特征。
学生通过计算、观察，探究出平方差公式，在用字母及语言表达的基础上，理解其实质是参与运算的两个多项式中只有相同项和相反项，否则就不能用平方差公式，而结果是用相同项的平方减去相反项的平方。
学生抓住平方差公式的核心，才能对公式正确、灵活运用。
3、熟练利用平方差公式进行计算。
学生要对平方差公式的形式进行熟练的识别，对错题进行正确的辨析，并且利用平方差公式计算，从而对公式加深理解和掌握。
三、教学问题诊断分析1、学生在学习本节内容时已具备用字母表示数的基本知识，学习了多项式的乘法，也有一定的自主探究能力及观察、分析、解决问题的能力。
有多项式乘法法则做基础，平方差公式的学习对学生来说是水到渠成的，因为平方差公式的实质是某些特殊形式的多项式乘法的简便运算。
因此教学开始以一道一般形式和几道特殊形式多项式相乘来探究平方差公式，让学生体会它们的内在联系，避免学生把平方差公式认为是多项式间的一种新的运算。
2、平方差公式看似简单，但一部分学生在学习过程中还是存在问题，主要是他们没掌握公式的结构特征，只是想着简单的运用，而不考虑它的实质，对公式的掌握模棱两可，如计算（－4x －2）（4x －2）时， 得 到 的结果是16x 2 －4 ，或者认为（－3x ＋21）（3x －21）能用平方差公式计算，而且结果是3x 2－41，错误的认为是前一项的平方减去后一项的平方 ，所以一定要让学生了解运用平方差公式的前提是参与乘法运算的两个多项式中只有相同项和相反项，并且结果是用相同项的平方减去相反项的平方，与这些项在多项式中的前后顺序无关。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
平方差公式教案范文
平方差公式教案范文一、教学目标：1.知识目标：掌握平方差公式的概念和应用。
2.能力目标：能够熟练使用平方差公式解决相关问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高解决问题的能力。
二、教学重点：1.平方差公式的定义和使用。
2.通过实例演练，巩固和扩展平方差公式的运用。
三、教学难点：1.学生理解平方差公式的推导过程。
2.学生能够将平方差公式灵活运用到实际问题中。
四、教学准备：1. 教师准备一个平方差公式的推导过程的ppt。
2.学生准备纸和笔，做相关练习。
五、教学过程：1.情境导入（10分钟）教师可以通过一个问题来导入平方差公式的概念，比如：已知一个正方形的边长为a，要构造一个面积为4a的正方形，该正方形的边长应该是多长？引导学生思考求解方法。
2.引出平方差公式（15分钟）在引出平方差公式之前，教师可以通过举例子的方式让学生感受平方差的规律。
例如：（a+b）² = a² + b² + 2ab，（a-b）² = a² + b² -2ab，便于学生对比两个式子的不同。
接下来，通过几何图形的方式解释平方差公式的推导过程，并一步一步地推导出平方差公式。
3.平方差公式的应用（30分钟）教师可以设计一些实际问题，让学生将平方差公式应用到解题中。
例如：已知一个矩形的长为a，宽为b，且它的面积为16，求a²-b²的值。
通过这样的练习，培养学生灵活运用平方差公式解决实际问题的能力。
4.练习和巩固（25分钟）教师可以给学生一些练习题，让他们巩固和扩展平方差公式的运用。
例如：(1)求下列各式的值：（2a-3b）²、（3a+4b）²、（2x-5y）²等。
(2)若a²-b²=20，a+b=10，求a和b的值。
(3)若一个长方形的面积是32，较长的边长大于较短的边长2，求长方形的长和宽。
五、小结和拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调平方差公式的重要性和运用方法。
平方差公式教案
14.2.1平方差公式教案一、内容和内容解析1.内容：平方差公式.2.内容解析平方差公式是以多项式乘法为基础知识，某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。
当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。
平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
平方差公式是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。
公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的字母a,b可以是单项式也可以是多项式，乃至任何代数式。
平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算推导出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。
探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般形式，并通过推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题的方法。
在用图形说明平方差公式时，又蕴含了数形结合的思想。
综上所述，本课教学重点：平方差公式二、目标和目标解析1、目标（1）理解平方差公式的推导过程；（2）掌握平方差公式的结构特征并能运用公式进行计算；（3）经历平方差公式的探究过程中，体验从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维方法，感知数形结合的数学思想。
2.目标解析达成目标(1)的标志:学生知道平方差公式是多项式乘法的特殊形式，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式。
达成目标(2)的标志:理解平方差公式的结构特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数字、字母、单项式、多项式时能准确找出公式中的相同项和相反项，并能正确进行计算。
达成目标（3）的标志:在用多项式乘法推导平方差公式时感悟从具体到抽象、从一般到特殊的思想方法；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的数学思想。
三、教学问题诊断分析由于公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的a，b本身可能为负数，而且a、b可以是具体的数、单项式、多项式等，情況比较复杂，对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，尤其是当第一个数a为负数时，如：(-x+2y)(-x-2y)，诸如此类题型容易混淆，学生感到会有困难。
人教版数学八年级上册14.3.2公式法---平方差公式教案1
作
平方差公式：a2－b2=（
）（
）
探
究 语言叙述：
注：整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是
关系；
例 1 把下列各式分解因式： （1）4x2 – 9
(2)(x+p)2 – (x+q)2
解原式=（ ）2-（ ）2 =
解原式=（ ）2-（ ）2 =
特殊说明：平方差公式中的字母 a、b，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.
2、判断正误
（1） x2+y2=（x+y）（x－y）;
（ ） （2）x2－y2=（x+y）（x－y）;
（）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （ ） （4）－x2－y2= －（x+y）（x－y） （ ）
1．把多项式分解因式： (1) 3x3y–12xy
(2) 5m2a4 5m2b4
(3)（x+y）2－49（x-y）2
2. 运用简便方法计算：(1)25×1012－992×25=
达 标 3. 若 n 为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2 能被 8 整除吗 训 练
(2) 20072-49
总 课堂总结： 结 反 课后反思： 思
方法指导
知识回顾：
自 主 学
1、什么叫多项式分解因式? 2、分解因式和整式乘法有何关系? 3、已学过哪一种分解因式的方法?
习 1．你能将 a2－b2 分解因式吗？ 你是如何思考的？
3.把多项式 a3b-ab3 分解因式：得 a3b-ab3=ab(a2-b2),还能分解吗？
什么?
探究：填空：
专题14-18 因式分解-平方差公式(知识讲解)(人教版)
专题14.18 因式分解-平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式（1）4x 2-16 （2）16-125m 2 （3）()222x y x +- （4）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）()()22a b a b a b -=+-a b a b【答案】（1）()()422x x +-；（2）114455m m ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()3x y x y ++； （4）()()()3232x y a b a b --+；【分析】 （1）先提取公因式，再运用平方差公式分解；（2）直接运用平方差公式分解；（3）直接运用平方差公式分解，注意合并即可；（4）先提取公因式，再运用平方差公式分解；【详解】（1）原式=()244x -=()()422x x +- （2）原式=114455m m ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=()()22x y x x y x ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()3x y x y ++（4）原式=()()2294x y a b --=()()()3232x y a b a b --+【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法和使用顺序是解题关键． 举一反三：【变式1】因式分解：(1) 33a b ab -； (2) 44-b a ．【答案】（1）()()ab a b a b +-，（2）22()()()a b a b a b ++-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可；（2）运用平方差公式进行两次分解因式即可解答．解：（1）33a b ab -=22()ab a b -=()()ab a b a b +-；（2） 44-b a=2222+)((a b )a b -=22()()()a b a b a b ++-．【点拨】本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．2、()()22324a b a b +--【答案】()()423a b a b -+【分析】首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．解：原式()()324324a b+a b a b a b =+-+--⎡⎤⎣⎦ ()()42324a b a b a b =-+-+()()2226a b a b =-+()()423a b a b =-+【点拨】本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键．【变式2】分解因式（1）228ax a （2）2221x xy y -+- （3）441681-x y【答案】（1）()()222a x x +-；（2）()()11x y x y -+--；（3）()()()22492323x yx y x y ++- 【分析】（1）先提公因式2a ，再利用平方差公式分解因式可得到答案；（2）利用分组分解法，把原式化为：()21x y --，再利用平方差公式分解即可得到答案；（3）先把原式化为：()()222249x y -，再利用平方差公式分解为：()()22224949x y x y +-，再次利用平方差公式把2249x y -分解即可得到答案． 解：（1）228ax a()224a x =-()()222a x x =+-（2）2221x xy y -+-()21x y =-- ()()11x y x y =-+--（3）(1)(3)1x x --+244x x =-+()22x =-（4）441681-x y ()()222249x y =- ()()22224949x y x y =+-()()()22492323x y x y x y =++-【点拨】本题考查的是因式分解，掌握提公因式与公式法，分组分解法分解因式是解题的关键．类型二、平方差公式的应用3、n 为整数，证明：（2n +1）2－1能被8整除．【分析】先利用因式分解把原式化为()41n n +，根据n 和n+1是两个连续整数，()1n n +能被2整除即可求证本题．解:（2n +1）2－1=()()()()21121122241n n n n n n +++-=+=+， ∵n 是整数，∵n 和n+1是两个连续整数，()1n n +能被2整除，∵()41n n +能被8整除，即（2n+1）2－1能被8整除．。
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公式法——平方差公式
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[师生共析]
[例1]（1）
（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x ，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a ；（1）中的3，（2）中的x+q 相当于平方差中的b ，进而说明公式中的a 与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
[例2]（1）x 4-y 4可以写成（x 2）2-（y 2）2的形式，这样就可以利用平方差公式
进行因式分解了．但分解到（x 2+y 2）（x 2-y 2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a 3b-ab•有公因
式ab ，应先提出公因式，再进一步分解．
解：（1）x 4-y 4
=（x 2+y 2）（x 2-y 2） =（x 2+y 2）（x+y ）（x-y ）．
（2）a 3b-ab=ab （a 2-1）=ab （a+1）（a-1）．
学生解题中可能发生如下错误：
（1）系数变形时计算错误；
（2）结果不化简；
（3）化简时去括号发生符号错误．
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教学反思 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
§14．3．2 公式法（1）
一、1．复习提公因式法分解因式．
2．将a 2-b 2分解因式．
用平方差公式分解因式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）
二、例题讲解。