【精品】第一章极限与连续

第一章 极限与连续第一节 函数函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。

一、函数的概念在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。

这些量可分为两类。

一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子34π3V r =给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。

1.函数的概念定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如()y g x =,()y x ϕ=等.数集D 称为函数的定义域。

当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值的集合称为函数的值域.例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1()2f ,()f x -，(1)f a +.解：2(0)302011f =⨯-⨯+=21113()3()2()12224f =⨯-⨯+= 22()3()2()1321f x x x x x -=⨯--⨯-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=⨯+-⨯++=++例2 求下列函数的定义域（1)2()531f x x x =++ （2)2()23xf x x x =--（3）()f x =（4)()ln(21)f x x =-（5）arcsin(41)y x =+ （6)12y x =- 解：(1)函数的定义域为(,)-∞+∞(2）要使函数有意义，须满足2230x x --≠.即：1x ≠-且3x ≠，即定义域为(,1)(1,3)(3,)-∞--+∞(3)要使函数有意义，须满足24x -≥0，解得－2≤x ≤2，即定义域为[2,2]-(4）要使函数有意义，须满足210x ->，解得12x >，即定义域为1(,)2+∞ （5)要使函数有意义，须满足－1≤41x +≤1,解得12-≤x ≤0,即定义域为1[,0]2-（6)要使函数有意义，须满足29x -≥0且20x -≠，解得－3≤x ≤3且2x ≠，即定义域为[3,2)(2,3]-需要注意的是，在实际应用问题中，除了要根据解析式本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑变量的实际意义.如半径为r 的球的体积34π3V r =这个函数，从函数本身来说，r 可取任意实数，从它的实际意义来说，半径r 不能取负数，因此它的定义域是区间[0,)+∞.2.函数的两个要素函数的定义反映了自变量x 与因变量y 之间的依赖关系.它涉及到定义域，对应法则和值域.显然，只要定义域和对应法则确定，则值域也就确定了.因此，函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素.两个函数,只要它们的定义域和对应法则相同，就是相同的函数.例3 判定下列各对函数是否相同（1）2lg y x =与2lg y x = （2）||y x x =与2y x =（3)w =y =解:(1)2lg y x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lg y x =的定义域是(0,)+∞，它们的定义域不同,所以这两个函数不是相同的函数.（2)这两个函数的定义域都是(,)-∞+∞，但是它们的对应法则不同，所以它们不是相同的函数。

（3）这两个函数的定义域和对应法则均相同，所以它们是相同的函数. 3。

函数的表示法常见的函数表示法有三种：解析法、表格法和图像法。

现举例如下： （1）y =这是用解析法表示的函数，它的定义域(,1]-∞. (2）我国近几年出口额（单位：亿元)如表1。

1所示： 表1.1这是用表格法表示的函数，定义域｛1985，1990,1995，1998，2000，2002}.(3）小红以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分,这段时间内她跑步的速度y （单位:米/分)与跑步时间x (单位：分）变化的函数关系如图1-1所示。

4。

分段函数上例中，y 与x 之间的函数关系可由解析式表示为：20200(05)300(515)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩像这样,由两个或两个以上的式子表示的一个函数叫分段函数.需要注意的是：分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函数，而不是几个函数;画它的图像时，要在同一个坐标系内分段来画；它的定义域是各段自变量x 取值范围的并集；求函数值时要根据自变量的不同的取值范围，选用不同的对应规则进行计算。

例4 设函数2101()11112x x f x x x x ⎧+ ≤<⎪= =⎨⎪- <≤⎩，求1()2f ，(1)f ,1(1)2f ,及函数的定义域，并画出函数的图像.解：2111()()11224f =+=，(1)1f =，111(1)11222f =-=- 定义域为[0,2],其图像如图1—2所示.图1—2二、函数的性质1。

有界性设函数()f x 在集合D 上有定义,如果存在一个正数M ,对于所有的x D ∈，恒有|()|f x M ≤，则称()f x 在D 上有界.否则称()f x 在D 上无界.函数()f x 在区间[,]a b 上有界的几何意义是：函数()f x 在区间[,]a b 上的图像位于二直线y M =与y M =-之间。

如图1—3.如sin y x =，cos y x =在(,)-∞+∞上有界，因为|sin |x ≤1，|cos |x ≤1，而1y x=在(0,2)内无界.2.单调性设函数()f x 在区间(,)a b 内有定义,若对任意的1x ，2(,)x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <,则称()f x 在(,)a b 内单调增加,如果对任意的1x ,2(,)x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x >，则称()f x 在(,)a b 内单调减少。

如：xy a =，当1a >时,在R 内单调增加；当01a <<时，在R 内单调减少。

3。

奇偶性设函数()f x 在集合D 上有定义,若对于任意的x D ∈，恒有()()f x f x -=，则称()f x为偶函数；若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。

如：sin y x =在R 内为奇函数，cos y x =在R 内为偶函数,2sin y x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.4.周期性设()f x 在集合D 上有定义，若存在不为零的数T ，使得对于任意的x D ∈，有()()f x T f x +=恒成立，则称此函数为周期函数。

满足这个等式的最小正数T ,称为函数的最小正周期，简称周期.如：sin y x =，cos y x =是以2π为周期的周期函数。

三、反函数在函数关系中，自变量与因变量的确定并不是一成不变的，二者是相对的,于是就有了反函数的概念。

定义1.2 已知函数()y f x =,其值域设为M ，如果对于M 中的每一个确定的y 值，由关系式()y f x =能唯一确定一个x 值与之相对应，那么就得到了一个定义在M 上的以y 为自变量，x 为因变量的函数，称它为()y f x =的反函数，记作1()x fy -=。

习惯上总是用x 表示自变量，y 表示函数,通常把1()x f y -=改写为1()y f x -=。

()y f x =与1()y f x -=互为反函数。

已知函数()y f x =，求它的反函数，只须将x 解出来，并交换字母x 、y 即可。

例5 求函数312x y -=的反函数. 解：由312x y -=得213y x +=，交换x 与y ，得213x y +=，即213x y +=()x R ∈是312x y -=的反函数. 可以证明，在同一坐标系内,函数与反函数的图像关于y x =对称.需要注意的是：函数在定义域上不一定存在反函数。

但是，将函数限定在定义域的某个子集上，就可能存在反函数。

如,三角函数sin x 、cos x 、tan x 、cot x 在各自定义域上都不存在反函数。

为了讨论它们的反函数,限定自变量的取值范围.例如,sin y x =在[,]22ππ-上存在反函数，它的反函数就是反正弦函数arcsin y x =；cos y x =在[0,]π上存在反函数，它的反函数就是反余弦函数arccos y x =；tan y x =在(,)22ππ-上存在反函数,它的反函数就是反正切函数arctan y x =；cot y x =在(0,)π上存在反函数,它的反函数就是反余切函数arccot y x =。

第二节 初等函数一、基本初等函数微积分学中通常将常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数统称为基本初等函数.1。

常数函数y C =它的定义域是(,)-∞+∞，它的图像是一条平行于x 轴的直线,如图1—4.2.幂函数y x α=它的定义域随α的不同而异，但在(0,)+∞内总是有定义的,且图像都过(1,1)点。

当0α>时，在(0,)+∞内单调递增;当0α<时，在(0,)+∞内单调递减。

如图1—5.3。

指数函数xy a =（0a >，且1a ≠）它的定义域是(,)-∞+∞,值域是(0,)+∞。

当1a >时,函数单调增加；当01a <<时，函数单调减少.如图1-6.4.对数函数x y a log =（10≠>a a 且）它的定义域是(0,)+∞,值域是(,)-∞+∞.当1a >时，函数单调增加；当01a <<时，函数单调减少.如图1-7。

5。

三角函数sin y x =，sec x =，csc y x =。

（1）正弦函数sin y x =的定义域是(,)-∞+∞，值域为[1,1]-，奇函数,以2π为周期，有界，如图1-8。

（2)余弦函数cos y x =的定义域是(,)-∞+∞,值域为[1,1]-，偶函数，以2π为周期,有界，如图1—9。

（3）正切函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，值域为(,)-∞+∞，奇函数，以π为周期，无界,如图1-10。