高等数学 第一章 函数 极限 连续
高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大
旧课复习（5′） 1．数列的极限；2．函数的极限； 3．极限的四则运算； 4、两个重要极限 新课内容§1.3 无穷小与无穷大（53'）1、无穷小定义如果 lim ()0x f x →ℜ=，则称ℜ→x x f 是)(时的无穷小量，简称无穷小。
例如，函数24y x =-是当2x →时的无穷小，因为2lim(24)0x x →-=，注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。
无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。
一个量不管多么小，都不是无穷小量。
零是惟一可作为无穷小的常数。
（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷大定义当x →ℜ时，()f x 无限增大，则称)(x f 是x →ℜ时的无穷大量，简称无穷大。
记作lim ()x f x →ℜ=∞。
例如，11lim1x x →=∞-，2lim x x →∞=∞。
注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。
（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。
（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。
3、无穷大与无穷小的关系 如果lim ()x f x →ℜ=∞，那么1lim0()x f x →ℜ=； 如果lim ()0x f x →ℜ=（lim ()0x f x →ℜ≠），那么1lim()x f x →ℜ=∞。
证明从略。
例1：计算分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。
分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。
2123lim54x x x x →-=∞-+ 例2 计算2332lim 21x x x x →∞++-。
分析：∞→x 时分子∞→，分母∞→，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂3x解 23233232lim lim 021211x x x x x x x x x→∞→∞++==+-+-。
《高等数学》 第一章(上)
25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节 函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函 数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应 法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通 常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同， 对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节 函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号， 也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它 分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成 本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函 数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ． 其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
《高等数学》函数极限与连续
《高等数学》函数极限与连续
能力目标
培养学生抽象思维能力和计算能力， 利用极限思想解决实际问题.
德育目标
通过函数概念的学习，可对学生进行运 动变化、对立统一观点的教育.通过极 限概念的学习，可使学生理解有限和无 限的辩证关系，对学生进行辩证唯物主 义教育.
《高等数学》函数极限与连续
y ln(2x3),反函数的定义域 (3为,). 2
《高等数学》函数极限与连续
函数的几种特性
1 奇偶性
设函y数 f(x)在定义D域 关于原点,对 对称 任x意 D都有： 若f(x) f(x),则称 y f(x)为偶函,图 数像关y轴 于对称； 若f(x)f(x),则称 y f(x)为奇函,图 数像关于原点对称 即不是奇函数也函不数是的偶函 ,称数为 非奇非偶. 函数
2 周期性
设 T为一个不,如 为果 零 y 函 的 f(x)数 对 常于 数 x 任 D , 意 都x有 TD ,且 f(xT)f(x),则y称 f(x)是 周期.使 函 上述关系式 正T 成 数 ,称立 为的 函 周 最 .数 期 小 的
例函y数 sin x和 ycox都 s 是 2为 以周期的. 周期函
《高等数学》函数极限与连续
3 单调性
设函y数 f(x)在区(a间 ,b)内有定 ,对义 于任 a意 x x b都有 :
1
2
若f(x)f(x),则称 yf(x)在区(a间 ,b)内为 单调增加 , 函数
1 加 ；区 间
若f(x)f(x),则称 yf(x)在区(a间 ,b)内为 单调减少 , 函数
解: f(a1)(a1)31a33a23a;
f(1)(1)3111.
xx
x3
高等数学第一章函数与极限的总结
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
思考题
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
数列的有界性：
定义: 对数列 xn, 若存在正数 M , 使得一切正 整数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界,
否则, 称为无界.
补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2．函数的单调性:
解 16 x 2 0, x 1 0, x 1 1,
x 4
x
1
x 2
1 x 2及2 x 4,
即(1,2) (2,4).
例
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x)
恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
高等数学教材的目录部分
高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
高等数学(1)函数极限与连续(1)
x
x
2, 1,
于是函数 f (x) arcsin(x 1) ln(x 1) 定义域为 (1,2].
x 1 0,
x 1,
（2）函数的定义域应满足 x 2 x 2 0, 即 x 2 x 2 0,
1 2 x 1. 1 x 2 3.
于是函数的定义域为[1,2) (2,3] .
第一章 函数 极限与连续
一、函数
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的
函数关系.
定义 设 D R, f 是一个对应法则.对于D 中任意的x ,按照
对应法则 f ,总存在唯一的一个 yR 与x 对应,则称对应法则
f :D R是定义在D 上函数,记为y f (x),x D .其中x 为自变量,
例 2 若函数y f (x) 的定义域为[0,1] ,试求函数y f [ln(x 1)], y f (sinx)的定义域.
解 因为 函数 y f (x) 的定义域为[0,1] ,所以 y f [ln(x 1)] 的 定 义域应满足 0 ln(x 1) 1,即1 x 1 e , 于是x 应满足1 x 1 e . 故 函数 的定 义域为 [1,e ] .
于是所求反函数为x 3 y 或 y 3 x .
例
求函数y
1
1 x
2
,
x 0, 的反函数
x 2 1, x 0.
解
当x 0时,
0y 1,
此时由y
1 1x2
可得x
1 y
1
;当
x 0 时, y 1,由y x 2 1可得x y 1 . 所以,所求反函数为
数 f (x)在 D 上有界.也称函数 f (x)是D 上的有界函数. 例如函数y sinx,y cosx,y x2(0 x 1) 都是有界函数. 若函数 f (x)的定义域 D 是一个关于原点对称的区间,且对于
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第一章函数极限连续
教学要求
1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。
2.理解数列极限、函数极限的定义。
3.掌握极限的四则运算法则。
4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。
理解无穷小的性质。
5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。
熟练掌握两个重要极限求极限。
6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。
教学重点
函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。
教学难点
函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。
教学内容
第一节函数
一、函数的定义与性质
1.集合；
2.邻域；
3.常量与变量；
4.函数的定义；
5.函数的特性。
二、初等函数
1.反函数；
2.复合函数；
3.初等函数。
三、分段函数
第二节极限与连续
一、数列极限
1.数列极限的定义；
2.收敛数列的性质。
二、函数极限
1.函数极限的定义；
2.函数极限的性质；
3.函数极限的运算。
三、函数的连续性
1.连续函数的概念；
2.函数的间断点；
3.连续函数的运算；
4.初等函数的连续性。