组合数学：1-2 排列组合的生成
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现知识储备排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。
只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。
只要组合里面数不同即可组合算法本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。
value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。
?首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。
?然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。
组合的个数为：例如求5中选3的组合：1 1 1 0 0 --1,2,3?1 1 0 1 0 --1,2,4?1 0 1 1 0 --1,3,4?0 1 1 1 0 --2,3,4?1 1 0 0 1 --1,2,5?1 0 1 0 1 --1,3,5?0 1 1 0 1 --2,3,5?1 0 0 1 1 --1,4,5?0 1 0 1 1 --2,4,5?0 0 1 1 1 --3,4,5代码如下：#include iostreamusing namespace std;void Show(int ,int index[],int value[]);bool judge(int,int ,int index[]);void change(int ,int ,int index[],int value[]);int main()int i,n,m;cout"请输入元素个数：";cout"请输入选多少元素:";int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假for(i=0;in;i++)value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以change(n,m,index,value);return 0;void Show(int n,int index[],int value[])for(i=0;in;i++)if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";coutendl;bool judge(int n,int m,int index[])for(i=n-1;i=n-m;i--)if(!index[i]) ?return false;return true;void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数int i,j,num=0;for(i=0;im;i++)index[i]=1;Show(n,index,value); --第一个组合while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01if(index[i]==1index[i+1]==0)index[i]=0;index[i+1]=1;--将01组合左边的1全部放在数组最左边int count=0;for(j=0;ji;j++)if(index[j])index[j]=0;index[count++]=1;Show(n,index,value); ?--输出cout"共有"num"种"endl;quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；--- param name="n"Int32类型的正整数-paramx = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。
排列组合的生成
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详细描述
该算法从第一个位置开始，将元素逐个插入到已排序的序列中，每次插入后都重新对整个序列进行排序，直到所 有元素都插入完毕。这种方法简单易懂，但效率较低，时间复杂度为O(n^2)。
递归法
总结词
通过递归调用自身来生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，对于给定的n个元素，先考虑第一个元素，将其与其他元素进行全排列，然后 再考虑第二个元素，将其与剩余的元素进行全排列，以此类推，直到所有元素都被考虑完毕。这种方 法思路简单，但实现起来较为复杂，需要处理递归终止条件和回溯。
密钥管理
在密钥管理中，排列组合可用于生成唯一的密钥， 确保通信双方的安全通信。
加密算法
排列。
数据加密
数据加密标准
排列组合可用于实现数据加密标 准（DES），通过对数据进行一 系列的置换和组合操作，确保数
据的机密性和完整性。
排列组合的生成
目录
• 排列组合的基本概念 • 排列的生成算法 • 组合的生成算法 • 排列组合的应用场景 • 排列组合的优化策略
01
排列组合的基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），按照一定的顺序排成 一列，称为从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。
排列的表示
迭代法
总结词
通过迭代的方式生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，从第一个元素开始，依次将每个元素放到当前位置，然后对剩余 的元素进行全排列，直到所有元素都被考虑完毕。这种方法需要使用额外的数据结构来
保存中间结果，但时间复杂度较低，为O(n!)。
03
组合的生成算法
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
123排列组合公式算法
123排列组合公式算法
排列和组合是组合数学中常用的概念，用于计算从给定集合中选择元素的不同方式。
下面是排列和组合的公式和算法示例：
1.排列公式：
-公式：P(n, r) = n! / (n - r)!
-算法示例（Python）：
import math
def permutation(n, r):
return math.factorial(n) / math.factorial(n - r)
2.组合公式：
-公式：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
-算法示例（Python）：
import math
def combination(n, r):
return math.factorial(n) / (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))
在上述算法示例中，使用了 Python 的 math 模块中的 factorial 函数来计算阶乘。
可以根据需要将这些算法适应到其他编程语言中。
需要注意的是，排列和组合的计算可能会面临组合爆炸的问题，当 n 和 r 很大时，计算阶乘可能会导致计算复杂度增加。
在实际应用中，可能需要考虑使用递推算法、动态规划等方法来优化计算过程。
另外，还可以使用递归等方法实现排列和组合的计算，但需要注意处理边界条件和重复计算的问题。
把正整数n分为1和2的组合方式
正整数n可以被分为不同的正整数序列1和2的组合方式。
这是一个经典问题，它可以用来讲解递归函数的应用，也可以用来解释动态规划的思想。
现在，我们就来探讨一下如何把正整数n分为1和2的组合方式。
一、递归函数的应用1.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
1.2 解决思路我们可以定义一个递归函数f(n)，它表示把正整数n分解为1和2的组合方式的个数。
那么，当n大于2时，可以根据最后一个数是1还是2来递归求解。
如果最后一个数是1，则剩下的n-1的组合方式就是f(n-1)；如果最后一个数是2，则剩下的n-2的组合方式就是f(n-2)。
可以得出递归关系式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
1.3 代码实现根据上述递归关系式，可以很容易地写出代码实现：```pythondef f(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return f(n-1) + f(n-2)```1.4 时间复杂度分析通过递归函数的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
但是，递归函数的时间复杂度较高，为O(2^n)，因此在n较大时，算法的效率会变得很低。
二、动态规划的思想2.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
2.2 解决思路我们可以利用动态规划的思想来解决这个问题。
定义一个数组dp，其中dp[i]表示把正整数i分解为1和2的组合方式的个数。
那么，对于任意的i大于2，dp[i]的值可以根据dp[i-1]和dp[i-2]来计算得出。
2.3 代码实现根据上述定义，可以写出动态规划的代码实现：```pythondef partition(n):dp = [0] * (n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```2.4 时间复杂度分析通过动态规划的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
排列组合公式的推导过程
排列组合公式的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合公式的推导过程，这可有意思啦！你想想看啊，排列组合就像是给一堆东西排排队、分分堆儿。
比如说，有几个不同的数字，咱要看看能有多少种不同的排列方式。
咱先从简单的开始。
就拿三个数字 1、2、3 来说吧，那它们能排出多少种不同的顺序呢？123、132、213、231、312、321，六种对吧！这就是排列。
那怎么来推导这个公式呢？咱可以这么想，第一个位置可以有三种选择，选了一个之后，第二个位置就只剩下两种选择了，到了第三个位置就只有一种选择啦。
这不就像走楼梯，第一步有好多路可以走，第二步就少了一些，第三步就没得选啦。
那这样一来，总共的排列数不就是 3×2×1 嘛。
再复杂一点呢？假如有 n 个不同的元素，那第一个位置就有 n 种选择，第二个位置就有 n-1 种选择，第三个位置就有 n-2 种选择，一直这么下去，到最后一个位置就只有 1 种选择啦。
这不就推导出排列公式A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×……×1 嘛。
那组合呢，又有点不一样啦。
还是那几个数字 1、2、3，咱现在不是要排顺序，而是要选几个出来组成一组。
比如选两个数字组成一组，那有 12、13、23 这几种组合。
组合公式的推导就像是在一堆排列里，把重复的给去掉。
比如说三个数字选两个的排列有 12、21、13、31、23、32 六种，但组合就只有三种，因为 12 和 21 其实是一样的组合呀。
咱可以这么想，先算出排列的数量，然后再除以那些重复的部分。
那组合公式 C(n,m)=A(n,m)/m! 不就出来啦。
你说这是不是挺神奇的？就这么几个简单的道理，就能推导出这么有用的公式。
以后咱遇到什么选东西、排顺序的事儿，都能用得上。
你再想想，生活里不也到处都是排列组合嘛。
比如你今天出门穿哪件衣服，那也是一种排列组合呀。
总之呢，排列组合公式的推导过程就像是一个小小的魔术，把看似复杂的问题变得有条有理。
排列组合的计算方法及过程
排列组合的计算方法及过程排列组合是数学中常用的计算方法，用于确定从一组元素中选择若干个元素的方式。
下面是排列组合的计算方法及过程：1. 排列 (Permutation)：排列是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，排列数记为P(n, r)或nPr，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
2. 组合 (Combination)：组合是从一组元素中选取若干个元素进行无序组合的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，组合数记为C(n, r)或nCr，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)下面通过一个具体的例子来说明排列组合的计算过程：例：从A、B、C、D四个元素中选取3个元素进行排列和组合。
1. 排列：a. 计算排列数：P(4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 = 24b. 列出所有排列方式：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC,BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC,CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB,DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB2. 组合：a. 计算组合数：C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4b. 列出所有组合方式：ABC, ABD, ACD, BCD通过以上例子，可以看到排列和组合的计算方法和过程。
在实际应用中，排列组合常用于统计学、概率论、组合优化等领域，能够帮助解决很多问题。
组合数学之排列组合生成算法
我们可以如下建立序列与排列的对应:
(an-1,an-2, ,a2,a1)满足条件(2.1). 则它所对应的排列为(p)=p1p2pn, 其 中ai 可以看作是排列(p)中数i+1所在位 置后面比i+1小的数的个数. 要说明这种对应的合理性, 必须清楚. 如何由序列产生出它所对应的排列. 我们通过一个具体的例题说明思想方 法.
a3a2a1 200 201 210 211 220 221 300 301 310 311 320 321
p1p2p3p4
1423 2413 1432 2431 3412 3421 4123 4213 4132 4231 4312 4321
14
比如其中的序列(221)所对应的排列:
先由a3=2决定4的位置 再由a2=2决定3的位置 再由a1=1决定2的位置
12
利用序列得到相应排列是关键,
可以设 想为给n个格子中填写1,2,…,n. 如上面 的例题:
4 2 1 3
例2.2 设集合S=1,2,3,4, 用序数法生成S 的全部排列. 解 用序数法, 由各个序列对应生成的排 列, 如表2.1所示.
13
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
17
例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式 排序, 它的下一个排列是谁? (q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为 135即得到最后的排列(q)]
3 4
2
1
满足条件(2.1)的n!个序列很容易产生
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对上述过程，一般地，对于i，将前一步所得的每 一排列重复 i 次，然后将 i 由第一排的最后往前移， 至最前列，正好走了 i 次,下一个接着将 i 放在下一 排列的最前面，然后依次往后移，一直下去即得 i 元排列。 下面我们用较正式的语言来说这件事。
对给定的一个整数k，我们赋其一个方向，即在其 上写一个箭头（指向左侧或右侧）
1.2 排列组合生成算法
1. 全排列的生成算法 2. 组合的生成算法
3. 一般排列的生成算法
1. 全排列的生成算法
全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有 效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚 举出来。
这里介绍4种全排列算法： (A) 直接生成法 (B) 序数法 (C) 字典序法 (D) 换位法
n的p进制表示： n a i p i , 0 a i p
i 1
i 1 k
我们来看另一种表示
n!=((n-1)+1)(n-1)!=(n-1)(n-1)!+(n-1)!, (n-1)!=(n-2)(n-2)!+(n-2)!, …, 故 n!= (n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+…+2×2!+2!
3. 一般排列的生成算法
n中取r的排列生成可以由组合生成和全排列生成 结合而得到。
839647521的下一个为839651247。
一般而言，设P是[1,n]的一个全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn
(1) 找出 j=max{ i |Pi<Pi+1}，k=max{ i |Pi>Pj}； (2) 对换 Pj，Pk； (3) 将 Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转， P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即是P的下一个。 该算法的优点是排列清晰，而且保持着字典序。 缺点是算法较繁琐。
k 或者 k
考虑{1,2…n}的一个排列，其上每一个整数都给了一 个方向。 我们称整数k是可移的(Mobile&Active)，如果它的 箭头所指的方向的邻点小于它本身。
例如 263154 中6、3、5都是可移的。
显然1永远不可移； n除了以下两种情形外，它都是可移的： (1) n是第一个数，且其方向指向左侧，
…………….
m n 2 ( n 1) m n 1 a n 2 , m n 1 a n 1 , 0 a n 1 n 1
( a n 1 , a n 2 ,..., a 2 , a1 ) m
下面我们试图将n-1个元素的序列(an-1,…,a1)与n个元 素的排列建立起一一对应关系。 序列(an-1,…,a1)与某一排列p=p1p2…pn之间的对应关 系为： ai 表示排列p中的数i+1所在位置的右边比它小的数 的个数。
即 n ! 1
k k!
k 1
n 1
不难证明，从0到n!-1的任何数m可唯一的表示为
m a n 1 ( n 1)! a n 2 ( n 2)! ... a1 1!
其中
0 a i i , i 1,..., n 1.
所以从0到n!-1的n!个整数与
(an-1,an-2,…a2,a1)
一一对应。
从m计算出an-1,an-2,…a2,a1的算法如下：
m m1 , 0 m n ! 1 0 a1 1 0 a2 2 0 a n2 n 2 m 1 2 m 2 a1 , m 2 3 m3 a2 ,
例如：839647521是1-9的一个排列，求出下一个。 (1-9的排列最前面的是123456789，最后面的是 987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了 987654321，也就没有下一个了。) (1) 从右向左扫描找出第一次出现下降的位置。(4) (2) 在4的右边按从左往右的顺序找出最后一个比4 大的数字(5)，交换这两个数字，得到839657421。 (3) 把5后面的数字顺序完全颠倒过来即得到：
例如：p=4213 (a3,a2,a1)= (301)
反过来, 由(a3,a2,a1)= (301)也可以得到排列4213，
由a3=3, 知4放在空格的最左端,
4 2 1 3 _ _ _ _
而a2=0,说明3的右边没有比它更小的，故3放在最 右端， 考虑a1=1,容易得出，2右边还有一个空格放1，于是 得到了排列4213。 这个算法的优点是建立了自然序数和排列之间的一 一对应关系(通过n-1个元素的序列(an-1,…,a1) )。 缺点是这种对应关系需要通过序列转换，即两层对 应关系，多一层计算量。
(2) n是最后一个数，且其方向指向右侧。
于是，我们可由 12......n 按如下算法产生所有排列：
1、开始时：12......n
2、当存在可移数时，
(a) 找最大的可移数m； (b) 将m与其箭头所指的邻数互换位置； (c) 将所得排列中比m大的数p的方向调整，即改 为相反方向。
(A) 直接生成法
递推算法：
假设已经生成n-1个数的所有(n-1)!个全排列， 将n插入到每一个排列的前面、第12之间、第23 之间、。。。 最后，即得到n个数的所有n(n-1)!=n! 个全排列。 优点是生成简便，缺点是速度慢。
(B) 序数法
i n的十进制表示： n a i 10 , 0 a i 10 k
2. 组合的生成算法
设从[1,n]中取r元的一个组合为C1C2…Cr， 不妨设C1＜…＜Cr ,则 i≤Ci≤(n-r+i), i=1,2,…,r。 生成C1C2…Cr的下一个组合的算法如下： (1) 找 j = max{ i |Ci＜n-r+i}； (2) 令 Cj = Cj+1； (3) 令 Ci = Ci-1+1, i=j+1,…,r。 这等于给所有的组合建立了字典序。
1 2 3 13 2 31 2 32 1 2 31 2 1 3
第四步： 1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 41 2 3 3 2 41 1 4 3 2 1 34 2 1 3 2 4 3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 43 1 2
43 2 1 3 42 1 3 24 1 3 2 14 2 3 14 2 34 1 243 1 42 3 1 42 1 3 241 3 2 143 2 1 34
1 2 34 1 24 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 1 34 2 1 3 24 3 1 24 3 14 2 3 4 1 2 4 3 1 2
4 3
3 3 3 2 2 2 42 42 2 2 2
2 1 42 1 2 41 2 1 4 3 1 4 3 41 43 1 3 1 1 3 41 3 1 43 1 3 4
(C) 字典序法
字典序：对于两个序列a1…ak和b1…bk ，若存在t， 使得ai=bi, i<t，但at<bt ，则称
a1 ... a k b1 ... bk
例如对于字符集{1,2,3}，较小的数字较先，这样按 字典序生成的全排列是：123,132,213,231,312,321
一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、 后缀。关键是如何生成给定全排列的下一个排列。 所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有其 他的。这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同 前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。
(D) 换位法
基于直接生成法，[n]的全排列可由[n-1]的全排 列生成： 给定[n-1]的一个排列,将n 由最右端依次插入排 列п，即得到n个[n]的排列： p1 p2…pn-1n p1 p2…npn-1
…
np1 p2…pn-1
例如对于 n=4 第一步： 第二步： 第三步： 1 1 2 2 1