2012年北京工业大学数学建模初赛试题
2012年全国大学生数学建模竞赛A题国一
摘要
在问题一中，首先根据 T 检验、方差显著性检验和 Wilcoxon 秩和检验对两组评酒 员给葡萄酒的评价结果的差异的显著性检验。在大多数评酒员评分可靠的假设下，分别 利用评分方差比较模型，说明第二组结果可靠。在此基础上引入了评酒员“失误度”概 念来衡量每位评酒员与所有评酒员总体评价的差异， 对各组失误度求和得到第二组结果 更可靠。为了进一步优化评酒员评分，利用根据失误度对评酒员排序，跨组选取失误度 最小的 10 位评酒员组成新的评分组，其平均值认为比第二组更可靠，作为整个文章中 评价葡萄酒质量的标准指标。 在问题二中，由于红、白葡萄的理化指标有较大差异，分开考虑红白两种葡萄酒： 对于红葡萄酒，对应问题一得出的葡萄酒质量指标，从三个角度，即外观分析（又分为 由大分子因子决定的澄清度和基于 LAB 色彩模型的色调考虑到指标间存在的竞争关系 采用非线性回归分析和逐步回归分析） 、香气分析（Fisher 线性判别分析）和口感分析 （主成分分析和因子分析） ，后进行异常点检验，逐一剔除异常点来求解酿酒葡萄的量 化指标。对于白葡萄酒的三个指标采用 Fisher 判别分析求解。最后将三个方面得分加权 平均得到酿酒葡萄量化的总分，进行聚类分析，根据聚类分析结果将红葡萄和白葡萄各 分为四级。 在问题三中，为研究酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，将葡萄酒的理化指 标用酿酒葡萄的理化指标来表示。根据指标间的相关性，剔除部分相关性不强的指标， 选择部分相关性较好的酿酒葡萄的指标作为自变量， 对不同的葡萄酒指标分别进行多元 线性回归、逐步回归和回归检验。根据指标本身的特点及 AIC 信息统计量，剔除不显著 的自变量，而达到用尽量少的葡萄的理化指标来表示葡萄酒的理化指标的目的。在求解 过程中，建立典型相关分析模型来分析红葡萄酒色泽指标间的关系，利用主成分分析将 白葡萄的多个指标综合为少数几个主成分，再进行回归分析。模型求解结果显示，葡萄 酒的每个指标都能用部分葡萄的指标来线性表示，且具有较好的拟合效果。 在问题四中，为了分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，结合问 题一、二、三的结果以及理化指标和芳香物质的化学意义，综合评估各个广义上的理化 指标（附件二和附件三） ，针对红葡萄酒和白葡萄酒的区别分别在酿酒葡萄和葡萄酒的 理化指标中选取对葡萄酒质量影响较大的指标， 通过线性回归分析将理化指标和葡萄酒 质量进行拟合，从而得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。为进一步 论证结果，首先，对模型进行残差分析以及拟合情况分析；其次，用分组样本检验方法， 将白葡萄酒的 28 个样本数据分成两组，采用用一组进行拟合，另一组进行结果回带分 析的方式，进一步论证用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量的可靠性。通过 论证分析得出结论：葡萄和葡萄酒的理化指标可以用来评价葡萄酒的质量，但也有其不 足之处，如当从葡萄酒食用性方便角度考虑，用评酒员评价方法就更直接。 关键词：葡萄酒质量 识别聚类 失误度 非线性回归 逐步回归 Fisher 判别分析 主成 分分析 因子分析 显著性检验 残差分析 异常点检测
Lingo软件的应用
Lingo软件的应用颜宁生（北京服装学院）本人有一个“杜撰”课程对联的爱好，有一位同学在参加我的数学建模培训班后，给我写了一幅对联，表达了他对练好Lingo软件的决心。
上联：有心栽花花可以不开下联：无心插柳柳必须成荫横批：感悟拎购时间：2012，7，21地点：华南理工大学内容一、数学建模案例二、适合学生学习Lingo软件的两类入门题三、练会Lingo后的同学能帮老师做什么四、一份《数学建模》试卷模板一、数学建模案例上联：数学建模融入到现实生活当中下联：拎购软件嵌入到衣可晒单元格横批：嵌入技术嵌入技术过滤器的作用，把有用的信息过滤出来，从而求解的界面更生动和友好。
1.1、2012年北京工业大学数学建模C题1.1.1、假设为了简化模型的求解，假设每辆货车进入生产线后，其糖份就不再流失。
1.1.2、数学模型首先，将剩余时间分成4个时间段，设x（i，j）为0‐1变量，若第j辆货车在第i个时间段进入生产线，则x（i，j）=1，否则取0，（i=1，2，3，4；j=1，2，……，11），设a ij表示第j辆货车在第i个时间段进入生产线时能够加工出的蔗糖的百分比。
根据表C.1，得到a ij 值如下：aijj1234567891011i 111111111111 20.32490.547600.51840.75690.21160.14440.26010.65610.51840.49 30.10560.299900.268700.04480.02090.06770.43050.26870.2401 40.01110.089900.072200.0020.00040.00460.18530.07220.0576i=j=111max =a i j x i j st: x i j 3,1,2,3,4x i j (1,2,3,4;1,2, (11)j i i j =≤===∑∑∑41111（，）（，）（，）（，）=0或11.1.3、数学模型求解的Lingo 程序1.1.3.1、获取数据的Lingo 程序sets:h/1..2/;l/1..11/;hl(h,l):bg7;endsets data:bg7=@ole('C 题.xls','_bg7');@ole('C 题.xls','_g7')=bg7;enddata1.1.3.2、自动求解的Lingo 程序sets:h/1..4/;l/1..11/;hl(h,l):a,x;minimum/1/:h22;endsets data:a =@ole('C 题.xls','_g11');@ole('C 题.xls','_g17')=x;@ole('C 题.xls','h22')=h22;enddatamax=@sum(hl:a*x);@for(h(i):@sum(l(j):x(i,j))<=3);@for(l(j):@sum(h(i):x(i,j))=1);h22(1)=@sum(hl:a*x);@for(hl:@bin(x));End1.1.3.3、自动判解的Lingo 程序sets:h/1..4/;l/1..11/;hl(h,l):a,x;minimum/1/:y10;endsets data:a =@ole('C 题.xls','_g11');x=@ole('C题.xls','_g17');h22=@ole('C题.xls','h22');@ole('C题.xls','y10')=y10;enddatay10(1)=@if(@abs(h22-@sum(hl:a*x))#lt#0.01,100,0);end1.1.3.4、随机方案求甘蔗糖产量的Lingo程序sets:h/1..4/;l/1..11/;hl(h,l):a,x;minimum/1/:h23;endsetsdata:a=@ole('C题.xls','_g11');x=@ole('C题.xls','_g17');@ole('C题.xls','h23')=h23;enddatah23(1)=@sum(hl:a*x);end1.1.4、结果最优方案为：j1234567891011i 100100110000 200001000011 301010000100 410000001000即：第3辆、第6辆和第7辆第1批进入生产线；第5辆、第10辆和第11辆第2批进入生产线；第2辆、第4辆和第9辆第9批进入生产线；第1辆和第8辆第4批进入生产线；最优值为5.78009124，即能将11车甘蔗加工出5.78车甘蔗糖。
2012-2013数学建模试题答案及讲解
5 284.572 255.428 11 292.299 247.701
6 286.766 253.234 12 292.793 247.207
可以看出A城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步变
小;B 城公司的基金数变化则正好相反.然而ak是否有上界、 bk是否有下界? bk是否会小于220？我们还是不能断言.进 行更多的迭代或许得出更明显的提示,不过这里将不再进
在式(13)中取k=N而在式(14)中取k=M并注意到F0=0，
FM=0 ,这样只要消去FN,就可以导出关于r的一个方程:
0 p [(1 r)N 1 ](1 r)M N q [(1 r)M N 1 ]
r
r
整理得
(1r)M(1q)(1r)M Nq0
p
p
记x=r+1 ,且将已知数据代入,则只需求解方程
三、模型的分析及建立
以商业性贷款10000元为例来考察，一年期贷款的年 利率为6.12％，到期一次还本付息总计10612元， 这很
容 易理解. 然而二年期贷款的年利率为6.255％， 月还款数 444.356元为本息总额10664.54元的二十四分之一，这
后 两个数字究竟怎样产生的呢？是根据本息总额算出月还款 数还是恰好相反（从6.255％似乎不那么明显能得到 10664.54）？让我们稍微仔细一些来进行分析.由于贷款
B 1 B 2 B k B 1 [ 1 ( 1 r ) ( 1 r ) k 1 ]
(1r)k1 (A1A0)[ r ]
(1r)k1 [(1r)A 0m A 0][ r ]
从而得到差分方程(1)的解
A k1(1r)A km
A kA 0(1r)km r[(1r)k1] （7）
将A24 、A0 、r 的值和k=24代入，可解得 m=444.3560(元),这与表3中的数额完全一致,这样我们就 了解了还款额的确定方法.
乒乓球团体赛上场队员排序问题
二、模型建立与求解
设甲队三名队员分别为A1 、A2 、A3 ， 乙队三名队员分别为B1 、B2 、B3 ， Pij 为 一局比赛中甲队Ai 选手赢乙队Bj 选手的概率，Qij 为Ai 选手赢乙队Bj 选手的概率。 由题目所给的概率表可以列出Pij 的矩阵为
0.50 0.55 0.6 Pij = 0.45 0.50 0.55 0.40 0.45 0.50
0.557699 0.527673 0.5577 0.5 0.527673 0.5
0.5276733 0.5 0.527673 0.472327 0.5 0.472327
0.5576998 0.5276733 0.5577 0.5 0.5276733 0.5
另外不防用 excel 检验如下：
Ｗmn =
第二问： 同样用第一问中的方法分析，改变题中的胜率，得到如下矩阵： 赛三场的矩阵
0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125 0.076901173 0.122206219 0.122206219 0.189861514 0.122206219 0.189861514 0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125 0.076901173 0.122206219 0.076901173 0.122206219 0.122206219 0.189861514 0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125
2012年高教杯数学建模竞赛a题
2012年高教杯数学建模竞赛A题文章包括以下内容：一、引言1. 对数学建模竞赛的介绍2. 2012年高教杯数学建模竞赛的背景3. A题的重要性和难度二、问题描述1. A题的具体内容和要求2. 问题背景和实际应用三、问题分析1. 对A题中涉及的数学知识和模型进行分析a. 需要运用的数学工具和方法b. 相关参数和变量的定义和意义c. 问题中存在的约束条件和假设2. 对A题中涉及的实际问题进行分析a. 现实场景的相关情况和特点b. 问题的实际意义和应用价值c. 对问题的可行性和局限性进行分析四、问题求解1. 根据问题分析确定相应的数学模型a. 求解问题所需建立的数学模型b. 模型的简化和推导过程2. 运用已知的数学方法和工具解决问题a. 使用数学软件进行模拟和计算b. 运用数学定理和理论进行证明和推演五、结果分析1. 求解结果的展示和分析2. 结果的合理性和可靠性分析3. 结果对实际问题的指导意义和应用价值六、总结与展望1. 对A题求解过程的总结和反思2. 对实际问题的展望和未来研究方向3. 对数学建模竞赛的意义和作用进行总结稿件要求：1. 语言流畅、准确，表达清晰、精炼，逻辑性强2. 论据充分，论证严谨，具有说服力3. 不得抄袭，不得侵犯他人著作权4. 投递稿件时请注明真实尊称和通信方式，以便我们及时与您取得联系注：以上为文章大纲及要求，具体内容请根据实际情况进行撰写。
2012年高教杯数学建模竞赛A题是一个具有挑战性和复杂性的问题，需要参赛者结合数学理论和实际问题进行分析和求解。
在本文中，我们将对A题进行深入的探讨，从问题描述到问题分析再到问题求解，最终得出结果分析和总结展望，全面展示对A题的理解和解决方案。
让我们来看A题的具体内容和要求。
A题涉及一个复杂的实际问题，需要参赛者运用数学工具和方法对其进行建模和求解。
这个问题背景和实际应用是一个现实场景中的情况，问题的实际意义和应用价值是非常明显的。
A题的重要性和难度也就显而易见了。
2012全国数学建模b题参考答案
太阳能设计的小屋方案摘要太阳能电池板方阵安装角度怎样计算由于太阳能发电系统的成本还是较高的，从我国现阶段的太阳能发电成本来看，其花费在太阳电池组件的费用大约为60～70％，因此，为了更加充分有效地利用太阳能，如何选取太阳电池方阵的方位角与倾斜角是一个十分重要的问题。
1.方位角太阳电池方阵的方位角是方阵的垂直面与正南方向的夹角（向东偏设定为负角度，向西偏设定为正角度）。
一般情况下，方阵朝向正南（即方阵垂直面与正南的夹角为0°）时，太阳电池在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
为了躲避太阳阴影时的方位角，以及布置规划、发电效率、设计规划、建设目的等许多因素都有关系。
如果要将方位角调整到在一天中负荷的峰值时刻与发电峰值时刻一致时，请参考下述的公式。
至于并网发电的场合，希望综合考虑以上各方面的情况来选定方位角。
方位角＝（一天中负荷的峰值时刻（24小时制）－12）×15＋（经度－116） 10月9日北京的太阳电池方阵处于不同方位角时，日射量与时间推移的关系曲线。
在不同的季节，各个方位的日射量峰值产生时刻是不一样的。
2.倾斜角倾斜角是太阳电池方阵平面与水平地面的夹角，并希望此夹角是方阵一年中发电量为最大时的最佳倾斜角度。
一年中的最佳倾斜角与当地的地理纬度有关，当纬度较高时，相应的倾斜角也大。
但是，和方位角一样，在设计中也要考虑到屋顶的倾斜角及积雪滑落的倾斜角（斜率大于50％-60％）等方面的限制条件。
2012年“高教杯”数学建模大赛A题答卷
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J3707所属学校（请填写完整的全名）：西京学院参赛队员(打印并签名) ：1. 李亚强2. 王震3. 王建强指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：孙卫日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒的评价摘要本论文依据葡萄酒品尝评分表，采用t 检验法对葡萄酒品尝评分结果完成了显著性差异检验；应用多元统计中的主成分分析法、聚类分析法对酿酒葡萄进行了分级；并运用多元线性回归模型分析了酿造葡萄酒与葡萄酒理化指标间的联系。
对于问题1：要判断两组评酒员的评价结果有无显著性差异，本文分别求解得出两组评酒员对各个酒样品的综合评价结果(1)j P 和(2)j P ，这里取显著性水平为0.01α=，在Excel 环境下采用t 检验法对(1)j P 和(2)j P 进行显著性检验，进而判断出两组评酒员的评价结果无显著性差异。
判断哪一组评酒员的评判结果更为可信取决于两组评判数据的波动大小，经过检验得出第二组评酒员的评判结果更为可信。
高教杯2012年数学建模A题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： a我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒的评价摘要本文利用SPSS和MATLAB软件对葡萄酒评价问题进行了分析，综合采用了t检验、主成分分析、聚类分析和灰色关联度分析等方法，建立了数学模型，并设计了一套对葡萄酒质量的评价体系。
关于问题一：首先，对两组评酒员对同一种葡萄酒给出的评分结果进行处理；其次，采用t检验判断出两组评分结果存在显著性差异；最后，利用每一组评酒员对同一种葡萄酒的评分方差作为衡量依据，建立评分机制，评估两个小组所给结果的可信性，经分析第一组、第二组得分分别为13分、42分。
因此，第二组评酒员的评分结果更可信。
关于问题二：首先，对酿酒葡萄的理化指标进行主成分分析，挖掘出若干个影响酿酒葡萄理化指标的主要成分；其次，根据第一问的结果，将第二组评酒员的评分作为衡量葡萄酒质量的量化指标；最后，通过聚类分析将酿酒葡萄分为4个等级。
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2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛
A 题：GPS 定位问题
GPS 是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。
GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。
卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。
图A.1给出GPS 卫星的示意图。
图A.1：GPS 卫星的图片 图A.2：车载型GPS 信号接收机 GPS 的用户设备部分是GPS 信号接收机，它的作用是接收GPS 卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS 信号接收机。
GPS 信号接收机能收到GPS 卫星发来的信息，信息由GPS 卫星所在的空间位置和GPS 信号到达地面接收机的时间组成。
卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。
GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。
由GPS 卫星上的原子钟与地面GPS 标准时间之
间的误差称为钟差，钟差是未知的。
设()i i i C B A ,,为第i 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标，i t 为GPS 信号到达接收机的时间。
所谓地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点O 与地球质心重合，Z 轴指向地球北极，X 轴指向经度原点E ，Y 轴垂直于XOZ 平面构
成右手坐标系，如图A.3所示。
图A.3：地心空间直角坐标系
表A.1给出了4颗卫星在空间中的位置，表A.2给出这4颗卫星的GPS信号到达四个地点处GPS接收机的时间。
表A.1：卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
你所要完成的问题如下：
1. 建立相应的数学模型，确定出上述四个地点的经度与纬度，并地图标明它们所在的位置。
2. 在通常的情况下，地面的GPS接收机能收到5—8颗卫星的信号，对于多于4颗卫星的情况，你将如何修改你的数学模型，使得定位更准确？表A.3给出第5颗卫星的位置，表A.4给出5颗卫星的GPS信号到地点5的时间。
请用你提出的方法计算出地点5的位置（经度、纬度，并在地图上标出）。
表A.3：第5颗卫星在地心直角坐标系中的位置（单位：公里）
注：地球半径近似为R = 6371 公里；光速为c = 299 792.458 公里/ 秒。
B题：乒乓球团体赛上场队员排序问题
乒乓球团体赛的比赛规则如下：从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。
比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。
现行的比赛顺序：第一场A—X，第二场B—Y，第三场C—Z，第四场A—Y，第五场B—X。
每场比赛为三局两胜制。
当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比赛队员分别是：B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。
表B.1：两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率
你所要完成的问题如下：
1. 甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。
建立相应的数学模型，并说明你的理由。
2. 如果每一局比赛，A1胜B3的概率改为0.45，A3胜B1的概率改为0.55。
在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？
C题：蔗糖生产问题
甘蔗在砍下之后将需要马上用货车运送到蔗糖厂，生产的蔗糖量取决于甘蔗收购的地点以及甘蔗成熟的程度。
在收割之后，甘蔗中的含糖量将由于发酵而迅速下降，在一段时间之后，所含糖份将完全流失。
现在有11 辆货车到达了蔗糖厂，每辆货车运载的甘蔗量都相同。
已经对每辆货车每小时的损失量以及剩余时间进行了测算，具体数据如表C.1所示。
表C.1：每车甘蔗的属性
在制糖厂内有三条生产线，每辆货车都可以选择任意一条生产线上进行加工。
一车甘蔗的加工时间为两个小时，必须在这车甘蔗的质量寿命结束之前完成加工。
请你帮助糖厂经理制订这批甘蔗的生产计划，使总的蔗糖损失降到最低。
建立相应的数学模型，说明你的理由。