22.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题(含答案)
22.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题一、选择题(本大题共15小题)1.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤2B.m＜-2C.m＞2D.0＜m≤22.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.x=1B.x=-1C.x1=1，x2=-3D.x1=1，x2=-44.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＞−54 B.k≥−54且k≠0 C.k≥−54D.k＞−54且k≠05.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴交点的个数（）A.3B.2C.1D.06.不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2（）A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方7.若抛物线y=-x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（）A.p+q＜1B.p+q=1C.p+q＞1D.pq＞08.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2-4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0-x1）（x0-x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤9.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A.4B.6C.8D.1010.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A.b＜1且b≠0B.b＞1C.0＜b＜1D.b＜111.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A.x＞4或x＜-2B.-2＜x＜4C.-2＜x＜3D.0＜x＜312.已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2016的值为（）A.2017B.2018C.2019D.202013.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜-2B.x＞4C.-2＜x＜4D.x＞014.函数y=-x2+2（m-1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（）A.13或2 B.13C.1D.215.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在抛物线上，则4a-2b+c 的值为（）A.-2B.0C.2D.4二、填空题(本大题共11小题)16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为______ ．17.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是______ ．18.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．19.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D （5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是______ ．20.如图，二次函数y=a（x-2）2+k的图象与x轴交于A，B两点，且点A的横坐标为-1，则点B的横坐标为______ ．21.若二次函数y=（k-2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______ ．22.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______ ．23.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是______ ．24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b ______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）25.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系用“＜”连接为______ ．2三、解答题(本大题共6小题)27.已知二次函数y=1x2-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．2（1）求A、B、C点的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求其面积．28.已知函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），设其图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．29.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．30.二次函数的图象经过A（4，0），B（0，-4），C（2，-4）三点：（1）求这个函数的解析式；（2）求函数图顶点的坐标；（3）求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积．31.已知二次函数y=x2+2x-3．（1）把函数配成y=a（x-h）2x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象y……（4）当y＞0时，则x的取值范围为______ ．（5）当-3＜x＜0时，则y的取值范围为______ ．32.二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．【答案】1.A2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.B 13.C 14.D 15.B16.217.618.919.（-2，0）20.521.k≤3且k≠222.223.方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根24.＞；＜；＞；=25.p＜m＜n＜q26.x1=-4，x2=027.解：（1）令y=0，则12x2-2=0，解得：x1=-2，x2=2，∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；令x=0，y=-2，∴C点的坐标为（0，-2）．（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），∴AC=22，BC=22，AB=4，∴AB2=AC2+BC2．∵AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形．S△ABC=12AC•BC=12×22×22=4．28.解：（1）∵函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），∴15=1+m-2+m，解得：m=8．（2）将m=8代入y=x2-（m-2）x+m中得：y=x2-6x+8，令y=0，则x2-6x+8=0，解得：x1=2，x2=4，∵A在B的左侧，∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（3）设点C的坐标为（n，n2-6n+8），∵A（2，0），B（4，0），∴AB=2，S△ABC=12AB•|n2-6n+8|=1=|n2-6n+8|，解得：n1=1，n2=6，n3=3，∴点C的坐标为（1，1）、（6，1）或（3，-1）．29.解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得：a+b+c=09a+3b+c=0 c=3，解得：a=1b=−4 c=3，∴二次函数的解析式为：y=x2-4x+3，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，顶点坐标为（2，-1）．30.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k∵B 、C 的纵坐标都是-4，∴B 、C 关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为：x =1，即h =1，∴y =a （x -1）2+k ，将A （4，0）和B （0，-4）代入上式， a +k =−49a +k =0解得： k =−92a =12∴抛物线的解析式为：y =12（x -1）2-92（2）由（1）可知：顶点坐标为（1，-92）（3）令y =0代入y =12（x -1）2-92， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为：（4，0）或（-2，0）∵抛物线与y 轴的交点坐标为：（0，-4）∴抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积为：12×6×4=1231.x ＜-3或x ＞1；-4≤y ＜032.解：（1）∵二次函数y =x 2+（2m +1）x +m 2-1与x 轴交于A ，B 两个不同的点，∴一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m +1）2-4（m 2-1）=4m +5＞0，解得：m ＞-54．（2）当m =1时，原二次函数解析式为y =x 2+3x ，令y =x 2+3x =0，解得：x 1=-3，x 2=0，∴当m =1时，A 、B 两点的坐标为（-3，0）、（0，0）．。
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．可能有一个交点2．已知关于x的方程ax−x2+2x−3=0只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为一切实数3．已知二次函数y=x2−2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(3,0)，则关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根是（）A．x1=−1，x2=3 B．x1=1C．x1=−1，x2=1 D．x1=34．若二次函数y=ax²+1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6C．x1= 32，x2= 52D．x1=-4，x2=05．已知抛物线y＝ax2+bx−2与x轴没有交点，过A(−2,y1)、B(−3,y2)、C(1,y2)、D(√3,y3)四点，则y1,y2,y3的大小关系是( )A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y3>y2>y16．下表示用计算器探索函数y=x2+5x﹣3时所得的数值：x 0 0.25 0.5 0.75 1y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3则方程x2+5x﹣3=0的一个解x的取值范围为（）A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜17．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．38．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①a﹣3b+2c ＞0；②3a﹣2b﹣c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．10．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况是.11．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为.12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x ....... ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ......y ....... 24 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ......观察表中数据，代数式−b+√b2−4ac2a +−b−√b2−4ac2a+（a+b+c）（a﹣b+c）的值是；若s、t是两个不相等的实数，当s≤x≤t时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值0和最大值24，那么s t的值是．三、解答题14．在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.15．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?16．设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y)的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成心=2(x-h)2-2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点(−1，0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2+8x+6.二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.18．某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元）0 0.5 1 1.5 2 …y 1 1.275 1.5 1.675 1.8 …（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．19．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：(1)如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；(2)若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为1.60米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号）参考答案1．A2．C3．A4．A5．A6．C7．B8．C9．y=x2﹣32x10．有两个不相等的实数根11．x1=312．﹣1＜x2＜013．-1；1或2 614．（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.15．解：（1）y=w（x-20）=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600则y=-2x2+120x-1600．由题意，有{x≥20−2x+80≥0解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元； （3）当y=150时，可得方程-2x 2+120x-1600=150 整理，得x 2-60x+875=0 解得x 1=25，x 2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x 2=35不合题意，应舍去． 故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元． 16．（1）解：由题意，得y 1=2(x-1)(x-2)． 图象的对称轴是直线x= 32（2）解：由题意，得y 1=2x 2-4hx+2h 2-2 ∴b+c=2h 2-4h-2 =2(h-1)2-4∴当h=1时，b+c 的最小值是-4. （3）解：由题意，得y=y 1-y 2 =2(x-m)(x-m-2)-(x-m) =(x-m)[2(x-m)-5]∵函数y 的图象经过点(x 0，0) ∴(x 0-m)[2(x 0-m)-5]=0 ∴x 0-m=0，或x 0-m= 52.17．解：令4x −12=2x 2−8x +6，解得：x 1=x 2=3 当x =3时4x −12=2x 2−8x +6=0 ∴y =ax 2+bx +c 必过(3，0) 又∵y =ax 2+bx +c 过(−1，0){a −b +c =09a +3b +c =0解得：{b =−2ac =−3a ∴y =ax 2−2ax −3a 又∵ax 2−2ax −3a ≥4x −12 ∴ax 2−2ax −3a −4x +12≥0 整理得：ax 2−2ax −4x +12−3a ≥0∴a >0且Δ=0∴(2a +4)2−4a(12−3a)=0 ∴(a −1)2=0∴a =1，b =−2，c =−3∴该二次函数解析式为y =x 2−2x −3令y =x 2−2x −3中y =0，得x =3，则A 点坐标为(3，0) 令x =0，得y =−3，则点C 坐标为(0，−3) 设点M 坐标为(m ，m 2−2m −3) N(n ，0)根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当AC 为对角线时，{x A +x C =x M +xN y A +y C =y M +y N即{3+0=m +n0−3=m 2−2m −3+0 解得：m 1=0（舍去） m 2=2 ∴n =1，即N 1(1，0)；②当AM 为对角线时，{x A +x M =x C +xN y A +y M =y C +y N即{3+m =0+n0+m 2−2m −3=−3+0 解得：m 1=0（舍去） m 2=2 ∴n =5，即N 2(5，0)；③当AN 为对角线时，{x A +x N =x C +xM y A +y N =y C +y M即{3+n =0+m0+0=−3+m 2−2m −3 解得：m 1=1+√7 m 2=1−√7 ∴n =√7−2或−√7−2∴N 3(√7−2，0)，N 4(−√7−2，0)；综上所述，N 点坐标为(1，0)或(5，0)或(√7−2，0)或(−√7−2，0). 18．解：（1）设y 与x 的函数关系式为y=ax 2+bx+c ，由题意，得{1=c1.5=a +b +c 1.8=4a +2b +c解得：{a =−0.1b =0.6c =1∴y=﹣0.1x 2+0.6x+1； （2）由题意，得W=（8﹣6）×5（﹣0.1x 2+0.6x+1）﹣x W=﹣x 2+5x+10W=﹣（x ﹣2.5）2+16.25． ∴a=﹣1＜0∴当x=2.5时，W 最大=16.25．答：年利润W （万元）与广告费用x （万元）的函数关系式为W=﹣x 2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元． （3）当W=14时 ﹣x 2+5x+10=14 解得：x 1=1，x 2=4∴1≤x ≤4时，年利润W （万元）不低于14万元． 19．（1）由图可设抛物线的解析式为：y =ax 2+2由图知抛物线与轴正半轴的交点为（2，0），则a ×22+2=0 ∴a =−12∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+2 （2）当y=1.60时，得：x=±2√55所以门的宽度最大为2√55-（-2√55）=4√55米。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（）A．2秒B．4秒C．6秒D．8秒2．若二次函数y=(x+1)(x−m)的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是() A．m<−1B．−1<m<0C．0<m<1D．m>13．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（）A．x=－1 B．x=2 C．x=12D．x=−124．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝552≠0x …0 √5 4 …y …0.37 ﹣1 0.37 …则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A．0或4 B．√5或4﹣√5C．1或5 D．无实根6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．方程 ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=37．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.48．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为．9．二次函数y=mx2+（m+2）x+ 1410．已知二次函数y=−x2−2x+m的部分图象如图所示，则一元二次方程−x2−2x+m=0的解为：.11．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0的两个实数根异号，则m 的取值范围为.12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是(−1， 0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是.与y=ax2+bx(a>0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，13．如图，已知函数y=−3x=0的解为.则关于x的方程ax2+bx+3x三、解答题x+3的解14．请画出适当的函数图象，求方程x2=1215．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．16．已知二次函数y=x2−2mx+m2+3（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(4,5)与点B(0,−3)，且与x轴交于点C、D .（1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标.（2）若点Q(m,n)在该二次函数图象上①求n的最小值；②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围. 18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．参考答案 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．110．x 1=−3，x 2=1 11．m ＜0 12．x 1=−1 13．−314．解：在同一坐标系中如答图所示画出函数y=x 2的图象，画出函数y=12x+3的图象 这两个图象的交点为A ，B∴交点A ，B 的横坐标−32和2就是方程x 2=12x+3的解 ∴方程x 2=12x+3的解为x=﹣12和2．15．解：当 y =0 时 x 2−2x −3=0 解得 x 1=−1 x 2=3 所以 A(−1，0) B(3，0) ．16．（1）解：∵Δ=(−2m)2−4×1×(m 2+3)=4m 2−4m 2−12=−12<0 ∴方程 x 2−2mx +m 2+3=0 没有实数解. ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点.（2）解：∵y =x 2−2mx +m 2+3=(x −m)2+3∴把函数 y =x 2−2mx +m 2+3 的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数 y =(x −m)2+3 的图象，它的顶点坐标是（m ，0）. ∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点.∴把函数 y =x 2−2mx +m 2+3 的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．17．（1）解：将点 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 {5=16+4b +c c =−3 ，解得 {b =−2c =−3故抛物线的表达式为 y =x 2−2x −3 令 y =x 2−2x −3=0 ，解得 x =3 或 −1 故抛物线与 x 轴的交点坐标为 (3,0)、(−1,0) ； （2）解：①y =x 2−2x −3=(x −1)2−4⩾−4 故 n 的最小值为 −4 ；②令 |y|=|x 2−2x −3|=3 ，解得x=0、x =2 或 1±√7 故 m 的取值范围的 1−√7<m <0 或 2<m <1+√7 .18．（1）解：由题意得：A 、B 、C 三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，5）； 设该二次函数的解析式为：y=ax 2+bx+c 由题意得： {a −b +c =0c =−316a +4b +c =5 解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3∴该抛物线解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3．（2）解：由（1）知：y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4 ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1． （3）解：由题意得：x 2﹣2x ﹣3=m 即x 2﹣2x ﹣3﹣m=0①若该方程组有两个不相等的实数根 则必有△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3﹣m ）＞0 解得：m ＞﹣4．即当m ＞﹣4时，ax 2+bx+c=m 有两个不相等的实数根。
九年级数学上册《第二十二章-二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版）班级姓名学号一、选择题1. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+ bx=5的解为( )A. x1=0，x2=4B. x1=1，x2=5C. x1=1，x2=−5D. x1=−12. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )A. −1<x<2B. x>2C. x<−1D. x<−1或x>23. 二次函数y=2x2−8x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(−1,0)，则另一个交点坐标为( )A. (−3,0)B. (3,0)C. (5,0)D. (9,0)4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x−5与y=x2+(m+n)x−5(m>0>n)关于y轴对称，则抛物线y=mx2+2nx+m与x轴的交点情况是( )A. 没有或有一个交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 没有交点5. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和−2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0②当x>−1时，y随x增大而减小③a+b+c<0④若方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，则m>2⑤3a+c>0．其中正确结论的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于(x1,0)，(2,0)其中0<x1<1，下列三个结论：①abc<0②2a−c<0③4ab +ba<−4正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 37. 关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若二次函数y=ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b，则t的取值范围是( )A. 12<t<14B. −1<t≤14C. −12≤t<12D. −1<t<128. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A. k<−3B. k>−3C. k<3D. k>39. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2，与二次函数y=x2，y=ax2分别交于A、B和C、D若CD=2AB，则a为( )A. 4B. 14C. 2 D. 1210. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(5,0)，与y轴交于点C，其对称轴为直线x=2结合图象分析如下结论：①abc<0②b+3a<0③当x>0时，y随x的增大而增大④点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a=√ 66.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题11. 抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段长度是________________．12. 已知二次函数y=kx2+2x−1与x轴有交点，则k的取值范围为______ ．13. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−3,0)，B(4,0)则关于x的一元二次方程a(x−1)2+c= b−bx的解是______ ．14. 已知二次函数y=−x2+bx+c与一次函数y=mx+n的图象相交于点A(−2,4)和点B(6,−2)，则不等式−x2+bx+c>mx+n的解集是．15. 已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别是−1，5．对于下列结论：①abc>0②方程ax2+bx+c=0的根是x1=−1，x2=5③9a−3b+c<0④当x<2时，y随着x的增大而增大．其中正确的结论是______(填写结论的序号)．16. 二次函数y=ax2+bx+3(a,b,c为常数且)的x与y的部分对应值如表所示：x…−101…y…−135…下列结论：①ac<0②当x>1时，y的值随x值的增大而减小③当x=2时y=5④x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根.其中正确的有______ .(填序号)17. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数y=x+3x2+(k−1)x+k−3的图象与x轴只有一个交点，则它的与y=−x+3互为“Y函数”.若函数y=k4“Y函数”图象与x轴的交点坐标为______ ．18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(2,0)．(1)方程ax2+bx+c=0的解为;(2)不等式ax2+bx+c>0的解集为;(3)不等式ax2+bx+c≤0的解集为．19. 把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：．20. 如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC则a的值为．三、解答题21. 已知抛物线y=x2−6x+m与x轴仅有一个公共点，求m的值？22. 已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于C，D两点，其中点C的坐标为(−1,0)，对称轴为x=1.点A，B为,−5)，B(4,−5)．坐标平面内两点，其坐标为A(12(1)求抛物线的解析式及顶点坐标(2)连接AB，若抛物线y=x2+bx+c向下平移k(k>0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值范围．23. 如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC若S△PBC=3S△ABC，求点P的坐标．524. (2022花都一模)已知抛物线y=mx2+(1−3m)x+1−4m(m>1)与x轴交于A，B两点(A在B的左5侧)，点C(4,5)．(1)判断点C(4,5)是否在抛物线上(2)直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD若S△BCD=6，求抛物线的解析式25.已知抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+5的顶点在x轴上．4(1)求a的值(2)求a8+a6−a5+a4−2a3−2a2的值．a16+a12+a8−a7−a6+2a4−a3+2a2−3a−2参考答案1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】C4、【答案】C5、【答案】B6、【答案】C7、【答案】D8、【答案】D9、【答案】B 10、【答案】B 11、【答案】212、【答案】k ≥−1且k ≠0 13、【答案】x 1=−2，x 2=5 14、【答案】−2<x <6 15、【答案】②③④ 16、【答案】①③④17、(3,0)或(4,0)18、【答案】【小题1】 x 1=−1，x 2=2 【小题2】 −1<x <2 【小题3】 x ≤−1或x ≥219、【答案】m >3 20、【答案】−1221、【答案】解：∵抛物线 y =x 2−6x +m 与x 轴仅有一个公共点∴方程 x 2−6x +m =0 只有一个根，即 Δ=0 解得： m =9 ．22、【答案】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x =1=−b2∴b =−2 ∴y =x 2−2x +c将点C 的坐标代入，解得c =−3∴y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴抛物线的顶点为(1,−4)．(2)抛物线平移后的解析式为y =(x −1)2−4 ∴平移后的顶点坐标为(1,−4−k)①当抛物线顶点落在AB 上时−4−k =−5，解得k =1 ②当抛物线经过A 时−5=(12)2−4−k ，解得k =54 当抛物线经过点B ，−5=32−4−k 解得k =10∴54<k ≤10时，满足题意． 综上所述，k =1或54<k ≤10． 23、【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4(a ≠0)过点A(−1,0)和点B(4,0)∴{a −b +4=016a +4b +4=0解得{a =−1b =3∴抛物线的解析式为y =−x 2+3x +4(2)如图1，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点G ，交BC 于点F当x =0时∴C(0,4)设直线BC 的解析式为y =kx +s 将C(0,4)，B(4,0)代入得： {s =44k +s =0，解得：{k =−1s =4 ∴直线BC 的解析式为y =−x +4 设P(t,−t 2+3t +4)，则F(t,−t +4)∴PF =−t 2+4t∵S △ABC =12AB ⋅OC =12×(4+1)×4=10 ∴S △PBC =35S △ABC =6∴S △PBC =12PF ⋅OB =6即12×(−t 2+4t)×4=6，解得t 1=1∴P的坐标为(1,6)或(3,4)．24、【答案】解：(1)把x=4代入抛物线y=mx2+(1−3m)x+1−4m(m>15)∴y=16m+4(1−3m)+1−4m=5∴C(4,5)在抛物线上．(2)①令y=0,则mx2+(1−3m)x+1−4m=0∴(mx+1−4m)(x+1)=0∵m>1 5解得：x1=4m−1m,x2=−1∴A(−1,0),B(4m−1 m,0),设直线AC的解析式为y=kx+b∴{−k+b=0 4k+b=5,解得：{k=1b=1所以直线AC的解析式为y=x+1∵抛物线的对称轴为：x=−1−3m2m =3m−12m∴D(3m−12m,5m−12m)∴S△BCD=S△ABC−S△ABD=6,∴1 2(4m−1m+1)×5−12(4m−1m+1)×5m−12m=6,整理得：m2=1解得：m1=1,m2=−1经检验：m=−1不符合题意所以m=1,所以抛物线为：y=x2−2x−325、【答案】(1)解： ∵y =x 2+(2a +1)x +2a +54 的顶点在x 轴上∴方程 x 2+(2a +1)x +2a +54=0 有两个相等的实数根∴Δ=0 ，即 (2a +1)2−4(2a +54)=0 ∴a 2−a −1=0 ∴a 1=1+√ 52a 2=1−√ 52． (2)解： ∵a 2−a −1=0 ∵a ≠0∴ a −1a =1 a 4+1a 4=7 a 8+1a8=47∴a 8+a 6−a 5+a 4−2a 3−2a2a 16+a 12+a 8−a 7−a 6+2a 4−a 3+2a 2−3a−2=a 8+a 4(a 2−a−1)+2a 2(a 2−a−1)a 16+a 12+a 6(a 2−a−1)+a 2(a 2−a−1)+a 4+3(a 2−a−1)+1=a 8a 16+a 12+a 4+1=1a 8+1a 4+a 4+1a8 =154．。
二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。
二次函数与一元二次方程(习题及答案)
二次函数与一元二次方程（习题）例题示范例：若一元二次方程(x -a )(x -b ) = - 3a <b ）的两个实数根分别2为 x 1，x （2 x 1 < x 2），则实数 a ，b ，x 1，x 2 的大小关系为（ ） A ． a < x 1 < b < x 2 C ． x 1 < a < x 2 < b 思路分析B ． a < x 1 < x 2 < b D ． x 1 < a < b < x 2a ，b 可以看做抛物线 y =(x -a )(x -b )与 x 轴交点的横坐标，x 1，x 2可以看做抛物线 y =(x -a )(x -b )与直线 y = - 3的交点的横坐标．2如图所示，-b )a < x 1 < x 2 <b 故选 B ．巩固练习1.二次函数y=x2-2x-3 的图象如图所示，当y < 0 时，自变量x的取值范围是（）A．-1 <x <3 C．x > 3 B．x <-1D．x <-1或x > 3第1 题图第2 题图2.二次函数y =ax2 +bx +c （a≠0）的图象如图所示，若ax2 +bx +c +k = 0（k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k<-3 B．k >-3 C．k< 3 D．k> 33.抛物线y =-x 2 +bx +c 的部分图象如图所示，若y > 0 ，则x的取值范围是（）A．- 4 <x < 1C．x <-4 或x > 1B．- 3 <x < 1D．x <-3 或x > 1第3 题图第4 题图4.函数y =x2 -2x -2 的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（）A．-1≤x ≤3C．x <-1或x > 3B．- 1 <x < 3D．x ≤-1或x ≥35.如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2 + bx + c < 0 的解集是（ ）A ． -1 < x < 5C ． x < -1且x > 5B ． x > 5D ． x < -1或x > 5第 5 题图第 6 题图6.如图，若抛物线 y =x 2+1与双曲线 y = k的交点 A 的横坐标x为 1，则关于 x 的不等式 k+ x 2 +1 < 0 的解集是（ ）xA ． x > 1B ． x < -1C ．0 < x < 1D ．-1 < x < 0 7.坐标平面上，若平移二次函数 y =2(x -175)(x -176)+6 的图象， 使其与 x 轴交于两点，且此两点的距离为 1 个单位，则平移方式可为下列哪一种（ ）A ．向上平移 3 个单位B ．向下平移 3 个单位C ．向上平移 6 个单位D ．向下平移 6 个单位 8.设一元二次方程(x -1)(x - 3) = k （ k < 0 ）的两根分别为 α，β， 且α < β ，则 α，β，1，3 之间的大小关系为；(x -1)(x - 3) < k 的解集为．9.若二次函数的图象 y = (m - 2)x 2 + x 与直线 y = 2x -1 没有交点，求m 的取值范围．10.已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线y = 2x2 +bx +1 上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线y = 2x2 +bx +1 的图象先向上平移2 个单位，再向左平移1 个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．11.已知二次函数y =x 2 + 2x +m 的图象C1 与x 轴有且只有一个交点，则C1 的顶点坐标为．12.若关于x 的一元二次方程x2 -x -n = 0 无实数根，则函数y =x 2 -x -n 的图象顶点在第象限．13.抛物线y =ax2 +bx +c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：①一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的根为．②抛物线经过点(-3，)；③在对称轴右侧，y 随x 的增大而．（2）确定抛物线y =ax2 +bx +c 的解析式，并求出该函数的最值．思考小结1. 对于二次函数y =ax2 +bx +c 和一元二次方程ax2 +bx +c = 0的关系，尝试着进行总结：①函数与x 轴交点坐标，与方程的根：．②函数与x 轴交点个数，与方程解的个数：当Δ> 0 时，函数与x 轴有个交点，方程有根；当Δ= 0 时，函数与x 轴有个交点，方程有根；当Δ< 0 时，函数与x 轴交点，方程根．5【参考答案】 巩固练习1. A2. C3. B4. D5. D6. D7. D8.1 < α < β < 3； α < x< β9. m >9410. （1）b =4 （2）无交点 11. (-1，0) 12. 一13. （1）① x 1 = -2，x 2 = 1 ②8 ③增大（2） y = 2x 2 + 2x - 4 ，最小值： -92思考小结1. ①函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根②两，两；一，一；无，无．6。
部编数学九年级上册专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（ ）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（ ）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（ ）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 x1＝﹣1，x2＝3 ．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x1＝﹣4，x2＝1 ．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 6.18＜x＜6.19 ．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是 x1＝0.8，x2＝3.2合理即可 ．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（ ）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围 x＜﹣2或x＞3 ．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 x＜﹣1或x＞1 ．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 y＝|x2﹣4x|﹣3 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： 函数关于直线x＝2对称 ；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝ 1 ；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集： x＝0或3≤x≤5 ．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为 1或65 ．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数与一元二次方程》同步练习题带答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题带答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a ≠ 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．a＋b＝3C．抛物线经过点（－1，0）D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根2．已知二次函数y＝﹣x2 +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A．5 B．7 C．12 D．﹣73．已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x1，x2(x1<x2)关于x的方程x2+2x−3−n=0的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论正确的是（）A．x3<x1<x2<x4B．x1<x3<x4<x2C．x1<x2<x3<x4D．x3<x4<x1<x24．已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a<−4或a>4B．a=4或a=−4C．−4<a<4D．0<a<45．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.266．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列结论正确是（）A．abc>0B．2a+b<0C．3a+c<0D．ax2+bx+c−3=0有两个不相等的实数根7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞38．如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0)．下列结论：①2a+ b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；⑤当1<x<4时，则y1>y2．其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤二、填空题9．已知抛物线y=x2−2x+2-a与x轴有两个不同的交点，则直线y=ax+a不经过第象限。
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程之间的关系》同步测试(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数22.2.1二次函数与一元二次方程之间的关系同步测试第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两个实数根是（）A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝32．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c ＝0的解是（）A．x1＝－3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3D．x＝－23．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（）A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－44．已知抛物线y＝ax2－2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限5. 表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，对称轴为直线x＝－1，当y＞0时，x的取值范围是（）A．－1＜x＜1 B．－3＜x＜－1C．x＜1 D．－3＜x＜17. 对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8. 根据下表可以确定方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解的取值范围是（）A.2<x<2.23B.2.23<x<2.24C.2.24<x<2.25D.2.24<x≤2.259 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:从上表可知,下列说法正确的个数是（）①(-2,0)为抛物线与x轴的一个交点;②抛物线与y轴的交点为(0,-2);③抛物线的对称轴是x=1;④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.A.1B.2C.3D.410. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1),其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为_____.12. 抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点有_________个13. 若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.14. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.15．已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是___________.16. 抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是_________，________，方程x2－2x－3＝0的解是__________．17．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴只有一个交点，则a的值为___________________________.18. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c 的解是．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) (1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).20. (6分) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴相交于点(0，－3)，并经过点(－2，5)，它的对称轴是直线x＝1，如图为函数图象的一部分．(1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标；(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分；(3)利用图象写出方程ax2＋bx＋c＝0的解；(4)利用图象写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集．21. (6分) 已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)，(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？22．(6分) 先阅读理解下面的例题的解题过程，然后解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x2－3x＋2＞0.解：令y＝x2－3x＋2，画出y＝x2－3x＋2的图象，如图所示．由图象可知当x<1或x>2时，y>0，∴一元二次不等式x2－3x＋2>0的解集为x<1或x>2.(1)填空：①x2－3x＋2<0的解集为_______________；②x2－1>0的解集为_______________；(2)用类似方法解一元二次不等式－x2－5x＋6>0.23．(6分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B 的坐标为（3，0）．（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．24．(8分) 二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.25．(8分) ) 已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n 的值．参考答案1-5 BADDC6-10 DCBBC11. -112. 213. m<114. -3<x<115. m≤516.(3，0) (－1，0) x1＝3，x2＝－117. －1或1或218. x1=﹣2，x2=119. 解：(1)y=x2-2x=(x-1)2-1的大致图象如图.(2)点M,N即为所求.(3)方程x2-2x=1的根为-0.4,2.4.20. 解：(1)二次函数的解析式为y＝x2－2x－3函数图象的顶点坐标是(1，－4)(2)略(3)x1＝－1，x2＝3(4)x＜－1或x＞321. 解：(1)证明：当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方 22. 解：(1)①1＜x ＜2 ②x ＜－1或x ＞1（2）设y ＝－x 2－5x ＋6， 当y ＝0时，x 1＝－6，x 2＝1，故y ＝－x 2－5x ＋6与x 轴交于(－6，0)，(1，0)． ∴一元二次不等式－x 2－5x ＋6>0的解集为－6<x<123. 解：（1）∵顶点为A （1，﹣4），且与x 轴交于B 、C 两点，点B 的坐标为（3，0）， ∴点C 的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）（x+1）， 把A （1，﹣4）代入，可得 ﹣4=a （1﹣3）（1+1）， 解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x ﹣3）（x+1）， 即y=x 2﹣2x ﹣3；（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x ＜﹣1或x ＞3． 24. 解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个 (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0， ∴抛物线不经过点C ，把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0①， ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②， ①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0 25. （1）证明：由题意可得：△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）=1+25m2﹣10m+20m=25m2+10m+1=（5m+1）2≥0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣1m，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣1m﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣111；（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴a+a+n2=2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．。
《二次函数与一元二次方程同步练习 》同步练习(附答案) 2022年北师大版
一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，那么一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设a 与c 异号，那么其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据以下表格的对应值：x ax 2＋bx ＋c判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )4．函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是〔 〕A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，那么以下结论成立的是〔 〕A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，那么以下结论错误的选项是〔 〕 A ．a ＞0 B ．b 2－4ac ＞0 C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不管m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2〔 〕 A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的局部图象如图 2－129所示，那么关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．假设抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，那么k 的取值范围是 ． 10．假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，那么这个交点的坐标是 .11．函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，那么k 的取值范围是12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是 .三、解答题13.二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B ,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,铅球所经过的路线是某二次函数图象的一局部(如图),假设这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).15.如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．BxOCy A19．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解答以下问题．(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)假设方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．20．如图2－131所示，抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的局部点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)假设点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并 指出m 的取值范围；(3)当矩形DEFG 的面积S 最大时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，假设点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围；(4)假设点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积． 参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：假设抛物线与x 轴有两个交点，那么(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略13.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3.[来%^源:中教网#~*]C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3. 14.(1)设y=a(x-6)2+5,那么由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+,0) 故OC=6215+≈13.75(米)15..(1)解方程组1212413x x x x+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x 1=1,x 2=3故2210330b c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ ,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝1 2 x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P 过(2，0)，(－2，－4)，那么由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DGAO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x＝1613-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，那么N点的横坐标为1613--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k≠5619-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．能力提升1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+42.假设x为任意实数,那么多项式x-1-x2的值()3.以下多项式中,不能用公式法因式分解的是()A.-x2+16y2B.81(a2+b2-2ab)-(a+b)2C.m2-mn+n2D.-x2-y24.因式分解:(a+b)(a+b+6)+9=.5.因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=.6.当x=时,多项式-x2+2x-1有最大值.7.利用因式分解计算:1012+101×198+992的值.8.先因式分解,再求值:(a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5.9.a,b,c为△ABC的三条边长,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状.创新应用10.观察思考:1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,4×5×6×7+1=841=292,…………从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.D4.(a+b+3)25.(3x-3y+2)26.107.解:原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2021年=40 000.8.解:(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.9.解法一:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0.∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c+2a>0.∴b-c=0,即b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2,∴(a+b)2=(a+c)2.∵a,b,c为三角形的三边长,∴a+b=a+c.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.创新应用10.分析:仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解:结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,那么这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+ 1=(n2+3n+1)2.。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)班级姓名学号一、单选题1．二次函数y＝−x2+（6 −m）x+8，当x＞− 2时，y随x的增大而减小；当x＜− 2时，y随x的增大而增大，则m的值为（）A．10 B．8 C．6 D．42．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1，0)，(3，0)则关于x的一元二次方程a(x+1)2−cx=a+2b 的解为（）A．x=−1或x=−4B．x=−1或x=−2C．x=−4或x=−2D．x=−1或x=3,y3)在函数y=x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是3．已知点(−1,y1)，(3,y2)，(12（）A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y2>y3>y1D．y3>y1>y24．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.265．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=46．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列说法错误的是（）A．对称轴是直线x=1B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3C．当x＜1，y随x的增大而增大D．当﹣1＜x＜3时，y＜07．如图，已知关于x的一元二次方程a(x−k)2−1=0的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）A．-1 B．0 C．1 D．28．已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根x1，x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m>−1；③三次函数y=(x−x1)(x−x2)+m的图象与x轴交点的横坐标分别为4a和b则a+b=5．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．已知关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为.10．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是11．下列表格是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的部分对应值，则一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的一个近似解是.（精确度0.1）x 6.1 6.2 6.3 6.4y−0.3−0.10.20.412．已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对⩽称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0有实数根；③a+b+c>0；④b−ac1．其中结论正确的为．13．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为三、解答题14．利用图象法求一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根．（精确到0.1）15．已知：二次函数y=x2−mx+m−2，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？17．如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y=−14与抛物线分别交于点D，E，求线段DE的长．18．已知二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x−m=0的解. （2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。