河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试卷(含答案)
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试
数学(理科)试卷
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)
1．设集合{}(){}
2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则A ．{}
13
x x -<<B ．{}
12
x x -<<C ．{}
32
x x -<<D ．{}
12
x x <<2．已知复数z
满足(
)
1z +=(i 是虚数单位)，则z =
A ．
33i +B ．
33i -C ．
33i +D ．
33i -3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移
1
2个单位长度D ．向右平移
1
2
个单位长度4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则A ．//a b
B ．a b
⊥C ．()
a a
b ⊥-D ．()
//a a b -5．下列命题中正确的是
A ．若2
2
a b ac bc
>>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则
C ．若,a b c d a c b d >>->-，则
D ．若11
0,,ab a b a b
>><
则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为
A
．
3
B
C
．D
．
37．若()()()3
230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=
，则A ．1-B ．1C ．2D ．2
-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q
的一个可能值为
A ．
12
B ．
35
C ．
58
D ．
53
9．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->
，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得
90APB ∠= ，则正实数a 的取值范围为
A ．(0，3]
B ．[1，3]
C ．[2，3]
D ．[1，2]
10．抛物线()()()()2
11223320,,,,,y px p A x y B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若
,,AF BF CF 成等差数列，则
A ．132,,x x x 成等差数列
B ．123,,y y y 成等差数列
C ．123,,x x x 成等差数列
D ．132,,y y y 成等差数列
11．已知点P 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，
点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有12121
2
IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为
A ．(1，2]
B ．(1，2)
C ．(0，2]
D ．(2，3]
12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有
()1
3log 4f f x x ⎡
⎤
+=⎢⎥⎣
⎦
，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是
A ．(0，5]
B ．()
,5-∞C ．(0，5)
D ．[5，+∞)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设直线()()2
2
30124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B
两点，且弦长为a 的值
是__________．
14．设12,F F 分别是椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．
15．已知抛物线2
4y x =，圆()2
2:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D 解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）A ．3B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因（2）求cos 2sin 22B --⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以的分布列为()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AACC 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)ABAA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为 20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125tt t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =， 所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：1212524y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试 数学(文)
4．设 2, 1, 的个数是 A．1
Leabharlann 1 1 1 , , ,1, 2,3，则使f x x a 为奇函数且在区间 0, 内单调递减的 值 2 3 2
C．3 D．4
B．2
5．若点 P cos ,sin 在直线 y 2 x 上，则 cos 2 A．
A． 2 B．
2 3
2
C．
2
12 5
D．
2
2 4 7
2
11．已知动圆 M 与圆 C1 : x 1 y 1 ，与圆 C2： x 1 y 25 内切，则动圆圆心 M 的轨迹 方程是 A．
x2 y2 x2 y2 1 B. 1 8 9 9 8
C．
tan A tan B tan A tan B ．
(1)求角 B 的大小；
2 2 2
(2)若 a 4, a c b ，求 BA在CB 方向上的投影．
19．(本小题满分 12 分)如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，A1 A 底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯 形， AD／／BC，且 AD=2BC，过 A1 , C , D 三点的平面记为 , BB1 与平面 的交点为 Q． (1)求 BQ： QB1 的值； (2)求此四棱柱被平面 分成上、下两部分的体积之比．
20．(本小题满分 12 分)已知函数 f x
ex a x ln x (e 为自然对数的底数)． x
x2 y2 1 9
D． x
2
y2 1 9
12．已知 f x 是定义在 R 上的可导函数，且满足 x 1 f x xf x 0 ，则 A． f x 0 B． f x 0 C. f x 为减函数
河北省衡水中学2018届高三上学期第二次调研考试数学理试题 含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i -2. 已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ） A ． 12日 B ．16日 C ． 8日 D ．9日 4. 已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．35. 动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ． 1- B．1 C ．2 D 6. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ．10 B ．10+ C．6+．67. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8. ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+9. 已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ． 23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 10. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+= （ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．211. 已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示，若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ． 2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？12. 已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．14. 在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的值为 ．15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．16. 已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()cos 2cos C b A =.（1）求角A 的大小; （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N *==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式; （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由; （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值. 19. （本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且,B AOB α⎛∠= ⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值;（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程;②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()f m θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.20. （本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围;（2）已知()()()()()2111,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值.21. （本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =.（1）①求证：数列为等差数列;②求数列{}n a 通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ,证明:()4,33n n S n N n *>∈+. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E . （1）证明:CD CE =; （2）求ADBD的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b θϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点(M 对应的参数,34ππϕθ==与曲线2C交于点4D π⎫⎪⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程; （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥;（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围.河北省衡水中学2018届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADBD DCB 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.5050 14.14-16.20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解：解：（1cos 2sin cos cos A C B A C A =,从而可得()2sin cos 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以s i n 0B ≠,于是cos A =又A 为三角形的内角, 因此6A π=.（2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭553sin coscos sin sin 1sin 1166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此21162B π⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 18. 解：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.()()2321121...2135 (21222232)n n n n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）()()12321111111111,...1...7212122231n n n n c T c c c c n a n n n n n n ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭,()()()()11110,2121221n n n n n n T T T T n n n n +++-=-=>∴<++++,即n T 单调递增, 故()1min 14n T T ==要使32n m T >恒成立, 只需1324m <成立, 即()8m m Z <∈. 故符合条件m 的最大值为7 .19. 解：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+=⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y=-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=. ②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,又由①知111cos 1,sin x m m y nn θθ=-=+⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩,()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭, 22,,0262302k k k Z ππππθππθθπ⎧-≤+≤+∈⎪∴≤≤⎨⎪≤≤⎩或()42,3f πθπθ≤≤∴的增区间为 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20. 解：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,()222211'1,10a x ax f x x ax x x x ++=++=∴++≥ 恒成立,21x a x--∴≥, 记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,2a ∴≥-.（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()()22111ln ,'2x mx h x x x mx h x x m x x++=++=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根12,x x ，由根与系数的关系得1212,,1x x m x x +=-=，()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥,2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减,()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==-⎪⎝⎭. 21. 解：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222n a =, 化简得=所以数列为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列2=,公差为1,1d n ==+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭, 则有123111*********...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.22. 解：（1）由题可知,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠,故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则3BD CD AD AC ==,故AD BD =23. 解：（1）将(m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos 43,2sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨=⎩=, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点4D π⎫⎪⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.24. 解：（1）()()43,25,21,27,1243,2x x x f x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=∴⎨+-<≤⎪⎪+>⎩的最小值为()5,5f x ∴≥. （2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()222299111511a a a a +=++-≥=++,“=”成立,()22911a a ⇔+=+, 即a =当a =,2291a a ++ 取得最小值5,当a ≠,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以a ≠a ∴的取值范围a ≠。
(全优试卷)河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1A B C D2．已知复数z是虚数单位)A B C D3A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C D4A B C D5．下列命题中正确的是A BC6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A BC D7A B．1 C．2 D8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q，则q的一个可能值为A B C D9P，a的取值范围为A．(0，3] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2]10F是它的焦点，若A BC D11．已知点P右焦点，点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，则双曲线的离心率的取值范围为A．(1，2] B．(1，2) C．(0，2] D．(2，3]12．已定义域单调函数，若对任意都有x(0，3]上有两解，则实数a的取值范围是A．(0，5] B C．(0，5) D．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13A，B则a的值是__________．14P为椭圆上任意一点，点M的坐标为_________．15次与上述两曲线交于点A，B，C，D CD_________．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)（一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)数列．(1)(2)n18．(本小题满分12分)在区间OACB ABC的内角A，B，C的(1)(2)求四边形OACB面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．(1)(2)D—PC—B的正弦值．20. (本小题满分12分)C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上位于x AP，BP 与直线y=3分别交于G，H两点．(1)求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；(2)T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求△TPA的面积的最大值．21．(本小题满分12分)(1)m 的取值范围；(2)(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线lC 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲(1)(2)a的取值范围．。
高中数学集合练习与答案
高中数学集合练习与答案一、选择题1. 已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 3.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知全集，集合为A ．B ．C ．D ．5. 若命题p 为：为A ．B ．C ．D ．6.下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．37.设集合， ，则（ ）A ．B ．C ．D ． 8. 已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题10. 设集合,集合,则集合（ ） A ．B ．C ．D ．11 已知集合，，则=（ ） A ．B ．C ．D ．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13. 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若UA B ⊆，则有（ ）A ．0a =B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a <14. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题 15. 设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．16. 已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =A.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥ C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-17.已知全集U=R ，则A ．B ．C ．D ．18.集合，，，若，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 19. 设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ）A ．11x -<≤B ．1x ≤C ．1x >-D ．11x -<<20.下列命题中的假命题是（ ）A ．B ．C ．D ．21. 已知全集，集合和的关系的韦恳（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个22. 设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件23. 已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 二、填空题 1.已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________．答案一、选择题1. 已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B 中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4AB =，有3个元素，故选：C ．2.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A 3.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】集合集合,则,故选A.4. 已知全集，集合为A ．B ．C ．D ．【解析】因为，所以或.所以.故选B.5.若命题p为：为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据的构成方法得，为.故选C.6.下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.7.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．8.已知，则（）A．B．C．D．【解析】试题分析：因为，，所以，.选.9.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“，使得”的否定是“，都有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是“若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.10.设集合,集合,则集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．故选C．11已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，，则故本题答案选．12.在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．13. 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若UA B ⊆，则有（ ）A ．0a =B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.14. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B 【解析】 “若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是 “若则，互为相反数，”，正确； “，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.15. 设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B 选项.16. 已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =A.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-【答案】C【解析】由题意知集合2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤，所以{|13}AB x x =≤≤ ，故选C 。
【高三数学试题精选】2018届高三第五次调研考试数学理科试题(带答案)
2018届高三第五次调研考试数学理科试题（带答案）
5 河北省衡水重点中学第五次调研考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合，集合，则等于（）
A． B． c． D．
2、已知复数为虚数单位），则等于（）
A． B． c． D．
3、比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（）
A．1 B．2 c．4 D．8
4、某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12月的销售额为（）
A．8万元 B．10万元
c．12万元 D．15万元
5、甲函数是R上的单调递增函数；乙，则甲是乙的（）
A．充分不必要条 B．必要不充分条
c．充要条 D．既不充分也不必要条
6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则的取值范围为（）
A． B． c． D．
7、为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个
单位长度，或向右平移个单位长度均为正数），则的最小值是（）
A． B． c． D．。
河北衡水中学2018届高三年级5月份联考理科数学试卷答案
DOABCE 数学参考答案（理科）1.【解析】∵{3}AB =，∴3m =-，即2230x x --=，∴B ={}3,1-2.【解析】设z a bi =+，则()12z z a bi abi i -=-=+=-，∴2b =-．3.【解析】由1012162a a =+得1012212a a =+，812a =,又24a =，∴8216a a +=，即58a =.4.【解析】由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误.5.【解析】由双曲线的对称性可知()34,3P -，()44,3P 在双曲线上，且()14,2P 一定不再双曲线上， ∴()22,0P 也在双曲线上，∴2,a b ==c e =6.【解析】11,lg lg 31,3i S ===->-否；1313,lg +lg lg lg51,355i S ====->-否；1515,lg +lg lg lg71,577i S ====->-否；1717,lg +lg lg lg91,799i S ====->-否；1919,lg +lg lg lg111,91111i S ====-<-是，输出9,i =故选B ．7.【解析】由(0)z ax by a b =+≥>，得1a z a y x b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点()6,2B 处取得最大值，622a b +=，即： 31a b +=，直线10ax by +-=过定点()3,1.8.【解析】如图，时间轴点所示，概率为55512111P ==9.【解析】如图，取BC 中点D ，13EB AB =，则2O B O C O D +=，∴()332A B O B O C O D =+=，∵13EB AB =，∴EB OD =，∴3ABC ABCBOC BECS S S S ∆∆∆∆==. 10.【答案】B 【解析】因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调，∴22T π≥，即202T πππωω≥⇒≥⇒<≤，而()0T ππ--=≤；若T π=，则2ω=；若T π>，则2x π=-是()f x 的一条对称轴，,04π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的对称中心，所以34424T πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴2233T T ππω=⇒==.11.【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -， 外接球球心O 在过CD 中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到,A D 距离相等，∴点O 又在线段AD 的垂直平分面α上， 故O 是直线l 与面α的交点，可知O 是直线l 与直线MN 的交点 （,M N 分别是左侧正方体对棱的中点）∴32OE NE ==，OD =故三棱锥A BCD -外接球的半径R=11S π= 12.【解析】由()()2a u x v x x ⋅⋅=，得()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-⋅+-=⎡⎤⎣⎦， 得1214ln 10m m a e x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即121ln 12m m e x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令1m t x =+，()()2ln g t e t t =-⋅，则()()22ln 11ln e eg t t t t t'=-+-=-+， 显然t e =是函数()g t '的唯一零点，易得()()max g t g e e ==，∴12e a ≤)1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13.【答案】1【解析】原式()2cos 6053sin52cos553sin5cos5---==cos53sin 53sin 51+-== 14.【答案】24【解析】()()4421211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，()()22221421241T C x x +=-=-⎡⎤⎣⎦.15.【答案】45【解析】由抛物线的对称性不妨设()()111,0M x y y >，则112x +=，得()1,2M ， 法一：MF KF ⊥，在Rt MKF ∆中，2MF KF ==，所以MKO ∠=45.法二：因为()()1,0,0,0K O -，所以()()2,2,1,0KM KO ==，可得2KM KO ⋅=，22,1KM KO ==ADCBEOMN2cos cos ,2KM KO MKO KM KO KM KO⋅∠===⋅，所以MKO ∠=45. 16.【答案】30【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴12(21)2,2221n nn n n a S +-===--，∴122n n S -=-，()()112222n nn n S S --⋅+=-⋅， ∴()()2222562562223022nn n nnf n -+==-+≥=当且仅当216,n=即4n =时，等号成立，()min 30f n =17.【解析】(Ⅰ)由2222cos a c b ac B +-= ………………………………………………………………2分 2cos cos()sin cos ac B B ac A Aπ--⇒= ………………………………………………………………4分sin 21A ∴=且02A π<<4A π⇒=………………………………………………………………6分（Ⅱ）1350904590090B C B C C +=︒⎧⎪︒<<︒⇒︒<<︒⎨⎪︒<<︒⎩………………………………………………………………8分又2sin sin sin b c aB C A===2sin,2sin b B c C ∴== 2sin(135)2sin bc C C =︒-⋅2sin(245)C =-︒……………………………………………10分45245135sin(245)1C c ︒<-︒<︒⇒<-︒≤，bc ∴∈ …………………………12分 18.【解析】(Ⅰ)如图1所示，连接11,AC AC 交于M 点，连接MQ . ∵四边形11A ACC 是正方形，∴M 是1AC 的中点 又已知Q 是1A B 的中点，∴12MQ BC ∥又∵11B C BC ∥且11=2BC B C ，∴11 MQ B C ∥ 即四边形11B C MQ 是平行四边形，∴11BQ C M ∥，∵11C M AC ⊥，∴11B Q AC ⊥ …………………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 如图2所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 令1122AC BC BC ===，则)1,0A-，)()()111,2,0,2,0,0,1,2A B B -，∴()3,1,0CA =-，()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-，设平面11A BB 的法向量为n (),,x y z =，则由n 11B A ⊥，n 1BB ⊥，可得：2020y y z -=-=⎪⎩，可令y =4,x z =，∴平面11A BB的一个法向量n (= 设直线AC 与平面11A BB 所成角为α，则2sin 2n CA n CAα⋅===⋅. …………………………12分 19. 【解析】（Ⅰ）共8n +个城市，取出2个的方法总数是28n C +，其中全是小城市的情况有28C ，故全是小城市的概率是()()28288748715n C C n n +⨯==++，∴()()872101514n n ++==⨯，∴714n +=，故7n =. …………………………………………4分 （Ⅱ）①0,1,2,3,4X =.01874151(0)39C C P X C ===； 13874158(1)39C C P X C ===； (2)P X =22874152865C C C ==； 318741556(3)195C C P X C ===； 43874152(4)39C C P X C ===. 故X012343939651953915EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………8分②若4球全是超大城市，共有4735C =种情况；若4球全是小城市，共有4870C =种情况；故全为超大城市的概率为47448735170353C C C ==++. …………………………………………………12分20.【解析】（Ⅰ）由已知，可得21()22b c a c +=.又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，解得c a 2=设椭圆C 方程：2222143+=x y c c，当直线l 斜率不存在时，线段MN 长为c 32；………………………2分 当直线l 斜率存在时，设l 方程：c kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+c kx y c y c x 1342222，得088)34(222=-++c kcx x k ，从而 3412164|34|1||22222++⋅+⋅=+∆⋅+=k k k c k k MN c k c k k k c 32)34(1132)34()24()44(32222222<+-⋅=++⋅+⋅=，…4分易知当0=k 时，||MN 的最小值为c 364，从而1=c ，因此，椭圆C 的方程为：22143+=x y …6分 （Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，3412164||222++⋅+⋅=k k k MN ，而D的半径=r ，又直线OB 的方程为1=-y x k ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+x k y y x 113422，得4312222+=k k x B ， 因此43112||1)1(||222++⋅=⋅+-=k k x k OB B ， …………………………………………………………8分由题意可知1sin 21∠==++POQ r OB r OB r，要求∠POQ 的最大值，即求OB r 的最小值而2OB r===342+=k u ，则)31,0(1,3∈>u u ， 因此125)27(5743175)1()73(75||22≥+--=-+=-⋅+=uu u u u u r OB , ………………………10分当且仅当72=u ，即72=u 时等号成立，此时42±=k ，所以1sin22∠≤POQ ，因此26π∠≤POQ ，所以∠POQ 的最大值为3π. 综上所述，∠POQ 的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为42±=k .…………………………12分21.【解析】（Ⅰ）由题意，()()()21212x x f x ax e ax x a e --⎡⎤'=+-++⎣⎦()211212x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()1112x e x ax a -=--+-.…………………………………………2分 ①当0a =时，()()112xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()15122f e e=≠，不合题意. ②当0a >时，111a -<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()215122a f e e+==，得2a =.综上所述2a =.…………………………………6分 （Ⅱ）令()()2122xx x axg a e e+=+，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2102x x e +≥， 则()()ln 12b x g a +≤对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()ln 102b x g a g +≤≤， 即()ln 1xxb x e ≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立. ①当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0x x e >，此时()ln 1xx b x e >+，不合题意. ②当0b >时，令()()ln 1x xh x b x e=+-，[)0,x ∈+∞， 则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减， 则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.………………………………………………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 0ρθ=，即2πθ=()R ρ∈，2C 的极坐标方程为((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=. ………………………………5分（Ⅱ）2πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=，得((22130ρρ-++=，解得11ρ=4πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--+++=，得((22130ρρ-++=，解得21ρ=故OAB ∆的面积为(21sin 1412π⨯+⨯=. ………………………… 10分23.【解析】（Ⅰ）233f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)最新修正版
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
上5 河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试题+
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知复数z满足()1z =(i 是虚数单位)，则z =（ ）A．344+ B．322i - C．322i + D．344- 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是（ ）A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b>><则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）2222侧视图俯视图ABC．D7．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为（ ）A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2]10．抛物线()()()()211223320,,,,,y p x p A xy B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则（ ）A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，2]D ．(2，3]12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B两点，且弦长为a 的值是__________．14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()21n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A Aω--+=．(1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． (1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()22221012x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点． (1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈． (1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷答案1.B2.A3.C4.C5.D6.D7.A 8.C 9.B 10.C11.A12.A13.014. -515.116. 17.解：（1）由题意知26214a a a =⋅，所以()()()2111513a d a d a d +=++，化简得213a d d =. 因为16,0a d =≠，所以2d =， 所以24n a n =+. （2）由（1）得()()()()21111241212n b n n n n n n ===-++++++， 所以123n n S b b b b =+++1111111123344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++.（12分） 43π=，解得32ω= （2分）sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=, 所以sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin B A C A A B A C A +=--， 所以sin cos cos sin sin cos cos sin =2sin B A B A C AC A A +++， 所以sin sin 2sin C B A +=,所以由正弦定理的b+c=2a （5分）（2）解：因为b+c=2a ，b=c，所以a =b =c ，所以△ABC 为等边三角形， 又21S sin 2OACBOAB ABC S S OA OBθ∆∆=+=⋅)22sin 2cos OA OB OA OB θθ=+-⋅ sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（8分） 因为()20,,,333πππθπθ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时取最大值,S OACB 的最大值为2+（12分）19.（1）证明：取AP 中点 M ，连DM,BM, 因为DA=DP,BA=BP,所以PA ⊥DM,PA ⊥BM, 因为DMBM M =,所以PA⊥平面DMB,又因为BD ⊂平面DMB,所以PA ⊥BD.（2）解：因为,,,60DA DP BA BP DA DP ABP ==⊥∠=︒,所以DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，因为AB=PB=BD=2，所以1,DM BM ==所以222,BD MB MD MD MB =+∴⊥. 如图以MP,MB,MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B P D -,从而得()()()()1,0,1,1,3,0,1,3,0,1,0,1DP DC AB BP BC AD =-===-==, 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =，则110n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111100x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11y =，得(111,x z n ==∴=，设平面PCB 的法向量()2222,,n n y z =，由220n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得222200x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令21,y =得(2223,1,x z n ===所以1212121cos ,7n n n n n n ⋅==，设二面角D-PC-B 为α，4sin ,n n α∴=20.解：（1）由4AP BP +=,得24a =，所以2a =，又椭圆过点⎛ ⎝⎭. 所以213144b+=，解得1b =.故椭圆C 的方程为2214x y +=.设点()00,P x y ，则由GPH ∆∆∽APB ,得003GHy AB y -=003y y -=,则031GH y ⎫=-⎪⎭, 由001y <≤，得031y ⎫-⎪⎭≥GH的长度取得最小值（2）由（1）可知，当GH 的长度取得最小值时，01y =，将点()00,x y 代入2214x y +=，得00x =，故此时点P(0，1),则直线AP的方程为1y x =+，此时2AP =, 当平行线AP 的直线l 与椭圆下方相切时，TPA ∆的面积取最大值，设直线:l y m =+，则由2214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，则()()224712120m ∆=-⨯-=，所以m =，或m （舍去）. 由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP 的距离d ==故()max 11222TPA S AP d ∆==⨯=即TPA ∆. 21.解：（1）因为()f x 的定义域为()0,+∞，且()f x 在定义域内单调递增. 所以()220f x x m x '=+-≥，即22m x x+≤在区间()0,+∞内恒成立. 因为224x x+≥，所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞.（2）由（1）知()22222x m x f x x m x x-+'=+-=，当1752m <<时，()f x 有两个极值点，此时1202m x x +=>， 121x x =1201x x ∴<<<，因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11142x <<，由于211x x =，于是()()()()22121112222ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=++--+ ()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+， 令()2214ln h x x x x=-+，则()()223210x h x x --'=<，所以()h x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--，故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22.解（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=,又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=； （2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 设()22,ρθ为点Q 的极坐标22222sin cos cos sin 44tan 2ππρθθθ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 由于12θθ=，所以12PQ ρρ=-=所以线段PQ . 23. 解：（1）()23f x x +≥，即23x a x ++≥，两边平方并整理得()22312290x a x a +-+-=， 所以3,1--是关于x 的方程()22312290x a x a +-+-=的两根.由根与系数的关系得到212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩，解得0a =. （2）因为()()()2f x x a x a x a a +-+--=≥，所以若不等式()22f x x a a a +--≥恒成立，只需222a a a -≥， 当0a ≥时，222a a a -≥解得04a ≤≤；当0a <时，22a a --2a ≥，此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的取值范围是[]0,4.。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m x ACm y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。