数字信号处理课后答案第6节
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。
=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，
（3） 如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤ nn0|x(k)|≤|2n0+1|M， 因 k nn0
数字信号处理课后习题答案 第六章习题与答案
1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出)()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+=由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT ee u n -+--==+ 11011() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bTz e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n sn t L可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx azk u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(ss s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
数字信号处理(吴镇扬)课后习题答案(比较详细的解答过程)chap6
至今， 至今，我们讨论的信号处理的各种理论与算法 视为恒定值， 都是把抽样频率 f s 视为恒定值，即在一个数字系 统中只有一个采样率。 统中只有一个采样率。 在实际数字信号处理系统中， 在实际数字信号处理系统中，经常会遇到采样 率转换问题。 率转换问题 。 或者要求一个数字系统能工作在 多采样率”状态， “多采样率”状态，或者要求其将采样信号转换 为新的采样率下工作。 为新的采样率下工作。
6.2 信号的插值
如果将 x(n) 的抽样频率 f s 增加 L 倍， w(n), w(n) 即 得 的插值，用符号↑ 表示。插值的方法很多， 是对 x(n) 的插值，用符号↑L 表示。插值的方法很多， 一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。 一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。 回想信号抽取前后的傅立叶变换关系
而 X 1 (e ) =
jω n = −∞
∞
∑ x ( n ) p ( n)e
− jωn
1 M −1 j 2πnk / M − jωn = ∑ [ x ( n) ]e ∑e n = −∞ M k =0 1 M −1 = X (e j (ω − 2πk / M ) ) (6.3b (6.3b) ∑ M k =0
信号抽取示意图，M=3， 图6.1.1 信号抽取示意图，M=3，横坐标为抽样点数 原信号； 中间信号； （a）原信号；（b）中间信号；（c）抽取后的信号
显然
X ′(e ) = ∑ x′(n)e
jω n = −∞ ∞ n = −∞ ∞
∞
− j ωn
= ∑ x( Mn)e
n = −∞
∞
− j ωn
= ∑ x1 ( Mn)e − jωn = X 1 (e jω / M ) (6.3a) (6.3a
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章 时域离系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，
+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
1
4
(2m 5) (n m) 6 (n m)
m4
m0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三） 所示。
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（四）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1) x(n) Acos 3 πn A是常数
7 8
(2)
j( 1 n )
x(n) e 8
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题8解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（三）
分别求出输出y(n)。
（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
数字信号处理第6章答案 史林 赵树杰编著
第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。
通带截止频率 2.1p f kH Z =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。
解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。
（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。
（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N = ，将极点k p 代入(6.3.14)式得滤波器的系统函数()a H s 。
****************0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ2ppfπΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：cp ΩΩ== 212,1,2,,k N j Nk c p e k N π+-=Ω=11()()n Nnk k H s s p ==-去归一化()()a n cs H s H =Ω%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。
解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N = 和归一化的系统函数11()()n Nnk k H s s p ==-∏ 2101211N NN a a s a s a ss--=+++++然后利用(6.3.9)式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
其系统的频率响应为
H (e j )
n
h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
1 0 n 6 ； 0 其它n
1 0 n 3 ； 0 其它n
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。 解：(a) h( n) ( n) ( n 3) 则
H ( z ) 1 z 3 H (e ) 1 e
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
2
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
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（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材 第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函 数G(p)为
G( p)
p5
3.236 p4
1 5.2361p3 5.2361p2
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
k 1
k 1
其中， sk=Ωppk=6π×103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得 到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。
Ha
(s)
(s2
2
7.2687 1016 Re[s1]s | s1 |2 )(s2 2
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
1 G( p) 4
( p pk )
k 0
最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。
（3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。
λp=1, ap=3 dB
s
p s
2,
as=15 dB
(3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴特沃斯 类型， 故
ksp
100.1ap 100.1as
1 1
0.18
sp
s p
2
N lg ksp lg 0.18 2.47
lg sp
lg 2
所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一 化低通G(p)为
解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
G( p)
1
p3 2 p2 2 p 1
(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：
式中
s3
H (s)
G( p)
| p c s
s3
2c s 2
2c2s
c3
Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：
教材第6章习题与上机题解答
1． 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率
fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以
及实际滤波器的Ha(s)。 解: （1） 求阶数N。
N lg ksp
lg sp
ksp
100.1as 100.1ap
p 1 s 1
102.5 100.3
1 1
17.794
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
pk
ch
sin
(2k 1)π 2N
jch
cos
(2k 1)π 2N
1 arsh 1 1 arsh 1 0.5580 N 4 0.2171
k 1, 2,3, 4
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
由于本题中ap=3 dB， 即Ωc=Ωp=2π×6×103 rad/s， 因此
Ha (s)
Ha ( p)
|
p
s
c
5 c
s5
3.2361 c s 4
5.2361c2
s3
5.2361c3s2
3.2361
4 c
s
5 c
对分母因式形式， 则有
Ha (s)
Ha ( p)
|
p
s
c
5 c
(s2
0.6180 c s
2 c
)(s2
1.6180 c s
2 c
)(s
c
)
如上结果中，Ωc的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地 看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
1
Q( p)
N
1
4
2N1 ( p pk ) 1.7368 ( p pk )
k 1
k 1
其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下：
Re[s2
]s
|
s2
|2 )
(s2
1.6731104
s
7.2687 1016 4.7791108 )(s2 4.0394104
s
4.7790 108
)
也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3． 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
p4
ch0.5580 sin
7π 8
j
ch0.5580 cos
7π 8
0.4438
j1.0715
(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)：
Ha
(s)
Q(
p)
|
p
s
p
4 p(s p pk ) 1.7368 (s sk )