2.4.2 圆的一般方程

2.4.2 圆的一般方程基础过关练题组一 圆的一般方程1.圆x 2+y 2-2x+6y+8=0的面积为( ) A.8π B.4π C.2π D.π2.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆,则实数m 的取值范围是( ) A.m<12B.m>12C.m<1D.m>13.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或23C.2或0D.-2或04.方程x 2+y 2+2ax-b 2=0表示的图形是( ) A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆 C.一个点 D.a,b 不全为0时,才能表示一个圆5.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,则写出圆心和半径. (1)x 2+y 2+5x-3y+1=0;(2)x 2+y 2+4x+4=0; (3)x 2+y 2+x+2=0;(4)x 2+y 2+2by=0(b ≠0).6.圆x 2+y 2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-2)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=27.与圆C:x 2+y 2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C 的半径的一半的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y+2=0B.x 2+y 2-2x+4y+1=0C.x 2+y 2-2x+4y-12=0D.x 2+y 2-2x+4y+72=08.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则P 的轨迹为( ) A.直线B.线段C.圆D.半圆9.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是 .10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).(1)求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标; (2)求△ABC 的外接圆的方程.11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=012.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=()A.9B.-9C.1D.-113.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是()A.3-√2B.3+√2C.3-√22D.3-√2214.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=.15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.易错能力提升练题组一圆的一般方程1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为()A.π4B.3π4C.3π2D.5π42.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为()A.4πB.2πC.πD.π23.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+5a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为2()A.-2B.0C.1D.3题组二圆的方程的求法4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+1)2=15.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为()A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=06.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求正方形ABCD外接圆的方程;(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出该轨迹方程.题组三 圆的方程的应用 7.(2019福建福田高三月考,)已知B(0,0),A(√3,3),C(2√3,0),平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( )A.37+2√334B.37+6√334C.434D.4948.()已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为 . 9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O 是坐标原点,圆O 的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q 分别从点A,B 同时出发,在圆O 上按逆时针方向运动,若点P 的速度大小是点Q 的两倍,则在点P 运动一周的过程中,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .10.()已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P 在圆C 上,求△PAB 面积的最大值.答案全解全析 基础过关练1.C 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2, ∴半径r=√2,∴圆的面积S=πr 2=2π.2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<12,故选A.3.C 由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为2=√22,解得a=0或a=2. 4.D (2a)2+4b 2=4(a 2+b 2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a ≠0或b ≠0时,方程表示一个圆.5.解析 (1)原方程配方得(x +52)2+(y -32)2=152,故该方程表示以(-52,32)为圆心,√302为半径的圆.(2)原方程配方得(x+2)2+y 2=0,表示一个点(-2,0).(3)∵原方程配方得(x +12)2+y 2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形. (4)原方程配方得x 2+(y+b)2=b 2(b ≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆. 6.C 由x 2+y 2-2x-1=0得(x-1)2+y 2=2,所以(x-1)2+y 2=2的圆心O 1的坐标为(1,0),半径为√2,故排除A,B.又易求C 中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O 2的坐标为(-3,2),O 1O 2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D 中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O 3的坐标为(3,-2),O 1O 3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.7.D 易知圆C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C 的圆心坐标为(1,-2),半径为√6,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为√62,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=(√62)2=32,即x 2+y 2-2x+4y+72=0.8.C 设点P 的坐标为(x,y),∵A(-2,0),B(1,0),动点P 满足|PA|=2|PB|,∴√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,两边平方得(x+2)2+y 2=4[(x-1)2+y 2], 即(x-2)2+y 2=4.∴P 的轨迹为圆.故选C. 9.答案 (x-1)2+y 2=2解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y 2=1的圆心B(1,0),半径r=1,则|PA|2+r 2=|PB|2,∴|PB|2=2.∴点P 的轨迹是以(1,0)为圆心,√2为半径的圆. ∴点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2.10.解析 (1)由题意可知k ED =k AB =3-25-4=1,又F(1,1)为AB 的中点,∴AB 所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.① 同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4). (2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C 的坐标代入圆的方程可得{F =0,4+4+2D +2E +F =0,64+16+8D +4E +F =0,解方程组可得{D =-16,E =12,F =0,∴圆的方程为x 2+y 2-16x+12y=0.11.C 圆x 2+y 2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k=2-04-3=2,结合选项知C 正确.12.B 因为直线2x-5y+a=0平分圆x 2+y 2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B. 13.A 易得直线AB 的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB 的距离d==3√22,所以点C 到直线AB 的最小距离为3√22-1,所以△ABC 面积的最小值为12×|AB|×(3√22-1)=12×2√2×(3√22-1)=3-√2.14.答案 12解析 根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x 2+y 2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=12.15.答案 (2,94)解析 因为点A(a,2)在圆的外部,所以{a 2+22-2a 2-3×2+a 2+a >0,(-2a)2+(-3)2-4(a 2+a)>0. 所以2<a<94.所以a 的取值范围为(2,94).易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D 2+E 2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.能力提升练1.B 方程x 2+y 2+ax+2y+a 2=0可化为 (x +a2)2+(y+1)2=-34a 2+1,设圆的半径为r(r>0),则r 2=1-34a 2,∴当a=0时,r 2取得最大值,从而圆的面积最大. 此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为3π4,故选B.2.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m 2(m ≠0),其圆心为(m,2m+1). 依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2, ∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.3.AB 由(3a)2+a 2-4(52a 2+a -1)>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.4.D 设圆上任意一点为Q(x 1,y 1),PQ 的中点为M(x,y),则{x =x 1+42,y =y 1-22,即{x 1=2x -4,y 1=2y +2, 因为x 12+y 12=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.5.A 设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.依题意得{D -E +F +2=0,D +4E +F +17=0,4D -2E +F +20=0,解得{D =-7,E =-3,F =2.因此,所求圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A. 6.解析 (1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为y -2-2-2=x -40-4,整理得x-y-2=0.(2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴G (0+42,-2+22),即(2,0),设r 为外接圆的半径,则r=12|AC|,而|AC|=√(4-0)2+(2+2)2=4√2, ∴r=2√2.∴外接圆方程为(x-2)2+y 2=8.(3)设点P 坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 坐标为(x,y),则x=x 0-22,y=y02,∴x 0=2x+2,y 0=2y,①∵点P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+y 02=8,将①代入并整理,得x 2+y 2=2,∴该轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,轨迹方程为x 2+y 2=2.7.D 由题易得,点P 的轨迹为以A 为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC 的中点N,∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点, ∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,从而M 的轨迹为以N 为圆心,12为半径的圆,∴B,N,M 三点共线时,BM 最大. 又∵A(√3,3),C(2√3,0),∴N (3√32,32),则BN=√(3√32)2+(32)2=3,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为3+12=72,∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494,故选D.8.答案 20√解析 设圆心为P,圆的方程x 2+y 2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为√5,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC 是直径,最短弦BD 的中点是E(2,6),且AC ⊥BD. |PE|=√5,|BD|=2×√52-(√5)2=4√5,|AC|=2×5=10,所以S 四边形ABCD =12|AC|·|BD|=12×10×4√5=20√5.9.答案 2解析 设∠BOQ=α,根据题意得,点P 逆时针旋转2α,且α∈[0,π], 依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗=(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α) =(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α =1-cos 2α=2sin 2α≤2,当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.10.解析 易求线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.由{y =-x +3,x +3y -15=0解得{x =-3,y =6,即圆心C 为(-3,6),则半径r=√(-3+1)2+62=2√10.又|AB|=√(3+1)2+42=4√2,所以圆心C 到AB 的距离d=√(2√10)2-(2√2)2=4√2. 所以点P 到AB 的距离的最大值为4√2+2√10.所以△PAB 的面积的最大值为12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5.。