人教课标版高中数学必修2《圆的一般方程》提升训练
高中数学 第26课时 圆的一般方程综合刷题增分练 新人教A版必修2
(2)求圆M的方程．
解：(1)方法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为 ＝ ，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
方法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.
答案：D
解析：由题意，知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为 ＝ ，故x2＋y2的最大值为(3＋ )2＝14＋6 .
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为 的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案：C
解析：令a＝0，a＝1得方程组
解得 所以C(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()
A．(－∞， ) B．(－∞，0)
解：(1)设点M(x，y)，依题意， ＝ ＝2，
化简得x2＋y2＝4，即曲线C的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知曲线C的方程为x2＋y2＝4，
令y＝0得x＝±2，不妨设E(－2,0)，F(2,0)．
设P(－1，y0)，S((x＋2)，
由 得(y ＋1)x2＋4y x＋4y －4＝0，
第26课时 圆的一般方程
课时目标
1.会用待定系数法求圆的一般方程．
2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．
2017-2018学年高中数学必修2：课下能力提升二十二 圆
课下能力提升(二十二) 圆的一般方程1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是________．2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为________．3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋2y ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则D ＝________，F ＝________.4．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．5．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.6．等腰三角形ABC 的底边一个端点B 的坐标为(1，－3)，顶点A 的坐标为(0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．7．求经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．8．已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称．(1)求圆心坐标及半径；(2)求△P AB 面积的最大值．答案1．解析：由42＋(－2)2－4×5m ≤0得m ≥1.答案：m ≥12．解析：因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，而半径r ＝12 k 2＋22－4k 2＝12 4－3k 2＝1，所以k ＝0，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)3．解析：方程化为(x ＋D 2)2＋(y ＋1)2＝D 24＋1－F 由于圆与x 轴相切于原点，所以－D 2＝0，D 24＋1－F ＝1，故D ＝0，F ＝0. 答案：0 04．解析：将圆方程化为(x ＋1)2＋y 2＝1，故C (－1,0)，由题意，所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝05．解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0.点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心(－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.答案：－1 16．解：由题意得CA ＝AB ，则点C 到定点A 的距离等于定长AB ，所以C 的轨迹是圆． 又AB ＝(1－0)2＋(－3－6)2＝82，C 的轨迹方程为x 2＋(y －6)2＝82(因为A ，C ，B 不能共线，则需除去点(－1,15)和点(1，－3))，即C 的轨迹形状是以点A (0,6)为圆心，半径为82的圆，除去点(－1,15)及(1，－3)．7．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.①∵圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ②D －3E －F －10＝0. ③ 令①中的x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－E .令①中的y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－D .由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2， 即－E －D ＝2，也就是D ＋E ＋2＝0.④由②③④可得到⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.8．解：(1)因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，故圆心(－k 2，1)在直线x －y －1＝0上， 则－k 2－1－1＝0，k ＝－4， 则圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心坐标为(2,1)，半径为 5.(2)直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，则圆心到直线AB 的距离为|2－1＋2|2＝322，故圆上的点到AB 的最大距离为322＋5＝32＋252， 又|AB |＝22，所以△P AB 面积的最大值为S ＝12|AB |×32＋252＝12×22×32＋252＝3＋10.。
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1(II)卷
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·西安期中) 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）A . r=1；（﹣2，1）B . r=2；（﹣2，1）C . r=1；（2，﹣1）D . r=2；（2，﹣1）2. （2分）要使与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有A . ,且F<0B . D<0,F>0C .D . F<0·3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定5. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .6. （2分）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l过点（﹣1，2）且与直线y=x垂直，则直线l的方程是（）A . 3x+2y﹣1=0B . 3x+2y+7=0C . 2x﹣3y+5=0D . 2x﹣3y+8=08. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二上·哈尔滨月考) 若点满足，点在圆上，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．12. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．13. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________14. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．16. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．17. （15分） (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）① ，，；② ，，；③ ，， .（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到，两点“直角距离”相等；②到，两点“直角距离”和最小.18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上；若动点M满足：|MA|=2|MO|，且M的轨迹与圆C有公共点．求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程课后提升作业二十五 4.1.2 含解析
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课后提升作业二十五圆的一般方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=4【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r= ( )A. B.2 C. D.4【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.3.(2016·聊城高一检测)两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【解析】选 C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.【延伸探究】本题条件不变，则两圆的圆心连线的垂直平分线方程是________.【解析】两圆的圆心为A(2， -3)与B(3，0)，AB的中点为，故AB的垂直平分线方程为y+=-，即2x+6y+4=0.所以x+3y+2=0. 答案：x+3y+2=04.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )A.一个圆B.只有当a=0时，才能表示一个圆C.一个点D.a，b不全为0时，才能表示一个圆【解析】选D.(2a)2+4b2=4(a2+b2)，当a=b=0时，方程表示一个点；当a，b不全为0时，方程表示一个圆.5.(2016·兰州高一检测)如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )A.a=0，b≠0，c≠0B.b=c=0，a≠0C.a=c=0，b≠0D.a=b=0，c≠0【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0. 所以b=0，a≠0，c=0.6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，即-3+2+a=0，所以a=1.7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是( )A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.8.(2016·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是( )A.(0，+∞)B.C. D.R【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，解不等式得λ<.二、填空题(每小题5分，共10分)9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，所以r==，所以m=.答案：10.(2016·北京高一检测)已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.答案：(-1，1)三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①又因为半径长r==，所以D2+E2=20.②由①②可得或又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.【能力挑战题】已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|==2，k PQ==.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|==4，圆的半径是2，点Q在圆外，所以|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4-2=2.【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
【提高练习】《412圆的一般方程》(数学人教A版高中必修2).docx
经全Cl 中小学級材审定委员会284年初谢連过《4・1・2圆的一般方程》提高练习本课时编写：成都市第二十中学付江平一、选择题1. 若点(2°, 6/-1)在圆d+(.y+l)2=5的内部，则Q 的取值范围是()A. (-00, 1]B. (-1,1)C. (2,5)D. (1, +.00) 2. 在圆x 2+/-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分別为AC 和BD,则四边 形ABCD 的面积为()A. 5^2B. l(h/2 …C. 15^2D. 20\(2 3. 圆C ： x 2+b+兀一6y+3=0上有两个点P 和Q 关于直线kx~y+4 = 0对称，贝以=4. 当d 取不同的实数时，由方程jc+y^+lax+lay — 1 = 0可以得到不同的圆，贝lj()A.这些圆的圆心都在直线y=x 上B.这些圆的圆心都在直线—兀上C.这些圆的圆心都在直线)，=兀或y= -x 上D.这些圆的圆心不在同一条直线上二、填空题5. 已知圆C ： x 2+/+2x+a.y —?>=0(6/为实数)上任意一点关于直线/： x~y+2=0的对( )A. 2 B ，¥ D.不存在 普通高中课程标准实验教科书人爪教育出收社课程穀材研究听编年中学数学课用敦材研究开发中心称点都在圆C上，则口= _________________ .6.________________________________________________________ 若实数x, y 满足x2+.y2+4x—2y—4=0,则寸/+),的最大值是______________________________ .7.已知圆C经过A(5,l), B(l,3)两点，圆心在兀轴上，则C的方程为__________________ .8.圆过点4(1, 一2\, B(—l,4),求周长最小的圆的方程为_____________________ .三、解答题9.已知圆经过点(4,2)和(一2, -6),该圆与两坐标•轴的四个截距之和为一2,求圆的方程.10.己知方程/+)? 一2(加+3床+2( 1 — 4w2)y + 16方1+9=0表示一个圆.(1)求实数加和圆的半径r的取值范围；(2)求圆心C的轨迹方程.参考答案一、选择题1.B【解析】点(2d, a-1)在圆x2+(y+l)2=5的内部，则(2^)2+tz2<5,解得-l<a<l.2.B【解析】圆%2+y2—2x—6y=0化成标准方程为(兀一l)?+(y—3)?= 1(),则圆心坐标为M(l,3), 半径长为帧.由圆的丿Lf可性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AQ = 2帧).BD是过点E的最短眩，则点E为线段BD的屮点，且AC丄BD, E为AC与BD的交点，则由垂径定理|BD|=2#|BM|2—|M£]2=2 二—斗—二—= 2书.从而四边形ABCD的面积为||ACW|=*x2"VTbx2^ = 10Vl.3.AI k【解析】由题意得直线也一歹+4=0经过圆心C(—扌，3),所以一号一3+4=0,解得k=2. 故选A.4.A【解析】圆的方程可化为(x+a)2+(y+a)2=2cr+1,圆心为(一a, —a),在直线y=x上.二、填空题5.-2【解析】由题意可知直线/：x~y+2=Q过圆心，・・・一1+号+2=0, ・・・d=—2.6.^/5+ 3【解析】关键是式子启曰的意义.实数x, y满足方程x2+/+4x-2y-4=0, 所以(兀，)，)为方程所表示的曲线上的动点.寸*+)?= ~~x~ —~y—",表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(兀+2)2+©—1尸=9,它表示以C(—2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的儿何性质可知，MO的长即为所求的最大值.7.x~ + y - ~4x—6 = 0【解析】设所求圆C的方程为(x~.a)2+y2=r2f把所给两点坐标代入方程得& x2 + y2-2)?-9 = 0所以所求圆C的方程为X2 + y2-4x-6 = 0.【解析】当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心，半径 r =~^AB\ =-\/To.则圆的方程为：+ y**—2y —9 = 0. 三、解答题9.圆的方程为?+/-2x+4y-20=0.【解析】设圆的一般方程^x 2+y r+Dx+Ey+F=0.4D+2E+F+20=0,① •••圆经过点(4,2)和(-2, -6),代入凰的-般方程，得2“6—40=0.② 设圆在兀轴上的截距为小兀2，它们是方程X 2+D X +F= 0的两个根，得X X +X 2=-D. 设圆在y 轴上的截距为刃、乃，它们是方程y 2+Ey+F=0的两个根，得y x +y 2=-E. 由已知，得一£)+(—£)=—2,即 D+E —2=0.③ 由①②③联立解得D=—2, E=4, F=—20. ・・・所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 10. (1) 0V 圧字.(2)圆心「C 的轨迹方程为(兀一3)2=*)；+1)(学V 兀V4).【解析】(1)要使方程表示圆,贝J 4(/n+3)2+4(l-4/n 2y 2-4(16m 4+9)>0, 即 4加$+24m+36+4—32m 2+64屛—64/n 4—36 > 0, 整理得7〃,一6加一1V0,解得一y</w< 1.・・・0S 芈x=/n+3⑵设圆心坐标为(X, y),贝9(y=4777—1 消去加可得(X —3)2=*)+1)・T —*V M V1,・••学<兀<4.1 20 故圆心C 的轨迹方程为(兀一3)2=才0，+ l)Cy VxV4). 16=yl — 7 tv 2+6m+1—3 m —j。
人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升 4.1.1 圆的标准方程2
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课时提升作业(二十四)圆的标准方程一、选择题(每小题3分,共18分)1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( )A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1) 2=16D.(x-2)2+(y-1)2=16【解析】选C.由题意知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的图形是( )A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)【解析】选C.由题意知,需满足x-a=0且y-b=0,即x=a且y=b,故方程表示点(a,b).3.(2014·锦州高一检测)若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选A.圆心(-2,1)关于原点的对称点为C(2,-1),半径相等,r=1,所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.4.若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是( )A.m>5B.m<5C.-2<m<2D.0<m<2【解析】选A.依题意,得1+4<m,所以m>5.5.如图,ACB为一弓形,且A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为( )A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25【解析】选 D.如图,设圆的圆心为P,半径为r,在△OBP 中,(r-2)2+42=r2,r=5,圆心P(0,-3),圆的方程为x2+(y+3)2=25.故选D.6.(2013·重庆高考)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6B.4C.3D.2【解题指南】|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径. 【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,半径为2,所以|PQ|的最小值为6-2=4. 【变式训练】圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=x的距离是( ) A. B. C.1 D.【解析】选A.先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得距离为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则d的取值范围是.【解析】因为点P在圆C内部,所以(x0-1)2+(y0+2)2<4,即0≤d<4.答案:0≤d<4【举一反三】圆C:(x-1)2+(y+2)2=d2(d>0),若点P(2,0)在圆外,则d 的取值范围是什么?【解析】由于点P在圆外,故(2-1)2+(0+2)2>d2,即d2<5,故0<d<.8.(2014·保定高一检测)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程是.【解题指南】线段AB的中垂线经过圆心.【解析】线段AB的中垂线方程为y=-3,代入2x-y-7=0,得x=2,故圆心坐标为(2,-3),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=,所以圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=5.答案:(x-2)2+(y+3)2=59.(2014·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得的弦的长为2,则圆C的标准方程为. 【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系,可利用圆心到直线的距离、弦长一半、半径构成直角三角形求解.【解析】设圆心,半径为a.由勾股定理得+=a2,解得a=2.所以圆心为,半径为2,所以圆C的标准方程为+=4.答案:+=4.三、解答题(每小题10分,共20分)10.求满足下列条件的圆的方程:(1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3).(2)经过点P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在y轴上.【解析】(1)圆的半径r=|CP|==5,圆心为点C(8,-3),所以圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.(2)设所求圆的方程是x2+(y-b)2=r2,因为点P,Q在所求圆上,依题意有解得所以所求圆的方程是x2+=.11.(2014·盐城高一检测)已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值.(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点,求a的取值范围.【解析】(1)因为点M在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,又由a>0,所以a=.(2)由两点间的距离公式可得,|PC|==,|QC|==3,因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点,即P,Q两点一个在圆内,另一个在圆外,由于3<,所以3<a<,即a的取值范围是(3,).一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·潍坊高一检测)圆C:(x-)2+(y+)2=4的圆心坐标以及面积等于( ) A.(-,),π B.(-,),2πC.(,-),4πD.(,-),8π【解析】选C.由圆的标准方程可知圆心坐标为(,-),半径r==2,则面积S=πr2=4π.2.方程y=表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆【解析】选D.方程y=可化为x2+y2=9(y≥0),所以方程y=表示圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,是半个圆.3.(2014·南昌高一检测)点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.2x-y-5=0D.x+y-1=0【解析】选A.由题意知圆心坐标为C(1,0),故k PC==-1,故直线AB的斜率k AB=1,故直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆的方程为x2+(y-b)2=1,由条件知圆过点(1,2),故b=2,所以圆的方程为x2+(y-2)2=1.【变式训练】过点C(-1,1),D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程为( )A.x2+(y-2)2=10B.x2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y2=10D.(x-2)2+y2=10【解析】选D.由圆心在x轴上可排除A,B,将C(-1,1)的坐标代入C,D 检验知,选D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则a,b,r满足的关系式为. 【解析】将(0,0)代入(x-a)2+(y-b)2=r2,得a2+b2=r2.答案:a2+b2=r26.(2014·梅县高一检测)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的方程为.【解析】设圆的方程为(x-a)2+y2=25,将点A(2,-3)代入得,(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6,故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.答案:(x+2)2+y2=25,(x-6)2+y2=25【举一反三】本题若圆心改为在y轴上,其余条件不变,又如何求解? 【解析】设圆的方程为x2+(y-b)2=25,将点A(2,-3)代入得,22+(-3-b)2=25,解得b=-3+或b=-3-,故所求圆的方程为x 2+(y+3+)2=25或x2+(y+3-)2=25.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·保定高一检测)△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4).(1)求△ABC外接圆的标准方程.(2)求BC边中线所在直线截其外接圆的弦长.【解析】(1)设其外接圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,因为顶点在圆上,则:⇒a=1,b=3,r=,所以△ABC外接圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=5.(2)BC的中点D,k AD=,所以直线AD为:x-7y+15=0,圆心(1,3)到直线AD的距离d=,又因为半径为,所以半弦长为:=,所以弦长为3.【一题多解】本题(1)的另解:可以判断k BC·k AB=-1,所以边AC为直径,中点为圆心,圆心(1,3),半径r=,所以△ABC外接圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=5.8.已知x,y满足(x-1)2+y2=1,求S=的最小值.【解题指南】把S中被开方数配方,等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】因为S==,又点(x,y)在圆(x-1)2+y2=1上运动,即S表示圆上的动点到定点(-1,1)的距离.如图所示:显然当定点(-1,1)和圆心(1,0)共线时取到最值,且最小值为-1=-1.所以S=的最小值为-1.关闭Word文档返回原板块。
最新人教版高中数学必修二阶段提升课 第四课 圆 与 方 程
阶段提升课 第四课 圆 与 方 程题组训练一 求圆的方程1．已知直线()a －1 x －y ＋a ＋1＝0()a ∈R 恒过定点C ，则以点C 为圆心，以1为半径的圆的标准方程为________．【解析】由直线方程得a(x ＋1)－x －y ＋1＝0，所以当x ＝－1时y ＝2，即定点C(－1，2)， 所以以1为半径的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝12．求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12 都相切的圆的方程．【解析】设圆心坐标为(a ，b)，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2在直线x ＝－12 的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12 都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12 ，r ＝|b|.又圆心(a ，b)在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝2上，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －32 2 ＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b|，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋(y ＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆的标准方程和一般方程，依据题设条件选择恰当的方法． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组). (3)解出a, b, r(或D, E, F). (4)代入圆的方程．题组训练二 直线与圆的位置关系1．直线 3 x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A ． 3 或－ 3 B ．－ 3 或3 3 C ．－3 3 或 3 D ．－3 3 或3 3【解析】选 C.圆的方程变形为(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|（3）2＋12＝ 3 ⇒| 3 ＋m|＝2 3 ⇒m ＝ 3 或m ＝－3 3 .2．直线x －2y ＋3＝0与圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF(O 是原点)的面积为( )A ．2 5B ．655C ．32D ．34【解析】选B.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9的圆心为(－2，3)，半径r ＝3，所以圆心(－2，3)到直线x －2y ＋3＝0的距离d ＝|－2－2×3＋3|5 ＝ 5 ，弦长|EF|＝2r 2－d 2 ＝29－5 ＝4，原点到直线的距离l ＝35＝355 ，所以△EOF 的面积为S ＝12 ×4×355 ＝655 .直线与圆的位置关系(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系． (2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l ，半径r ，弦心距d 之间满足r 2＝d 2＋l 24.题组训练三 圆与圆的位置关系1．圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【解析】选C.圆x 2＋y 2－2x ＝0的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，半径为1，圆x 2＋y 2＋4y ＝0的标准方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为(0，－2)，半径为 2.所以圆心距d ＝（1－0）2＋（0＋2）2 ＝ 5 <1＋2＝3，且 5 >2－1＝1，所以两圆相交． 2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程． (2)求过点(2, 3)且过C 1，C 2的切点的圆的方程．【解析】(1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13 ； C 2(4，－2)，r 2＝13 .因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2 ＝213 ＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，两式相减得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43 (3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.1．关于两圆的位置关系一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．2．两圆的公共弦长将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．题组训练四与圆有关的最值问题1．已知点A是圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5上一点，点B在直线l：3x－4y－8＝0上，则|AB|的最小值为( )A．3 5 B．3＋ 5 C．3－ 5 D．3【解析】选C.如图，圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5的圆心到直线l：3x－4y－8＝0的距离d＝|－3－4－8|32＋（－4）2＝3.所以|AB|的最小值为3－ 5 .2．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．(2)求|MQ|的最大值和最小值．(3)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．【解析】(1)由点P(a，a＋1)在圆C上，可得a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，解得a＝4，所以P(4，5).所以|PQ|＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210 ，kPQ ＝3－5－2－4＝13.(2)圆的方程变为(x－2)2＋(y－7)2＝8.所以圆心C坐标为(2，7)，半径r＝2 2 . 可得|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2 ，因此|MQ|max＝4 2 ＋2 2 ＝6 2 ，|MQ|min＝4 2 －2 2 ＝2 2 .(3)可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k，由直线MQ与圆C相切时，|2k－7＋2k＋3|1＋k2＝2 2 ，可得k＝2＋ 3 或k＝2－ 3 ，所以2－ 3 ≤k≤2＋ 3 ，所以n－3m＋2的最大值为2＋ 3 ，最小值为2－ 3 .与圆有关的最值问题常见的类型(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r.(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax ＝m＋r，dmin＝m－r.(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求yx，y－mx－n，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．题组训练五空间中点的坐标与距离公式在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A．(－3，4，5) B．(－3，－4，5)C．(3，－4，－5) D．(－3，4，－5)【解析】选A.关于yOz平面对称的点的特点为横坐标互为相反数，纵、竖坐标相同．故点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3，4，5).求空间中坐标及两点间距离的方法及注意点(1)求空间两点间的距离：一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标：一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．。
人教课标版(B版)高中数学必修2拔高练习-圆的一般方程
2.3.2圆的一般方程【巩固教材——稳扎马步】1. 圆22226430x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ）A. 319,124⎛⎫ ⎪⎝⎭－和 B .()322－C.3,122⎛⎫- ⎪⎝⎭D.3,122⎛⎫ ⎪⎝⎭－和 2.已知圆()2222210x y ax y a +--+-=（0<a <1）,则原点O 在（ ）A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外3.方程 2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.a <-2或 a ＞23B.23-＜a ＜2 C.2-＜a ＜0D.2-＜a ＜23- 4.若圆M 在x 轴与y y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是（ ）A.0x y -=B.0x y +=C.022=+y xD.022=-y x【重难突破——重拳出击】5.若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是：（ ）A.0λ>B.115λ≤≤C.1λ>或15λ< D.R λ∈ 6.在方程220x y Dx Ey F ++++=中，若224D E F =>，则圆的位置满足：（ ）A.截两坐标轴所得弦的长度相等；B.与两坐标轴都相切；C.与两坐标轴相离；D.上述情况都有可能。
7.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是：（ ）A.1[0,]2B.[0,2]C.[0,1]D.1[0,]28.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于A .B 两点，圆心为C ，若2ACB π∠=，则F 的值等于：（ ）A.-B.C.3D.－39.已知曲线220x y Dx Ey F +-+-=(224D E F +-＞0)关于直线0x y +=对称，则（ ）A.0D E -=B.0D E +=C.0D F +=D.0D E F ++=10.两圆222430x y x y ++-+=与224230x y x y +-++=上的点的最短距离是（ ）A. C.2 11.曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ）A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称 12.对于任意实数k ，方程()022222=--+++k y k kx y x 所表示的曲线恒过定点（ ） A.32()55-， ,()20， B.42()55， ,()20， C.42()55， ,()02， C.42()55，- ,()02， 【巩固提高——登峰揽月】13.已知圆的方程为：22220x y ax y a ++++=，一定点(1,2)A ，要使过定点(1,2)A 作圆的切线有两条，求a 的取值范围。
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《圆的一般方程》提升训练
一、选择题
1.[2018江西九江一中高一月考]若{}2,0,1,3a ∈-,则方程
22253102
x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.3
2.[2018四川绵阳中学高一期末考试]若圆22230x y ax by +-+=的圆心位于第三象限，则直线0x ay b ++=一定不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题
3.[2017山东烟台二中月考]圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的一般方程是___.
4.[2017浙江金华一中高一（上）月考]如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为___.
三、解答题
5.[2017重庆一中月考]在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()3,0,2,0,0,4A B C --，经过这三个点的圆记为M .
(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；
(2)求圆M 的方程.
6.[2018黑龙江大庆一中高一月考]已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点.
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若90PBQ ∠=,求线段PQ 中点的轨迹方程.
7.[2017广东惠州一中期末考试]已知以点C 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上.设点P 在圆C 上，求PAB ∆的面积的最大值.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：由()222534102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭
，得1a <，满足条件的a 只有-2与0，所以方程22253102
x y ax ay a a +++++-=能表示圆的个数为2. 2.
答案：D
解析：圆22230x y ax by +-+=的圆心为3,2a b ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则0,0a b <>.直线0x ay b ++=化为1b y x a a =--，则斜率10k a =->，在y 轴上的截距0b a
->,所以直线一定不经过第四象限.
二、填空题
3.
答案：2220x y x +-=
解析：圆2220x x y ++=,即()2
211x y ++=.由于圆心()1,0-关于y 轴对称的点为()1,0，故圆22:20C x x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为()
2211x y -+=，即
2220x y x +-=. 4.
答案：()0,1-
解析：12r k ==当0k =时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为2220x y y ++=,即()2211x y ++=,圆心坐标为()0,1-.
三、解答题
5.
答案：见解析
解析：⑴方法一、由()()2,0,0,4B C -，知BC 的中点D 的坐标为()1,2-. 又()3,0A -,所以直线AD 的方程为
032013y x -+=--+，即中线AD 所在直线的一般式方程为230x y ++=.
方法二、由题意，得||||5AB AC ==，则ABC ∆是等腰三角形，所以AD BC ⊥. 因为直线BC 的斜率2BC k =,所以直线AD 的斜率12AD k =-
，由直线的点斜式方程，得直线AD 的方程为()103,2
y x -=-+即直线AD 的一般式方程为230x y ++=.
(2)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=.将()()()3,0,2,0,0,4A B C --三点的
坐标分别代入方程,得930420,1640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得
15.26
D E F =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以圆M 的方程是225602
x y x y +++
-=. 6. 答案：见解析
解析：⑴设AP 的中点为(),,M x y 则点P 的坐标为()22,2x y -.因为点P 在圆224x y +=上，所以()()222224x y -+=,整理,得()2
211x y -+=.故线段AP 中点的轨迹方程为()2211x y -+=.
⑵设PQ 的中点为(),N x y .在Rt PBQ ∆中，||||PN BN =.连接ON ,则ON PQ ⊥, 所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+,所以()()2222114x y x y ++-+-=,即2210x y x y +---=.故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 7.
答案：见解析 解析：线段AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1,∴线段AB 的垂直平分线的
方程为()21y x -=--,即3y x =-+.联立33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，解得3,6
x y =-⎧⎨=⎩即圆心C
为()3,6-，则半径r ==.又||AB =
=，
∴圆心C 到AB 的距离d ==∴点P 到AB 的距离的最大
值为d r +=，PAB ∴∆的面积的最大值为(1
162⨯=+.。