随机事件的概率

随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算3.(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)(7)一个人打靶连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”是对立事件．(×)(8)“冬去春来”为必然事件．(√)(9)有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件次品．(×)(10)做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率为37.(×)考点一随机事件的关系[例1](1)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：D(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶解析：“至少有一次中靶”包含“中靶一次”，“中靶两次”，其对立事件为“两次都不中”．答案：D[方法引航]判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件，在求概率时非常重要，对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解.具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系.1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：选D.根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.考点二随机事件的概率与频率[例2](2016·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.[方法引航]频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率.概率是一个定值.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为7 8.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 8.考点三互斥事件、对立事件的概率[例3](1)(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25 C.16 D.13解析：设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝12＋13＝56，故选A.答案：A(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： ①P (A )，P (B )，P (C )； ②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：①P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝50 1 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000.③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－)100110001(+＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[方法引航] (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )计算.1．在本例(2)条件下，求一张奖券中一等奖或二等奖的概率． 解：由题意知P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝101 000＋501 000＝601 000＝350. 2．在本例(2)条件下，求一张奖券不中奖的概率． 解：“中奖”与“不中奖”是对立事件．“不中奖”的概率P ＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－611 000＝9391 000.[易错警示] 互斥与对立相混致误[典例] (2017·河南郑州质检)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是12[正解] “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23；乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为16；乙不输的概率为1－16＝56. [答案] A[易误] 没有分析透整个事件的分类应有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此互斥，乙获胜的对立事件是“乙不胜”，但不等于“乙输”，错选为C 的较多．[警示] 对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．[高考真题体验]1．(2012·高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A．0.35B．0.45 C．0.55 D．0.65解析：选B.数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B.2．(2015·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1 365石解析：选B.254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．设1 534石米内夹谷x石，则由题意知x1 534＝28254，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．3．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．课时规范训练A组基础演练1．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：选A.从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．2．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3解析：选C.由对立事件可得P＝1－P(A)＝0.35.3．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是()A.18 B.38 C.58 D.78解析：选D.设“至少一次正面朝上”为事件A，∵P(A)＝18，∴P(A)＝1－P(A)＝78.4．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60 C．0.80 D．0.12解析：选C.“能乘上所需要的车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.5．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9解析：选A.不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.967．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)．解析：∵P(A)＝152，P(B)＝1352，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726.答案：7 268．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，有下列三对事件：①恰有1名男生和恰有两名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生．其中是互斥事件的为________．解析：①是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．②不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”“两名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了．③是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．答案：①③9．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115.(1)求取得两个同颜色球的概率；(2)求至少抽取一个红球的概率．解：设“取得两个红球”为事件A，“取得两个绿球”为事件B，则A、B互斥．(1)依题意，“取得两个同颜色球”即事件A＋B发生．∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝715＋115＝815.(2)由于事件C“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．则至少取得一个红球的概率P(CA)＝1－P(B)＝1－115＝1415.10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.B组能力突破1．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为()A.13 B.12 C.23 D.56解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13， ∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.2．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.3．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.)2,45(B.)23,45(C.]23,45[D.]34,45(解析：选D.由题意知⎩⎨⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎨⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43.⇒54<a ≤43.4．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.解析：将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1、2”与事件D “朝上一面的数为3、5”． 则C 、D 互斥，则P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23. 答案：235．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.。