MATLAB 符号运算
Matlab符号计算
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。
matlab符号运算(二)
因式分解、展开、合并、简化及通分等
计算极限 limit(f,x,a): 计算 lim f ( x )
xa
limit(f,a): 计算默认自变量趋向于a时f的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,’right’)：右极限 limit(f,x,a,’left’)：左极限
1 2 n 1 n
，以及其前10项的部分和。
>> syms n >> S=symsum(1/n^2,n,1,inf) >> S10=symsum(1/n^2,n,1,10)
x 2 n 1 n
S=1/6*pi^2 S10=1968329/1270080
例：求函数级数
S
>> syms n x >> S=symsum(x/n^2,n,1,inf)
符号矩阵中元素的引用和修改
>> A=sym(’[1+x, sin(x); 5, exp(x)]’) >> A(1,2) >> A(2,2)=sym(’cos(x)’)
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵的基本运算
符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。
1) 基本运算符：+、-、*、\、/、
ans=10
ans=2*x+y
ans=10 ans=[2+y,4+y,6+y] ans=[7 10 13]
ans=3*a+b
?
Matlab 符号运算（二）
符号矩阵
使用sym函数直接生成
>> A=sym(’[1+x, sin(ห้องสมุดไป่ตู้); 5, exp(x)]’)
Matlab+符号运算
>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
多项式的值
计算多项式在给定点的值
代数多项式求值
y = polyval(p,x): 计算多项式 p 在 x 点的值
p( x) ( x x1 )(x x2 )( x xn )
多项式运算小结
poly2sym(p,’x’) k = conv(p,q) [k,r] = deconv(p,q) k = polyder(p) [k,d] = polyder(p,q) [k,d] = polyder(p,q) y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X) x = roots(p)
例如：A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') A= [ a, 2*b] [3*a, 0] 这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 matlab数值矩阵的 一个重要区别。
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms
syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式
f (v)
v a
b
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 S 2 及其前100项的部分和 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x 例：计算函数级数 S 2 n 1 n
MATLAB2 - 符号运算
二、符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点： 1. 传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的 限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的 8位浮 点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复 的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算 不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算 是非常准确的。 2. 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
三、 符号表达式的操作和转换
符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则 MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
(1) 小写字母i和j不能作为自由变量。 (2) 符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序 选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则 选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离， 则在x后面的优先。 (3) 大写字母比所有的小写字母都靠后。
符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
syms a b c d A=[a b; c d] A =[ a, b] [ c, d] 例3 比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。 A=sym('[a,b; c,d]') %创建符号矩阵 A =[ a, b] [ c, d] B='[a,b;c,d]' %创建字符串矩阵 B =[a,b; c,d] A*2 v.s. B*2
例9 三种形式的符号表达式的表示。
符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例 如以下的f(x)就可以分别表示为：
(1) 多项式形式的表达方式：f(x)=x3-6x2+11x-6 (2) 因式形式的表达方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (3) 嵌套形式的表达方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
matlab符号运算函数大全
3.1 算术符号操作命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’功能符号矩阵的算术操作用法如下：A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B 符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。
按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B 符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。
A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。
即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B 矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。
我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。
若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B 数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。
若A与B为同型阵列时，A n*m.\B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B 矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。
我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。
若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。
第2章 matlab的符号运算
>>p0 = sym(‘(1+sqrt(5))/2’)
p0 = (1+sqrt(5))/2 >>pr = sym((1+sqrt(5))/2,'r') pr =7286977268806824*2^(-52) >>e32r = vpa(abs(p0-pr),16) e32r = 0
%广义有理表示
Matlab程序设计
Matlab程序设计
2.2 符号数字 sc = sym(‘Num’) %符号常数sc的值精确等于Num 例：a = pi + sqrt(5) %a为数值类常量 sa = sym(‘pi + sqrt(5)’) %sa为符号数字常量
% sa = pi + sqrt(5), sym型; eval(sa) 为5.3777, double型
k = sym('k','positive');
Matlab程序设计
2.4 符号变量
符号变量与符号参数的创建方法相同，但表达式或 方程中作用不同. 确定自由符号变量： findsym(EXPR , N) %确认EXPR中距离x最近的N个自由符号变
量, 略去N表示全部
例2.1-1 用符号计算研究方程uz2+vz+w=0的解 syms u v w z Eq=u*z^2+v*z+w; %符号方程 r_1=solve(Eq) %一个方程只能解一个未知数w(离x最近) findsym(Eq,1) %只找一个自由符号变量,则找到w r_2=solve(Eq,z)
3.3 符号表达式的操作 例：化简 S=(x2+y2)2+(x2-y2)2 syms x y; S=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2 simple(S) %系统自动试探各种函数化简 simple(ans) %使用多次找到最少字母的简化式 例2.2-3：对符号矩阵进行特征向量分解. syms a b c d W [V,D]=eig([a b;c d]) [RVD,W]=subexpr([V;D],W)
MATLAB的符号运算V精简版
ans=[2+y,4+y,6+y]
>> subs(f,x,[1:3]) >> subs(f,{x,y},{[1:3],[5:7]})
ans=[7 10 13]
>> subs(f,{x,y},{a+b,a-b}) >> subs(f,{x,y},{x+y,x-y})
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2024/4/3
Matlab的符号运算
符号对象建立时可以附加属性： real、positive 和 unreal
>> x=sym('x','real') >> k=sym('k','positive') >> x=sym('x','unreal')
表明 x 是实的 表明 k 是正的 去掉 x 的附加属性
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Matlab的符号运算
符号表达式的建立
>> syms x >> f1=sin(x)+cos(x)
推荐！
>> f2=sym(’sin(x)+cos(x)’)
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Matlab的符号运算
相关函数
➢ findsym: 查找符号表达式中的符号变量
findsym(f) 按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量 findsym(f,N) 列出 f 中距离 x 最近的 N 个自由变量（i，j 除外）
Matlab的符号运算
其它运算
MATLAB符号运算
MATLAB符号运算前⾔有时候，你可能会遇到较复杂的⽅程(组)，希望⽤MATLAB来求解。
MATLAB的符号运算正好可⽤于求解⽅程(组)。
此外，它还有许多其他功能。
例如，展开和简化、因式分解以及微积分运算等。
MATLAB的符号运算虽然是数值运算的补充，但是它仍然是科学计算研究中不可替代的重要内容。
与数值运算相⽐，符号运算不需要预先对变量赋值，其运算结果以标准的符号形式表达。
⽐如说计算sin(π)，数值运算的结果是1.2246e-16，符号运算的结果是0。
前者是近似的，后者是精确的。
正⽂MATLAB符号运算功能⾮常强⼤，本⽂只介绍⼤部分常⽤的符号运算功能。
注：本⽂代码的运⾏环境是MATLAB R2016b。
1. 创建符号数、符号变量和符号矩阵这⼀步骤是符号运算的第⼀步，后⾯的步骤都是在此基础上进⾏的。
%创建符号数 (只能⽤sym函数)s0 = 1 / sym(7) %符号数，不适合⼤型符号数s1 = sym('1/7') %符号数s2 = sym('3 + 4i') %符号复数%创建符号变量 (sym函数和syms函数都⾏)%--sym函数s3 = sym('x') %符号变量%--syms函数syms a b c %创建多个符号变量，值为本⾝syms(sym('[d e; e d]')) %⽤已存在的符号变量矩阵创建多个符号变量%创建符号矩阵 (sym函数和syms函数都⾏)s4 = sym('[2 5 6; 9 8 6]') %符号数矩阵s5 = sym('x', [2 3]) %符号变量矩阵，矩阵内的元素不会被创建为符号变量A = [a b c; c b a] %⽤已存在的符号变量创建符号变量矩阵% syms A B [2 3] %仅2017及以上版本⽀持，同时创建多个符号矩阵代码运⾏结果如下。
可以看到s5是⼀个2x3的符号变量矩阵，但矩阵内元素不会被创建成符号变量。
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1、MATLAB程序设计M文件：M文件是一种以m为扩展名的33文件，将MA TLAB命令流写入一个文本文件中，在MATLAB命令窗口中输入文件名可运行文件中的命令流。
此文件必须以m为扩展名，MATLAB系统才能识别。
MATLAB文件搜索路径为：安装目录下的work目录。
通过File|set path…菜单可以增加工作目录。
1.1 M函数（1）M函数的格式：Function 返回变量列表=函数名(输入变量列表)注释函数体语句End【例1.1.1】：打开Medit窗口，编写如下程序：function n=fibfun(m)%FIBFUN for calculating Fibonacci numbers%Incidengtally, the name Fibonacci comes from%Filius Bonassi, or”son of Bonassus”%fibfun.mif m>10n=fibfun (m-1) + fibfun (m-2);elsen=10;end编写完后以fibfun.m文件名存盘然后在MATLAB主命令窗口中执行如下程序：>> fibfun (15)ans =130>> fibfun (8)ans =10文件保存名称必须与函数名相同，这样才能保证调用成功。
m文件与m函数的主要区别在于m函数中定义的变量在函数调用完成后会清除，为局部变量，而m文件中定义的变量在MA TLAB运行期内始终存在。
一般以m文件作为主程序，在主程序中将一些功能模块以m函数的形式进行调用。
【例1.1.2】：M函数文件Function [y1 y2]=proab(a,b)Y1=a^3;Y2=b^3;End文件保存为proab.mM文件a=2;b=3;[y1 y2]=proab(a,b)文件保存为test.m，proab.m及test.m都保存在work目录中。
（2）变量：区分大小写，不需要指定类型，不需要事先声明，变量长度不能超过31位，第31个字符之后的字符将被忽略。
（3）常量：MA TLAB有一些预定我的变量，这些特殊的变量称为常量。
%以后的内容起到注释的作用，对最终结果不产生任何影响（应该养注释的好习惯，方便自己和别人调用）。
;结尾不显示结果1.2向量生成（1）利用冒号表达式x=start:step:endStart表示向量的首元素数值，end表示向量尾元素的数值限，step表示从第二个元素开始，元素数值大小与前一个元素值大小的差值。
苦step=1，可以省略，直接写成X=start：end。
【例1.1.3】：>> a=1:5:30a =1 6 11 16 21 26>> a=1:6a =1 2 3 4 5 6（2）Linspace函数，用来生成线性等分向量，其调用格式如下：·y=linspace （x1，x2）生成100维的行向量，使得y（1）=x1 ，y（100）=x2 ；·y= linspace （x1，x2，n）生成n维的行向量，使得y（1）=x1 ，y（n）=x2。
【例1.1.4】：>> a=linspace (1,50,6)a =1.0000 10.8000 20.6000 30.4000 40.2000 50.0000（3）Logspace函数，对数等分功能函数，其调用格式如下：·y=logspace （x1，x2） 生成50维对数等分向量，使得y （1）= 110x ，y （50）= 210x ； ·y= logspace （x1，x2，n ） 生成n 维对数等分向量，使得y （1）= 110x ，y （n ）=210x 。
【例1.1.5】：>> a=logspace (1,4,5)a =1.0e+004 *0.0010 0.0056 0.0316 0.1778 1.0000（4）点积dot(a,b) ，当a 和b 都为列向量时，等价于a ’*b 。
返回向量的数量点积。
a 和b 必须同维。
其格式如下：dot (a,b,dim) 返回a 和b 在维数为dim 的点积。
【例1.1.6】：>> a=[1,2,3]' %[1,2,3]'表示a 为列向量，即我们熟悉的 T ]3,2,1[a =123>> b=[4,5,6]'b =456>> dot (a,b)ans =32>> a'*bans =32（5）叉积cross(a,b)，表示过两相交向量的交点的垂直于两向量所在平面的向量。
其格式为： c= cross (a,b) 返回向量a 和b 的叉积向量。
即c=a ×b 。
a 和b 必须为三维向量。
【例1.1.7】：>> a=[1,2,3];>> b=[4,5,6];>> c=cross(a,b)c =-3 6 -31.3矩阵输入矩阵时，要以“［］”为标识，元素应在“［］”内部，MA TLAB才会将其识别为矩职。
同行元素之间可用空格或“，”分隔，行与行之间要用“；”或回车符分隔。
（1）零矩阵zeros(m,n)，建立一个m*n阶零矩阵。
【例1.1.8】：>> zeros(5,6)ans =0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0（2）单位阵eye(n)，建立一个n阶单位阵【例1.1.9】：>> eye(3)ans =1 0 00 1 00 0 1（3）全1阵ones(m,n)，建立一个m*n阶全1阵【例1.1.10】：>> ones(3,4)ans =1 1 1 11 1 1 11 1 1 1（4）随机阵rand(m,n)，随机建立一个m*n阶矩阵【例1.1.11】：>> rand(3,4)ans =0.8147 0.9134 0.2785 0.96490.9058 0.6324 0.5469 0.15760.1270 0.0975 0.9575 0.9706（5）行列式det(A)（6）求逆inv(A)，求A矩阵的逆矩阵【例1.1.12】：>> A=rand(3,3) %随机生成一个矩阵AA =0.9572 0.1419 0.79220.4854 0.4218 0.95950.8003 0.9157 0.6557>> det(A) %求上面生成随机阵的行列式ans =-0.4278>> inv(A) %求上面生成的矩阵A 的逆矩阵ans =1.4075 -1.4784 0.4628-1.0510 0.0148 1.2480-0.2500 1.7836 -0.7827（7）特征值eig,eigs【例1.1.13】：计算下面矩阵的特征值和特片向量。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=451973152A 解：>> A=[2,5,1;3,7,9;1,5,4];>> [x,y]=eig(A) %x 是特征向量矩阵，y 是特征值矩阵x =-0.3852 -0.9555 0.6691-0.8012 0.0433 -0.6236-0.4580 0.2919 0.4044y =13.5875 0 00 1.4680 00 0 -2.0555（8）条件数cond ，比如求特征值的条件数，我们用condeig （A ）【例1.1.14】：>> condeig(A) %A 还是例13中的矩阵Aans =1.04221.24421.2211（9）范数norm ，它的调用格式是norm （A ，n ），A 为矩阵（向量），n 可以为1（1范数）、2（2范数）、inf 或fro 。
（10）秩rank ，求矩阵的秩【例1.1.15】：%仍然取例13中的矩阵A>> rank(A)ans =3（11）迹trace ，调用格式为trace （A ），A 为要求迹的矩阵（12）奇异值分解svd ，调用格式为［x ，y ］=svd （A ）【例1.1.16】：>> [x,y]=svd(A)x =-0.3277 0.8842 -0.3329-0.8284 -0.4383 -0.3486-0.4542 0.1615 0.8761y =14.1191 0 00 3.2978 00 0 0.8806（13）LU 分解lu ，调用格式为［x ，y ］=lu （A ）（14）QR 分解qr ，调用格式为［x ，y ］=qr （A ）（15）Chol 分解chol ，调用格式为［x ，y ］=chol （A ）1.4多项式运算多项式的表示方法对于多项式()n n n n a x a x a x a x p ++++=--1110...，用以下的行向量表示：],,......,,[110n n a a a a p -=这样可以把多项式问题转化为向量问题。
（1）Polyval 和polyvalm 求值polyval 以数组为单元，polyvalm 以矩阵为单元【例1.1.17】：>> p=[1 4 9 16];>> b=[1 1 1 1];>> polyval(p,b)ans =30 30 30 30（2）Roots 求根，调用格式为roots （P ）【例1.1.18】：求解方程01501522=+-x x 的根>> p=[2,-15,150];>> roots(p)ans =3.7500 + 7.8062i3.7500 - 7.8062i（3）多项式的乘除法运算conv,deconv，用向量卷积实现【例1.1.19】：>> p=[2,3,4,5];>> b=[4,6,8,10];>> a=conv(p,b)a =8 24 50 88 92 80 50>> c=deconv(a,b)c =2 3 4 5可以看出C与P是相等的。
（4）Polyder微分，调用格式是polyder（P）【例1.1.20】：还是用上例中的P>> pp =2 3 4 5>> polyder(p)ans =6 6 4（5）Polyfit多项式拟合，调用格式如下：·polyfit（x，y，n）其中x，y为拟合数据，n为拟合多项式的阶数。
·［P，k］=polyfit（x，y，n）其中p为拟合多项式系数向量，k为拟合多项式系数向量的结构信息。